1. CiaÅ‚o, Ã-ciaÅ‚o, miara, przestrzeÅ„ mierzalna
1.1. SformuÅ‚owac definicje ciaÅ‚a i Ã-ciaÅ‚a.
1.2. Niech M bÄ™dzie Ã-algebrÄ… podzbiorów zbioru X. Załóżmy, że A, B, A1, A2, . . . " M
Wykazać, że:
" A \ B " M
" A )" B " M
"

" An " M
n=1

1.3. Niech {Mt}t"T bÄ™dzie rodzinÄ… Ã-algebr na zbiorze X. Wykazac, że M := Mt
t"T
jest Ã-algebrÄ… na X.
1.4. Sprawdzic, czy rodzina F ‚" 2X jest algebrÄ… bÄ…dz
Ã-algebrÄ…, jeżeli:
" X = {x1, x2, x3, x4}, F = {", X, {x1}, {x2, x3}, {x2, x3, x4}};
" X = N i F jest określona warunkiem
A " F Ð!Ò! A jest skoÅ„czony lub X \ A jest skoÅ„czony
" X = R i F jest określona warunkiem
A " F Ð!Ò! A jest zbiorem otwartym lub X \ A jest zbiorem otwartym
" X = R i F jest określona warunkiem
A " F Ð!Ò! A jest zbiorem ograniczonym lub X \ A jest zbiorem ograniczonym
" X = R i F jest określona warunkiem
A " F Ð!Ò! [0, 1] ‚" A lub [0, 1] ‚" X \ A
1.5. Sformułowac definicję miary.
1.6. Sprawdzic, czy poniższe wzory określają miary na (X, M):
" (X, M) dowolna przestrzeÅ„ z wyróżnionym Ã-ciaÅ‚em M, x0 " X oraz

1, gdy x0 " A;
´x (A) :=
0
0, gdy x0 " A.

" X = N, M = 2N oraz #(A) := 1
n"A
" X = N, M = 2N oraz
Å„Å‚

1
òÅ‚
, jeśli A jest zbiorem skończonym;
2n
n"A
½(A) :=
ół
+", jeśli A jest zbiorem nieskończonym.
1
" X = N, M = 2N oraz

0, jeśli A jest zbiorem skończonym;
µ(A) :=
+", jeśli A jest zbiorem nieskończonym.
" X = N, M = 2N oraz

0, jeśli A jest co najwyżej przeliczalny;
µ(A) :=
+", jeśli A jest zbiorem nieprzeliczalnym.
1.7. Niech µ: M [0, "] bÄ™dzie miarÄ… na X. Wykazac, że

"

" jeÅ›li A1 ‚" A2 ‚" . . . oraz An " M dla n " N, to µ An = lim µ(An);
n"
n=1

"

" jeÅ›li A1 ƒ" A2 ƒ" . . . , An " M dla n " N i µ(A1) < ", to µ An = lim µ(An).
n"
n=1
1.8. Wykazac, że podzbiory skończone i przeliczalne prostej R są zbiorami miary Lebes-
gue a zero.
1.9. Wykazac, że odcinki postaci [a, b], (a, b], [a, b) są zbiorami borelowskimi na prostej.
1.10. Niech {fn}" będzie danym ciągiem funkcji ciągłych określonych na R. Wykazac,
n=1
że poniższe zbiory są borelowskie:

" x " R : lim fn(x) = +" ;
n"

" x " R : lim fn(x) istnieje .
n"
1.11. Wykazać, że zbiór Cantora jest miary Lebesgue a zero.
2. Funkcje mierzalne
2.1. SformuÅ‚owac definicjÄ™ funkcji mierzalnej f : (X, M, µ) R = [-", +"]
2.2. Niech f : (X, M, µ) R. Wykazać, że poniższe warunki sÄ… równoważne:
" dla każdego a " R zbiór f-1((-", a)) jest mierzalny;
" dla każdego a " R zbiór f-1((-", a]) jest mierzalny;
" dla każdego a " R zbiór f-1((a, ")) jest mierzalny;
" dla każdego a " R zbiór f-1([a, ")) jest mierzalny;
2.3. Wykazać, że jeśli f : X R jest funkcją mierzalną to mierzalne są również zbiory
f-1([a, b]), f-1((a, b]), f-1([a, b)), f-1((a, b))
dla dowolnych a, b " R, takich że a < b.
2
2.4. Wykazać, że funkcja charakterystyczna zbioru A ‚" X

1, dla x " A;
1A(x) :=
0, dla x " A
jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest mierzalny.
2.5. Sprawdzić równości:
" 1A*"B = 1A + 1B - 1A)"B
" 1A)"B = 1A1B
2.6. Wykazać, że każda funkcja ciÄ…gÅ‚a jest mierzalna wzglÄ™dem Ã-ciaÅ‚a zbiorów borelow-
skich.
3. Całka Lebesgue a
3.1. Policzyć całki z funkcji prostych na przedziale [a, b]:
" [a, b] = [-5, 1], f = 21[-5,-3] + 31[-3,0] - 1(-1,1]
5

n
" [a, b] = [0, 5], g = 1[0,n/2)
2
n=2k, k=1
3.2. Niech (X, M, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…. Wykazać, że relacja
f <" g Ð!Ò! µ({x " X : f(x) = g(x)}) = 0

jest relacjÄ… równoważnoÅ›ci w zbiorze funkcji µ-mierzalnych.

3.3. Pokazać, że µ(A) = dµ(x).
A
3.4. Dla jakiej stałej a " R funkcja zbioru

µ(A) := a exp(-x2) d
A
jest miarÄ… na (R, BR)? Wskazać tÄ™ wartość staÅ‚ej a, że µ jest miarÄ… probabilistycznÄ….
3.5. Dla jakiej stałej a " R funkcja zbioru

½(A) := ax exp(- |x|) d
A
jest miarÄ… na (R, BR )? Dobrać staÅ‚Ä… a, tak aby ½ byÅ‚a miarÄ… probabilistycznÄ….
+
3
3.6. Dane sÄ… miary µ, ½, º okreÅ›lone na B[0,Ä„] nastÄ™pujÄ…co:

Ä„
µ(A) := sin(x) d, ½(A) := ´ (A), º(A) := µ(A) + ½(A),
2
A
gdzie

1, dla x " A;
´x(A) :=
0, dla x " A.
Policzyć całki
Ä„ Ä„ Ä„
x2 dµ(x), x2 d½(x), x2 dº(x).
0 0 0
3.7. Dane sÄ… miary µ, ½ okreÅ›lone na BR nastÄ™pujÄ…co:

1 1
µ(A) := exp(- |x|) d, ½(A) = ´-1(A) + ´1(A).
2 2
A)"(-1,1)
1
Dla jakich a " R funkcja zbioru P (A) = aµ(A) + ½(A) jest miarÄ…? Znalez
ć takie a, żeby P
2
było miarą probabilistyczną i policzyć

x dP.
R
3.8. Niech (N, 2N, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… mierzalnÄ…, gdzie µ jest miarÄ… liczÄ…cÄ…. Wykazać,
że:
" każdy ciÄ…g liczbowy {an}" jest funkcjÄ… µ-mierzalnÄ…;
n=1
" ciÄ…g {an}" jest caÅ‚kowalny w sensie Lebesgue a wzglÄ™dem miary µ wtedy i tylko
n=1
"

wtedy, gdy szereg an jest bezwzględnie zbieżny;
n=1
"


" an dµ(n) = an.
N
n=1
3.9. Niech fn : R R, n " N będzie ciągiem funkcji zdefiniowanym następująco:

1/n, dla |x| d" n;
fn(x) =
0, dla |x| > n.
" Pokazać, że

lim fn(x) dx = lim fn(x) dx;

n" n"
R R
" Czy istnieje funkcja całkowalna q : R R, taka że |fn(x)| d" q(x) dla wszystkich
x " R i n " N? Odpowiedz
uzasadnić.
4
3.10. Korzystając z twierdzeń Lebesgue a o zbieżności policzyć (uzasadnić poprawność
wykonanych obliczeń):
n

x n
(a) lim 1 + e-2x dx
n"
n
0
n

x n
(b) lim 1 - ex/2 dx
n"
n
0
n
x
Wskazówka. W (a) i (b) skorzystać z nierówności 1 + d" ex, która jest praw-
n
dziwa dla wszystkich x " R.
n
arc tg(nx)
(c) lim dx
n"
1 + x2
0
n
(d) lim x2e-nx dx
n"
0

(e) lim e-|x| sinn x dx
n"
R

3.11. Niech f e" 0 oraz f dµ = 0. Pokazać, że f(x) = 0 prawie wszÄ™dzie na X, tzn.
X
µ({x : f(x) > 0}) = 0.
"

Wskazówka. Niech An = {x : f(x) e" 1/n}. Zauważyć, że A = An = {x : f(x) > 0}.
n=1
Wykazać, że µ(An) = 0, a nastÄ™pnie wywnioskować, że µ(A) = 0.
3.12. Niech L1(X, M, µ) oznacza przestrzeÅ„ funkcji caÅ‚kowalnych w sensie Lebesgue a
wzglÄ™dem µ na X.
" PowoÅ‚ujÄ…c siÄ™ na odpowiednie twierdzenia uzasadnić, że L1(X, M, µ) jest przestrze-
niÄ… liniowÄ…;
" Niech L1(X, M, µ) := L1(X, M, µ)/ <", gdzie <" jest relacjÄ… z zadania 3.2. Wykazać,
że funkcjonał

f 1 := |f| dµ
X
definiuje normÄ™ na L1(X, M, µ). Dlaczego nie jest to norma, jeÅ›li · 1 rozważamy
na L1(X, M, µ)?
5