2.5. ODROCZONE DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE
NA WYPADEK ÅšMIERCI
Odroczonym o m lat dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci nazywamy
ubezpieczenie na mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy
ubezpieczenia spadkobiercom ubezpieczonego po jego śmierci, jeżeli śmierć ubezpie-
czonego nastąpi póz
niej niż w ciągu m pierwszych lat od momentu zawarcia umowy
ubezpieczenia.
Przyjmując poczynione uprzednio założenia i oznaczenia oraz wyżej zapisaną definicję
odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci zauważmy, że zobowiązania ubezpieczy-
cie-la w tym przypadku określa następujący kapitał losowy.
ż#
ª#0 dla K = 0,1,2 . . .m - 1
(2.39)
S5 =
¨#
K+1
ª#
©#v dla K = m,m + 1,...,w - x
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob(S5 = 0) = Prob(K = k) =kpxqx + k dla k=0,1, . . . , m-1 (2.40)
Prob(S5 = vk +1) dla k=m, m+1, ...w-x (2.41)
gdzie: m - okres odroczenia ubezpieczenia.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S5 możemy zapisać w tablicy
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S5
k 0 do m-1 m m+1 . . . . w-x
sk 0 vm+1 vm+2 . . . . vw-x+1
m-1 pxqx+ . . . .
P(S2=sk)
pxqx+ m+1 m+1 pxqw
m m w - x
pxqx+
"
k k
k =0
Jeżeli porównamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S1- dożywotnie-
go ubezpieczenia na wypadek śmierci (por.2.2 i2.3) oraz zmiennej losowej S2- terminowe-
53
go ubezpieczenia na wypadek śmierci (por.2.15 i2.17), to zauważymy, że zmienną losową
S5 można traktować jako różnicę zmiennej losowej S1 i S2
S5 = S1 - S2 (2.42)
Z powyższego wynika, że jednorazowa składka odroczonego o m-lat dożywotniego ubez-
pieczeniana na wypadek śmierci może być wyznaczona następująco:
A5 = E(S5) = E(S1) - E(S2) (2.43)
m x
Mx+ m
A5 == A1 - A2 =
(2.44)
m x x
x:m
Ð#
Dx
Wariancja zmiennej losowej S5 może być wyznaczona z definicji na podstawie wzoru
(2.10). W tym przypadku podobnie jak w poprzednich mamy
2
D2(S5) =mA5| r(2+ r) - A5| r (2.45)
x ( )
m x
Dla porównania odroczonego dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci (zmienna
losowa S5) z dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci (zmienna losowa S1) wy-
znaczono jednorazową składkę netto i odchylenie standardowe D tego ubezpieczenia dla
sumy ubezpieczenia 50 tys. zł., okresu odroczenia 20 lat oraz technicznej stopy procento-
wej r=0,05. Wyniki obliczeń zamieszczono w tablicy 2.12.
54
Tablica 2.12. Odroczone dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci.
Jednorazowa składka netto.
Wiek M
ŻCZYZNA KOBIETA
ubepz. Składka Odchylenie współczynnik Składka Odchylenie współczynnik
w jednorazo- standardowe zmienności jednorazowa standardowe zmienności
latach wa w tys. zł w tys. zł
x Ax D V Ax D V
18 4,536 3,413 0,752 3,118 2,509 0,805
19 4,693 3,482 0,742 3,249 2,572 0,792
20 4,852 3,551 0,732 3,384 2,634 0,779
21 5,013 3,621 0,722 3,522 2,696 0,765
22 5,176 3,691 0,713 3,663 2,756 0,752
23 5,339 3,761 0,704 3,808 2,816 0,739
24 5,500 3,830 0,696 3,957 2,875 0,727
25 5,658 3,899 0,689 4,108 2,933 0,714
26 5,812 3,967 0,683 4,263 2,991 0,702
27 5,961 4,035 0,677 4,421 3,048 0,689
28 6,106 4,105 0,672 4,583 3,105 0,678
29 6,247 4,177 0,669 4,749 3,165 0,667
30 6,385 4,253 0,666 4,920 3,228 0,656
31 6,519 4,332 0,665 5,097 3,296 0,647
32 6,649 4,416 0,664 5,278 3,366 0,638
33 6,773 4,503 0,665 5,463 3,439 0,630
34 6,889 4,595 0,667 5,651 3,515 0,622
35 6,996 4,691 0,670 5,840 3,592 0,615
36 7,094 4,791 0,675 6,029 3,670 0,609
37 7,180 4,895 0,682 6,217 3,751 0,603
38 7,254 5,004 0,690 6,405 3,834 0,599
39 7,313 5,116 0,700 6,592 3,922 0,595
40 7,357 5,232 0,711 6,777 4,014 0,592
41 7,384 5,350 0,725 6,960 4,111 0,591
42 7,392 5,471 0,740 7,138 4,214 0,590
43 7,383 5,593 0,758 7,309 4,323 0,591
44 7,358 5,717 0,777 7,472 4,438 0,594
45 7,319 5,841 0,798 7,623 4,561 0,598
46 7,264 5,966 0,821 7,761 4,691 0,604
47 7,192 6,089 0,847 7,883 4,828 0,612
48 7,100 6,210 0,875 7,985 4,974 0,623
49 6,988 6,326 0,905 8,066 5,128 0,636
50 6,853 6,436 0,939 8,122 5,290 0,651
Z porównania danych zawartych w tablicy 2.3 oraz 2.12 możemy zauważyć, że w przy-
padku kobiet w przedziale wiekowym od 18 do 30 lat składka jednorazowa dożywotniego
ubezpieczenia na wypadek śmierci nieznacznie się różni od jednorazowej składki tego
ubezpieczenia w wersji odroczonej.
55
Trochę większą różnicę obserwujemy dla kobiet w wieku powyżej 30 lat. Generalnie od-
chylenie standardowe D(S5) dla odroczonego ubezpieczenia jest mniejsze od odchylenia
standardowego D(S1) dożywotniego ubezpieczenia.
W tym przypadku wydaje się zasadne posługiwanie się odchyleniem standardowym dla
oceny ryzyka związanego z ubezpieczeniem. Ale również w tym przypadku rozkład
zmiennej losowej S5 nie jest tak skrajnie asymetryczny jak rozkład zmiennej losowej S2 i
S3. Zmniejszenie wartości oczekiwanej E(S5) oraz odchylenia standardowego D(S5) odro-
czonego dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci spowodowane jest brakiem
ochrony ubezpieczeniowej w pierwszych 20 latach od momentu zawarcia ubezpieczenia.
Podobne uwagi można sformułować w stosunku do ubezpieczenia mężczyzn.
W celu zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.12 sporzÄ…dzono rysunek 2.16.
Rys.2.16.ODROCZONE DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA
WYPADEK ÅšMIERCI. JEDNORAZOWA SKA
ADKA NETTO
.(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł.,okres odroczenia 20 lat, tech.
stp. r=0,05)
Składka-m Ax Składka-m. Ax+D Składka-k Ax Składka-k. Ax+D
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
Z analizy rozkładów prawdopodobieństwa przedstawionych w niniejszym rozdziale
klasycznych wersji indywidualnych ubezpieczeń życiowych wynika, że wariancja (odchy-
lenie standardowe)może być miarą ryzyka związanego z ubezpieczeniem w przypadku
dożywotniego i odroczonego ubezpieczenia na wypadek śmierci oraz w niektórych przy-
padkach ubezpieczenia na życie i dożycie (zmienne losowe S1, S5 i S4).
56
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI w tys.zł.
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
W przypadkach skrajnie asymetrycznych rozkładów takich jak w terminowych ubezpie-
czeniach na wypadek śmierci, ubezpieczeniach na dożycie oraz niektórych przypadkach
ubezpieczenia na życie i dożycie (zmienne losowe S2, S3 i S4) miarą ryzyka związanego z
ubezpieczeniem powinno być prawdopodobieństwo zdarzenia wypłacenia lub niewypłace-
nia odszkodowania przez firmÄ™ ubezpieczeniowÄ….
57
2.6. SUMA UBEZPIECZENIA PA
ATNA W MOMENCIE ÅšMIERCI
UBEZPIECZONEGO
Wypłata świadczenia z tytułu ubezpieczeń życiowych następuje zwykle bezpośred-
nio po śmierci ubezpieczonego. W dotychczasowych rozważaniach przyjmowaliśmy, że
wypłata ta następuje na końcu roku, w którym umarł ubezpieczony. Jednym ze sposobów
usunięcia tej rozbieżności i wyprowadzenia wzorów na jednorazową składkę netto u-
względniających fakt wypłaty sumy ubezpieczenia bezpośrednio po śmierci ubezpieczone-
go jest wprowadzenie korekty w wysokości jednorazowej składki netto obliczonej zgodnie
ze wzorami wyprowadzonymi w poprzednich paragrafach. Korekta ta może być wyzna-
czona np. przy przyjęciu następującego założenia:
Czas trwania dalszego życia osoby ubezpieczonej w wieku x jest zmienną losową dającą
się zdekomponować na dwa składniki
T = K + Z = K+1-(1-Z) (2.46)
gdzie: T - zmienna losowa określająca czas trwania dalszego życia osoby ubezpieczonej
K - zmienna losowa określająca liczbę pełnych lat dalszego trwania życia osoby
ubezpieczonej
Z - zmienna losowa określająca część ostatniego roku dalszego trwania życia osoby
ubezpieczonej
Przyjmując kolejne założenia, że zmienne losowe K i Z są niezależne oraz, że
zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny11 w przedziale (0,1) możemy wyprowadzić
wzór na korektę jednorazowej składki netto. Przykładowo dla zmiennej losowej S1 (doży-
wotnie ubezpieczenia na wypadek śmierci) mamy:
S1 = vT
A1 = E(S1) = E(vK+1-(1- Z)) = E(vK+1 Å" v-(1- Z)) = E(vK+1)E(v-(1- Z))
x
Z założenie o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0,1) zmiennej losowej Z wynika, że
czynnik korygujący ma postać12:
11
Założenie to nie zawsze musi być spełnione.
12
Bijak W., Podgórska M., Utkin J., Matematyka Finansowa. Bizant. Warszawa 1994.
58
r
(2.47)
E(v-(1- Z)) =
ln(1 + r)
Stąd jednorazowa składka netto skorygowana jest równa
(2.48)
A1 = A1 Å"r
x x
ln(1 + r)
Dla zilustrowania wielkości korekty wyznaczymy czynnik korygujący dla niektórych tech-
nicznych stóp procentowych. Obliczenia zamieszczone są w tablicy 2.13.
Tablica 2.13. Czynnik korygujący jednorazową składkę netto
lp r ln(1+r) r/ln(1+r)
1 0.05 0.04879016417 1.024796716
2 0.1 0.095310798 1.049205869
3 0.1025 0.09758032834 1.05416634
4 0.21 0.1906203596 1.101666162
Dla pozostałych ubezpieczeń życiowych składka skorygowana wyraża się wzorem
a) Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci
r
2
Axn = Å"A2 Ð# (2.49)
: Ð# xn
:
ln(1+ r)
b) Ubezpieczenie na dożycie
3
Axn = A3 Ð#
(2.50)
: Ð# xn
:
c). Ubezpieczenie na życie i dożycie na n lat
S4 = S2 + S3
(2.51)
r
42 2
Ax:nÐ# = Ax:n + A3 = Ax:n + A3 Ð#
Ð# x:nÐ# Ð# x:n
ln(1 + r)
d) Odroczone o m lat dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci
S5 = S1 - S2
1
A5 = Å" A5
(2.52)
xm x
m
ln(1 + r)
59