MODELE MATEMATYCNE
1. Modelowanie
jest matematycznym opisem zachowania się elementów automatyki i
obiektów regulacji, niezbędnym do przeprowadzenia analizy i syntezy ich
działania
2. Równania ró\
niczkowe
TworzÄ…c model wykorzystujemy prawa fizyczne rzÄ…dzÄ…ce konkretnym
układem (np. prawa Newtona, prawa Kirchhoffa, równanie bilansu masy,
zasadÄ™ zachowania energii, itp.)
Równanie ró\
niczkowe wyra\
ajÄ…ce zale\
ność pomiędzy sygnałami
wejściowym i wyjściowym nazywa się równaniem dynamiki (równaniem
ruchu). Postać równania dynamiki lub transmitancja określona z tego
równania stanowi kryterium, według którego klasyfikuje się człony
automatyki. Równania dynamiki powinny być sprowadzone do postaci:
n n-1 m m-1
d y d y d x d x
an n + an-1 n-1 +,...,+a0 y = bm m + bm-1 m-1 +,...,+b0 x
dt dt dt dt
Gdzie n e"
e" m
e"
e"
Poni\
ej przedstawiono parę równań opisujących podstawowe człony w
automatyce
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff® [e-mail]
2.1 Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
y(t)=Kx(t)
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
k  współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności) członu
2.2 Człon całkujący (bezinercyjny)
Idealnym członem całkującym nazywamy układ opisany równaniem
dy(t) dy(t)
T = x(t) lub = Kx(t)
dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  stała czasowa (czas wzmocnienia)
K  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
2.3 Człon inercyjny
dy(t)
T + y(t) = K Å" x(t)
dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  stała czasowa
K  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
2.4 Człon ró\
niczkujÄ…cy
2.4.1 Idealny człon ró\
niczkujÄ…cy
dx(t)
y(t) = K Å"
dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
K  współczynnik wzmocnienia
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff® [e-mail]
2.4.2 Rzeczywisty człon ró\
niczkujÄ…cy
TD dy(t) dx(t)
+ y(t) = TD Å"
KD dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
TD  stała czasowa ró\
niczkowania
KD  dynamiczny współczynnik wzmocnienia członu
2.5 Człon oscylacyjny (drugiego rzędu)
2
d y(t) dy(t)
2
T + 2¾T + y(t) = K Å" x(t)
2
dt dt
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
T  okres oscylacji własnych członu
K  współczynnik wzmocnienia członu
¾ - wzglÄ™dny współczynnik tÅ‚umienia
2.6 Człon opóz
niajÄ…cy
y(t) = K Å"1(t -Ä ) Å" x(t -Ä )
gdzie:
y(t)  sygnał wyjściowy
x(t)  sygnał wejściowy
K  współczynnik wzmocnienia członu
Ä - czas opóz
nienia
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff® [e-mail]