1 Struktury algebraiczne
1.1 Grupa
Definicja 1.1 Działaniem w zbiorze niepustym A nazywamy każde
odwzorowanie
f : A × A A.
Definicja 1.2 Działanie ć% określone w zbiorze A jest łączne, jeżeli
"a,b,c"A (a ć% b) ć% c = a ć% (b ć% c).
Definicja 1.3 Działanie ć% określone w zbiorze A jest przemienne,
jeżeli
"a,b"A a ć% b = b ć% a.
Definicja 1.4 Element e " A nazywa siÄ™ elementem neutralnym
działania ć%, jeżeli
"a"A a ć% e = e ć% a = a.
Twierdzenie 1.1 W zbiorze A, w którym określone jest działanie
ć%, istnieje co najwyżej jeden element neutralny działania ć%.
Definicja 1.5 Niech działanie ć% określone w zbiorze A posiada ele-
ment neutralny e. Element a " A nazywamy elementem odwrotnym
do elementu a " A, jeżeli
a ć% a = a ć% a = e.
Definicja 1.6 Zbiór V , w którym określone jest działanie ć%, nazy-
wamy grupą, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. działanie ć% jest łączne
2. istnieje element neutralny e " V działania ć%
3. dla każdego a " V istnieje element odwrotny
1
Definicja 1.7 Grupa, w której działanie jest przemienne, nazywa
siÄ™ grupÄ… abelowÄ… (przemiennÄ…).
Twierdzenie 1.2 W dowolnej grupie V dla każdego a " V istnieje
dokładnie jeden element odwrotny.
1.2 Ciało
Definicja 1.8 Niech dany bÄ™dzie zbiór A z dwoma dziaÅ‚aniami •", .
Mówimy, że dziaÅ‚anie jest rozdzielne wzglÄ™dem dziaÅ‚ania •", jeżeli
"a,b,c"A a (b •" c) = (a b) •" (a c) (" (b •" c) a = (b a) •" (c a)
Definicja 1.9 Zbiór V , w którym okreÅ›lone sÄ… dwa dziaÅ‚ania •", ,
nazywamy ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. V jest grupÄ… abelowÄ… wzglÄ™dem dziaÅ‚ania •"
2. V \{e•"} jest grupÄ… wzglÄ™dem dziaÅ‚ania
3. dziaÅ‚anie jest rozdzielne wzglÄ™dem dziaÅ‚ania •"
Twierdzenie 1.3 Jeżeli (K, +, ·) jest ciaÅ‚em, to
"a"K a · e+ = e+ · a = e+.
2
2 Ciało liczb zespolonych
Definicja 2.1 Rozważmy zbiór C = R × R. W zbiorze C okreÅ›lamy
dwa dziaÅ‚ania •", , które bÄ™dziemy nazywali dodawaniem i mnoże-
niem:
1. (a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami
na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone są
dziaÅ‚ania •", , bÄ™dziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C
zbiorem liczb zespolonych.
Twierdzenie 2.1 Zbiór liczb zespolonych jest ciałem względem dzi-
aÅ‚aÅ„ •", .
Definicja 2.2 Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.
Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną z = a - bi.
Å»
Twierdzenie 2.2
1. z = z
Å»
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 - z2 = z1 - z2
4. z1z2 = z1 · z2

z1 z1
5. = (z2 = 0).

z2 z2
Definicja 2.3 Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który
"
oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbÄ™ rzeczywistÄ… a2 + b2
Twierdzenie 2.3 Niech z1 = |z1|(cos Õ1+i sin Õ1) oraz z2 = |z2|(cos Õ2+
i sin Õ2). Wówczas
3
1. z1z2 = |z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2)),
tzn. |z1z2| = |z1||z2| oraz arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
|z1|
z1
2. = (cos(Õ1 - Õ2) + i sin(Õ1 - Õ2)),
z2 2|
|z

z
|z1|
z1
1
tzn. = oraz arg = arg z1 - arg z2.
z
|z2| z2
2
Definicja 2.4 (wzór de Moivre a)
[|z|(cos Õ + i sin Õ)]n = |z|n(cos nÕ + i sin nÕ)
Twierdzenie 2.4 Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi
nierówność
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|
Definicja 2.5 Niech n " N. Pierwiastkiem stopnia n liczby ze-
spolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że
wn = z.
Twierdzenie 2.5 Każda różna od zera liczba zespolona z = |z|(cos Õ+
i sin Õ) ma dokÅ‚adnie n pierwiastków stopnia n postaci:

Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
|z|(cos Õ + i sin Õ) = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1.
Twierdzenie 2.6 Jeżeli wk, gdzie k = 0, 1, . . . , n-1, są pierwiastka-
mi stopnia n z liczby z, to

2kĄ 2kĄ
wk = w0 cos + i sin
n n
4
3 Wielomiany
Definicja 3.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n "
N *" {0} nazywamy funkcjÄ™ W : R - R
(W : C - C) określoną wzorem
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
gdzie ak " R (ak " C) dla 0 d" k d" n oraz an = 0. Liczby ak nazywamy

współczynnikami wielomianu W .
Definicja 3.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R
resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x " R (x " C) spełniony jest warunek
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od reszty dzielnika Q. Jeżeli R(x) a"
0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.
Definicja 3.3 LiczbÄ™ rzeczywistÄ… (zespolonÄ…) x0 nazywamy pier-
wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x0) =
0.
Twierdzenie 3.1 (Bézout) Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)P (x)
Definicja 3.4 Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)kP (x)
5
oraz P (x0) = 0

Twierdzenie 3.2 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba
całkowita p = 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-

nikiem wyrazu wolnego a0.
Twierdzenie 3.3 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz
p
niech liczba wymierna , gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie
q
pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-
nikiem współczynnika a0 a q jest dzielnikiem współczynnika an tego
wielomianu.
Twierdzenie 3.4 (zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomi-
an zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek
zespolony.
Twierdzenie 3.5 Każdy wielomian stopnia n " N ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
Twierdzenie 3.6 Niech W będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k-krotnym pierwiastkiem
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z0 jest pierwiastkiem
k-krotnym tego wielomianu.
Definicja 3.5 FunkcjÄ… wymiernÄ… rzeczywistÄ… (zespolonÄ…) nazywamy
iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).
6
Definicja 3.6 Funkcje wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień
wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Definicja 3.7 (ułamki proste)
1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespolona funkcję
wymiernÄ… postaci
A
(z + a)n
gdzie a, A " C, n " N
2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy
rzeczywistÄ… funkcjÄ™ wymiernÄ… postaci
A
(x + a)n
gdzie a, A " R, n " N
3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy
rzeczywistÄ… funkcjÄ™ wymiernÄ… postaci
Ax + B
(x2 + px + q)n
gdzie p, q, A, B " R, n " N przy czym
" = p2 - 4q < 0.
Twierdzenie 3.7 Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista
(zespolona) jest sumą rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.
Przedstawienie to jest jednoznaczne.
1. zespolona funkcja wymierna właściwa
P (z)
1 2 m
an(z - z1)k (z - z2)k . . . (z - zm)k
jest sumą k1 + k2 + . . . + km zespolonych ułamków prostych,
i
przy czym czynnikowi (z - zi)k odpowiada suma ki ułamków
prostych postaci:
7
A1 A2 Ak
i
+ + . . . + ,
i
z - zi (z - zi)2 (z - zi)k
gdzie A1, A2, . . . , Ak " C dla 1 d" i d" m.
i
2. rzeczywista funkcja wymierna właściwa
P (x)
1 r 1 s
an(x - x1)k . . . (x - xr)k (x2 + p1x + q1)l . . . (x2 + psx + qs)l
jest sumą k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych I
rodzaju oraz l1 + l2 + . . . + ls rzeczywistych ułamków prostych
II rodzaju, przy czym
i
" czynnikowi (x - xi)k odpowiada suma ki ułamków prostych
I rodzaju postaci:
A1 A2 Ak
i
+ + . . . + ,
i
x - xi (x - xi)2 (x - xi)k
gdzie A1, A2, . . . , Ak " R dla 1 d" i d" r.
i
j
" czynnikowi (x2 + pjx + qj)l odpowiada suma lj ułamków
prostych II rodzaju postaci:
Bl x + Cl
B1x + C1 B2x + C2
j j
+ + . . . + ,
j
(x2 + pjx + qj) (x2 + pjx + qj)2 (x2 + pjx + qj)l
gdzie B1, B2, . . . , Bl , C1, C2, . . . , Cl " R
j j
dla 1 d" i d" s.
8
4 Przestrzeń liniowa
4.1 Definicja i własności przestrzeni liniowej
Definicja 4.1 Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy odw-
zorowanie f : F × A - A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.
Definicja 4.2 PrzestrzeniÄ… liniowÄ… (wektorowÄ…) nad ciaÅ‚em (K, +, ·)
nazywamy strukturÄ™ algebraicznÄ… (V, K, •", ) zÅ‚ożonÄ… ze zbiorów V i
K, dziaÅ‚ania •" : V × V - V i dziaÅ‚ania zewnÄ™trznego : K × V -
V , która spełnia warunki:
1. (V, •") jest grupÄ… abelowÄ…
2. "x"V 1 x = x (1 oznacza jedynkę ciała K)
3. "Ä…"K "x,y"V Ä… (x •" y) = Ä… x •" Ä… y
4. "Ä…,²"K "x"V (Ä… + ²) x = Ä… x •" ² x
5. "Ä…,²"K "x"V (Ä… · ²) x = Ä… (² x)
Twierdzenie 4.1 Niech dana bÄ™dzie przestrzeÅ„ liniowa (V, K, +, ·).
Wówczas
1. "Ä…"K "x"V Ä…x = ¸ Ô! Ä… = 0 (" x = ¸
2. "Ä…"K "x"V Ä…(-x) = (-Ä…)x = -Ä…x
3. "Ä…"K "x,y"V Ä…(x - y) = Ä…x - Ä…y
4. "Ä…,²"K "x"V (Ä… - ²)x = Ä…x - ²x
4.2 Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej
Definicja 4.3 Zbiór W ‚" V nazywamy podprzestrzeniÄ… liniowÄ…
przestrzeni V nad ciałem K, jeżeli spełnione są warunki:
1. "x,y"W x + y " W
2. "Ä…"K "x"W Ä…x " W
9
Twierdzenie 4.2 Niech U i W będą podprzestrzeniami przestrzeni
liniowej V nad ciałem K.
1. U )" W jest podprzestrzeniÄ… przestrzeni V
2. U *" W jest podprzestrzeniÄ… przestrzeni V Ð!Ò! U ‚" W lub
W ‚" U
4.3 Powłoka liniowa
Definicja 4.4 Niech (x1, x2, . . . , xk) będzie skończonym układem
wektorów przestrzeni liniowej (V, K, +, ·). Wektor
x = Ä…1x1 + Ä…2x2 + . . . + Ä…kxk,
gdzie (ą1, ą2, . . . , ąk) jest układem skalarów ciała K, nazywamy kombi-
nacja liniową wektorów x1, x2, . . . , xk. Skalary ą1, ą2, . . . , ąk nazywamy
współczynnikami kombinacji liniowej. O wektorze x mówimy też, że
wyraża się on liniowo przez wektory x1, x2, . . . , xk.
Definicja 4.5 Niech V będzie przestrzenią liniowa nad ciałem K i
niech x1, x2, . . . , xk " V . Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wek-
torów x1, x2, . . . , xk nazywamy powłoką liniową rozpiętą na wektorach
x1, x2, . . . , xk lub powłoką na zbiorze {x1, x2, . . . , xk} i oznaczmy przez
Lin{x1, x2, . . . , xk}
Definicja 4.6 Jeżeli B = LinA, to mówimy, że zbiór B jest gen-
erowany przez zbiór A. Elementy zbioru A nazywamy wtedy genera-
torami zbioru B.
Twierdzenie 4.3 Niech A, B ‚" V , gdzie V jest przestrzeniÄ… liniowa
nad ciałem K.
10
1. A ‚" B =Ò! LinA ‚" LinB
2. zbiór LinA jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i jest to
najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca zbiór A
4.4 Liniowa zależność i niezależność wektorów
Definicja 4.7 UkÅ‚ad wektorów (x1, x2, . . . , xk) przestrzeni (V, K, +, ·)
nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli dla dowolnego układu skalarów
(ą1, ą2, . . . , ąk) spełniony jest warunek:
k

Ä…ixi = ¸ =Ò! "1d"id"k Ä…i = 0
i=1
Definicja 4.8 UkÅ‚ad wektorów (x1, x2, . . . , xk) przestrzeni (V, K, +, ·)
nazywamy liniowo zależnym, jeżeli nie jest liniowo niezależny, tzn. jeżeli
istnieje nietrywialna kombinacja liniowa wektorów tego układu równa
¸.
Twierdzenie 4.4 UkÅ‚ad wektorów (x1, x2, . . . , xk) przestrzeni (V, K, +, ·),
gdzie k > 1, jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego
r = 1, 2, . . . , k wektor xr jest kombinacją liniową pozostałych wektorów
tego układu.
Twierdzenie 4.5 Układ (x), składający się z jednego wektora, jest
liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy x = ¸.
Twierdzenie 4.6 Układ wektorów (x1, x2, . . . , xk), zawierający po-
dukład liniowo zależny jest liniowo zależny.
Wniosek 4.1 Układ wektorów zawierający wektor zerowy jest lin-
iowo zależny.
11
Twierdzenie 4.7 (Steinitza) Niech x1, x2, . . . , xk " V , gdzie V jest
przestrzenią liniową. Jeżeli wektory
y1, y2, . . . , yn " Lin{x1, x2, . . . , xk}
są liniowo niezależne, to n d" k.
Definicja 4.9 Nieskończony układ wektorów przestrzeni liniowej
jest liniowo zależny, jeżeli każdy jego skończony podzbiór jest liniowo
niezależny. W przeciwnym wypadku nazywamy go liniowo zależnym.
4.5 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
Definicja 4.10 BazÄ… przestrzeni liniowej (V, K, +, ·) nazywamy zbiór
B liniowo niezależnych wektorów taki, że LinB = V .
Twierdzenie 4.8 Jeżeli przestrzeÅ„ liniowa (V, K, +, ·) ma bazÄ™ n-
elementową, to każda baza tej przestrzeni składa się z n elementów.
Definicja 4.11 Jeżeli przestrzeń liniowa V ma bazę skończoną, to
liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V i oz-
naczamy przez dimV .
Definicja 4.12 Przestrzeń liniowa nie mająca skończonej bazy nazy-
wa się przestrzenią nieskończenie wymiarową. Piszemy wówczas dimV =
".
4.6 Współrzędne wektora w bazie
Twierdzenie 4.9 Niech B = {x1, x2, . . . , xn} będzie bazą przestrzeni
liniowej V nad ciałem K oraz niech y będzie dowolnym wektorem tej
przestrzeni. Wtedy przedstawienie wektora y w postaci kombinacji lin-
iowej wektorów z bazy B jest jednoznaczne, tzn. istnieją jednoznacznie
określone skalary ąi " K, gdzie 1 d" i d" n, takie, że
12
y = Ä…1x1 + Ä…2x2 + . . . + Ä…nxn
Definicja 4.13 Niech B = {x1, x2, . . . , xn} będzie bazą przestrzeni
liniowej V nad ciałem K. Współrzędnymi wektora y " V w bazie B
nazywamy współczynniki ąi " K, gdzie 1 d" i d" n, kombinacji liniowej
przedstawiajÄ…cej ten wektor w tej bazie:
y = Ä…1x1 + Ä…2x2 + . . . + Ä…nxn
Współrzędne wektora y w ustalonej bazie zapisujemy w postaci:
[Ä…1, Ä…2, . . . , Ä…n]
13