Instytut Fizyki MECHANIKA I TERMODYNAMIKA Internetowy zbiór zadaÅ„ z fizyki dla studentów Politechniki WrocÅ‚awskiej WÅ‚odzimierz Salejda MichaÅ‚ H. Tyc WrocÅ‚aw, pazdziernik 2001 Zbiór zadaÅ„ obejmuje zagadnienia metodologii fizyki, kinematyki i dynamiki ruchu postÄ™powego i obrotowego, zasad zachowania, pola grawitacyjnego, statyki, dynamiki pÅ‚ynów, szczególnej teorii wzglÄ™dnoÅ›ci, fal mechanicznych oraz podstaw termodynamiki. a a SkÅ‚ad komputerowy za pomocÄ… systemu emTEX 4b (format LMEX 1.05/LTEX 2.09) M.H. Tyc i W. Salejda You do not know anything until you have practiced Richard P. Feynman (1918 1986) Spis treÅ›ci 1. Metodologia fizyki 5 2. Kinematyka 7 3. Dynamika 10 4. Nieinercjalne ukÅ‚ady odniesienia 12 5. Praca i energia 13 6. Zasada zachowania pÄ™du 15 7. Dynamika bryÅ‚y sztywnej. Zasada zachowania momentu pÄ™du 17 8. Pole grawitacyjne. Statyka 20 9. Dynamika pÅ‚ynów 21 10. Drgania 22 11. Termodynamika 23 12. Ruch falowy 25 13. Szczególna teoria wzglÄ™dnoÅ›ci 27 4 1. Metodologia fizyki 1-1. Oszacować swój wÅ‚asny wiek w sekundach. Jaki to stanowi uÅ‚amek wieku WszechÅ›wiata? 1-2. Opona samochodowa jest technologicznie przygotowana do przejechania 7,5·104 km. Osza- cować, ile wykona obrotów, zanim zostanie zużyta. 1-3. Masa Saturna wynosi MS = 5,64 · 1026 kg, a jego promieÅ„ RS = 6 · 107 m. Czy planeta ta pÅ‚ywaÅ‚aby na powierzchni hipotetycznego oceanu wodnego? 1-4. Oszacować masÄ™ 103 jednakowych stalowych kuleczek o Å›rednicy 1 mm. Ile atomów żelaza zawiera pojedyncza stalowa kulka? GÄ™stość żelaza 7,86 g/cm3, a masa atomu żelaza 56 u, gdzie u = 1,66 · 10-27 kg. 1-5. Astronomowie używajÄ… jednostki dÅ‚ugoÅ›ci zwanej parsekiem. Jest to odlegÅ‚ość, z jakiej promieÅ„ orbity Ziemi widać pod kÄ…tem 1 sekundy (12 2 ). Ile metrów i ile lat Å›wietlnych ma parsek? 1-6. Kwadrat prÄ™dkoÅ›ci v2 ciaÅ‚a poruszajÄ…cego siÄ™ z przyspieszeniem a po przebyciu drogi s wynosi v2 = k · an · sm, gdzie k bezwymiarowa staÅ‚a. Za pomocÄ… analizy wymiarowej wyznaczyć n i m. 1-7. A i B to wielkoÅ›ci fizyczne. Które z podanych dziaÅ‚aÅ„ sÄ… sensowne: A - B, A + B, A/B, A · B, jeÅ›li A i B majÄ…: (a) różne, (b) identyczne wymiary? 1-8. Okres T drgaÅ„ wahadÅ‚a matematycznego wynosi T = k ·ln ·gm, gdzie k jest bezwymiarowÄ… staÅ‚Ä…, l dÅ‚ugoÅ›ciÄ… wahadÅ‚a, g przyspieszeniem ziemskim. Obliczyć wartoÅ›ci n i m. 1-9. Prawo powszechnego ciążenia Newtona ma postać F = Gm1m2/r2, gdzie F siÅ‚a grawi- tacji, m1, m2 masy oddziaÅ‚ujÄ…cych ciaÅ‚, r odlegÅ‚ość miÄ™dzy nimi. Jaki jest wymiar G? 1-10. Okres T obiegu sztucznego satelity wokół planety o gÄ™stoÅ›ci : po orbicie poÅ‚ożonej bardzo nisko nad jej powierzchniÄ… wynosi T = k · :n · Gm, gdzie k jest bezwymiarowÄ… staÅ‚Ä…, a G staÅ‚Ä… grawitacji. Wyznaczyć wartoÅ›ci n i m. " 1-11. (a) Sprawdzić zgodność wymiarów we wzorach: x = v2/(2a); x = at/2; t = 2x/a, gdzie t czas, x poÅ‚ożenie, v prÄ™dkość, a przyspieszenie. (b) PrÄ™dkość czÄ…stki zależy od czasu jak v(t) = At - Bt3. Jakie sÄ… wymiary staÅ‚ych A i B? 1-12. Znane sÄ… wartoÅ›ci nastÄ™pujÄ…cych staÅ‚ych przyrody: prÄ™dkoÅ›ci Å›wiatÅ‚a c = 2,998 · 108 m/s, staÅ‚ej grawitacji G = 6,67 · 10-11 N · m2/kg2 oraz staÅ‚ej Plancka h = 6,626 · 10-34 J · s. PosÅ‚u- gujÄ…c siÄ™ tymi wartoÅ›ciami, utworzyć jednostki (tzw. jednostki Plancka): dÅ‚ugoÅ›ci, czasu, masy i energii. 1-13. Argument funkcji trygonometrycznej musi być wielkoÅ›ciÄ… "bezwymiarowÄ…. Jeżeli prÄ™d- kość v czÄ…stki o masie m zależy od czasu t jak v(t) = A&! sin( k/m t) i wiadomo, że A ma wymiar dÅ‚ugoÅ›ci, znajdz wymiary wielkoÅ›ci &! i k. 1-14. Oszacować: (a) LiczbÄ™ piÅ‚eczek pingpongowych, które można zmieÅ›cić w pokoju Å›redniej wielkoÅ›ci; (b) LiczbÄ™ skurczów serca przeciÄ™tnie dÅ‚ugo żyjÄ…cej Polki (Polaka); (c) LiczbÄ™ słów (liter) w używanym przez PaniÄ… (Pana) podrÄ™czniku do Fizyki Ogólnej lub zbiorze zadaÅ„. 1-15. Miliarder oferuje Pani (Panu) przekazanie miliarda zÅ‚otych w jednozÅ‚otowych monetach pod warunkiem, że przeliczy je Pani (Pan) osobiÅ›cie. Czy można zaakceptować tÄ™ propozycjÄ™? Przyjąć zaÅ‚ożenie, że przeliczenie jednej zÅ‚otówki trwa 1 sekundÄ™. 1-16. W fizyce używamy czÄ™sto matematycznych przybliżeÅ„. Pokazać za pomocÄ… kalkulatora, że dla maÅ‚ych kÄ…tów Ä… < 20ć% speÅ‚niona jest relacja tg Ä… C" sin Ä… C" Ä… C" (Ä„ · Ä…2 /180ć%), gdzie Ä… jest podany w radianach, a Ä…2 w stopniach. 1-17. Rok trwa okoÅ‚o N1 = Ä„ · 107 sekund. Obliczyć bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny tego przybliżenia. Wska- zówka: bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny wynosi 100%·(Nd -N1)/Nd, gdzie Nd dokÅ‚adna liczba sekund w roku. 1-18. Kropla oleju o masie 9 · 10-7 kg i gÄ™stoÅ›ci 918 kg/m3 rozpÅ‚ynęła sie po powierzchni wody tworzÄ…c kolistÄ… monowarstwÄ™ (jest to pojedyncza warstewka molekuÅ‚ oleju na wodzie) o Å›rednicy 41,8 cm. Oszacować Å›rednicÄ™ pojedynczej molekuÅ‚y oleju. 1-19. GÄ™stość barionów (tak nazywamy protony i neutrony) we WszechÅ›wiecie wynosi obecnie okoÅ‚o 0,4 bariona na metr szeÅ›cienny. Oszacować: (a) LiczbÄ™ barionów we WszechÅ›wiecie; 5 (b) ÅšredniÄ… gÄ™stość masy barionowej we WszechÅ›wiecie. 1-20. Czy ze szczytu Rysów o wysokoÅ›ci HR = 2499 m n.p.m. można by byÅ‚o zobaczyć Kraków (przy zaÅ‚ożeniu, że atmosfera jest idealnie przejrzysta)? PromieÅ„ Ziemi R = 6,4·106 m. Przyjąć, że Kraków leży na wysokoÅ›ci HK = 250 m n.p.m.
HR - HK
R2 R2
(R2 = R + HK) 6 2. Kinematyka 2-1. W chwili t1 = 1 s cząstka poruszająca się ze stałą prędkością po prostej znajduje się w położeniu x1 = -3 m, a w chwili t2 = 6 s w położeniu x2 = 5 m. Korzystając z tych danych narysować wykres położenia cząstki w funkcji czasu. Określić na podstawie wykresu prędkość cząstki. 2-2. Cząstka rozpoczyna ruch przyspieszony z zerową prędkością początkową. Zależność przy- spieszenia od czasu przedstawia wykres. Wyznaczyć: (a) prędkość cząstki w cwilach t1 = 10 s i t2 = 20 s; (b) drogę przebytą przez nią po czasie t2. a [m/s2]
+2 20
0 10 30 t [s] -3 2-3. Zależność wysokoÅ›ci H wznoszÄ…cego siÄ™ helikoptera od czasu lotu t ma postać H = 3,0 · t3 (w jednostkach SI). Po upÅ‚ywie 2 s od startu z helikoptera zaczyna spadać swobodnie plecak. Po jakim czasie upadnie on na ziemiÄ™? 2-4. Harcerz przywiÄ…zaÅ‚ do jednego koÅ„ca liny plecak, linÄ™ przerzuciÅ‚ przez konar drzewa odlegÅ‚y od ziemi o H i ruszyÅ‚ do przodu ze staÅ‚a prÄ™dkoÅ›ciÄ… vh, trzymajÄ…c za drugi koniec liny (patrz " rysunek). Pokazać, że plecak podnosi siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… vp = xvh/ x2 + H2, a jego przyspieszenie " 2 wynosi ap = H2vh/( x2 + H2)3. W jakim czasie plecak zostanie wciÄ…gniÄ™ty na drzewo? Ile bÄ™dzie wynosiÅ‚a wtedy jego prÄ™dkość i przyspieszenie chwilowe? Obliczenia wykonać dla wartoÅ›ci vh = 2 m/s, H = 6 m.
H
x 2-5. PociÄ…g pasażerski minimalizuje czas przejazdu miÄ™dzy stacjami odlegÅ‚ymi o 1 km w ten sposób, że w czasie t1 jedzie z przyspieszeniem a1 = 0,1 m/s2, a nastÄ™pnie w czasie t2 hamuje z przyspieszeniem a2 = -0,5 m/s2. Wyznaczyć czas podróży miÄ™dzy sÄ…siednimi stacjami oraz czas t1. 2-6. W biegu na 100 metrów Ben Johnson i Carl Lewis przecinajÄ… liniÄ™ mety na ostatnim wydechu równoczeÅ›nie w czasie 10,2 s (bo wiatr wiaÅ‚ im w oczy). PrzyspieszajÄ…c jednostajnie, Ben potrzebuje 2 s, a Carl 3 s, aby osiÄ…gnąć maksymalne prÄ™dkoÅ›ci, które nie zmieniajÄ… siÄ™ do koÅ„ca biegu. (a) Jakie sÄ… maksymalne prÄ™dkoÅ›ci oraz przyspieszenia obu sprinterów? (b) Jaka jest ich maksymalna prÄ™dkość wzglÄ™dna? (c) Który z nich prowadzi w szóstej sekundzie biegu? 2-7. PrÄ™dkość kuli w lufie karabinu zależy od czasu jak v(t) = 3,0 · 105t - 5,0 · 107t2 (w jed- nostkach SI). Przyspieszenie kuli opuszczajÄ…cej lufÄ™ wynosi zero. Wyznaczyć poÅ‚ożenie oraz przyspieszenie kuli wewnÄ…trz lufy. Ile czasu trwa ruch kuli w lufie? Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… pocisk wylatuje z karabinu? Ile wynosi dÅ‚ugość lufy? 2-8. PiÅ‚ka golfowa wykonuje na zboczu ruch pÅ‚aski po torze: x(t) = 18,0t, y(t) = 4,0t - 4,90t2 (w jednostkach SI). Wyznaczyć zależność od czasu wektora poÅ‚ożenia r = xi+yj; wynik koÅ„cowy sformuÅ‚ować za pomocÄ… wersorów i i j. Przeprowadzić takie same wyprowadzenia dla wektorów prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia. Obliczyć r, v, a w chwili t = 5 s. 2-9. CzÄ…stka rozpoczyna ruch w chwili t0 = 0 s i porusza siÄ™ w pÅ‚aszczyznie ze staÅ‚ym przy- m spieszeniem a = (2i + 4j) . Obliczyć prÄ™dkość, szybkość i wektor poÅ‚ożenia po upÅ‚ywie czasu s2 t > t0. 7 2-10. PrÄ™dkość czÄ…stki poruszajÄ…cej siÄ™ w pÅ‚aszczyznie XOY wynosi v = (vx, vy) = (A, Bx), gdzie x odciÄ™ta wektora poÅ‚ożenia r = (x, y), a A i B staÅ‚e współczynniki. Wyznaczyć równanie toru czÄ…stki, tj. zależność y(x). 2-11. Strzelba jest wycelowana w cel wiszÄ…cy na wysokoÅ›ci H. W tej samej chwili pada strzaÅ‚ i cel zaczyna swobodnie spadać. Pokazać, że kula trafi w cel. W jakiej odlegÅ‚oÅ›ci od strzelby należy umieÅ›cić cel, aby kula weÅ„ nie trafiÅ‚a? 2-12. Koszykarz rzuca piÅ‚kÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v0 pod kÄ…tem Ń do kosza odlegÅ‚ego w po- ziomie o L i w pionie o h od punktu wyrzutu, jak na rysunku. Pokazać, że poczÄ…tkowa prÄ™dkość 2 piÅ‚ki konieczna dla trafienia do kosza dana jest wzorem v0 = gL/[2 cos2 Ń (tg Ń - h/L)]. v0
h Ń
Ć
L 2-13. Diego Maradona, stojący na wierzchołku stromego wzniesienia nad brzegiem jeziora o wysokości H = 40 m, kopnął poziomo piłkę, która następnie wpadła do wody. Po upły- wie czasu t = 3,0 s usłyszał plusk. Jaka była prędkość początkowa piłki? Prędkość dzwięku w powietrzu c = 330 m/s. 2-14. Dwóch pływaków: A i B skacze jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c każdego pływaka względem wody jest taka sama (oraz c > v). Pływak A przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu. Pływak B płynie prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na odległość L, po czym zawraca do punktu startu. Który z nich wróci pierwszy? 2-15. Położenie cząstki zależy od czasu jak r(t) = A cos(&!t)i+A sin(&!t)j, gdzie A i &! stałe.
Znalezć: tor ruchu, prÄ™dkość, szybkość i przyspieszenie. Pokazać, że a = -&!2r = -v2r/r (r oznacza wektor jednostkowy o kierunku wektora r). 2-16. Pocisk wystrzelono z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v0 pod kÄ…tem Ń wzglÄ™dem poziomu z dziaÅ‚a ustawionego u podnóża wzniesienia o kÄ…cie nachylenia Õ < Ń. Pokazać, że pocisk przebÄ™dzie 2 odlegÅ‚ość d = 2v0 cos Ń sin(Ń - Õ)/[g cos2 Õ], mierzonÄ… wzdÅ‚uż wzniesienia. 2-17. Silnik nadaje rakiecie wystrzelonej pod kÄ…tem 70ć% do poziomu przyspieszenie o staÅ‚ym kierunku i wartoÅ›ci 8 m/s2. Po upÅ‚ywie 6,5 s od startu wyÅ‚Ä…cza siÄ™. Znalezć zasiÄ™g rakiety w poziomie oraz jej maksymalnÄ… wysokość. 2-18. Jakie nachylenie (przy zaÅ‚ożeniu staÅ‚ej szerokoÅ›ci podstawy) powinien mieć dach domu, aby krople deszczu spÅ‚ywaÅ‚y po nim w najkrótszym czasie? 2-19. CiaÅ‚o spadajÄ…ce swobodnie przebyÅ‚o w ostatniej sekundzie ruchu 1/3 caÅ‚ej drogi. Obliczyć poczÄ…tkowÄ… wysokość i caÅ‚kowity czas ruchu ciaÅ‚a. 2-20. Wyznaczyć skÅ‚adowe prÄ™dkoÅ›ci i przyspieszenia w ruchu po torze opisanym równaniami parametrycznymi: x(t) = A cos(bt2), y(t) = B sin(bt2), gdzie A, B, b staÅ‚e. Podać równanie toru. OkreÅ›lić rodzaj ruchu. Podać sposób obliczania zależnoÅ›ci promienia krzywizny toru od czasu. 2-21. KoÅ‚o o promieniu R = 0,1 m obraca siÄ™ tak, że zależność kÄ…ta obrotu Õ od czasu t zadaje równanie Õ(t) = A + Bt + Ct3, gdzie B = 2 rad/s, B = 1 rad/s3. Wyznaczyć dla chwili t = 10 s i dla punktów poÅ‚ożonych w odlegÅ‚oÅ›ci R/2 od osi obrotu: (a) prÄ™dkość kÄ…towÄ…; (b) prÄ™dkość liniowÄ…; (c) przyspieszenie styczne, normalne i caÅ‚kowite. 2-22. Ćma porusza siÄ™ po krzywej, której dÅ‚ugość s dana jest wzorem s = s0 exp(ct), gdzie s0 i c staÅ‚e. WiedzÄ…c, że wektor przyspieszenia a tworzy staÅ‚y kÄ…t Ä… ze stycznÄ… do toru w każ- dym jego punkcie, znalezć wartoÅ›ci: (a) prÄ™dkoÅ›ci; (b) przyspieszenia stycznego i normalnego; (c) promienia krzywizny toru jako funkcje dÅ‚ugoÅ›ci Å‚uku krzywej. 2-23. Ruch punktu w biegunowym ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych opisujÄ… równania: r(t) = Bt2, Ń(t) = At2. Wyznaczyć: (a) parametryczne równania toru w kartezjaÅ„skim ukÅ‚adzie współrzÄ™d- 8 nych; (b) skÅ‚adowÄ… radialnÄ… i transwersalnÄ… (azymutalnÄ…) prÄ™dkoÅ›ci oraz szybkość; (c) skÅ‚a- dowÄ… radialnÄ… i transwersalnÄ… przyspieszenia. 2-24. Parametryczne równania ruchu punktu materialnego majÄ… postać: x(t) = v0t cos Ä…, 1 y(t) = v0t sin Ä… - gt2. Jaki to rodzaj ruchu? Wyznaczyć: (a) przyspieszenie styczne i nor- 2 malne w dowolnej chwili t; (b) zależność krzywizny toru od czasu. 2-25. Tarcza o promieniu R obraca siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… &!. Ze Å›rodka tarczy wyruszyÅ‚ żółw i idzie wzdÅ‚uż promienia ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… vr. Wyznaczyć: (a) równanie toru żółwia we współrzÄ™dnych biegunowych i kartezjaÅ„skich; (b) zależność od czasu prÄ™dkoÅ›ci transwersalnej i radialnej; (c) zależność od czasu wektora przyspieszenia oraz jego skÅ‚adowych: radialnej i transwersalnej oraz normalnej i stycznej; (d) zależność od czasu promienia krzywizny toru :. 2-26. Rybak pÅ‚ynÄ…Å‚ w górÄ™ rzeki. PrzepÅ‚ywajÄ…c pod mostem upuÅ›ciÅ‚ do wody wiosÅ‚o. Po upÅ‚y- wie kwadransa zauważyÅ‚ zgubÄ™ i zawróciwszy dopÄ™dziÅ‚ wiosÅ‚o w odlegÅ‚oÅ›ci 1 km od mostu. Jaka jest prÄ™dkość prÄ…du rzeki, jeżeli rybak pÅ‚ynÄ…c w górÄ™ i w dół rzeki wiosÅ‚owaÅ‚ z jednakowym wysiÅ‚kiem? Wskazówka: RozwiÄ…zać zadanie w ukÅ‚adzie odniesienia zwiÄ…zanym z wiosÅ‚em lub rybakiem. 2-27. W celu wyznaczenia prÄ™dkoÅ›ci v0 kuli wylatujÄ…cej z lufy pistoletu dokonano nastÄ™pujÄ…cych zabiegów: (1) ustawiono naÅ‚adowany pistolet w odlegÅ‚oÅ›ci x od tarczy; (2) wycelowano go w punkt P na tarczy; (3) oddano strzaÅ‚ i stwierdzono, że pocisk przebiÅ‚ tarczÄ™ o "y poniżej punktu P. Pokazać, że "y = ax2. Wyrazić a jako funkcjÄ™ przyspieszenia ziemskiego i prÄ™dkoÅ›ci poczÄ…tkowej pocisku v0. Ile wynosi v0, jeÅ›li "y = 0,21 m i x = 50,0 m? 2-28. PoÅ‚ożenie czÄ…stki w funkcji czasu opisuje zależność r(t) = bti + (c - dt2)j, przu czym b = 2,00 m/s, c = 5,00 m, d = 1,00 m/s2. Wyrazić y jako funkcjÄ™ x oraz naszkicować tor czÄ…stki (tj. wykres y(x)). Wyznaczyć wektor prÄ™dkoÅ›ci. Dla jakiego t wektor prÄ™dkoÅ›ci jest prostopadÅ‚y do wektora poÅ‚ożenia? 2-29. Wyobrazmy sobie, że Ziemia obraca siÄ™ wokół wÅ‚asnej osi z takÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ…, że czÅ‚owiek stojÄ…cy na równiku nic nie waży. Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… i liniowÄ… porusza siÄ™ ten osobnik? Jak dÅ‚ugo trwa w tych warunkach doba? 2-30. MÅ‚ody Dawid, który pokonaÅ‚ Goliata, ćwiczÄ…c posÅ‚ugiwanie siÄ™ procÄ… zauważyÅ‚, że procy o dÅ‚ugoÅ›ci 0,6 m jest w stanie nadać 8 obrotów/s, natomiast procy o dÅ‚ugoÅ›ci 0,9 m może maksymalnie nadać 6 obrotów/s. W którym z przypadków kamieÅ„ uzyskuje wiÄ™kszÄ… prÄ™dkość? Ile wynosi wówczas przyspieszenie doÅ›rodkowe? 2-31. CzÄ…stka porusza siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… 30 m/s po okrÄ™gu. Okres obiegu jest równy 1,2 s. Ile wynosi przyspieszenie doÅ›rodkowe? 2-32. Pojazd kosmiczny porusza siÄ™ po orbicie wokół Księżyca blisko jego powierzchni. Przy- spieszenie doÅ›rodkowe pochodzÄ…ce od siÅ‚y ciążenia wynosi 1,6 m/s2. Wyznaczyć: (a) prÄ™dkość pojazdu; (b) okres obiegu tej orbity. PromieÅ„ Księżyca R = 1,7 · 106 m; wysokość orbity jest zaniedbywalnie maÅ‚a w porównaniu z R. 2-33. Del Piero stojÄ…cy na skale w ksztaÅ‚cie półkuli o promieniu R kopie poziomo piÅ‚kÄ™, która rozpoczyna ruch z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v0. Jaka wartość prÄ™dkoÅ›ci poczÄ…tkowej zapewnia, że piÅ‚ka nie uderzy w skaÅ‚Ä™? W jakiej odlegÅ‚oÅ›ci od skaÅ‚y upadnie wtedy piÅ‚ka? Wskazówka: Zauważyć, że w każdym punkcie (x, y) toru piÅ‚ki warunek zadania jest speÅ‚niony, o ile zachodzi nierówność x2 + y2 > R2. 9 3. Dynamika 3-1. Zbadać zależność drogi hamowania samochodu od jego prÄ™dkoÅ›ci v0. ZaÅ‚ożyć różne czasy tr reakcji kierowcy; przyjąć, że czas ten mieÅ›ci siÄ™ w przedziale od 0,2 s do 1 s. Opóznienie a samochodu zależy od stanu nawierzchni i opon; zaÅ‚ożyć, że wartoÅ›ci a leżą w przedziale od 4 m/s2 do 8 m/s2. SporzÄ…dzić wykresy. Czy wyniki zależą od masy samochodu? 3-2. SiÅ‚a zależna od czasu F = 8i - 4tj (w jednostkach SI) dziaÅ‚a na ciaÅ‚o o masie m = 2 kg, które poczÄ…tkowo spoczywaÅ‚o. (a) Wyznaczyć chwilÄ™ t1, w której prÄ™dkość ciaÅ‚a bÄ™dzie wynosiÅ‚a 15 m/s. (b) Jak daleko od punktu poczÄ…tkowego znajduje siÄ™ ciaÅ‚o w chwili t1? (c) Jaki jest wówczas wektor przesuniÄ™cia tego ciaÅ‚a? 3-3. Na ciaÅ‚o o masie m dziaÅ‚a zależna od poÅ‚ożenia siÅ‚a F(x, y, z) = (-kx, 0, 0). Wyznaczyć zależnoÅ›ci x(t) i vx(t) przy nastÄ™pujÄ…cych warunkach poczÄ…tkowych: (a) x(0) = A, vx(0) = 0; (b) x(0) = 0, vx(0) = v0. 3-4. Z wysokoÅ›ci H spada swobodnie kulka o gÄ™stoÅ›ci: (a) równej gÄ™stoÅ›ci wody; (b) wiÄ™kszej; (c) mniejszej. Kulka wpada nastÄ™pnie do wody, gdzie dziaÅ‚a na niÄ… siÅ‚a oporu F = -bv. Jak zależy od czasu prÄ™dkość kulki w wodzie podczas jej ruchu? 3-5. Spadochroniarz wyskakuje z samolotu na dużej wysokoÅ›ci, zwlekajÄ…c z otwarciem spado-
chronu. W powietrzu dziaÅ‚a na niego zależna od prÄ™dkoÅ›ci siÅ‚a oporu F = -kv2v. Jaka jest graniczna prÄ™dkość spadochroniarza (po dostatecznie dÅ‚ugim czasie)? 3-6. Na ciaÅ‚o o masie m = 3,5 kg dziaÅ‚a zależna od czasu siÅ‚a pozioma o wartoÅ›ci F = 8,6 N + 2,5 N/s3 · t3. Ile wynosi przesuniÄ™cie poziome ciaÅ‚a po upÅ‚ywie 3,0 s, jeÅ›li ciaÅ‚o poczÄ…tkowo spoczywaÅ‚o? 3-7. PiÅ‚kÄ™ o masie m upuszczono swobodnie z wieżowca o wysokoÅ›ci H. W trakcie ruchu dziaÅ‚a na niÄ… staÅ‚a siÅ‚a pozioma o wartoÅ›ci F . Pokazać, że piÅ‚ka porusza siÄ™ po linii prostej. 3-8. JakÄ… siÅ‚Ä… należy dziaÅ‚ać na ciaÅ‚o A, aby ciaÅ‚o B nie poruszaÅ‚o siÄ™ wzglÄ™dem niego (patrz rysunek)? Współczynnik tarcia pomiÄ™dzy A i B wynosi 0,55. B F
A 3-9. Blok porusza siÄ™ w górÄ™ równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie Õ = 45ć% ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… pod dziaÅ‚aniem siÅ‚y F = 15 N równolegÅ‚ej do równi. Wyznaczyć: (a) ciężar bloku; (b) minimalnÄ… wartość siÅ‚y powodujÄ…cej ruch bloku w dół równi, jeÅ›li współczynnik tarcia kinematycznego µk wynosi 0,30. 3-10. Wózek o ciężarze W popchniÄ™to siÅ‚Ä… F skierowanÄ… pod kÄ…tem Õ do poziomu. Pokazać, że minimalna wartość siÅ‚y niezbÄ™dnej do wprawienia w ruch wózka wynosi Fmin = µsW/[cos Õ (1- µs tg Õ)], gdzie µs jest znanym współczynnikiem tarcia statycznego. 3-11. ChÅ‚opiec o wadze 320 N siedzÄ…cy na krzeseÅ‚ku bosmaÅ„skim ważącym 160 N ciÄ…gnie za linÄ™ (patrz rysunek) z siÅ‚Ä… F = 250 N. Pokazać, że przyspieszenie ruchu chÅ‚opca do góry jest równe a = 0,408 m/s2. Ile wynosi nacisk chÅ‚opca na krzesÅ‚o? F
a
3-12. Masy m1, m2 i m3 sÄ… poÅ‚Ä…czone niciÄ… w ten sposób, że m1 i m2 leżą na stole, a masa m3 zwisa pionowo na nici przewieszonej przez nieważki krążek zamocowany na krawÄ™dzi stoÅ‚u. Współczynniki tarcia ciaÅ‚ 1 i 2 wynoszÄ… odpowiednio f1 i f2. Wyznaczyć przyspieszenie, z jakim poruszajÄ… siÄ™ ciaÅ‚a, oraz naciÄ…gi nici. Przy jakich warunkach (dotyczÄ…cych współczynników tarcia i mas) ruch bÄ™dzie siÄ™ odbywaÅ‚: (a) ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ…; (b) ze staÅ‚ym przyspieszeniem? 10 3-13. Na wózku o masie M leży ciężarek o masie m, który jest ciÄ…gniÄ™ty siÅ‚Ä… F skierowanÄ… pod kÄ…tem Ä… do poziomu (patrz rysunek). JakÄ… maksymalnÄ… wartość może mieć ta siÅ‚a, aby ciężarek nie Å›lizgaÅ‚ siÄ™ wzdÅ‚uż wózka? Z jakim przyspieszeniem bÄ™dzie siÄ™ wówczas poruszaÅ‚ wózek? Współczynnik tarcia miÄ™dzy wózkiem i ciężarkiem wynosi µ.
Ä… F m M
3-14. Ciało zsuwa się po równi pochyłej o kącie nachylenia ą. Zależność przebytej drogi od czasu ma postać s = ct2, przy czym c > 0. Wyznaczyć współczynnik tarcia pomiędzy ciałem i równią. 3-15. Walizka wisi na dwóch sznurach, jak to pokazuje rysunek. Pokazać, że naciąg lewego sznura N1 = W cos Ń2/ sin(Ń1 + Ń2), gdzie W jest ciężarem walizki, a kąty Ń1 i Ń2 są znane. Ń2 Ń1
N1 N2
3-16. Trzej Å‚yżwiarze: A, B i C, o masach mA = 30 kg, mB = 50 kg i mC = 20 kg, trzymajÄ… siÄ™ liny ciÄ…gniÄ™tej z siÅ‚Ä… F = 200 N i Å›lizgajÄ… siÄ™ po powierzchni o wspoÅ‚czynniku tarcia µ = 0,1 (patrz rysunek). Znalezć przyspieszenie a Å‚yżwiarzy oraz siÅ‚y N1 i N2 naciÄ…gu liny. C B A
N F
2 N1
3-17. Na blok o masie 3,6 kg umieszczony na poziomej powierzchni o współczynniku tarcia µk = 0,3 dziaÅ‚ajÄ… dwie siÅ‚y jak na rysunku. Z jakim przyspieszeniem porusza siÄ™ blok? Dane: F1 = 20 N, F2 = 12 N, Ń1 = 18ć% i Ń2 = 27ć%. F1 F2
Ń1 Ń2 11 4. Nieinercjalne ukÅ‚ady odniesienia 4-1. Samochód porusza siÄ™ po Å‚uku o promieniu R. Nawierzchnia drogi nachylona jest pod kÄ…tem Ń do poziomu (w kierunku do wnÄ™trza Å‚uku). Współczynnik tarcia wynosi µ. Pokazać, że maksymalna szybkość, przy której samochód nie wypadnie z drogi na skutek poÅ›lizgu, dana " jest wzorem vmax = Rg(µ + tg Ń)/(1 - µ tg Ń). Przyjąć, że µ tg Ń < 1. 4-2. Samochód porusza siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… v po wzgórzu, którego promieÅ„ krzywizny w naj- wyższym punkcie wynosi 20 m. Wyznaczyć v, jeÅ›li na szczycie wzgórza nacisk kół samochodu na podÅ‚oże jest praktycznie równy zeru (pojazd nie odrywa siÄ™ od nawierzchni szosy). 4-3. Wiadro z wodÄ… wprawiono w ruch po okrÄ™gu o promieniu R = 1 m, którego pÅ‚aszczyzna jest pionowa. Jaka jest minimalna prÄ™dkość wiadra w najwyższym punkcie toru, przy której woda nie wyleje siÄ™? 4-4. Dziecko o masie M = 40 kg buja siÄ™ na huÅ›tawce zawieszonej na dwóch linkach o dÅ‚ugoÅ›ci 3 m każda. W najniższym punkcie toru siÅ‚a naprężenia każdej z linek wynosi N = 350 N. Wyznaczyć prÄ™dkość i przyspieszenie doÅ›rodkowe dziecka oraz siÅ‚Ä™ nacisku dziecka na deskÄ™ huÅ›tawki w najniższym punkcie toru. 4-5. PrÄ™dkość v wagonika kolejki w lunaparku w najwyższym punkcie pionowego toru w ksztaÅ‚- cie okrÄ™gu wynosi 13,0 m/s, a przyspieszenie doÅ›rodkowe ad = 2g. Obliczyć promieÅ„ toru kolejki. 4-6. Do sufitu wagonu poruszajÄ…cego siÄ™ po poziomym torze z przyspieszeniem a = 3 m/s2 podwieszono na nici ciaÅ‚o o masie m = 0,5 kg. Wyznaczyć kÄ…t odchylenia nici od pionu i jej naprężenie. 4-7. NajwiÄ™kszy i najmniejszy ciężar czÅ‚owieka stojÄ…cego na wadze umieszczonej w windzie wy- nosi odpowiednio 591 N i 391 N. ZakÅ‚adajÄ…c, że przyspieszenie podczas ruszania i hamowania windy jest takie samo, wyznaczyć: (a) ciężar rzeczywisty czÅ‚owieka i jego masÄ™; (b) przyspie- szenie windy. 4-8. Przy bocznej Å›cianie pomieszczenia w ksztaÅ‚cie cylindra o pionowej osi i promieniu R stoi czÅ‚owiek. Współczynnik tarcia miÄ™dzy czÅ‚owiekiem a Å›cianÄ… wynosi µ. Pokazać, że maksymalna wartość okresu T obrotu pomieszczenia wokół przy której czÅ‚owiek nie bÄ™dzie zsuwaÅ‚ siÄ™ po "osi, Å›cianie (jeÅ›li usuniemy podÅ‚ogÄ™), wynosi T = 4Ä„2Rµ/g. Obliczenia przeprowadzić dla R = 4 m i µ = 0,40. Ile obrotów wykona wtedy pomieszczenie w ciÄ…gu jednej minuty? 4-9. OkreÅ›lić kierunek oraz obliczyć wartość odchylenia y ciaÅ‚a spadajÄ…cego z wieży o wyso- koÅ›ci H w polu grawitacyjnym Ziemi. Wynik przedyskutować w zależnoÅ›ci od szerokoÅ›ci geo- graficznej Õ miejscowoÅ›ci, na której znajduje siÄ™ wieża (uwzglÄ™dnić obie półkule). Wskazówka: ZaÅ‚ożyć, że kÄ…t odchylenia kierunku prÄ™dkoÅ›ci od pionu jest bardzo maÅ‚y. 4-10. Oszacować odchylenie od kierunku północ-poÅ‚udnie toru pocisku, którego Å›rednia prÄ™d- kość podczas lotu wynosi v0 = 400 m/s, czas lotu 1 s, a szerokość geograficzna miejsca strzaÅ‚u Õ = 60ć%, w przypadku, gdy pocisk wystrzelono w kierunku poÅ‚udnikowym. Wskazówka: ZaÅ‚o- żyć, że wartość siÅ‚y Coriolisa jest staÅ‚a w trakcie ruchu. 4-11. Pokazać, że okres obrotu pÅ‚aszczyzny drgaÅ„ wahadÅ‚a Foucaulta na szerokoÅ›ci geograficz- nej Õ wynosi T = 2Ä„/(&! sin Õ). W jaki sposób obraca siÄ™ ta pÅ‚aszczyzna na półkuli północnej i poÅ‚udniowej? Wskazówka: RozÅ‚ożyć wektor prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej Ziemi &! na skÅ‚adowe: poziomÄ… i pionowÄ…. 12 5. Praca i energia 5-1. Pozioma siÅ‚a F = 150 N dziaÅ‚a na ciaÅ‚o o masie m = 40,0 kg i przesuwa je na odlegÅ‚ość s = 6,00 m po chropowatej powierzchni. PrzyjmujÄ…c, że ciaÅ‚o przesuwaÅ‚o siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ…, obliczyć: (a) pracÄ™ siÅ‚y F ; (b) energiÄ™ straconÄ… na pokonanie siÅ‚y tarcia; (c) współczynnik tarcia. 5-2. Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej chropowatej powierzchni pod dzia- Å‚aniem staÅ‚ej siÅ‚y F = 70 N skierowanej pod kÄ…tem 20ć% do poziomu. Blok przesuniÄ™ty zostaÅ‚ o s = 5,00 m, a współczynnik tarcia kinematycznego µk = 0,30. Obliczyć pracÄ™: (a) siÅ‚y F ; (b) skÅ‚adowej pionowej wypadkowej siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ…cej na blok; (c) siÅ‚y grawitacji. Jaka ilość energii zostaÅ‚a stracona na pokonanie siÅ‚y tarcia? 5-3. Aucznik naciÄ…ga Å‚uk w ten sposób, że ciÄ™ciwa zostaje odciÄ…gniÄ™ta na odlegÅ‚ość d = 0,40 m pod dziaÅ‚aniem siÅ‚y narastajÄ…cej od zera do 240 N. Ile wynosi efektywny współczynnik spręży- stoÅ›ci ciÄ™ciwy Å‚uku? JakÄ… pracÄ™ wykonaÅ‚ Å‚ucznik podczas naciÄ…gania ciÄ™ciwy? 5-4. Przy rozciÄ…ganiu sprężyny o 10 cm wykonano pracÄ™ W1 = 4,00 J. Obliczyć pracÄ™ potrzebnÄ… do rozciÄ…gniÄ™cia sprężyny do 20 cm. 5-5. W lufie strzelby o dÅ‚ugoÅ›ci l = 0,60 m dziaÅ‚a na kulÄ™ o masie m = 100 g zależna od poÅ‚ożenia siÅ‚a F (x) = (15000 + 10000x - 25000x2) [N] (x w metrach). Obliczyć pracÄ™ wykonanÄ… przez gazy prochowe nad kulÄ… w trakcie jej ruchu w lufie. Ile wynosi energia kinetyczna kuli opuszczajÄ…cej lufÄ™? 5-6. MaÅ‚e ciaÅ‚o o masie m jest ciÄ…gniÄ™te w górÄ™ za pomocÄ… nici i porusza siÄ™ po powierzchni cylindra o promieniu R. Ruch odbywa siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ…. Pokazać, że wartość naciÄ…gu nitki wynosi F = mg cos Ń (patrz rysunek). Wyznaczyć pracÄ™ siÅ‚y F pomiÄ™dzy Ńp = 0 i Ńk = Ä„/2. F
Ń 5-7. Blok o masie m = 0,60 kg zeÅ›lizguje siÄ™ z idealnie gÅ‚adkiej równi pochyÅ‚ej o dÅ‚ugoÅ›ci 6 m i kÄ…cie nachylenia 20ć%, a nastÄ™pnie zaczyna siÄ™ poruszać po poziomej pÅ‚aszczyznie, gdzie współczynnik tarcia µk = 0,50. Ile wynosi prÄ™dkość bloku na koÅ„cu równi oraz po przebyciu 1 metra na poziomej powierzchni? JakÄ… odlegÅ‚ość przebÄ™dzie blok po poziomej pÅ‚aszczyznie do chwili zatrzymania siÄ™? 5-8. Zależna od czasu siÅ‚a dziaÅ‚ajÄ…c na ciaÅ‚o o masie m = 4 kg powoduje jego przesuniÄ™cie o x = 2t - 3t2 + t3 [m] (t w sekundach). Wyznaczyć pracÄ™ siÅ‚y zewnÄ™trznej w ciÄ…gu pierwszych trzech sekund. 5-9. Samochód o masie m = 1500 kg przyspiesza jednostajnie od stanu spoczynku do prÄ™dkoÅ›ci v3 = 10 m/s w czasie t3 = 3 s. Obliczyć: (a) PracÄ™ wykonanÄ… nad samochodem; (b) ÅšredniÄ… moc silnika w pierwszych trzech sekundach ruchu; (c) Moc chwilowÄ… dla t2 = 2 s. 5-10. CiaÅ‚o o masie m = 0,4 kg Å›lizga siÄ™ po poziomym torze w ksztaÅ‚cie koÅ‚a o promieniu R = 1,5 m. Jego prÄ™dkość poczÄ…tkowa wynosi v0 = 8 m/s. Po jednym peÅ‚nym obrocie jego prÄ™dkość, wskutek dziaÅ‚ania tarcia, zmniejszyÅ‚a siÄ™ do v1 = 6 m/s. Wyznaczyć stratÄ™ energii na pracÄ™ nad siÅ‚ami tarcia. Obliczyć współczynnik tarcia kinetycznego. Ile obrotów wykona to ciaÅ‚o zanim siÄ™ zatrzyma? 5-11. Pocisk o masie m = 5 g i prÄ™dkoÅ›ci v = 600 m/s wbiÅ‚ siÄ™ w drewno na gÅ‚Ä™bokość d = 4 cm. KorzystajÄ…c z twierdzenia o pracy i energii, wyznaczyć Å›redniÄ… wartość siÅ‚y oporu dziaÅ‚ajÄ…cej na pocisk. ZakÅ‚adajÄ…c, że siÅ‚a oporu jest staÅ‚a, obliczyć czas hamowania pocisku w drewnie. 5-12. Spadochroniarz o masie m = 50 kg wyskoczyÅ‚ z samolotu na wysokoÅ›ci 1000 m i wylÄ…do- waÅ‚ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v = 5 m/s. Jaka ilość energii zostaÅ‚a zużyta na pokonanie siÅ‚ oporu powietrza? 5-13. SiÅ‚a zachowawcza F zależy od tylko współrzÄ™dnej x: F = (-Ax + Bx2)i [N], gdzie A i B staÅ‚e, a x w metrach. Wyznaczyć U(x), jeÅ›li U(0) = 0.
5-14. KorzystajÄ…c ze wzoru na pracÄ™ W = F · ds pokazać, że dowolna staÅ‚a siÅ‚a jest zacho- wawcza. Obliczyć pracÄ™ siÅ‚: (a) F = (3i + 4j) [N]; (b) F = (3y + x2)j [N] na drodze: (1) OAC, 13 (2) OBC, (3) OC (patrz rysunek). Która z nich jest zachowawcza? y
C(5,5)
B
0 A x 5-15. Paciorek P ślizga się bez tarcia po pętli z drutu (patrz rysunek). Jeśli wysokość począt- kowa wynosi h = 3,5R, to jaką ma on prędkość w punkcie A? Ile wynosi nacisk paciorka na drut w tym punkcie?
P
A h
R
5-16. Dwie masy są połączone nicią przewieszoną przez krążek, jak na rysunku. Stosując zasadę zachowania energii wyznaczyć prędkość masy m1 w momencie, gdy masa m2 osiągnie poziomą płaszczyznę. Masę krążka i nici pominąć.
m2
m1 h
5-17. Współczynnik tarcia między masą m1 = 3 kg a podłożem wynosi 0,4. Układ rozpoczyna ruch od stanu spoczynku (patrz rysunek). Ile wynosi prędkość masy m2 = 5 kg po przebyciu przez nią odległości h = 1,5 m? Masę krążka i nici zaniedbać. m1
m2 5-18. Energia potencjalna siły F = (Fx, Fy) ma postać U(x, y) = 3x3y - 7x. Obliczyć F dla dowolnego (x, y). 5-19. Pokazać, że następujące siły są zachowawcze: (a) Fx(x) = Ax + Bx2; (b) Fx(x) = Aeąx, gdzie A, B, ą są stałymi. Wyznaczyć zmianę energii potencjalnej pomiędzy xp = 0 oraz xk = x > 0. 14 6. Zasada zachowania pędu 6-1. Kula bilardowa o masie m = 0,10 kg i prędkości v0 = 10 m/s uderza w bok stołu i odbija się pod kątem 60ć%. Wyznaczyć wartość średniej siły, z jaką bila działała na stół w trakcie zderzenia trwającego 0,20 s. 6-2. Wyznaczyć położenie środka masy przedstawionej na rysunku cząsteczki wody. 1 0,1 nm H 1 16 O ć% 8
53 ć% 53
1 0,1 nm H
1 6-3. Blondynka o masie mb = 45 kg stoi na desce surfingowej o masie m = 150 kg i długości 3 m, spoczywającej na powierzchni wody. Dziewczyna rozpoczyna spacer po desce z prędkością u = 1 m/s względem deski. Z jaką prędkością porusza się względem wody dziewczyna, a z jaką deska? Jak daleko przesunie się względem wody dziewczyna, jeśli przejdzie z jednego końca deski na drugi? Jak daleko przesunie się w tym czasie deska? 6-4. Ciało o masie m = 2 kg znajduje się początkowo na wierzchołku równi pochyłej w kształcie jednorodnego klina o masie M = 8 kg, wysokości h = 2 m i długości L = 6 m, mogącego przesuwać się po poziomej płaszczyznie (patrz rysunek). Zakładając, że tarcie nie występuje, wyznaczyć położenie równi w momencie, gdy ciało zsunie się (osiągnie płaszczyznę poziomą). Wskazówka: współrzędna x środka masy nie zmienia się. m y (1)
M h
0 x
y L (2)
d
M m
0 x 6-5. CiaÅ‚o o masie m = 6 kg spada swobodnie na ZiemiÄ™ z wysokoÅ›ci h = 10 m. Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… wzglÄ™dem inercjalnego ukÅ‚adu odniesienia porusza siÄ™ Ziemia w momencie upadku ciaÅ‚a? Masa Ziemi M = 6 · 1024 kg. 6-6. W zawieszone na dwóch niciach wahadÅ‚o balistyczne o masie M = 1,00 kg (patrz rysunek) wbija siÄ™ pocisk o masie m = 5,00 g (zderzenie jest idealnie niesprężyste). WahadÅ‚o wraz z pociskiem podnosi siÄ™ na wysokość h = 5,00 cm. Wyznaczyć prÄ™dkość pocisku v0 oraz ilość ciepÅ‚a, jakie wydzieliÅ‚o siÄ™ podczas zderzenia.
h
M m v 6-7. Neutron zderza siÄ™ czoÅ‚owo i idealnie sprężyÅ›cie ze spoczywajÄ…cym poczÄ…tkowo jÄ…drem 12 atomu wÄ™gla C. JakÄ… część poczÄ…tkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana ato- 6 mowi wÄ™gla? Wyznaczyć energiÄ™ kinetycznÄ… jÄ…dra wÄ™gla i neutronu po zderzeniu, jeÅ›li poczÄ…t- kowa energia kinetyczna neutronu wynosiÅ‚a 1,60·10-23 J. Masa jÄ…dra atomu wÄ™gla jest 12-krotnie wiÄ™ksza od masy neutronu. 6-8. CzÅ‚owiek o masie m = 60 kg biegnÄ…cy z prÄ™dkoÅ›ciÄ… poczÄ…tkowÄ… v0 = 4 m/s skacze na sto- jÄ…cy wózek o masie M = 120 kg (patrz rysunek). CzÅ‚owiek poczÄ…tkowo Å›lizga siÄ™ po powierzchni wózka, po czym zatrzymuje siÄ™ wzglÄ™dem niego. Współczynnik tarcia miÄ™dzy czÅ‚owiekiem i wóz- kiem wynosi 0,4, a wózek porusza siÄ™ po poziomej pÅ‚aszczyznie bez tarcia. (a) Wyznaczyć koÅ„cowÄ… prÄ™dkość czÅ‚owieka i wózka. (b) Obliczyć siÅ‚Ä™ tarcia dziaÅ‚ajÄ…cÄ… na czÅ‚owieka w trakcie 15 poÅ›lizgu. Jak dÅ‚ugo trwaÅ‚ poÅ›lizg? (c) Wyznaczyć zmianÄ™ pÄ™du czÅ‚owieka oraz wózka. (d) Jak daleko wzglÄ™dem wózka przemieÅ›ci siÄ™ czÅ‚owiek podczas poÅ›lizgu? (e) JakÄ… odlegÅ‚ość przebÄ™- dzie w tym czasie wózek? (f) Obliczyć zmianÄ™ energii kinetycznej czÅ‚owieka i wózka. Dlaczego wyniki sÄ… różne? m
v
M
6-9. Kula bilardowa poruszająca się z prędkością v1 = 5,00 m/s zderza się niecentralnie z drugą identyczną kulą. Po zderzeniu pierwsza kula porusza się z prędkością u1 = 4,33 m/s pod ką- tem 30ć% względem początkowego kierunku ruchu. Zakładając, że zderzenie jest idealnie spręży- ste, wyznaczyć prędkość drugiej kuli. 6-10. Aańcuch o długości l i masie m zwisa pionowo nad stołem, dotykając go jednym końcem (jak na rysunku). W pewnej chwili górny koniec zostaje zwolniony i łańcuch zaczyna spadać. Znalezć zależność siły F działającej na stół od drogi s przebytej przez górny koniec łańcucha i pokazać, że jej maksymalna wartość wynosi 3mg. (1)
m l
(2)
s
v
F
6-11. Silniki pierwszego stopnia rakiety Saturn V paliwo zużywajÄ… w tempie 1,5 · 104 kg/s, a powstajÄ…ce spaliny wyrzucane sÄ… z prÄ™dkoÅ›ciÄ… u = 2,6 · 103 m/s. Obliczyć siÅ‚Ä™ ciÄ…gu silników tej rakiety (siÅ‚a ciÄ…gu silnika Fc = u dM/dt). Obliczyć przyspieszenie rakiety w momencie startu, jeÅ›li jej poczÄ…tkowa masa wynosi 3,0 · 106 kg (należy uwzglÄ™dnić siÅ‚Ä™ grawitacji). 6-12. OdlegÅ‚oÅ›ci do najbliższych gwiazd wynoszÄ… okoÅ‚o 4 lat Å›wietlnych. GdybyÅ›my chcieli wysÅ‚ać do jednej z nich sondÄ™ kosmicznÄ…, która miaÅ‚aby nam przekazać wyniki badaÅ„ po rozsÄ…dnym czasie oczekiwania (kilkadziesiÄ…t lat), musielibyÅ›my nadać jej prÄ™dkość rzÄ™du 0,1c = 3 · 107 m/s. JakÄ… część poczÄ…tkowej masy pojazdu musiaÅ‚oby stanowić paliwo, gdyby posÅ‚ugiwać siÄ™ konwencjonalnym napÄ™dem wykorzystujÄ…cym chemiczne spalanie (patrz zadanie poprzednie)? Jak zmieniÅ‚aby siÄ™ sytuacja, gdyby udaÅ‚o siÄ™ uzyskać u <" 107 m/s (np. za pomocÄ… jakiegoÅ› rodzaju paliwa jÄ…drowego)? 6-13. Na szynach stoi wagon-cysterna z wodÄ…. W dnie cysterny zamontowano w odlegÅ‚oÅ›ci l od jednego z jej koÅ„ców pionowÄ… rurkÄ™ zakoÅ„czonÄ… kranem. Czy i w którÄ… stronÄ™ zacznie siÄ™ poruszać wagon, jeÅ›li otworzymy kran? Tarcie zaniedbać. 16 7. Dynamika bryÅ‚y sztywnej. Zasada zachowania momentu pÄ™du 7-1. Silnik elektryczny zostaÅ‚ wyÅ‚Ä…czony w chwili, gdy jego wirnik wykonywaÅ‚ 100 obrotów na minutÄ™. ZakÅ‚adajÄ…c, że opóznienie kÄ…towe wirnika wynosi 2 rad/s2, obliczyć: (a) czas, po którym wirnik zatrzyma siÄ™; (b) kÄ…t, o jaki obróci siÄ™ wirnik do chwili zatrzymania. 7-2. Zależność drogi kÄ…towej Åš pewnego punktu leżącego na kole od czasu jest dana wzorem Åš(t) = 5 + 10t + 2t2 [rad] (t w sekundach). OkreÅ›lić poÅ‚ożenie kÄ…towe, prÄ™dkość kÄ…towÄ… oraz przyspieszenie kÄ…towe tego punktu dla t0 = 0 i t1 = 3 s. 7-3. Tarcza o promieniu R = 8 cm obraca siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… 1200 obr/min wokół osi centralnej. OkreÅ›lić: (a) jej prÄ™dkość kÄ…towÄ… w rad/s; (b) prÄ™dkość liniowÄ… punktów odlegÅ‚ych od osi o 3 cm; (c) przyspieszenie doÅ›rodkowe punktów na obwodzie. 7-4. Cztery masy sÄ… poÅ‚Ä…czone ze sobÄ… sztywnymi prÄ™tami o pomijalnej masie (patrz rysunek). Obliczyć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ukÅ‚adu wzglÄ™dem osi OZ (prostopadÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny XOY i przechodzÄ…cej przez punkt O). Wyznaczyć energiÄ™ kinetycznÄ… ruchu obrotowego, jeÅ›li ukÅ‚ad obraca siÄ™ wokół osi OZ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… 6 rad/s. y
2 kg 3 kg
3 m
O x 4 kg 2 kg
4 m
7-5. Dwie masy: M i m sÄ… poÅ‚Ä…czone prÄ™tem o dÅ‚ugoÅ›ci L i znikomo maÅ‚ej masie. Pokazać, że moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi prostopadÅ‚ej do prÄ™ta jest najmniejszy dla osi przechodzÄ…cej przez Å›rodek masy ukÅ‚adu. 7-6. Wyznaczyć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci nastÄ™pujÄ…cych bryÅ‚ jednorodnych: (a) wydrążonego walca o masie m i promieniach: zewnÄ™trznym R i wewnÄ™trznym r < R wzglÄ™dem osi przecho- dzÄ…cej przez Å›rodek masy i równolegÅ‚ej do Å›cian bocznych; (b) kuli o promieniu R i masie M wzglÄ™dem osi przechodzÄ…cej przez jej Å›rodek; (c) tej samej kuli wzglÄ™dem osi stycznej do jej powierzchi; (d) tarczy o promieniu r i masie m wzglÄ™dem osi przechodzÄ…cej przez jej Å›rodek i prostopadÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny tarczy; (e) tarczy wzglÄ™dem osi przechodzÄ…cej przez punkt na jej brzegu i prostopadÅ‚ej do pÅ‚aszczyzny tarczy. 7-7. Wyznaczyć wartość wypadkowego momentu siÅ‚ Ä dziaÅ‚ajÄ…cego na podwójnÄ… szpulkÄ™ wzglÄ™- dem jej osi (patrz rysunek), jeÅ›li r = 10 cm, R = 25 cm, nitki sÄ… ciÄ…gniÄ™te z siÅ‚ami F1 = 12 N, F2 = 9 N, F3 = 10 N, a kÄ…t Ä… = 45ć%. 2R
2r
F3
Ä…
F1
F2
7-8. Obliczyć masę m ciężarka, jaki należy zawiesić, aby przedstawiony na rysunku układ pozostawał w równowadze, jeśli M = 150 kg i ą = 30ć%.
2r 6r
m
M
Ä…
17 7-9. W ukÅ‚adzie przedstawionym na rysunku m1 = 2 kg, m2 = 6 kg, promieÅ„ krążka R = 0,25 m, jego masa mk = 10 kg, kÄ…t Åš = 30ć%, współczynnik tarcia kinetycznego dla masy m2 na równi µ = 0,30. ZaniedbujÄ…c masÄ™ sznurka, wyznaczyć przyspieszenie mas m1 i m2 oraz naciÄ…gi nici. Czy naciÄ…gi sÄ… takie same? m1
m2
Åš
7-10. W układzie przedstawionym na rysunku m1 = 15 kg, m2 = 19 kg, promień krążka R = 0,1 m, jego masa mk = 3 kg, a h = 3 m. Zaniedbując masę sznurka i tarcie, wyzna- czyć przyspieszenie i prędkość mas m1 i m2 oraz naciągi nici (czy są takie same?) w momencie, gdy obie masy mijają się. Wskazówka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej.
R
m2
m1 h
7-11. Jednorodna tarcza o promieniu R i masie M może się obracać wokół punktu P (patrz rysunek). Obliczyć prędkość środka masy tarczy w najniższym punkcie toru. Wyznaczyć pręd- kość punktu A w najniższym punkcie toru ruchu. Wskazówka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej. Powtórzyć obliczenia, zastępując tarczę obręczą.
R
P
A O
O2
7-12. Jednorodny pręt o długości L i masie M może się obracać wokół osi P. Jego położenie początkowe jest pionowe. Obliczyć: (a) jego prędkość kątową i przyspieszenie kątowe; (b) skła- dowe: poziomą i pionową przyspieszenia całkowitego środka masy pręta; (c) składowe siły, z jaką pręt działa na punkt P w chwili, gdy znajduje się w położeniu poziomym. Wskazówka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej.
l
P
7-13. Dziecko o masie m = 40 kg stoi na zewnÄ…trz koÅ‚owej karuzeli o masie M = 80 kg i pro- mieniu R = 2 m obracajÄ…cej siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… &! = 2 rad/s. Dziecko wchodzi na karuzelÄ™. (a) Czy zmieni siÄ™ jej prÄ™dkość kÄ…towa? JeÅ›li tak, to jaka jest jej nowa wartość? (b) Dziecko rozpoczyna wÄ™drówkÄ™ do Å›rodka karuzeli. Ile wynosi jej prÄ™dkość kÄ…towa w chwili, gdy dziecko znajduje siÄ™ na Å›rodku? (c) Jak zmieni siÄ™ energia kinetyczna ukÅ‚adu, gdy dziecko przejdzie od brzegu do Å›rodka karuzeli? 7-14. Jednorodny walec (kula) o promieniu r i masie m stacza siÄ™ bez poÅ›lizgu po równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie nachylenia ². Obliczyć przyspieszenie a Å›rodka masy walca (kuli) oraz prÄ™dkość v, jakÄ… ma on po przebyciu drogi s wzdÅ‚uż równi, jeżeli w chwili t = 0 ciaÅ‚o spoczywaÅ‚o. 7-15. Na wierzchoÅ‚ku równi pochyÅ‚ej spoczywajÄ…: kula, sfera, walec, rurka, tarcza i obrÄ™cz. W jakiej kolejnoÅ›ci stoczÄ… siÄ™ te obiekty z równi, jeÅ›li ich masy i promienie sÄ… takie same? 18 7-16. Na poziomym stole leży szpulka nici. Z jakim przyspieszeniem liniowym a bÄ™dzie siÄ™ poruszać oÅ› szpulki, jeÅ›li ciÄ…gnąć jÄ… siÅ‚Ä… F (patrz rysunek)? Pod jakim kÄ…tem należy ciÄ…gnąć nić, by szpulka poruszaÅ‚a siÄ™ w prawo? Szpulka toczy siÄ™ po powierzchni stoÅ‚u bez poÅ›lizgu. Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci szpulki o masie m wzglÄ™dem jej Å›rodka wynosi I.
F
R r
Ä…
7-17. W zawieszony u sufitu jednorodny prÄ™t o masie m i dÅ‚ugoÅ›ci l uderza idealnie niesprężyÅ›cie ciaÅ‚o o masie M lecÄ…ce z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v0 prostopadle do osi prÄ™ta. OkreÅ›lić prÄ™dkość kÄ…towÄ… ukÅ‚adu prÄ™t+ciaÅ‚o tuż po zderzeniu, jeżeli ciaÅ‚o uderzyÅ‚o w odlegÅ‚oÅ›ci l/3 od punktu zawieszenia prÄ™ta. Jaka ilość ciepÅ‚a wydzieliÅ‚a siÄ™ w trakcie zderzenia? O jaki kÄ…t Ä… odchyli siÄ™ od pionu prÄ™t? 7-18. Drewniana listwa o dÅ‚ugoÅ›ci l = 0,4 m i masie m = 1 kg może siÄ™ obracać dookoÅ‚a osi prostopadÅ‚ej do niej i przechodzÄ…cej przez jej Å›rodek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m1 = 0,01 kg, lecÄ…cy z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v1 = 200 m/s w kierunku prostopadÅ‚ym do osi i do listwy. Znalezć prÄ™dkość kÄ…towÄ…, z jakÄ… listwa zacznie siÄ™ obracać, gdy utkwi w niej pocisk. 7-19. Poziomy stolik o masie M = 20 kg i promieniu 1 m wiruje z prÄ™dkoÅ›ciÄ… &!0 = 20 obr/min. W Å›rodku stolika stoi czÅ‚owiek i trzyma w wyciÄ…gniÄ™tych rÄ™kach hantle. Jaka bÄ™dzie prÄ™dkość kÄ…towa &!k ukÅ‚adu, jeÅ›li czÅ‚owiek opuÅ›ciwszy rÄ™ce zmniejszy swój moment bezwÅ‚adnoÅ›ci od I0 = 3 kg · m2 do Ik = 1 kg · m2? Jak zmieni siÄ™ przy tym energia kinetyczna ukÅ‚adu? 19 8. Pole grawitacyjne. Statyka 8-1. Oszacować, jakie promienie powinny mieć Ziemia i SÅ‚oÅ„ce, aby staÅ‚y siÄ™ czarnymi dziurami. Ile wynosiÅ‚yby wówczas ich gÄ™stoÅ›ci? Ile ważyÅ‚yby umieszczone na ich powierzchniach blondynki o masie m = 55 kg każda? 8-2. Okres obrotu SÅ‚oÅ„ca wokół wÅ‚asnej osi wynosi obecnie T = 27 dni. Po czasie potrzebnym na spalenie siÄ™ paliwa jÄ…drowego (<"5 · 109 lat) SÅ‚oÅ„ce zacznie siÄ™ kurczyć w procesie grawita- cyjnego kolapsu. Oszacować promieÅ„ SÅ‚oÅ„ca Rx, przy którym zacznie siÄ™ ono rozpadać. Masa SÅ‚oÅ„ca MS = 2 · 1030 kg, promieÅ„ RS = 7 · 108 m. 8-3. KorzystajÄ…c z twierdzenia Gaussa, wyznaczyć natężenie i potencjaÅ‚ pola grawitacyjnego: (a) wewnÄ…trz i na zewnÄ…trz jednorodnej kuli o masie M i promieniu R. (b) wokół jednorodnej nieskoÅ„czenie dÅ‚ugiej struny o liniowej gÄ™stoÅ›ci :. 8-4. Trzy jednakowe masy m umieszczone sÄ… w wierzchoÅ‚kach trójkÄ…ta równobocznego o boku a. Wyznaczyć natężenie i potencjaÅ‚ pola grawitacyjnego w Å›rodku trójkÄ…ta i w Å›rodku jednego z boków. JakÄ… pracÄ™ trzeba wykonać przeciw siÅ‚om grawitacji, aby przesunąć ciaÅ‚o o masie M pomiÄ™dzy tymi punktami? 8-5. Ziemia, której masa wynosi MZ = 5,96·1024 kg, porusza siÄ™ po elipsie wokół SÅ‚oÅ„ca o masie MS = 1,97 · 1030 kg. Jej najmniejsza i najwiÄ™ksza odlegÅ‚ość od SÅ‚oÅ„ca wynoszÄ… odpowiednio lmin = 1,49 · 1011 m i lmax = 1,51 · 1011 m. Wyznaczyć moment pÄ™du Ziemi oraz jej prÄ™dkość w punktach odlegÅ‚ych od SÅ‚oÅ„ca o lmin i lmax. 8-6. Jednorodna pozioma platforma zamocowana jest do Å›ciany i podwieszona linÄ…, jak na rysunku. Obliczyć naciÄ…g liny N i siÅ‚Ä™ P wywieranÄ… przez platformÄ™ na Å›cianÄ™, jeÅ›li w odlegÅ‚oÅ›ci d = 2 m od Å›ciany stoi czÅ‚owiek o ciężarze W1 = 600 N. Ciężar platformy W2 = 200 N, jej dÅ‚ugość l = 8 m, a kÄ…t Ä… = 53ć%. l
d
N
Ä… P
8-7. Z jaką minimalną siłą F trzeba ciągnąć za nić, aby wtoczyć szpulkę o promieniu R na próg o wysokości h < R (patrz rysunek)? Jaką siłą P naciska wtedy szpulka na krawędz progu? Założyć, że szpulka nie ślizga się.
F R
h
8-8. Jednorodna drabina o ciężarze W oparta jest o idealnie gÅ‚adkÄ… pionowÄ… Å›cianÄ™ (patrz rysunek). Pod jakim kÄ…tem ¸ można postawić drabinÄ™, aby siÄ™ nie Å›lizgaÅ‚a, jeÅ›li współczynnik tarcia miÄ™dzy drabinÄ… a podÅ‚ogÄ… wynosi µ = 0,4?
l
¸ 8-9. JakÄ… maksymalnÄ… wysokość może mieć granitowy sÅ‚up o staÅ‚ym przekroju, aby nie pÄ™kÅ‚ pod wÅ‚asnym ciężarem? WytrzymaÅ‚ość granitu na Å›ciskanie wynosi 170·106 N/m2, a jego gÄ™stość 2,7 · 103 kg/m3. 20 9. Dynamika pÅ‚ynów 9-1. Basen o wymiarach 30 m × 10 m i pÅ‚askim dnie jest napeÅ‚niony wodÄ… do gÅ‚Ä™bokoÅ›ci 2 m. Jakie caÅ‚kowite siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ… na dno oraz na każdÄ… ze Å›cian basenu? 9-2. Obustronnie otwarta rurka w ksztaÅ‚cie litery U jest częściowo napeÅ‚niona rtÄ™ciÄ… (gÄ™stość :Hg = 13600 kg/m3), a częściowo wodÄ…, jak na rysunku. Ile wynosi h2 w stanie równowagi, jeÅ›li h1 = 1,00 cm?
h1
H2O H2O
h2
Hg 9-3. Jaki ciężar może unieść balon o objętości V = 400 m3 wypełniony helem? Gęstość helu :He = 0,180 kg/m3, powietrza : = 1,29 kg/m3. 9-4. Boczna ściana dużego zbiornika z wodą przerdzewiała na wysokości h = 4 m nad ziemią i d = 16 m pod poziomem wody. Z powstałej dziury woda wycieka w tempie 2,5 l/min. Z jaką prędkością v wypływa strumień wody? Jaki przekrój ma dziura? Jak daleko od ściany zbiornika strumień opada na ziemię?
d
h
l
9-5. Pod jakim minimalnym ciśnieniem musi być pompowana woda z rzeki płynącej na wyso- kości h1 = 564 m n.p.m., aby dotarła do wioski położonej na wysokości h2 = 2096 m n.p.m.? Jaka jest prędkość wody w rurze, jeśli pompowane jest 4500 m3 na dobę, a średnica rury wynosi d = 15 cm? Jakie dodatkowe ciśnienie jest potrzebne do zapewnienia tego przepływu? Przyjąć, że ciśnienie atmosferyczne i przyspieszenie ziemskie jest takie samo na obu wysokościach. 9-6. Tłoczek strzykawki o powierzchni A porusza się ze stałą prędkością v pod działaniem siły F. Z jaką prędkością wylatuje ze strzykawki strumień cieczy o gęstości : przez otwór o przekroju a (a j" A)?
F A u
a
9-7. Do pomiaru prędkości przepływu powietrza można użyć rurki Pitota (patrz rysunek), mierząc różnicę między ciśnieniem statycznym i całkowitym. Jaka jest prędkość przepływu powietrza v, jeśli różnica poziomów rtęci (o gęstości :Hg = 13600 kg/m3) w ramionach U-rurki wynosi h = 5,00 cm? Założyć, że w punkcie A powietrze nie porusza się. Gęstość powietrza : = 1,29 kg/m3. v
A
h
21 10. Drgania 10-1. Wyznaczyć okresy maÅ‚ych drgaÅ„: (a) tarczy o promieniu R zawieszonej w punktach odlegÅ‚ych od Å›rodka masy o R i R/2; (b) kulki metalowej zawieszonej na nitce o dÅ‚ugoÅ›ci L = 0,25 m umieszczonej w cieczy o gÄ™stoÅ›ci trzykrotnie mniejszej od gÄ™stoÅ›ci kulki (opory zaniedbać); (c) ciaÅ‚a o masie m zawieszonego poÅ›rodku poziomej metalowej linki o dÅ‚ugoÅ›ci L rozciÄ…ganej siÅ‚Ä… N. 10-2. Amplitudy drgaÅ„ wymuszonych odbywajÄ…cych siÄ™ pod dziaÅ‚aniem dwóch siÅ‚ zewnÄ™trz- nych o czÄ™stoÅ›ciach koÅ‚owych &!1 = 200 s-1 i &!2 = 300 s-1 sÄ… równe. Wyznaczyć czÄ™stość rezonansowÄ… &!r. 10-3. Przy jakiej prÄ™dkoÅ›ci samochód poruszajÄ…cy siÄ™ po drodze uÅ‚ożonej z betonowych pÅ‚yt bÄ™dzie szczególnie silnie drgaÅ‚ w kierunku pionowym, jeÅ›li dÅ‚ugość każdej pÅ‚yty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina siÄ™ o "x pod dziaÅ‚aniem siÅ‚y Fx, wynosi N1? 10-4. Blok A o masie M przyczepiony do sprężyny o współczynniku sprężystoÅ›ci k wykonuje ruch harmoniczny prosty, Å›lizgajÄ…c siÄ™ po idealnie gÅ‚adkiej powierzchni. Blok B o masie m spoczywa na nim. Jaki jest okres drgaÅ„? Jaka jest maksymalna amplituda drgaÅ„, przy której blok B nie bÄ™dzie siÄ™ Å›lizgaÅ‚ wzglÄ™dem bloku A, jeÅ›li współczynnik tarcia statycznego miÄ™dzy nimi wynosi µ? 10-5. Masa m jest przyczepiona do dwóch sprężyn o staÅ‚ych sprężystoÅ›ci k1 i k2 (patrz rysunki). W obu przypadkach zostaje ona wychylona z poÅ‚ożenia równowagi i puszczona; porusza siÄ™ bez tarcia. Pokazać, że wykonuje ona ruch harmoniczny prosty o okresach odpowiednio TA =
m(k1+k2) m 2Ä„ i TB = 2Ä„ . k1k2 k1+k2 k1 k2 m
k1 k2 m
10-6. (a) Całkowita energia mechaniczna ciała o masie m wykonującego ruch harmoniczny prosty po idealnie gładkiej poziomej powierzchni pod działaniem siły sprężystości sprężyny 1 1 o współczynniku k wynosi E = mv2+ kx2. Korzystając z zasady zachowania energii (dE/dt = 2 2 0), wyprowadzić równanie ruchu harmonicznego. (b) Małe ciało ślizga się bez tarcia wewnątrz sferycznej powierzchni o promieniu R. Energia 1 mechaniczna ciała wychylonego z położenia równowagi o kąt Ń wynosi E = mv2 + mgR(1 - 2
cos Ń). Wyprowadzić równanie ruchu. Pokazać, że okres małych drgań jest równy T = 2Ą R/g. 10-7. Rysunek przedstawia tunel wewnątrz jednorodnej planety o masie M i promieniu R. Pokazać, że wynikające z II zasady dynamiki równanie ruchu dla ciała w tunelu ma postać równania oscylatora harmonicznego d2x/dt2+gx/R = 0, gdzie g przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety. Oszacować okres oscylacji dla ciała w tunelu we wnętrzu Ziemi. x
R
M 22 11. Termodynamika 11-1. Dwa betonowe (współczynnik rozszerzalnoÅ›ci liniowej 1,4·10-5 K-1) przÄ™sÅ‚a mostu o dÅ‚u- goÅ›ci L każde sÄ… tak zamontowane, że nie majÄ… miejsca na rozszerzanie siÄ™. Na jakÄ… wysokość y wybrzuszy siÄ™ most, jeÅ›li temperatura wzroÅ›nie o "T ? Wykonać obliczenia dla L = 250 m oraz "T = 20ć%C. 11-2. WahadÅ‚o zegara jest podwieszone na mosiężnym (współczynnik rozszerzalnoÅ›ci liniowej 1,84 · 10-5 K-1) prÄ™cie. Zegar chodzi dokÅ‚adnie w temperaturze 20ć%C. O ile spózni siÄ™ on lub poÅ›pieszy w ciÄ…gu tygodnia, jeÅ›li temperatura wzroÅ›nie do 30ć%C? 11-3. SÅ‚oÅ„ce można traktować jako ciaÅ‚o o temperaturze 5800 K. JeÅ›li promieÅ„ SÅ‚oÅ„ca wynosi 7 · 108 m i e = 1, jaka jest jego caÅ‚kowita moc promieniowania? 11-4. Dwa prÄ™ty z miedzi i z aluminium, o przewodnoÅ›ciach cieplnych odpowiednio 394 i 218 J/(m · s · K), dÅ‚ugoÅ›ci 50 cm każdy i promieniu 1 cm sÄ… poÅ‚Ä…czone jak na rysunku. Ich powierzchnie boczne sÄ… izolowane cieplnie. Wolny koniec prÄ™ta miedzianego znajduje siÄ™ w tem- peraturze 80ć%C, a aluminiowego w temperaturze 10ć%C. (a) Jaka jest temperatura na zÅ‚Ä…czu? (b) Jaka jest szybkość przepÅ‚ywu ciepÅ‚a przez prÄ™ty? 10ć%C 80ć%C Al Cu 11-5. Ile ciepÅ‚a potrzeba do przeksztaÅ‚cenia 80 g lodu o temperaturze poczÄ…tkowej -10ć%C w 60 g wody i 20 g pary wodnej o temperaturze 100ć%C? CiepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe lodu wynosi 2095 J/(kg · K), ciepÅ‚o topnienia 334 kJ/kg, ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe wody 4190 J/(kg · K), ciepÅ‚o parowania w tempe- raturze wrzenia 2258 kJ/kg. 11-6. W niskich temperaturach molowe ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe ciaÅ‚ staÅ‚ych opisane jest prawem De- bye a C = k(T/TD)3, gdzie k = 1945 J/(mol · K), a TD jest temperaturÄ… Debye a charaktery- stycznÄ… dla danego ciaÅ‚a staÅ‚ego. Obliczyć ilość ciepÅ‚a potrzebnÄ… do podniesienia temperatury 2,4 mol aluminium (TD = 400 K) od T1 = 10 K do T2 = 20 K. 11-7. W naczyniu znajduje siÄ™ gaz o masie czÄ…steczkowej µ, temperaturze T i ciÅ›nieniu p. Jaka jest gÄ™stość gazu w tych warunkach? Obliczenia wykonać dla T = 300 K, p = 1,04 · 105 Pa i M = 32 kg/kmol. StaÅ‚a gazowa R = 8,32 J/(mol · K). 11-8. Gaz idealny poddany jest przemianie cyklicznej ABCA przedstawionej na wykresie. Przedstawić przemianÄ™ we współrzÄ™dnych (p, T ) oraz (V, T ). Wyrazić przez p0 i V0: (a) pracÄ™ wykonanÄ… przez gaz na każdym odcinku cyklu; (b) caÅ‚kowitÄ… pracÄ™ W wykonanÄ… przez gaz w każdym cyklu; (c) ciepÅ‚o Q pobrane przez gaz w każdym cyklu. p
B p0 A
1
p0 2 C
0 V0 3V0 V 11-9. W dwóch naczyniach o pojemnoÅ›ciach V1 i V2 znajdujÄ… siÄ™ masy m1 i m2 gazów o masach czÄ…steczkowych odpowiednio µ1 i µ2. Obliczyć ciÅ›nienie mieszaniny gazów powstaÅ‚ej po poÅ‚Ä…cze- niu tych naczyÅ„ przewodem o pomijalnej objÄ™toÅ›ci. Temperatura gazów jest staÅ‚a i wynosi T . 11-10. Przedstawić we współrzÄ™dnych (p, V ) na tle rodzin izoterm przemiany cykliczne poka- zane na rysunkach we współrzÄ™dnych (V, T ). 23 V
3 2
1
0 T V
1
4
2
3
0 T 11-11. Udowodnić, że zachodzi relacja cp - cV = R/µ. 11-12. Obliczyć pracÄ™ wykonanÄ… przy adiabatycznym sprężaniu pewnej masy gazu od objÄ™to- Å›ci V1 do V2, jeżeli ciÅ›nienie poczÄ…tkowe wynosiÅ‚o p1. Dany jest stosunek º = Cp/CV . 11-13. Masa m wodoru rozszerza siÄ™ izobarycznie, dwukrotnie powiÄ™kszajÄ…c objÄ™tość. Znalezć zmianÄ™ entropii w tym procesie. Dane sÄ…: masa czÄ…steczkowa wodoru µ i ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe przy staÅ‚ym ciÅ›nieniu cp. 11-14. Znalezć zmianÄ™ entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T1 w parÄ™ o tem- peraturze T2. 11-15. 1 mol gazu doskonaÅ‚ego podlega cyklicznej przemianie przedstawionej na rysunku. Ob- liczyć ciepÅ‚o pobrane przez gaz w przemianie 23 oraz pracÄ™ uzyskanÄ… w cyklu, jeÅ›li dane sÄ… temperatury: najwyższa T1 i najniższa T2 = T3. p
3 1
2
0 V 11-16. Gaz dwuatomowy wykonuje cykl Carnota, przy czym podczas rozprężania izotermicz- nego jego objÄ™tość wzrasta dwukrotnie, a podczas rozprężania adiabatycznego wykonuje on pracÄ™ równÄ… 300 kJ. Znalezć pracÄ™ wykonanÄ… podczas peÅ‚nego cyklu. 11-17. Zaproponowano projekt elektrowni, wykorzystujÄ…cej gradient temperatury w oceanie. UkÅ‚ad miaÅ‚by pracować pomiÄ™dzy 20ć%C (temperaturÄ… wód powierzchniowych) a 5ć%C (tempe- raturÄ… wód na gÅ‚Ä™bokoÅ›ci okoÅ‚o 1 km). (a) Jaka jest maksymalna sprawność takiego ukÅ‚adu? (b) Gdyby elektrownia miaÅ‚a mieć moc 75 MW, jaka ilość energii cieplnej byÅ‚aby pobierana w ciÄ…gu godziny? (c) Co czyni ten projekt interesujÄ…cym, pomimo wyniku otrzymanego w punk- cie A? 24 12. Ruch falowy 12-1. Dwa impulsy falowe y1(x, t) = 5/[(3x - 4t)2 + 2] i y2(x, t) = -5/[(3x + 4t - 6)2 + 2] biegnÄ… wzdÅ‚uż tej samej napiÄ™tej struny. (a) W jakich kierunkach i z jakimi prÄ™dkoÅ›ciami poruszajÄ… siÄ™ te impulsy? (b) W jakiej chwili czasu impulsy zniosÄ… siÄ™ na caÅ‚ej prostej? (c) W jakich punktach te impulsy znoszÄ… siÄ™ w dowolnej chwili czasu? 12-2. Kosinusosidalna fala rozchodzi siÄ™ wzdÅ‚uż osi OX. Jej amplituda wynosi A = 0,01 m, dÅ‚ugość = 0,4 m, a czÄ™stotliwość f = 8 Hz. Poprzeczne wychylenie punktów oÅ›rodka spręży- stego dla t = 0 i x = 0 wynosi 0,01 m. Wyznaczyć wektor falowy k, okres T , czÄ™stość koÅ‚owÄ… É i prÄ™dkość c tej fali. OkreÅ›lić wartość fazy poczÄ…tkowej Ä…0 oraz napisać równanie fali. 12-3. Napisać równanie fali sinusoidalnej (tj. jawnÄ… zależność y(x, t)) biegnÄ…cej wzdÅ‚uż sznura w ujemnym kierunku osi OX, jeÅ›li jej amplituda A = 4,0 cm, dÅ‚ugość = 100 cm, czÄ™stotli- wość f = 4,0 Hz, gdy: (a) y(0, t) = 0 dla t = 0; (b) y(x, 0) = 0 dla x = 20 cm. 12-4. Kosmonauta na Księżycu mierzy przyspieszenie pola grawitacyjnego gK przez pomiar czasu przebiegu fali przez pionowy drut, którego masa m = 4 g, a dÅ‚ugość l = 1,6 m. Na drucie zawieszony jest ciężarek o masie M = 3 kg. Czas zmierzony przez kosmonautÄ™ wynosi t = 36,1 ms. Wyznaczyć gK. Przy liczeniu siÅ‚y naciÄ…gu zaniedbać ciężar drutu. 12-5. Z sufitu zwisa swobodnie struna o masie m i dÅ‚ugoÅ›ci l. Pokazać, że czas przebiegu fali
poprzecznej wzdłuż struny wynosi t = 2 l/g. 12-6. Rozwiązać poprzednie zadanie w przypadku, gdy do struny podwieszono dodatkowo cię-
" " żarek o masie M pokazać, że t = 2 l/mg ( M + m - M). 12-7. Dwie fale sinusoidalne y1(x, t) = 4,0 sin(3,0x - 20t) oraz y2(x, t) = 8,0 cos(3,0x - 20t) rozchodzÄ… siÄ™ jednoczeÅ›nie w oÅ›rodku sprężystym. Pokazać, że wypadkowa fala y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) jest także falÄ… sinusoidalnÄ… oraz obliczyć jej fazÄ™ i amplitudÄ™. Wskazówka: skorzystać z zależnoÅ›ci trygonometrycznej sin(Ä… + ²) = sin Ä… cos ² + sin ² cos Ä…. 12-8. Wyznaczyć prÄ™dkość poprzecznÄ… vy = "y/"t oraz przyspieszenie poprzeczne ay = "2y/"t2 czÄ…steczek w chwili czasu t = 0,2 s w punkcie x = 1,6 m struny, w której rozchodzi siÄ™ fala y(x, t) = 0,12 sin[Ä„(1x + 4t)]. Ile wynoszÄ… wartoÅ›ci maksymalne wyznaczonych wielkoÅ›ci? Dla 8 jakich chwil czasu wielkoÅ›ci vy oraz ay osiÄ…gajÄ… w tym punkcie wartoÅ›ci ekstremalne? Czy speÅ‚niona jest relacja ay = -É2y? Ile wynoszÄ…: dÅ‚ugość, okres i prÄ™dkość fazowa tej fali? 12-9. Sprawdzić, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) = A cos(Ét - kx), gdzie É/c = k = 2Ä„/ jest rozwiÄ…zaniem jednowymiarowego równania falowego "2y/"t2 = c2"2y/"x2.
T 1 12-10. Pokazać, że Å›rednia prÄ™dkość czÄ…steczek oÅ›rodka vy(x) = [-AÉ sin(Ét - kx)] dt = 0 T 0, jeÅ›li rozchodzi siÄ™ w nim fala kosinusoidalna z poprzedniego zadania. 12-11. Sprawdzić, że funkcje y(x, t) = f(x Ä… ct) sÄ… rozwiÄ…zaniami jednowymiarowego równania falowego "2y/"t2 = c2"2y/"x2. Pokazać, że nastÄ™pujÄ…ce funkcje: (a) y(x, t) = ln[b(x - ct)], (b) y(x, t) = exp[b(x - ct)], (c) y(x, t) = x2 + c2t2, (d) y(x, t) = sin kx cos Ét sÄ… rozwiÄ…zaniami równania falowego. Wskazówka: funkcje (c) i (d) przedstawić w postaci f(x + ct) + g(x - ct)? 12-12. WahadÅ‚o matematyczne skÅ‚ada siÄ™ z kulki o masie M wiszÄ…cej na cienkim sztywnym prÄ™cie o masie m j" M i dÅ‚ugoÅ›ci l. Wyznaczyć prÄ™dkość fal poprzecznych w prÄ™cie wahadÅ‚a, jeÅ›li jego okres drgaÅ„ wynosi T . 12-13. Stalowy prÄ™t o dÅ‚ugoÅ›ci ls = 12,4 m jest poÅ‚Ä…czony z prÄ™tem miedzianym o dÅ‚ugoÅ›ci lCu = 6,2 m, tworzÄ…c jeden prÄ™t o dÅ‚ugoÅ›ci l = ls + lCu. Przekrój obu prÄ™tów jest taki sam i równy S = 25 mm2. PrÄ™t rozciÄ…ga siÅ‚a F = 3,1·103 N. Jak dÅ‚ugo biegnie podÅ‚użna (poprzeczna) fala sprężysta od jednego do drugiego koÅ„ca prÄ™ta? StaÅ‚e materiaÅ‚owe: Es = 2 · 1011 N/m2, Gs = 8,4 · 1010 N/m2, ECu = 1,1 · 1011 N/m2, GCu = 4,2 · 1010 N/m2, :s = 7800 kg/m3, :Cu = 8900 kg/m3. 25 12-14. PrÄ™dkość dzwiÄ™ku w powietrzu zależy od temperatury jak v = (331,5 + 0,607tC) [m/s], gdzie tC temperatura w skali Celsjusza. PrzyjmujÄ…c, że temperatura powietrza maleje o 1ć%C na każde 150 m wysokoÅ›ci, wyznaczyć czas przelotu fali dzwiÄ™kowej na wysokość 9 km w górÄ™. TemperaturÄ™ powietrza na poziomie gruntu przyjąć 20ć%C. Porównać to z czasem przebycia tej odlegÅ‚oÅ›ci przez falÄ™ poruszajÄ…cÄ… siÄ™ ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… 343 m/s. 12-15. Nietoperz jest w stanie dokonać detekcji maÅ‚ego obiektu (insekta) o rozmiarze liniowym porównywalnym z dÅ‚ugoÅ›ciÄ… emitowanej przez siebie fali. Ile wynosi ten rozmiar, jeÅ›li nietoperz wysyÅ‚a ultradzwiÄ™ki o czÄ™stotliwoÅ›ci 50,0 kHz, a prÄ™dkość dzwiÄ™ku w powietrzu c = 343 m/s? 12-16. Struna ma gÄ™stość liniowÄ… masy :l = 0,03 kg/m i jest naciÄ…gniÄ™ta siÅ‚Ä… N = 100 N. JakÄ… moc musi wytwarzać zródÅ‚o fali umieszczone na jednym koÅ„cu struny, aby wygenerować w niej falÄ™ sinusoidalnÄ… o czÄ™stoÅ›ci f = 100 Hz i amplitudzie A = 0,01 m? 12-17. Obliczyć energiÄ™ fali z poprzedniego zadania, zawartÄ… we fragmencie struny o dÅ‚ugoÅ›ci 1 mm. 12-18. NaciÄ…gniÄ™ta struna ma masÄ™ m i dÅ‚ugość l. JakÄ… moc należy dostarczyć strunie w celu wygenerowania w niej fali sinusoidalnej o amplitudzie A, dÅ‚ugoÅ›ci i prÄ™dkoÅ›ci v? Obliczenia wykonaj dla m = 0,18 kg, l = 3,6 m, A = 0,1 m, = 0,5 m, v = 30 m/s. 12-19. Pokazać, że przy przechodzeniu fali przez granicÄ™ oÅ›rodków zachodzi równość T +R = 1. 26 13. Szczególna teoria wzglÄ™dnoÅ›ci 13-1. Z dwóch inercjalnych ukÅ‚adów odniesienia: ukÅ‚adu laboratoryjnego K i poruszajÄ…cego siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… V OX OX2 wzglÄ™dem niego ukÅ‚adu K2 zaobserwowano jedno i to samo zdarzenie. Obserwator w K przypisaÅ‚ mu chwilÄ™ czasu 1000 s i współrzÄ™dne przestrzenne (1, 3, 5) km. Wyznaczyć współrzÄ™dne tego zdarzenia w ukÅ‚adzie K2 . 13-2. Z collidera (akceleratora) czÄ…stek elementarnych wylatuje z prÄ™dkoÅ›cia v = 0,999c stru- mieÅ„ pionów. Ile wynosi czas życia pionów w laboratoryjnym ukÅ‚adzie odniesienia, jeÅ›li ich wÅ‚asny czas życia Ä0 = 1,8 · 10-8 s? JakÄ… drogÄ™ przebÄ™dzie pion w jego wÅ‚asnym i laboratoryj- nym ukÅ‚adzie odniesienia od miejsca powstania do punktu rozpadu? O ile oddali siÄ™ akcelerator od pionu w ukÅ‚adzie zwiÄ…zanym z pionem? 13-3. Obliczyć relatywistyczne pÄ™dy: protonu, elektronu i fotonu o energii caÅ‚kowitej 1 GeV = 109 eV (1 eV = 1,6·10-19 J). Wyznaczyć relatywistycznÄ… energiÄ™ kinetycznÄ… protonu i elektronu. 13-4. Relatywistyczna energia kinetyczna czÄ…stki jest 10 razy wiÄ™ksza od jej energii spoczyn- kowej. Jaka jest prÄ™dkość tej czÄ…stki? Znalezć prÄ™dkość czÄ…stki, której energia caÅ‚kowita jest 10-krotnie wiÄ™ksza od jej energii spoczynkowej. 13-5. UkÅ‚ad K2 porusza siÄ™ równolegle do osi OX ukÅ‚adu laboratoryjnego K z prÄ™dkoÅ›cia V . W ukÅ‚adzie K2 znajduje siÄ™ spoczywajÄ…cy prÄ™t o dÅ‚ugoÅ›ci wÅ‚asnej L0 tworzÄ…cy z osiÄ… OX2 kÄ…t Ä…2 . JakÄ… dÅ‚ugość prÄ™ta L i jaki kÄ…t Ä… zmierzy obserwator w ukÅ‚adzie K? 13-6. Pokazać, że relacja E2 = p2c2 + (m0c2)2 jest konsekwencjÄ… zwiÄ…zków: E = Å‚m0c2 i p = Å‚m0v. 13-7. CaÅ‚kowita objÄ™tość wody w oceanach Ziemi wynosi 1,4 · 109 km3, Å›rednia gÄ™stość wody 1030 kg/m3, a jej ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe 4200 J/(kg · K). Oszacować wzrost masy wód oceanów, jeÅ›li ich temperatura podniesie siÄ™ o 10ć%C. 13-8. Dwa obiekty poruszajÄ… siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciami v = 0,75c w przeciwnych kierunkach w ukÅ‚a- dzie zwiÄ…zanym z ZiemiÄ…. Z jakÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… porusza siÄ™ drugi obiekt w ukÅ‚adzie zwiÄ…zanym z pierwszym? 4 13-9. We wnÄ™trzu SÅ‚oÅ„ca zachodzi reakcja 4p He+"E, gdzie p oznacza proton. Energia spo- 2 czynkowa protonu Ep = 938,2 MeV, a energia spoczynkowa jÄ…dra atomu helu E4 = 3727 MeV. He 2 Pokazać, że w energiÄ™ zamienia siÄ™ 0,7% poczÄ…tkowej masy. 13-10. Moc promieniowanej przez SÅ‚oÅ„ce energii wynosi 3,8 · 1026 W. JakÄ… ilość masy traci SÅ‚oÅ„ce w każdej sekundzie? 27