Ekonometria
Metody ilościowe w ekonomii
statystyka opisowa i matematyczna
programowanie matematyczne
analiza przepływów międzygałęziowych
ekonometria
ekonometria
analiza szeregów czasowych
teoria gier
ekonomia matematyczna
2
Definicje ekonometrii
& jest naukÄ… i sztukÄ… stosowania metod
statystycznych do mierzenia relacji
ekonomicznych (G. C. Chow)
& to nauka zajmujÄ…ca siÄ™ ustalaniem, za
& to nauka zajmujÄ…ca siÄ™ ustalaniem, za
pomocÄ… metod statystycznych, konkretnych
ilościowych prawidłowości zachodzących w
\
yciu gospodarczym (O. Lange)
& to to, czym zajmujÄ… siÄ™ ekonometrycy
(A. S. Goldberger)
3
Model ekonometryczny
Jest to formalny opis stochastycznej
zale\
ności wyró\
nionej wielkości,
zjawiska lub przebiegu procesu
zjawiska lub przebiegu procesu
ekonomicznego od czynników, które
je kształtują, wyra\
ony w formie
pojedynczego równania lub układu
równań.
4
Klasyfikacja modeli
jedno- i wielorównaniowe,
liniowe i nieliniowe,
statyczne i dynamiczne,
przyczynowo-opisowe i symptomatyczne,
przyczynowo-opisowe i symptomatyczne,
proste, rekurencyjne i o równaniach łącznie
współzale\
nych.
5
Klasyfikacja danych
szeregi czasowe: przedstawiajÄ… stan
badanego zjawiska w kolejnych
jednostkach czasu
dane przekrojowe: opisujÄ… stan zjawiska w
dane przekrojowe: opisujÄ… stan zjawiska w
ustalonym czasie, ale w odniesieniu do
ustalonym czasie, ale w odniesieniu do
ró\
nych obiektów
dane panelowe (przekrojowo-czasowe),
obejmujące obie te płaszczyzny
równocześnie
Ekonometria 110010-0609 6
Model regresji prostej
yi = Ä…0 + Ä…1 Å" xi + µi
yi  zmienna objaśniana
x  zmienna objaśniająca
xi  zmienna objaśniająca
ą0  wyraz wolny (stała)
ą1  współczynnik regresji
µi  skÅ‚adnik losowy
7
Model regresji wielorakiej
yi = Ä…0 + Ä…1 Å" x1i + Ä…2 Å" x2i +... + Ä…k Å" xki + µi
zmiennych objaśniających mo\
e być wiele, ale
ich liczba nie mo\
e przekraczać liczby
ich liczba nie mo\
e przekraczać liczby
obserwacji
wa\
ne pojęcie: liczba stopni swobody
df = n  (k + 1)
stała i współczynniki regresji określane są
łącznie mianem parametrów strukturalnych
Ekonometria 110010-0609 8
Metoda najmniejszych kwadratów
MNK polega na wyznaczeniu takich oszacowań
a wektora parametrów ą
ą, dla którego suma
Ä…
Ä…
kwadratów reszt modelu jest najmniejsza.
Wektor reszt e to wektor ró\
nic między
wartościami empirycznymi a teoretycznymi
zmiennej objaśnianej:
e = y - w
= y - Xa
9
Oszacowania MNK
-1
a = XTX XTy
( )
y  wektor wartości zmiennej objaśnianej
X  macierz wartości zmiennych
objaśniających
10
Przykład: spo\
ycie alkoholu
spo\
ycie wódki i innych napojów alkoholowych
(oprócz wina i piwa) w przeliczeniu na alkohol
100% w litrach na osobÄ™ (dane: GUS):
2001: 1,7
2002: 1,7
2002: 1,7
2003: 2,4
2004: 2,5
2005: 2,5
pytanie: o ile średnio rośnie spo\
ycie napojów
alkoholowych z roku na rok?
11
Przykład: wyniki estymacji
wsp błąd t p
stand
Ä…0 1,44 0,22 6,55 0,008
Ä…1 0,24 0,07 3,43 0,038
12
Reszty MNK
MNK polega na wyznaczeniu takich oszacowań
a wektora parametrów ą
ą, dla którego suma
Ä…
Ä…
kwadratów reszt modelu jest najmniejsza.
Wektor reszt e to wektor ró\
nic między
wartościami empirycznymi a teoretycznymi
zmiennej objaśnianej:
e = y - w
= y - Xa
13
Przykład: reszty
obs y y teoret reszty
1 1,7 1,68 0,02
2 1,7 1,92 -0,22
3 2,4 2,16 0,24
3 2,4 2,16 0,24
4 2,5 2,40 0,10
5 2,5 2,64 -0,14
Åšrednia reszt:
-5,6E-18
14
Zało\
enia klasycznej MNK
zmienne objaśniające są nielosowe i
nieskorelowane ze składnikiem losowym
macierz zmiennych objaśniających ma
pełny rząd kolumnowy: rz(X)= k+1 d" n
pełny rząd kolumnowy: rz(X)= k+1 d" n
wartość oczekiwania składnika losowego
jest równa zero
macierz wariancji i kowariancji wektora
składników losowych jest ilorazem
macierzy jednostkowej i stałej
15
Zało\
enia MNK
z innego punktu widzenia
Sztuka ekonometrii to umiejętność określenia
zbioru zało\
eń zarazem dostatecznie
konkretnego i dostatecznie realistycznego,
aby jak najlepiej wykorzystać dostępne
aby jak najlepiej wykorzystać dostępne
dane (E. Malinvaud)
[czyli, w wolnym tłumaczeniu P. Kennedy ego,
 sztuka wykreślania krzywej linii od
nieuzasadnionych zało\
eń do oczywistych
wniosków ]
16
Własności estymatorów MNK
Na mocy twierdzenia Gaussa  Markowa
estymator KMNK jest estymatorem:
liniowym,
zgodnym (zbie\
nym stochastycznie do Ä…),
zgodnym (zbie\
nym stochastycznie do Ä…),
nieobciÄ…\
onym: E(a) = Ä…,
najefektywniejszym (o najmniejszej
wariancji) w klasie liniowych i
nieobciÄ…\
onych estymatorów
17
Dodatkowe zało\
enie
W celu weryfikacji hipotez statystycznych
formułuje się często dodatkowe zało\
enie:
składnik losowy modelu ma rozkład
składnik losowy modelu ma rozkład
normalny o wartości oczekiwanej 0 i
skończonej stałej wariancji.
18
Interpretacja współczynników
regresji
Ocena (oszacowanie) ai parametru
strukturalnego ąi występującego przy
zmiennej Xi oznacza, o ile przeciętnie
zmiennej Xi oznacza, o ile przeciętnie
zmieniła się wartość zmiennej objaśnianej,
gdy przy nie zmienionych wartościach
innych zmiennych objaśniających (ceteris
paribus) wartość zmiennej Xi wzrosła o
jednostkÄ™.
19
Przykład: interpretacja
z ka\
dym kolejnym rokiem spo\
ycie wódki i
innych napojów alkoholowych (oprócz wina i
piwa) w litrach na osobę rośnie średnio o 0,24
litra na osobÄ™ w przeliczeniu na alkohol 100% [w
modelu regresji wielorakiej nale\
ałoby dodać
modelu regresji wielorakiej nale\
ałoby dodać
 ceteris paribus ]
w roku  zerowym (poprzedzającym zakres próby
zastosowanej do estymacji, czyli 2000) spo\
ycie
wódki i innych napojów alkoholowych wynosiło
ok. 1,44 litra na osobÄ™ w przeliczeniu na alkohol
100% [w rzeczywistości 2,0  zmiana trendu!
Por. dane_1_11.xls]
20
Inne metody estymacji
MNW (metoda największej wiarygodności):
modele nieliniowe, wielorównaniowe, o
heteroskedastycznym składniku losowym
UMM (uogólniona metoda momentów):
UMM (uogólniona metoda momentów):
dane panelowe
MZI (metoda zmiennych
instrumentalnych): zmienne objaśniające
skorelowane ze składnikiem losowym,
modele wielorównaniowe
21
Weryfikacja statystyczna
interpretacja współczynnika determinacji i/lub
kryteriów informacyjnych
test stopnia współliniowości zmiennych
objaśniających
testy istotności:
testy istotności:
podzbioru zmiennych objaśniających
poszczególnych zmiennych objaśniających
testy własności składnika losowego modelu:
autokorelacji
heteroskedastyczności
normalności rozkładu
22
Klasyczny R2
kryterium wewnątrzpróbowe: mierzy
dopasowanie tych obserwacji, które nale\
Ä… do
próby, ale nie daje informacji o wartości
prognostycznej modelu
niemalejÄ…ca funkcja liczby zmiennych
niemalejÄ…ca funkcja liczby zmiennych
objaśniających pokusa maksymalizacji R2
przez dodanie kolejnych zmiennych do modelu
interpretowalny jedynie, gdy zale\
ność
pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi
objaśniającymi jest liniowa, parametry modelu
oszacowano MNK, a model zawiera wyraz
wolny
23
Inne współczynniki determinacji
Skorygowany:
uwzględnia liczbę zmiennych i karze za
dodawanie zbędnych zmiennych
bardziej wiarygodny ni\
klasyczny R2
bardziej wiarygodny ni\
klasyczny R2
Niescentrowany:
stosowany w modelach szacowanych bez
wyrazu wolnego
Ekonometria 110010-0609 24
Kryteria informacyjne
ilość informacji zawarta w modelu definiowana
jest jako odległość danego modelu od
 prawdziwego i mierzona za pomocÄ…
logarytmu funkcji wiarygodności
idea kryterium informacyjnego: miara
idea kryterium informacyjnego: miara
stanowiąca równowagę między tą odległością a
oszczędną specyfikacją modelu
definiowane jako przeciętna wartość logarytmu
funkcji wiarygodności skorygowana o ró\
nie
zdefiniowanÄ… funkcjÄ™ straty
podstawowe: Akaike (AIC), Schwarza (SIC)
25
Kryteria informacyjne, c.d.
kryterium zarówno wewnątrz-, jak i
pozapróbowe (prognostyczne)
stosowane najczęściej w sytuacji, gdy badane
modele nie sÄ… zagnie\
d\
one, a teoria ekonomii
modele nie sÄ… zagnie\
d\
one, a teoria ekonomii
nie daje wskazówek co do wyboru
AIC karze za niepotrzebne zmienne w modelu
silniej ni\
SIC i skorygowany R2
26
Współczynnik korelacji liniowej
mierzy kierunek i siłę zale\
ności między
dwiema zmiennymi X i Y
cov(X,Y )
rXY =
rXY =
DX Å"DY
DX Å"DY
bezwzględna wartość rXY świadczy o sile
współzale\
ności zmiennych (stopniu
determinacji wartości jednej zmiennej przez
wartości drugiej zmiennej)
27
Współczynnik korelacji, c.d.
jest wielkością niemianowaną
rXY = rYX
jeśli rXY = 0, zmienne X i Y są nieskorelowane
jeśli r < 0, zmienne X i Y są skorelowane
jeśli rXY < 0, zmienne X i Y są skorelowane
ujemnie
jeśli rXY > 0, zmienne X i Y są skorelowane
dodatnio
28
Zapis współczynników korelacji
1 r12 L r1k Å‚Å‚
îÅ‚r1 Å‚Å‚ îÅ‚
ïÅ‚r
ïÅ‚r śł
1 L r2k śł
21
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
R =
Ro =
M M O M
M ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚r śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚r śł
rk 2 L 1
ðÅ‚ k1 ûÅ‚
ðÅ‚ k ûÅ‚
rij - współczynnik korelacji między Xi i Xj
ri - współczynnik korelacji między Y i Xi
29
Zastosowania
współczynników korelacji
model jest koincydentny, jeśli dla ka\
dej
zmiennej objaśniającej modelu spełniony jest
warunek sgn(ri) = sgn(ai), gdzie ai jest
oszacowaniem parametru strukturalnego przy
zmiennej objaśniającej Xi
zmiennej objaśniającej X
pomiar efektu katalizy, czyli zakłócenia
wyników estymacji modelu wskutek
występowania w modelu zmiennych 
katalizatorów
dobór zmiennych objaśniających do modelu
metodÄ… Hellwiga
30
Weryfikacja hipotez
hipoteza statystyczna: przypuszczenie co do
rozkładu populacji generalnej, którego
prawdziwość oceniana jest na podstawie wyników
próby losowej
test statystyczny: reguła rozstrzygająca, jakie
test statystyczny: reguła rozstrzygająca, jakie
wyniki próby pozwalają uznać sprawdzaną
wyniki próby pozwalają uznać sprawdzaną
hipotezę za prawdziwą, a jakie  za fałszywą
hipoteza podlegajÄ…ca weryfikacji nazywana jest
hipotezÄ… zerowÄ… (H0); jej zaprzeczenie  hipotezÄ…
alternatywnÄ… (H1)
hipotezÄ™ H1 uznaje siÄ™ za prawdziwÄ… w przypadku
odrzucenia H0
31
Weryfikacja hipotez, c.d.
obszar krytyczny: jeśli wynik próby nale\
y do
tego obszaru, to H0 jest odrzucana
błąd I rodzaju: odrzucenie hipotezy H0, która w
istocie jest prawdziwa (prawdopodobieństwo ą)
błąd II rodzaju: przyjęcie hipotezy H0, która w
błąd II rodzaju: przyjęcie hipotezy H0, która w
istocie jest fałszywa (prawdopodobieństwo 1 
Ä…)
przed przystÄ…pieniem do weryfikacji hipotezy
ustala się dopuszczalne prawdopodobieństwo
popełnienia błędu I rodzaju (najczęściej 1, 5
lub 10%)
32
Parametryczne testy istotności
słu\
Ä… do weryfikacji hipotez o tym, \
e
parametry rozkładu populacji generalnej
przyjmują ustalone wartości
hipotezy majÄ… postać H0: ² = ²0, H1: ² `" ²0,
hipotezy majÄ… postać H0: ² = ²0, H1: ² `" ²0,
gdzie ² jest dowolnym parametrem
rozkładu
najczęściej jesteśmy zainteresowani tylko
jednym parametrem rozkładu (średnią) i
konkretnÄ… wartoÅ›ciÄ… ²0 = 0
33
Test istotności zmiennej
H0: ² = 0 H1: ² `" 0
Hipoteza zerowa mówi, \
e badany parametr,
średnio rzecz biorąc, przyjmuje w populacji
wartość zero (czyli \
e zmienna nie ma
statystycznie istotnego wpływu na zmienną
objaśnianą).
34
Test istotności zmiennej, c.d.
do testowania H0 słu\
y statystyka t-
Studenta
jeśli spełnione jest zało\
enie o normalności
rozkładu składnika losowego modelu,
rozkładu składnika losowego modelu,
zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta z
n-(k+1) stopniami swobody
wartości krytyczne statystyki t-Studenta są
stablicowane dla danego poziomu istotności
Ä… oraz liczby stopni swobody
Ekonometria 110010-0609 35
Empiryczny poziom istotności
najni\
szy poziom istotności, przy którym nale\
y
odrzucić hipotezę zerową
nazywany te\
krańcowym lub dokładnym poziomem
istotności, gdy\
wyra\
a prawdopodobieństwo
popełnienia błędu I rodzaju
w większości pakietów ekonometrycznych
w większości pakietów ekonometrycznych
oznaczany najczęściej jako  wartość p lub  p-
value
pozwala weryfikować hipotezy o istotności
zmiennych modelu bez konieczności wyznaczania
statystyk testowych i sięgania do tablic
nie wymaga arbitralnego ustalenia poziomu
istotności ą
Ekonometria 110010-0609 36
Test istotności modelu
Hipotezę o jednoczesnej istotności wybranego
podzbioru zmiennych objaśniających
testuje się przy pomocy dwóch testów dla
du\
ych prób:
du\
ych prób:
uogólnionego testu Walda
testu LM (mno\
nika Lagrange a)
Ekonometria 110010-0609 37
Test Walda
oprócz modelu podstawowego szacujemy
model rozszerzony, z dodatkowymi
zmiennymi objaśniającymi xk+1, ...., xk+m i
sprawdzamy, czy sÄ… one statystycznie
istotne
istotne
jeśli składnik losowy ma rozkład normalny,
statystyka testu Walda ma rozkład F-
Snedecora z r1 = m oraz r2 = n-(k+1)-m
stopniami swobody (gdzie m jest liczbÄ…
dodatkowych zmiennych)
38
Względne błędy szacunku
OpisujÄ… precyzjÄ™ oszacowania konkretnego
parametru:
Saj
w
Sa =
Sa =
j
a
aj
Dopuszczalne są błędy względne nie
przekraczajÄ…ce 50%.
39
Test RESET
Regression Specification Error Test;
B.Ramsey [1969]
bardzo ogólny test, wykrywający wiele
błędów specyfikacji modelu:
błędów specyfikacji modelu:
pominięte zmienne objaśniające
korelację między zmienną objaśniającą a
składnikiem losowym
błędną postać funkcyjną
40
Test RESET, c.d.
idea: wiele nieliniowych funkcji mo\
na
przybli\
yć za pomocą wielomianów; zatem
je\
eli dodanie do zbioru regresorów ich
wy\
szych potęg znacząco poprawi dopasowanie
modelu, wskazuje to na złe dobranie jego
modelu, wskazuje to na złe dobranie jego
postaci funkcyjnej
pozwala wykryć błąd specyfikacji nawet w
modelach, w których tradycyjne miary jakości
(R2, statystyki istotności, test autokorelacji)
dajÄ… dobre rezultaty
Ekonometria 110010-0609 41
Test RESET, c.d.
wymaga oszacowania rozszerzonego modelu,
zawierającego potęgi wartości teoretycznych
wyznaczonych na podstawie wyjściowego
modelu (uwaga: mo\
na spodziewać się
współliniowości tych zmiennych, nie nale\
y
więc przesadzać z ich liczbą!)
więc przesadzać z ich liczbą!)
H0: współczynniki przy dodatkowych
zmiennych są łącznie równe 0
na podstawie R2 modelu rozszerzonego oblicza
siÄ™ statystykÄ™ mno\
nika Lagrange a (LM =
nÅ"R2) o asymptotycznym rozkÅ‚adzie Ç2 o liczbie
stopni swobody równej liczbie dodanych
zmiennych do równania modelu
42
Test Davidsona - McKinnona
sposób sprawdzenia poprawności specyfikacji
modelu, zwłaszcza wobec kilku alternatywnych
mo\
liwości modelowania wybranego zjawiska
model traktowany jest jako kompletny, jeśli
równanie konkurencyjne nie tłumaczy
równanie konkurencyjne nie tłumaczy
badanego zjawiska lepiej
szacowane sÄ… dwa modele o identycznej
postaci funkcyjnej i tej samej liczbie zmiennych
objaśniających, ale o rozłącznych zbiorach
zmiennych
43
Test Davidsona - McKinnona
(1)
Yi = Ä…0 +Ä…1 Å" X1i + ...+Ä…k Å" X + µi
ki
(2)
Yi = ²0 + ²1 Å" Z1i +...+ ²k Å" Zki +¾i
Po oszacowaniu modelu (1) teoretyczne
Po oszacowaniu modelu (1) teoretyczne
wartości zmiennej Y dodawane są jako zmienna
objaśniająca do modelu (2); jeśli zmienna ta
okazuje siÄ™ statystycznie nieistotna, model (2)
jest traktowany jako kompletny. Procedura ta
jest następnie powtarzana po odwróceniu
kolejności modeli (1) i (2).
Ekonometria 110010-0609 44
Zasada Goodharta
Wszystkie modele ekonometryczne
przestają działać w momencie, gdy
przestają działać w momencie, gdy
zaczynają być stosowane dla potrzeb
polityki gospodarczej
45