MODELE MATEMATYCNE
1. Modelowanie
jest matematycznym opisem zachowania się elementów automatyki i
obiektów regulacji, niezbędnym do przeprowadzenia analizy i syntezy ich
działania
2. Równania ró\
niczkowe
Tworząc model wykorzystujemy prawa fizyczne rządzące konkretnym
układem (np. prawa Newtona, prawa Kirchhoffa, równanie bilansu masy,
zasadę zachowania energii, itp.)
Równanie ró\
niczkowe wyra\
ające zale\
ność pomiędzy sygnałami
wejściowym i wyjściowym nazywa się równaniem dynamiki (równaniem
ruchu). Postać równania dynamiki lub transmitancja określona z tego
równania stanowi kryterium, według którego klasyfikuje się człony
automatyki. Równania dynamiki powinny być sprowadzone do postaci:
n n-1 m m-1
d y d y d x d x
an n + an-1 n-1 +,...,+a0 y = bm m + bm-1 m-1 +,...,+b0 x
dt dt dt dt
Gdzie n e"
e" m
e"
e"
Poni\
ej przedstawiono parę równań opisujących podstawowe człony w
automatyce
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff� [e-mail]
2.1 Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
y(t)=Kx(t)
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
k  współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności) członu
2.2 Człon całkujący (bezinercyjny)
Idealnym członem całkującym nazywamy układ opisany równaniem
dy(t) dy(t)
T = x(t) lub = Kx(t)
dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  stała czasowa (czas wzmocnienia)
K  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
2.3 Człon inercyjny
dy(t)
T + y(t) = K �" x(t)
dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  stała czasowa
K  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
2.4 Człon ró\
niczkujący
2.4.1 Idealny człon ró\
niczkujący
dx(t)
y(t) = K �"
dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
K  współczynnik wzmocnienia
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff� [e-mail]
2.4.2 Rzeczywisty człon ró\
niczkujący
TD dy(t) dx(t)
+ y(t) = TD �"
KD dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
TD  stała czasowa ró\
niczkowania
KD  dynamiczny współczynnik wzmocnienia członu
2.5 Człon oscylacyjny (drugiego rzędu)
2
d y(t) dy(t)
2
T + 2�T + y(t) = K �" x(t)
2
dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  okres oscylacji własnych członu
K  współczynnik wzmocnienia członu
� - względny współczynnik tłumienia
2.6 Człon opóz
niający
y(t) = K �"1(t -� ) �" x(t -� )
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
K  współczynnik wzmocnienia członu
� - czas opóz
nienia
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff� [e-mail]