WIT, Egzamin z Podstaw Matematyki, 20 czerwca 2012 r. " Zadanie 1. OkreÅ›lamy funkcje wzorem f(x) = x2 - 2x + a. Podaj warunki konieczne i podaj warunki dostateczne na to, by zbiorem argumen- t w tej funkcji byl caly zbi r liczb rzeczywistych / i by jednoczeÅ›nie zbiorem wartoÅ›ci byl zbi r liczb nieujemnych /+ ? Komentarz i rozwiazanie. Celem zadania bylo sprawdzenie rozumienia po- jeć warunek konieczny i warunek dostateczny . Zanim zaczniemy nawet zastanawiać sie nad zadaniem, należy zastanowić sie, kiedy wyrażenie pod pier- wiastkiem jest nieujemne. Ze szkolnych wiadomoÅ›ci o funkcjach kwadratowych mamy, że zachodzi to, gdy wyr żnik ( delta ) tej funkcji kwadratowej jest niedo- datni (to jest ujemny lub r wny zero) - jeżeli bowiem bylby dodatni, to istnialyby dwa pierwiastki - miedzy nimi wartoÅ›c fukcji bylaby ujemna. Wyr żnik ten to 22 - 4a. Jest on niedodatni, gdy a e" 1.To jest warunek konieczny i dostate- czny na to, by zbiorem argument w funkcji f byl caly zbi r . Takie zadanie omowilem na ostatnim wykladzie i bylo w zestawie zadaÅ„ przygotowawczych. Co z druga czeÅ›cia zadania? PozostaÅ„my dalej przy analizie funkcji widocznej pod pierwiastkiem. Sp jrz na wykres funkcji g(x) = (x-1)2+0, 3 = x2-2x+1, 3 oraz na wykres funkcji h(x) = x2 - 2x + 1, 3. Jeżeli parabola y = g(x) nie jest styczna do osi x, to i wykres funkcji h(x) nie dotyka osi. Funkcja nie przeksztalca wtedy calej prostej na wszystkie liczby nieujemne. A zatem warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by zbiorem argumen- t w tej funkcji byl caly zbi r liczb rzeczywistych / i by jednoczeÅ›nie zbiorem wartoÅ›ci byl zbi r liczb nieujemnych /+ jest, by parabola byla styczna do osi x. Jest to zatem warunek a = 1. Reszta jest ... prosta jak drut. Wezmy np. warunek a d" 1. Czy jest on 17 dostateczny? No, nie, bo jeżeli a d" 1, to może być np. a = , a dla takiej 2012 liczby teza zadania nie jest prawdziwa. Ale ten warunek jest konieczny!!! Bo przecież: a = 1 Ò! a d" 1. (x - 1)2 + 0.3 y 5 -2 0 2 4 x Zadanie 2. Podane sa dwie formuly rachunku zbior w: (A*"B) \ (B)"C) = (A \ B)*"(B \ C), A)"(B*"C) = (A*"B))"(A*"C) Jedna z nich jest prawdziwa, druga nie. 1 2.1. Udowodnij prawdziwa r wność metoda funkcji charakterystycznych. 2.2. Dla falszywej podaj kontrprzyklad zachodzacy dla podzbior w zbioru {1,2,3,4}. Rozwiazanie i komentarz. PowinniÅ›my pamietać regule rozdzielnoÅ›ci mnoże- nia wzgledem dodawania: A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C). Formula w zadaniu wyglada inaczej: A )" (B *" C) = (A *" B) )" (A *" C) , powinna być zatem falszywa. To oczywiÅ›cie nie jest pow d, ale tylko poszlaka. Na szczeÅ›cie prawie każdy wyb r podzbior w ze zbioru liczb {1,2,3} czy {1,2,3,4} to potwierdzi. Pierwsza formula jest rzeczywiÅ›cie prawdziwa. Dow d jest bardzo prosty - tak prosty, że nie bede go przytaczać. Zadanie 3. Opisz klasy r wnoważnoÅ›ci permutacji czterech liczb przy relacji s1 a" s2 gdy s1 i s2 maja ten sam typ rozkladu na cykle, to znaczy każda z nich ma tyle samo cykli jedno-, dwu-, tr j- , i czteroelementowych. Przyklad: permutacja {2,3,4,1} ma jeden cykl czteroelementowy. Dla ulatwienia masz tu wypisane wszystkie permutacje czterech element w {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 3}, {1, 3, 2, 4}, {1, 3, 4, 2}, {1, 4, 2, 3}, {1, 4, 3, 2}, {2, 1, 3, 4}, {2, 1, 4, 3}, {2, 3, 1, 4}, {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {2, 4, 3, 1}, {3, 1, 2, 4}, {3, 1, 4, 2}, {3, 2, 1, 4}, {3, 2, 4, 1}, {3, 4, 1, 2}, {3, 4, 2, 1}, {4, 1, 2, 3}, {4, 1, 3, 2}, {4, 2, 1, 3}, {4, 2, 3, 1}, {4, 3, 1, 2}, {4, 3, 2, 1} Rozwiazanie i komentarz. Zadanie nadzwyczaj latwe dla kogoÅ›, kto chocby jako-tako wie, o co chodzi. Troche żmudne. {{{1}, {2}, {3}, {4}} - tu mamy cztery cykle jednoelementowe, typ 1, 1, 1, 1. {{1}, {2}, {4, 3}} - tu mamy dwa cykle jednoelementowe, jeden dwu-. typ 1, 1, 2 {{1}, {3, 2}, {4}} i tak dalej, typ 1, 1, 2 {{1}, {3, 4, 2}}, typ 1, 3 {{1}, {4, 3, 2}}, typ 1, 3 {{1}, {4, 2}, {3}}, typ 1, 1, 2 {{2, 1}, {3}, {4}}, typ 1, 1, 2 {{2, 1}, {4, 3}}, typ 2, 2 {{2, 3, 1}, {4}}, typ 1, 3 {{2, 3, 4, 1}}, typ 4 {{2, 4, 3, 1}}, typ 4 {{2, 4, 1}, {3}}, typ 1, 3 {{3, 2, 1}, {4}}, typ 1, 3 {{3, 4, 2, 1}}, typ 4 {{3, 1}, {2}, {4}}, typ 1, 1, 2 {{3, 4, 1}, {2}}, typ 1, 3 {{3, 1}, {4, 2}}, typ 2, 2 {{3, 2, 4, 1}}, typ 4 {{4, 3, 2, 1}}, typ 4 {{4, 2, 1}, {3}}, typ 1, 3 2 {{4, 3, 1}, {2}}, typ 1, 3 {{4, 1}, {2}, {3}}, typ 1, 1, 2 {{4, 2, 3, 1}}, typ 4 {{4, 1}, {3, 2}}} typ 2, 2 Mamy zatem nastepujace typy (=klasy r wnoważnoÅ›ci) : {1,1,1,1}, {1,1,2}, {1,3}, {2,2}, {4} Ich liczebnoÅ›ci to odpowiednio: 1, 6, 8, 3, 6. Przypomne, co to jest rozklad permutacji na cykle. Najlepiej to zrozumieć na 1 2 3 4 5 6 7 8 przykladzie permutacji oÅ›miu liczb: . Rozklada 5 1 8 4 2 3 6 7 sie ona na trzy cykle (1,5,2), (3,8,7,6) oraz (4). Zadanie 4.1. Podaj przyklad funkcji odwzorowujacej zbi r wszystkich podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} na zbi r dwuelementowych podzbior w zbioru {1,2,3,4}. Jeżeli uważasz, że takiej funkcji nie ma, to napisz, dlaczego. Zadanie 4.2. Podaj przyklad funkcji r żnowartoÅ›ciowej, odwzorowujacej zbi r wszystkich podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} na zbi r podzbior w zbioru {1,2,3,4}. Jeżeli uważasz, że takiej funkcji nie ma, to napisz, dlaczego. Rozwiazanie i komentarz. Zadanie tak proste, że aż wstyd. Należalo je tylko odpowiednio przeczytać. Tu (w zadaniu 4.1) nie chodzi o funkcje ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbi r {1,2,3,4}. Tu chodzi o funkcje ze zbioru podzbior w w zbi r podzbior w!!! Każdemu zbiorowi liczb miedzy jeden a pieć należy przyporzad- kowac dwie liczby!!!! Można to zrobić na bardzo wiele sposob w, a bodajże najprostszy to taki: jeżeli podzbi r A ‚" {1, 2, 3, 4, 5} ma co najmniej dwa ele- menty, to przyporzadkujmy mu dwa najmniejsze, np. {2, 3, 4}- > {2, 3}. Jeżeli A jest zbiorem o jednym elemencie, albo zbiorem pustym, to przyporzadkujmy podzbi r {1, 2}. Komentarz do 4.2. Zbi r podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} ma 32 elementy, a zbi r podzbior w zbioru {1,2,3,4} ma 16 element w. Nie może istnieć stosowna funkcja r żnowartoÅ›ciowa!!!!!! 3 Zadanie 5. OkreÅ›lamy relacje miedzy parami liczb calkowitych x, y, obie z przedzialu [-3, 3] tak: p q, gdy albo p = q albo 0 = max(p ÷ q) " q.
Warunek ten rozumiemy jako warunek podw jny: maksimum r żnicy sym- etrycznej nie jest r wne 0 i należy do drugiej pary. Przykladowo, {-3, 3} {-2, 3}, ponieważ wieksza z liczb -3, -2 pochodzi z drugiej pary. 5.1. Wyznacz elementy maksymalne, mimimalne, najwiekszy, najmniejszy (jeśli sa). 5.2. Podaj przyklad maksymalnego lańcucha i maksymalnego antylańcucha. 5.3. Czy istnieje kres dolny zbioru wszystkich par {x, y} , x e" 1, y e" 1 ? 5.4. Wykorzystujac kwadrat 7 na 7 (np. na kratkowanym papierze, albo ten obok), zilustruj ten porzadek graficznie. Komentarz do zadania 5. Bylo ono trudne. Mozna jednak bylo zdobyć wiele punkt w, czyniac kilka latwych obserwacji. Rozpatrzmy najpierw, co sie dzieje dla par zlożonych z liczb dodatnich. Wtedy (prawie) nie przeszkadza warunek max(p, q) = 0.Om wione to bylo dokladnie na wykladzie przed egzaminem. A zatem mamy w tej cześci porzadek widoczny na rysunku. Uwaga. Nie ma relacji miedzy 01, 10 miedzy 21 i 12 i tak dalej. Podobny porzadek panuje i w pozostalych trzech cześciach. Inaczej dzieje sie z parami zawierajacymi zero. Na przyklad (0, 0) jest niepor wnywalne z każdym z element w (i,j), gdzie i < 0, j < 0. A zatem na przyklad (3, 3) jest najwiekszy! Niestety, (-3, -3) nie jest na- jmniejszy, nie da sie bowiem por wnac z (0,0). Jest minimalny, bo mniejszego 4 nie ma. Elementy minimalne sa zaznaczone k lkiem. Tworza one maksymalny antylańcuch (żadne dwa elementy nie daja sie por wnać). Zbi r par o wyrazach nieujemnych ma najwieksze ograniczenie dolne (kres dolny), {0,0}, zaś zbi r par o wyrazach co najmniej 1 ma krs dolny {1,1}. Maksymalny lańcuch - to najdluższa droga od {3,3} do {-3,3}. Na wykladzie bylo jeszcze twierdzenie Dil- wortha o tym, że minimalna liczba lańcuch w pokrywajacych zbi r jest r wna dlugości najwiekszego antylańcucha. Prosze i to powt rzyć. 5