WYKA
AD X
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Definicja: PochodnÄ… funkcji y=f(x) nazywamy granicÄ™
ilorazu przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu
w postaci:
"f f (x + "x)- f (x)
(*)
2
f (x) = =
lim lim
"x0 "x0
"x "x
gdzie: "x jest przyrostem argumentu,
"f =f(x+ "x)-f(x) jest przyrostem wartości funkcji,
odpowiadajÄ…cej przyrostowi argumentu .
Pochodną dowolnej funkcji można obliczyć z definicji
podanej we wzorze (*). Pokażemy to na poniższym
1
przykładzie.
Przykład 1
f (x) = 2x2 - 3x + 5
Obliczyć pochodną funkcji
f (x + "x)
Rozwiązanie: Aby obliczyć pochodną z definicji obliczymy
Zatem
2 2
f (x + "x) = 2(x + "x) - 3(x + "x)+ 5 = 2x2 + 4x"x + 2("x) - 3x - 3"x + 5
Po wstawieniu do (*) otrzymujemy:
2
[2x2 + 4x"x + 2("x) - 3x - 3"x + 5]-(2x2 - 3x + 5)=
2
f (x)=
lim
"x0
"x
"x(4x + 2"x - 3)
= = 4x - 3
lim
"x0
"x
2
Podstawowe wzory
Najważniejsze wzory na obliczanie pochodnych:
dla dowolnej liczby naturalnej n
1.(xn)2 = nxn-1
dla dowolnej liczby rzeczywistej r
2.(xr)2 = rxr-1
(pochodna ex jest tÄ… samÄ… funkcjÄ…)
3.(ex)2 = ex
1
4.(ln x)2 =
dla x>0
x
5.(sin x)2 = cos x; (cos x)2 = -sin x
1 1
6.(arcsin x)2 = ; (arccos x)2 = -
1- x2 1- x2
1 1
3
7.(arctgx)2 = ; (arcctgx)2 = -
1+ x2 1+ x2
Przykład 2.
( )2 = ( )2 = =
( )2 = x2 2x x0 0x-1 0
Ad 1) x4 4x3
2
ëÅ‚ öÅ‚ 4
1
( )2 -
= = = -
Ad 2) ìÅ‚ ÷Å‚ x-4 4x-5
íÅ‚ x4 Å‚Å‚ x5
2
2 1
2
-
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
3
3
ìÅ‚ ÷Å‚
( x2) = x3 ÷Å‚ = x =
ìÅ‚
3
33 x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2
3
ëÅ‚ -1 öÅ‚ -
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ = = - =
x x
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ x Å‚Å‚ 3 x x
íÅ‚ Å‚Å‚
4
Własności pochodnych
Do obliczania pochodnych funkcji oprócz wzorów 1-5,
wykorzystujemy pewne własności, które można zapisać w
postaci:
, gdzie c oznacza dowolną stałą
2
a) [c Å" f (x)]2 = cf (x)
Własność ta pozwala wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.
Pochodna sumy bÄ…dz

2 2
b) [f (x)Ä… g(x)]2 = f (x)Ä… g (x)
różnicy dwóch funkcji jest sumą (różnicą) pochodnych tych funkcji.
2 2
c) [f (x)Å" g(x)]2 = f (x)Å" g(x)+ f (x)Å" g (x)
Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest sumą iloczynów pochodnej
jednej funkcji przez drugÄ… funkcjÄ™.
5
2
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
f (x) f (x)Å" g(x)- f (x)Å" g (x); g(x)`" 0
d)
ïÅ‚
2
g(x)śł =
[g(x)]
ðÅ‚ ûÅ‚
Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest ilorazem różnicy
iloczynu pochodnej funkcji występującej w liczniku przez
funkcjÄ™ z mianownika i iloczynu funkcji z licznika przez
pochodnÄ… funkcji z mianownika przez kwadrat funkcji
występującej w mianowniku.
2 2
e) {f [u(x)]}2 = f (u)Å"u (x)
Pochodna funkcji złożonej jest iloczynem pochodnej funkcji
zewnętrznej f(u) przez pochodną funkcji wewnętrznej u(x).
6
Przykład 3
a) (10x5)2 = 10Å"5x4 = 50x4
b) (4x3 +12x + 5cos x)2 = 4(x3)2 +12(x)2 + 5(cos x)2 = 12x2 +12 - 5sin x
c)[(3x3 + 5)sin x]2 = (3x3 + 5)2 sin x +(3x3 + 5)(sin x)2 =
= 9x2 sin x +(3x3 + 5)cos x
2
sin x (sin x)2 cos x - sin x(cos x)2 cos2 x + sin2 x 1
ëÅ‚ öÅ‚
d) (tgx)2 = = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
cos x cos2 x cos2 x cos2 x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
cos x (cos x)2 sin x - cos x(sin x)2 - sin2 x - cos2 x 1
ëÅ‚ öÅ‚
(ctgx)2 = = = = -
ìÅ‚ ÷Å‚
sin x sin2 x sin2 x sin2 x
íÅ‚ Å‚Å‚
e)[sin(5x2 + 3)]2 = cos(5x2 + 3)Å"(5x2 + 3)2 +10x cos(5x2 + 3)
(x)
= +
u 5x2 3
W tym przykładzie, funkcją wewnętrzną jest funkcja
(sin u )2
Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej =
cos u
2
(5x 3)2
(x)
= + =710 x
i mnożymy ją przez pochodną funkcji wewnętrznej u2
Interpretacja geometryczna
pochodnej funkcji w punkcie
B
f (x0 + "x)
f (x0 + "x)- f (x0)
A
Õ
f (x0)
f (x0 + "x)- f (x0)
C
"x
tgÕ =
"x
f (x0 + "x)- f (x0 )
2
f (x0 ) = = tgÄ…
lim
"x0
"x
Ä…
x0 x0 + "x
Rys. 4. Graficzna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie
8
Opis rysunku: Niech punkt A posiada współrzędne (x0, f(x0)),
natomiast punkt B współrzędne (x0+"x, f(x0+"x)), gdzie "x
jest przyrostem argumentu funkcji, zaÅ› C(x0+"x, f(x0)).
Rozważmy trójkąt ABC.
A
atwo zauważyć, że tangens kąta BAC wynosi:
f (x0 + "x)- f (x0)
tgÕ =
"x
Ponadto, jeśli przyrost argumentu "x dąży do zera, tzn. "x0,
wówczas punkt B zbliża się do punktu A, zaś sieczna
przechodząca przez punkty A i B dąży do stycznej funkcji w
punkcie A. Ostatecznie otrzymujemy, że
f (x0 + "x)- f (x0)
2
f (x)= lim = tgÄ…
"x0
"x
gdzie Ä… jest kÄ…tem nachylenia stycznej do funkcji w punkcie A.
9
Zastosowanie pochodnej do badania
przebiegu funkcji
1. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz f 2 (x) jest
dodatnia w tym przedziale (f 2 (x) >0), wówczas funkcja f(x) jest
rosnÄ…ca w przedziale (a,b).
2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz f 2 (x) jest
ujemna w tym przedziale (f 2 (x) <0), wówczas funkcja f(x) jest
malejÄ…ca w przedziale (a,b).
3. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz w pewnym
punkcie x0" (a,b) pochodna funkcji jest równa zero, tzn. f 2 (x0)=0, oraz
jeżeli ponadto f 2 (x0)<0 dla x0 dla x>x0 wówczas funkcja
f(x) osiÄ…ga minimum lokalne w punkcie x0.
4. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz w pewnym
punkcie x0" (a,b) pochodna funkcji jest równa zero, tzn. f 2 (x0)=0, oraz
jeżeli ponadto f 2 (x0)>0 dla xx0 wówczas funkcja
f(x) osiÄ…ga maximum lokalne w punkcie x0.
10
Przykład 4
Dana jest funkcja y=8x3-x2-x+2. Wyznaczyć przedziały
monotoniczności funkcji oraz punkty, w których funkcja
osiÄ…ga ekstrema.
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy pochodnÄ… y'=24x2-2x-1.
Badamy znak pochodnej:
24x2 - 2x -1 > 0
2
" = b2 - 4ac = (- 2) - 4Å"24Å"(-1)=100
2 +10 12 1
2 -10 8 1
x2 = = =
x1 = = - = -
48 48 4
48 48 6
11
Wykonamy wykres
pochodnej:
+ +
-
1 1
öÅ‚
Funkcja rosnÄ…ca
2
f (x)> 0 Ô! x "ëÅ‚- ",- *"ëÅ‚ ,+"öÅ‚ Ô! f Ä™!
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
öÅ‚ Funkcja malejÄ…ca
2
f (x)< 0 Ô! x "ëÅ‚- , Ô! f “!
ìÅ‚ ÷Å‚
6 4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
x = -
Ponadto funkcja posiada maksimum dla
6
1
12
oraz minimum dla
x =
4