Podstawowe modele matematyczne stosowane w projektowaniu
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Wydział Nauk Technicznych i Ekonomicznych Kierunek: ZIP Specjalność: - Studia: stacjonarne Ewa Jabłońska Rok studiów: drugi Grupa: pierwsza Nr zespołu: 16 Rok akademicki : 2014/2015 Referat z przedmiotu: Podstawy projektowaniainżynierskiego Podstawowe modele matematyczne stosowane w projektowaniu Referat napisany pod kierunkiem: dr. inż. Jerzy Kwaśnik Legnica 2015 Spis treści 1. Definicja pojęcia modelowania matematycznego 3 2. Podstawowe cechy modeli 3 3. Cele tworzenia modeli 3 4. Podział modeli 4 4.1. Podział modeli ze wzgledu na ich konstrukcje 4 4.2. Podział modeli ze względu na ich relacje do modelowego systemu 4 4.2.1. White box 5 4.2.2. Black box 5 4.2.3. Gray box 6 4.2.4. Glass box 6 5. Tworzenie modeli matematycznych 7 6. Metody matematyczne przedstawione na konkretnym przykładzie 7 6.1. Optymalny system dynamiczny 7 7. Podsumowanie 9 Bibliografia 10 Spis rysunków 11 2 1. Definicja pojęcia modelowania matematycznego Modelowanie matematyczne to użycie języka matematyki do opisania zachowania jakiegoś układu (na przykład układu automatyki, biologicznego, ekonomicznego, elektrycznego, mechanicznego, termodynamicznego). Praktyka inżynierska często wymaga sterowania układem lub wykonania analizy jego zachowania, do czego używa się modelowania matematycznego. W analizie inżynier buduje opisowy model układu będący hipotezą co do sposobu działania układu i na podstawie tego modelu może wnioskować co do wpływu potencjalnych zakłóceń na stan układu. W sterowaniu model może posłużyć do teoretycznego wypróbowania różnych strategii sterowania bez wpływania na rzeczywisty układ. Model matematyczny opisuje dany układ za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych mogą należeć do różnych zbiorów: liczb rzeczywistych, całkowitych, wartości logicznych, ciągów znakowych i tym podobnych. Zmienne reprezentują pewne właściwości układu, na przykład zmierzone wartości wyjść układu, wartości liczników, wystąpienia zdarzeń (tak/nie) i tym podobne. Właściwy model to grupa funkcji wiążących ze sobą różne zmienne i w ten sposób opisujących powiązania między wielkościami w układzie. 2. Podstawowe cechy modeli " Model systemu jest z reguły uproszczeniem rzeczywistości. " Model systemu powinien zewnętrznie, w zakresie nas interesującym, zachowywać się podobnie jak system, aczkolwiek może mieć inną strukturę wewnętrzną. " Modele systemów mają z reguły znacznie mniejszą ilość wejść i wyjść niż systemy rzeczywiste. " Model systemu powinien cechować się łatwością wykorzystania zgodnie z przeznaczeniem. 3. Cele tworzenia modeli " BADANIE czyli model służy do wyjaśnienia zachowania się sytemu w określonych warunkach. " PROGNOZOWANIE czyli model służy do przewidywania zachowania się systemu w przyszłości. " PROJEKTOWANIE czyli model służy do optymalizacji struktury i parametrów projektowanego systemu. " KIEROWANIE czyli model służy do podejmowania decyzji w działającym systemie. 3 4. Podział modeli 4.1. Podział modeli ze względu na ich konstrukcję " Koncepcyjne albo jakościowe np. model Ptolemeusza systemu słonecznego lub model systemu motywacji pracownika do wydajnej pracy. " Fizyczne np. model koryta rzeki w skali laboratoryjnej, lub model samolotu testowany w tunelu aerodynamicznym. " Analogowe np. symulacja systemu sieci wodociągowej za pomocą złożonego układu elektrycznego, lub symulacja systemu sterowania za pomocą analizatora analogowego. " Matematyczne w postaci układu zależności matematycznych. " Komputerowe za pomocą odpowiedniego programu komputerowego. Modele takie budowane są z równań matematycznych, zależności statystycznych i reguł probabalistycznych. Ich specyfiką jest możliwość symulowania ewolucji systemu poprzez krokowe zmiany parametrów wyjściowych. 4.2. Podział modeli ze względu na ich relacje do modelowego systemu Problemy modelowania matematycznego często klasyfikuje się jako "czarne skrzynki" (ang. black-box) lub "białe skrzynki" (ang. white-box), w zależności od ilości informacji o układzie posiadanych przed modelowaniem. Model "czarnej skrzynki" przedstawia układ, o którym nie posiadamy absolutnie żadnej informacji, podczas gdy model "białej skrzynki" przedstawia układ, o którego działaniu mamy pełną wiedzę. W rzeczywistości wszystkie układy plasują się pomiędzy tymi dwoma idealnymi modelami. Zazwyczaj preferowane jest wykorzystanie możliwie dużej ilości wiedzy a priori, jak to tylko możliwe, aby uzyskany model był dokładniejszy. 4 4.2.1. White - box Modele "białej skrzynki" są uważane za prostsze, gdyż jeśli tylko wiedzy a priori użyto poprawnie, to model będzie zachowywał się zgodnie z rzeczywistym układem. Często informacja posiadana wcześniej o układzie ukazuje nam rodzaj zależności (charakter funkcji) wiążącej zmienne układu. Użytkownik widzi strukturę aktywu i w zasadzie może go dowolnie modyfikować. Przykładem mogą tu być wszelkiego rodzaju wzorce projektowe, wzorce dokumentacji, fragmenty tekstu programów, itp. Model białej skrzynki jest najłatwiejszy do wdrożenia, gdyż zasadniczo polega na opisaniu pewnego wykonanego fragmentu dokumentacji lub oprogramowania. Taki opis może być jednak trudno generalizowalny, zaś zmiany aktywu przez osoby inne niż konstruktor aktywu są ryzykowne i mogą doprowadzić do naruszenia założonych na początku własności. Z drugiej strony, dokładny opis fragmentów, które mogą podlegać zmianom oraz określenie dopuszczalnego zakresu zmian może okazać się bardzo trudnym zadaniem. PRZYKAAD: Użycie białej skrzynki następuje poprzez skopiowanie i zmodyfikowanie. 4.2.2. Black box W modelach "czarnej skrzynki" należy wyznaczyć zarówno postać funkcji wiążącej wielkości w układzie, jak i wartości liczbowych parametrów tych funkcji. Nie posiadając wiedzy a priori próbujemy użyć funkcji możliwie ogólnych, by objąć nimi wszystkie różne modele. Często używanym sposobem na uzyskanie modelu "czarnej skrzynki" jest użycie sieci neuronowych, które nie zakładają niczego o nadchodzących do nich danych. Podstawowym problemem występującym przy używaniu zestawów wielu funkcji opisujących układ jest szybko wzrastający poziom trudności przy estymacji parametrów funkcji, gdy ilość tych parametrów wzrasta. Model czarnej skrzynki uważa się za najbardziej pożądany stereotyp aktywu ponownego użycia. Z drugiej strony, jest to model najtrudniejszy do opracowania, szczególnie w małych organizacjach. Czarna skrzynka może być użyta poprzez odsyłacz lub poprzez skopiowanie. Częściej stosowane jest kopiowanie aktywu, które z kolei może być nie wskazane, gdy aktyw jest na bieżąco utrzymywany (pielęgnowany) przez odpowiednią komórkę. W takim przypadku kopiowanie powoduje, że akcje usunięcia błędów i modyfikacje wprowadzane na bieżąco przez opiekunów aktywu nie będą automatycznie propagowane do kopii funkcjonujących w nowszych i pozornie doskonalszych systemach. PRZYKAAD: Przykładem czarnej skrzynki może być np. biblioteka procedur w postaci skompilowanej czy też zamknięty pod względem formy formularz. 5 4.2.3. Gray box Element pośredni między modelem czarnej, a białej skrzynki. W modelu szarej skrzynki konstruktor aktywu będzie mógł określić, które części aktywu i dla jakich użytkowników będą widoczne. 4.2.4. Glass box Model szklanej skrzynki. Przy tym modelu zarówno budowa aktywu, jak i jego cechy zewnętrzne są widoczne, chociaż nie można ich zmienić. Znajomość budowy aktywu i zrozumienie zasad jego działania sprzyjają właściwemu stosowaniu, ale niemożność dokonania jakichkolwiek zmian może być zródłem frustracji. Rys.1. Przedstawienie graficzne niektórych elementów podziału modeli ze względu na ich relacje do modelowania systemu. Żródło: opracowanie własne. 6 5. Tworzenie modeli matematycznych Tworzenie modelu matematycznego obejmuje trzy główne etapy: " specyfikację modelu " identyfikację modelu " weryfikację modelu " 6. Metody matematyczne przedstawione na konkretnym przykładzie 6.1. Optymalny system dynamiczny Zastosowana w nim optymalizacja wraz z symulacją dynamiki, pozwala na ocenę oraz wybór, takich rozwiązań, które były najlepiej oceniane przez pryzmat przyjetych (zamodelowanych) kryteriów jakości. Mierzyły one długookresowe skutki polityk decyzyjnych, funkcjonujacych w systemie, a dotyczących m.in. produkcji, zapasów, sprzedaży, zaopatrzenia w surowce. Rys.2. Elementarne sprzężenia w optymalnym modelu dynamicznym przy maksymalizacji zysku. yródło: opracowanie własne. 7 Rysunek 2 przedstawia główne sprzężenie związane z optymalizacją (maksymalizacją zysku zastosowaną n amodelu budowanym według filozofii Dynamiki Systemowej. Rys.3. Elementarne sprzężenia w optymalnym modelu dynamicznym przy minimalizacji kosztów. yródło: opracowanie własne. 8 7. Podsumowanie Modele matematyczne pozwalaja zobaczyć strukturę projektowanych systemów oraz efekt wzmocnienia występujący w tych strukturach. Współdziałanie istniejących modeli matematycznych wyznacza dynamikę zachowań się systemu. Trudności w wybieraniu modelu matematycznego oraz jego wpływu na zachowanie systemu jako całości, moga byc przezwyciężone przez dalsze badania deoretyczne oraz przez szerszy niz ma to miejsce obecnie opis struktur w modelach złożonych systemów w literaturze przedmiotu. 9 Bibliografia [1] Kasperska E.,Mateja-Losa E., Słota D., Some dynamics balance of production via optimization and simulation with System Dynamics method, in: Proc. 19th International Conference of the System Dynamics Society, J. H. hines, V. G. Diker, R. S. Langer, J. I. Rowe, ed., SDS, 2001, 1-18. [2] Kasperska E., Mateja-Losa E., Słota D., Optimal dynamic balance of raw materials some concept of embedding optimization in simulation on system dynamics models and vice versa, in: Proc. 20 International Conference of the SystemDynamics Society, p. I. Davidsen, E. Mollona, V. G. Diker, R. S. langer, J. I. Rowe, ed., SDS, 2002, 1-23. [3] opracowanie własne. {4} Kasperska E., Mateja-Losa E., Modele matematyczne wybranych archetypów systemowych i ich symulacja, Zeszyty Naukowe. Matematyka Fizyka/Politechnika Śląska, 2004, 91. [5] http://www.maths.com.pl/?q=analiza [6] http://www.sms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/inzynieriasystemow/modeleimodelo wanie.pdf 10 Spis rysunków Rys.1. Przedstawienie graficzne niektórych elementów podziału modeli ze względu na ich relacje do modelowania systemu. Żródło: opracowanie własne.........................................................................................................6 Rys.2. Elementarne sprzężenia w optymalnym modelu dynamicznym przy maksymalizacji zysku. yródło: opracowanie własne.........................................................................................................7 Rys.3. Elementarne sprzężenia w optymalnym modelu dynamicznym przy minimalizacji kosztów. yródło: opracowanie własne......................................................................................................8 11