STRUKTURY ALGEBRAICZNE I LICZBY ZESPOLONE
praca domowa
INSTRUKCJA: Wpisz rozwiązania zadań na przeznaczonym na nie miejscu. Jeśli
zabraknie miejsca, dołącz kartkę z obliczeniami. Samodzielne rozwiązania należy oddać na
zajęciach 5 listopada lub wcześniej zostawić w A201. Pytania można zadawać w czasie
konsultacji (środa, 10-12 A201).
ImiÄ™, nazwisko, grupa:
Nazwisko wykładowcy:
2+3i
Grupy i permutacje (b)
1-i
ab
1. Zbadać, czy (R, ć%) jest grupą, gdy x ć% y = .
2
4. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby, wartość
bezwzględną oraz liczbę sprzężoną do danej.
(a) (1 - i) + (4 + 3i),
(b) (2 + 2i)(3 - i).
5. Znajdz
liczby takie rzeczywiste  i µ, aby zachodziÅ‚y
równości:
2. Wyznacz znak permutacji
(a) (2 - i) + µ(-3 + i) = -4 + i

1 2 3 4 5 6 7 8 9
(a)
3 7 6 8 9 4 5 1 2
3
(b) (1 - i)2 + µ(2 + i)2 = - 6i
2

1 2 3 4 5 6 7 8 9
(b)
8 5 6 3 7 1 4 2 9
6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie:
(a) z2 + z - 2 = 0
Zadania wstępne
(b) z - (2 - i)z = 1
Å»
3. Wykonaj działania
(a) (2 + 3i) · (4 - 2i).
1
STRUKTURY I LICZBY ZESPOLONE
Grupa 5/10 praca domowa ALG-GEOM-2010
Ä„ Ä„
Postać trygonometryczna (b) (- cos + i sin )18
9 9
7. Wyznacz wartości kąta ą, dla których:
"
1 - 3
(a) sin Ä… = i cos Ä… =
2 2
" "
2 - 2
(b) sin Ä… = - i cos Ä… =
2 2
11. * Wyprowadz
wzór na sin 3x korzystając ze wzoru de
Moivre a.
8. Przekształć liczbę do postaci trygonometrycznej
(a) z = 2i
"
4
12. Oblicz pierwiastki -i i narysuj je na płaszczyz
nie ze-
spolonej.
(b) z = 1 - i
13. Wyznacz wszytkie pierwiastki zespolone
"
5
(a) i
(c) z = -2 - i
"
6
(b) 1
9. Oblicz korzystajÄ…c z postaci trygonometrycznej:
"
(a) (1 - i)(1 - i 3)
14. Rozwiąż równanie w dziedzinie zespolonej
(a) z2 + 2(1 + i)z + 2i = 0
(b) (2 + 2i)3
(b) z4 - 2z2 + 4 = 0
1-i
(c) ( )201
1+i
15. * Niech ei, i = 0, 1, . . . , n - 1, oznacza i-ty pierwistek
n-tego stopnia z jednoÅ›ci. Oblicz e0 · e1 · · · · · en-1.
10. Oblicz i podaj wynik w postaci agebraicznej (a + bi)
(a) (cos 12ć% + i sin 12ć%)10
STRUKTURY I LICZBY ZESPOLONE
Grupa 5/10 praca domowa ALG-GEOM-2010
Zbiory na płaszczyz
nie zespolonej 17. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej zbiór A )" B, gdzie
16. Podaj interpretacjÄ™ geometrycznÄ… zbioru liczb zespolo-
A = {z " C : 1 |z - 2 + i| 4},
nych spełniających warunek:
Ä„
B = {z " C : 0 Argz }.
(a) |z + 3| = |z - i|.
4
Ä„
(b) < Arg(z4) 2Ä„.
2
18. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej zbiór A )" B, gdzie
Ä„
A = {z " C : Arg(iz) Ä„},
2
B = {z " C : |z| = Rez + 1}.
Ä„
(c) Arg(z - 2 + i) =
4
"
19. Rozwiąż równanie z6 = (1 - i 3)12
|z+i|
(d) = µ, µ > 0.
|z-i|