Kombinatoryka
n k n k
Losowanie bez zwracania Losowanie ze zwracaniem
n!
Vnk =
Wariacje  bez powtórzeń
(n - k)!
Vnk = nk
 z powtórzeniami
Wariacje bez powtórzeń - ze zbioru n różnych elementów tworzymy
uporządkowany zbiór składający się z k różnych elementów.
Wariacje z powtórzeniami - ze zbioru n różnych elementów tworzymy
uporządkowany zbiór składający się z k elementów różnych lub nie
różniących się między sobą.
Pn = n!= Vnn
Permutacje  bez powtórzeń
n!
1
Pnn ,n2 ...nk =
 z powtórzeniami
n1!n2!...nk!
Permutacje bez powtórzeń  liczba możliwych ustawień (kolejność)
zbioru składającego się z n różnych elementów, liczba różnych
zbiorów składających się z takich samych n różnych elementów
ustawionych w różnej kolejności.
Permutacje z powtórzeniami  liczba możliwych ustawień (kolejność)
zbioru składającego się z n elementów wśród których pewne elementy
powtarzają się n1, n2...nk razy, liczba takich zbiorów różniących się
jedynie kolejnością ustawienia.
n
�ł �ł
n!
k
Cn = �ł �ł =
�ł �ł
Kombinacje  bez powtórzeń
k k!(n - k)!
�ł łł
n + k -1
�ł �ł (n + k -1)!
k
Cn = �ł �ł =
�ł �ł
 z powtórzeniami
k k!(n -1)!
�ł łł
Kombinacje bez powtórzeń  zbiór składający się z k różnych elementów
wybranych spośród n różnych elementów, utworzony zbiór nie jest
uporządkowany.
Kombinacje z powtórzeniami  zbiór składający się z k, różnych lub nie,
elementów wybranych spośród n różnych elementów, utworzony zbiór
nie jest uporządkowany.
ZADANIA
Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek z 6 różnych
barw?
6! 6!
V63 = = = 4�"5�"6 = 120
Kolejność kolorów odgrywa rolę
(6 - 3)! 3!
Obliczyć ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się
żadna cyfra.
10!
4
V10 = = 7�"8�"9�"10 = 5040
Układy 4 cyfrowe, też z 0 na początku
6!
9!
V93 = = 7�"8�"9 = 504
Układy 4 cyfrowe z 0 na początku
6!
4
V10 -V93 = 5040- 504 = 4536
{A, B,C, D}? P4 = 4!= 24
Na ile sposobów można ustawić zbiór
4!
P42 = = 12
{A, B,C,C}
Na ile sposobów można ustawić zbiór ?
2!
Ile nastąpi powitań gdy jednocześnie spotka się 6 znajomych?
n = 6 liczba wszystkich osób 6
�ł �ł
6! 6 �" 5
2
�ł
�! C6 = =
�ł2�ł 2!�"4! = 1�" 2 = 15
�ł
k = 2 przywitanie
�ł łł
Malarz ma pomalować trzy przedmioty mając do dyspozycji farby w
5 kolorach. Ile układów farb może malarz otrzymać jeżeli każdy przedmiot
jest malowany na jeden kolor?
n = 5 wybieramyspośpoś5 kolorów 5 + 3 -1 7
�ł �ł �ł �ł
7!
3
�! C5 = �ł �ł �ł
=
�ł �ł �ł3�ł = 3!�"4! = 3
�ł
k = 3 losujemy 3 razy 3
�ł łł �ł łł
Rachunek prawdopodobie stwa
" przestrzeń zdarzeń elementarnych
&! = {�1,�2,�3,...�N}
" zbiór skończony
" żadne ze zdarzeń nie jest
P(�1)= P(�2)= ... = P(�N )
wyróżnione
" równe prawdopodob. zdarzeń
elementarnych
A ={�i ,�i ,�i ,...�i } oraz A �" &!
1 2 3 n
n
P(A)=
Prawdopodobieństwo zdarzenia A
N
Jeżeli &! jest obszarem w Rn o skończonej mierze np.
" odcinek w R1
" obszar ograniczony w R2
Prawdopodobieństwo trafienia w obszar A�"&! zależy tylko od miary
obszaru A i nie należy od położenia obszaru A wewnątrz obszaru &!.
miara(A)
P(A) =
miara(&!)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A )" B)
P(B) `" 0 �! P(A B)=
Jeżeli :
P(B)
P(A�łB)  prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A liczone przy
założeniu (warunku), że zdarzenie B nastąpiło.
P(A)"B)  prawdopodobieństwo jednoczesnego zajścia zdarzeń A i B.
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A1, A2,...An są niezależne, jeśli dla dowolnych wskaz
ników
i1, i2,...ik 1d"i1 d"ikd"n
P(Ai )" Ai )"K)" Ai )= P(Ai )�" P(Ai )�"K�" P(Ai )
1 2 k 1 2 k
Prawdopodobieństwo całkowite
A1 K An są parami rozłączne, przy czym A1 *" A2 *"K*" An = &!
Zdarzenia
i = 1,2,Kn P(Ai ) > 0
Oraz dla , to dla dowolnego zdarzenia B
n
P(B) =
"P(A )�" P(B Ai )
i
i=1
Wzór Bayesa
P(Aj)�" P(B Aj) P(Aj)�" P(B Aj)
P(Aj B)= =
n
Jeżeli P(B)>0, to P(B)
"P(A )�" P(B Ai)
i
i=1
Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń
P(A )" B) = P(A)�" P(B A)
Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń
P(A *" B)= P(A)+ P(B)- P(A )" B)
ZADANIA
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany przypadkowo punkt
x < 1 y < 1
kwadratu jest punktem leżącym wewnątrz okręgu o równaniu
x2 + y2 = 1.
Skw = a2 = 22 = 4
Sokr Ą
�! P(A) = =
Skw 4
Sokr = Ą �" r2 = Ą �"12 = Ą
Fabryka wyrabia śruby na trzech maszynach
udział w produkcji
całkowitej ilość braków
A1 25% 5%
A2 35% 4%
A3 40% 2%
Wybrano losowo śrubę, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a. wyprodukowała ją maszyna A1,
b. jest brakiem,
c. nie jest brakiem,
d. wyprodukowała ją maszyna A1 jeżeli stwierdzono, ze śruba jest wadliwa
(prawdopodobieństwo warunkowe).
ad. a. P(a)=0,25
ad. b. P(b)=P(A1)P(b�łA1) + P(A2)P(b�łA2) + P(A3)P(b�łA3)
=0,25�"0,05+0,35�"0,04+0,40�"0,02=0,0345
ad. c. P(c)=1- P(b)=1-0,0345=0,9655
P(A1) �" P(b A1)
0,25 �" 0,05 0,0125
P(d) = P(A1 b)= = = = 0,3623
ad. d.
P(b) 0,0345 0,0345