PM 20 czerwca 2012


WIT, Egzamin z Podstaw Matematyki, 20 czerwca 2012
r.
"
Zadanie 1. Określamy funkcje wzorem f(x) = x2 - 2x + a. Podaj
warunki konieczne i podaj warunki dostateczne na to, by zbiorem argumen-
t w tej funkcji byl caly zbi r liczb rzeczywistych / i by jednocześnie zbiorem
wartości byl zbi r liczb nieujemnych /+ ?
Komentarz i rozwiazanie. Celem zadania bylo sprawdzenie rozumienia po-
jeć warunek konieczny i warunek dostateczny . Zanim zaczniemy nawet
zastanawiać sie nad zadaniem, należy zastanowić sie, kiedy wyrażenie pod pier-
wiastkiem jest nieujemne. Ze szkolnych wiadomości o funkcjach kwadratowych
mamy, że zachodzi to, gdy wyr żnik ( delta ) tej funkcji kwadratowej jest niedo-
datni (to jest ujemny lub r wny zero) - jeżeli bowiem bylby dodatni, to istnialyby
dwa pierwiastki - miedzy nimi wartośc fukcji bylaby ujemna. Wyr żnik ten to
22 - 4a. Jest on niedodatni, gdy a e" 1.To jest warunek konieczny i dostate-
czny na to, by zbiorem argument w funkcji f byl caly zbi r . Takie zadanie
omowilem na ostatnim wykladzie i bylo w zestawie zadań przygotowawczych.
Co z druga cześcia zadania? Pozostańmy dalej przy analizie funkcji widocznej
pod pierwiastkiem. Sp jrz na wykres funkcji g(x) = (x-1)2+0, 3 = x2-2x+1,
3 oraz na wykres funkcji h(x) = x2 - 2x + 1, 3. Jeżeli parabola y = g(x) nie
jest styczna do osi x, to i wykres funkcji h(x)  nie dotyka osi. Funkcja nie
przeksztalca wtedy calej prostej na wszystkie liczby nieujemne.
A zatem warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by zbiorem argumen-
t w tej funkcji byl caly zbi r liczb rzeczywistych / i by jednocześnie zbiorem
wartości byl zbi r liczb nieujemnych /+ jest, by parabola byla styczna do osi
x. Jest to zatem warunek a = 1.
Reszta jest ... prosta jak drut. Wezmy np. warunek a d" 1. Czy jest on
17
dostateczny? No, nie, bo jeżeli a d" 1, to może być np. a = , a dla takiej
2012
liczby teza zadania nie jest prawdziwa. Ale ten warunek jest konieczny!!! Bo
przecież: a = 1 Ò! a d" 1.
(x - 1)2 + 0.3
y
5
-2 0 2 4
x
Zadanie 2. Podane sa dwie formuly rachunku zbior w:
(A*"B) \ (B)"C) = (A \ B)*"(B \ C), A)"(B*"C) = (A*"B))"(A*"C)
Jedna z nich jest prawdziwa, druga nie.
1
2.1. Udowodnij prawdziwa r wność metoda funkcji charakterystycznych.
2.2. Dla falszywej podaj kontrprzyklad zachodzacy dla podzbior w zbioru
{1,2,3,4}.
Rozwiazanie i komentarz. Powinniśmy pamietać regule rozdzielności mnoże-
nia wzgledem dodawania: A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C). Formula w zadaniu
wyglada inaczej: A )" (B *" C) = (A *" B) )" (A *" C) , powinna być zatem
falszywa. To oczywiście nie jest pow d, ale tylko poszlaka. Na szczeście prawie
każdy wyb r podzbior w ze zbioru liczb {1,2,3} czy {1,2,3,4} to potwierdzi.
Pierwsza formula jest rzeczywiście prawdziwa. Dow d jest bardzo prosty -
tak prosty, że nie bede go przytaczać.
Zadanie 3. Opisz klasy r wnoważności permutacji czterech liczb przy relacji
s1 a" s2 gdy s1 i s2 maja ten sam typ rozkladu na cykle, to znaczy każda z
nich ma tyle samo cykli jedno-, dwu-, tr j- , i czteroelementowych. Przyklad:
permutacja {2,3,4,1} ma jeden cykl czteroelementowy.
Dla ulatwienia masz tu wypisane wszystkie permutacje czterech element w
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 3}, {1, 3, 2, 4}, {1, 3, 4, 2}, {1, 4, 2, 3}, {1, 4, 3, 2},
{2, 1, 3, 4}, {2, 1, 4, 3}, {2, 3, 1, 4}, {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {2, 4, 3, 1},
{3, 1, 2, 4}, {3, 1, 4, 2}, {3, 2, 1, 4}, {3, 2, 4, 1}, {3, 4, 1, 2}, {3, 4, 2, 1},
{4, 1, 2, 3}, {4, 1, 3, 2}, {4, 2, 1, 3}, {4, 2, 3, 1}, {4, 3, 1, 2}, {4, 3, 2, 1}
Rozwiazanie i komentarz. Zadanie nadzwyczaj latwe dla kogoÅ›, kto chocby
jako-tako wie, o co chodzi. Troche żmudne.
{{{1}, {2}, {3}, {4}} - tu mamy cztery cykle jednoelementowe, typ
1, 1, 1, 1.
{{1}, {2}, {4, 3}} - tu mamy dwa cykle jednoelementowe, jeden dwu-. typ
1, 1, 2
{{1}, {3, 2}, {4}} i tak dalej, typ 1, 1, 2
{{1}, {3, 4, 2}}, typ 1, 3
{{1}, {4, 3, 2}}, typ 1, 3
{{1}, {4, 2}, {3}}, typ 1, 1, 2
{{2, 1}, {3}, {4}}, typ 1, 1, 2
{{2, 1}, {4, 3}}, typ 2, 2
{{2, 3, 1}, {4}}, typ 1, 3
{{2, 3, 4, 1}}, typ 4
{{2, 4, 3, 1}}, typ 4
{{2, 4, 1}, {3}}, typ 1, 3
{{3, 2, 1}, {4}}, typ 1, 3
{{3, 4, 2, 1}}, typ 4
{{3, 1}, {2}, {4}}, typ 1, 1, 2
{{3, 4, 1}, {2}}, typ 1, 3
{{3, 1}, {4, 2}}, typ 2, 2
{{3, 2, 4, 1}}, typ 4
{{4, 3, 2, 1}}, typ 4
{{4, 2, 1}, {3}}, typ 1, 3
2
{{4, 3, 1}, {2}}, typ 1, 3
{{4, 1}, {2}, {3}}, typ 1, 1, 2
{{4, 2, 3, 1}}, typ 4
{{4, 1}, {3, 2}}} typ 2, 2
Mamy zatem nastepujace typy (=klasy r wnoważności) :
{1,1,1,1}, {1,1,2}, {1,3}, {2,2}, {4}
Ich liczebności to odpowiednio: 1, 6, 8, 3, 6.
Przypomne, co to jest rozklad permutacji na cykle. Najlepiej to zrozumieć na
1 2 3 4 5 6 7 8
przykladzie permutacji ośmiu liczb: . Rozklada
5 1 8 4 2 3 6 7
sie ona na trzy cykle (1,5,2), (3,8,7,6) oraz (4).
Zadanie 4.1. Podaj przyklad funkcji odwzorowujacej zbi r wszystkich
podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} na zbi r dwuelementowych podzbior w zbioru
{1,2,3,4}. Jeżeli uważasz, że takiej funkcji nie ma, to napisz, dlaczego.
Zadanie 4.2. Podaj przyklad funkcji r żnowartościowej, odwzorowujacej
zbi r wszystkich podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} na zbi r podzbior w zbioru
{1,2,3,4}. Jeżeli uważasz, że takiej funkcji nie ma, to napisz, dlaczego.
Rozwiazanie i komentarz. Zadanie tak proste, że aż wstyd. Należalo je tylko
odpowiednio przeczytać. Tu (w zadaniu 4.1) nie chodzi o funkcje ze zbioru
{1,2,3,4,5} w zbi r {1,2,3,4}. Tu chodzi o funkcje ze zbioru podzbior w w zbi r
podzbior w!!! Każdemu zbiorowi liczb miedzy jeden a pieć należy przyporzad-
kowac dwie liczby!!!! Można to zrobić na bardzo wiele sposob w, a bodajże
najprostszy to taki: jeżeli podzbi r A ‚" {1, 2, 3, 4, 5} ma co najmniej dwa ele-
menty, to przyporzadkujmy mu dwa najmniejsze, np. {2, 3, 4}- > {2, 3}. Jeżeli
A jest zbiorem o jednym elemencie, albo zbiorem pustym, to przyporzadkujmy
podzbi r {1, 2}.
Komentarz do 4.2. Zbi r podzbior w zbioru {1,2,3,4,5} ma 32 elementy, a
zbi r podzbior w zbioru {1,2,3,4} ma 16 element w. Nie może istnieć stosowna
funkcja r żnowartościowa!!!!!!
3
Zadanie 5. Określamy relacje miedzy parami liczb calkowitych x, y, obie z
przedzialu [-3, 3] tak: p q, gdy albo p = q albo 0 = max(p ÷ q) " q.

Warunek ten rozumiemy jako warunek podw jny: maksimum r żnicy sym-
etrycznej nie jest r wne 0 i należy do drugiej pary. Przykladowo, {-3, 3}
{-2, 3}, ponieważ wieksza z liczb -3, -2 pochodzi z drugiej pary.
5.1. Wyznacz elementy maksymalne, mimimalne, najwiekszy, najmniejszy
(jeśli sa).
5.2. Podaj przyklad maksymalnego lańcucha i maksymalnego antylańcucha.
5.3. Czy istnieje kres dolny zbioru wszystkich par {x, y} , x e" 1, y e" 1 ?
5.4. Wykorzystujac kwadrat 7 na 7 (np. na kratkowanym papierze, albo ten
obok), zilustruj ten porzadek graficznie.
Komentarz do zadania 5. Bylo ono trudne. Mozna jednak bylo zdobyć wiele
punkt w, czyniac kilka latwych obserwacji. Rozpatrzmy najpierw, co sie dzieje
dla par zlożonych z liczb dodatnich. Wtedy (prawie) nie przeszkadza warunek
max(p, q) = 0.Om wione to bylo dokladnie na wykladzie przed egzaminem. A
zatem mamy w tej cześci porzadek widoczny na rysunku. Uwaga. Nie ma
relacji miedzy 01, 10 miedzy 21 i 12 i tak dalej. Podobny porzadek panuje
i w pozostalych trzech cześciach. Inaczej dzieje sie z parami zawierajacymi
zero. Na przyklad (0, 0) jest niepor wnywalne z każdym z element w (i,j), gdzie
i < 0, j < 0.
A zatem na przyklad (3, 3) jest najwiekszy! Niestety, (-3, -3) nie jest na-
jmniejszy, nie da sie bowiem por wnac z (0,0). Jest minimalny, bo mniejszego
4
nie ma. Elementy minimalne sa zaznaczone k lkiem. Tworza one maksymalny
antylańcuch (żadne dwa elementy nie daja sie por wnać). Zbi r par o wyrazach
nieujemnych ma najwieksze ograniczenie dolne (kres dolny), {0,0}, zaÅ› zbi r
par o wyrazach co najmniej 1 ma krs dolny {1,1}. Maksymalny lańcuch - to
najdluższa droga od {3,3} do {-3,3}. Na wykladzie bylo jeszcze twierdzenie Dil-
wortha o tym, że minimalna liczba lańcuch w pokrywajacych zbi r jest r wna
dlugości najwiekszego antylańcucha. Prosze i to powt rzyć.
5


Wyszukiwarka