Wstawka matematyczna
1. Rachunek wektorowy
wielkości fizyczne
wielkości wektorowe
wielkości skalarne
wektor  uporzÄ…dkowana
para punktów (początek i koniec).
skalary  do określenia
wielkości skalarnej wystarczy
Cechy wektora:
jedna liczba
* moduł (wartość, długość)
* kierunek
* zwrot
* punkt przyłożenia
masa m
czas t
siła F
energia E
prędkość v
temperatura T
przyspieszenie a
pęd p
1
układy współrzędnych
układ kartezjański układ sferyczny
x = r sin¸ cosĆ
y = r sin¸ sinĆ
î - wersor to wektor jednostkowy
z = r cos¸
r - wektor położenia
położenie r
prędkość v
wektory
przyspieszenie a
pęd p
współrzędne wektorów:
AB = a = [ ax, ay , az ]
ax=xB-xA, ay=yB-yA, az=zB-zA
b = [ bx, by , bz ]
równość wektorów:
ax=bx, ay=by, az=bz.
długość wektora:
2 2 2
a = ax + ay + az
2
dodawanie wektorów:
a + b = c
cx=ax+bx, cy=ay+by, cz=az+bz
mnożenie wektora
przez liczbÄ™:
c= k a
cx= k ax, cy= k ay, cz= k az
a = [ ax, ay , az ]
iloczyn skalarny wektorów:
b= [ bx, by , bz ]
a·
·b = a b cosÄ…
·
·
używając współrzędnych:
a·
·b =axbx+ ayby+ azbz
·
·
przykład:
W = F Å"s = FscosÄ…
3
......zapis za pomoca wersorów
Ć
r = xPî + yP5
+ zPk Ć
a = axî + ay 5
+ azk
a x b = c
x
x
x
iloczyn wektorowy :
przykład:
-zwrot
- wartość
- kierunek
c=a b sin Ä…
Współrzędne:
F = q v×B
a = [ ax, ay , az ]
b= [ bx, by , bz ]
Ć
î 5
k
c = ax ay az
c= [ cx, cy , cz ]
bx by bz
Ć
c = cxî + cy 5
+ czk
4
Przykład iloczynu wektorowego:
a = [2,1,0] = 2î + 5

c = a x b
x
x
x
Ć
b = [0,1,1] = 5
+ k
Wstawka matematyczna
2. Pochodne
5
Pochodna funkcji f(x)
df f (x + "x) - f (x)
f '(x) = = lim"x0
dx "x
df
= tgÄ…
dx
Pochodna funkcji
Podstawowe własności pochodnej :
df dg
Å" g - f Å"
d df dg
d
dx dx
( f + g) = +
( f / g) =
2
dx dx dx
dx g
d df dg d df (u) dg (x)
( f Å" g ) = Å" g + f Å" [f (g (x))]= Å"
dx dx dx dx du dx
gdzie : u = g(x)
Przykłady:
d
n-1
d
(xn ) = nx
d
(sin x) = cos x
dx (cos x) = - sin x
dx
dx
d
d 1
(ex ) = ex
(ln x) = (x > 0)
dx
dx x
6
Pochodna wektora
Jeśli w przedziale czasu "t przyrost wektora r(t) wynosi "r:
"r = r(t+"t)  r(t),
"r r(t + "t) - r(t) dr r(t + "t) - r(t)
= = lim"t0
to stosunek:
"t "t dt "t
dr x(t + "t) - x(t) y(t + "t) - y(t) z(t + "t) - z(t)
Å‚Å‚
= lim"t0 îÅ‚ , ,
ïÅ‚ śł
dt "t "t "t
ðÅ‚ ûÅ‚
dr dx dy dz
îÅ‚ Å‚Å‚
= , ,
ïÅ‚ śł
dt dt dt dt
ðÅ‚ ûÅ‚
7
Całka nieoznaczona
g(x)dx = f (x) g(x)dx = f (x) + C
ściślej:
+" +"
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, że po zróżniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
[f (x)+C]' = g(x)
1
Przykłady: n
+"x dx = n +1 xn+1 + C
+" ex dx = ex + C
+" (1/x) dx = ln x + C
+" cos x dx = sin x + C
+" sin x dx = - cos x + C
Całka oznaczona:
Niech : g(x)dx = f (x) + C
+"
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
b
b
f (b) - f (a) = [f (b) + C]-[f (a) + C]= g(x)dx = g(x)dx
+" a +"
a
nazywamy całką oznaczoną.
CZYLI CAA
KA OZNACZONA TO:
b
gdzie: g(x)dx = f (x) + C
g(x)dx = f (b) - f (a)
+"
+"
a
8
Znaczenie całki oznaczonej:
"f (xi )
g(xi ) = f '(xi ) = lim
"f (xi ) = g(xi )"xi
"xi
"xi 0
b
N N
g(x)dx = f (b) - f (a) = lim )"xi = S
""f (xi ) = lim "g(xi
+"
i i
a
"xi 0 "xi 0
b
S = g(x)dx
+"
a
Kinematyka
(opis ruchu bez analizowania jego przyczyny)
9
Kinematyka  opis ruchu bez określania jego przyczyny
Pod pojęciem ruchu rozumiemy zmiany wzajemnego położenia
jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu.
Ruch odbywa się względem wybranego układu odniesienia.
Punkty materialne to obiekty obdarzone masą, których rozmiary
(objętość) możemy zaniedbać.
TOR RUCHU
Tor ruchu to krzywa jaką w przestrzeni zakreśla punkt materialny.
POA
OŻENIE
r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
lub
x = x(t)
Å„Å‚ kinematyczne
równania
ôÅ‚y = y(t)
òÅ‚ ruchu
Układ kartezjański
ôÅ‚z = z(t)
ół
PRZEMIESZCZENIE
"r(t) = r(t) - r(t0 )= ["x(t), "y(t), "z(t)]
10
PR
DKOŚĆ CHWILOWA PRZYSPIESZENIE CHWILOWE
"r "v v(t + "t) - v(t)
a(t) = lim"t ->0 = lim"t ->0
v(t) = lim"t ->0 =
"t "t
"t
2
r(t + "t) - r(t) dr(t) dv(t) d r(t)
= =
= lim"t ->0 =
dt dt2
"t dt
2 2 2
dvy
ëÅ‚ dvx dvz öÅ‚ ëÅ‚ d x d y d z öÅ‚
dx dy dz
öÅ‚
a = ìÅ‚ , , ÷Å‚ = ìÅ‚ , , ÷Å‚
v = ëÅ‚ , ,
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
dt dt dt dt2 dt2 dt2 ÷Å‚
dt dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
PRZEMIESZCZENIE I DROGA
t
"r(t) = "ri = "ti = v(t)dt
" "vi
+"
i i
t0
dr(t)
v(t) =
dt
t
s(t) = "si = "ti =
" "vi
+"v(t)dt
i i
t0
ds(t)
v(t) =
dt
Wartość prędkości
chwilowej
to szybkość
| v(t) |=v(t)
(inaczej prędkość
liniowa)
11
PR
DKOŚĆ ŚREDNIA
Wektorowa:
r(t) - r(t0 ) "r(t)
vśr = =
t - t0 "t
Liniowa (szybkość):
s(t) s(t)
(v)śr = =
t - t0 "t Uwaga:
(v)śr `"| vśr |
PRZYSPIESZENIE STYCZNE I NORMALNE
dv(t)
as (t) =
2
an (t) = a2(t) - as (t)
dt
12
PRZYKA
ADY RUCHU
Ruch w jednym wymiarze (y=0, z=0):
Ruch jednostajny prostoliniowy
vx = v= const
równanie ruchu
x = x0 + vt
UWAGA: v może być ujemne lub dodatnie
(od tego zależy, w którą strone ciało sie porusza)
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy
ax = a = const
vx =v0 + a t
at2 równanie ruchu
x = x0 +v0t +
2
UWAGA: v0, a mogą być ujemne lub dodatnie. Gdy v0,a mają:
1) ten sam znak to ruch jest jednostajnie przyspieszony,
2) różne znaki to ruch jest jednostajnie opóz
niony.
Ruch w dwóch wymiarach (z=0):
Rzut ukośny
ax = gx = 0
Å„Å‚
òÅ‚a = gy = -g
y
ół
vx =v0 cosÄ…
Å„Å‚
òÅ‚v =v0 sinÄ… - gt
y
ół
równanie toru
g
y = (tgÄ… )x - x2
2(v0 cosÄ… )2
x = (v0 cosÄ…)t
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
gt2
równania
ôÅ‚y = (v0 sinÄ…)t - 2 ruchu
ół
13
Ruch w dwóch wymiarach:
"Õ
Ruch po okrÄ™gu  staÅ‚a prÄ™dkość kÄ…towa: É = = const
"t
Układ kartezjański: Układ biegunowy:
r(t) = r = const.
Å„Å‚
x(t) = r cos(Ét +Õ0) równania
Å„Å‚
òÅ‚Õ(t) = É t +Õ0
òÅ‚ ruchu
ół
óły(t) = r sin(Ét +Õ0)
vx = dx / dt = -rÉsin(Ét +Õ0)
Å„Å‚
dÕ
É = = const
òÅ‚v = dy / dt = rÉcos(Ét +Õ0)
dt
y
ół
Ruch w dwóch wymiarach:
"Õ
Ruch po okrÄ™gu  staÅ‚a prÄ™dkość kÄ…towa: É = = const
"t
Układ kartezjański: Układ biegunowy:
r(t) = r = const.
Å„Å‚
x(t) = r cos(Ét +Õ0) równania
Å„Å‚
òÅ‚Õ(t) = É t +Õ0
òÅ‚ ruchu
ół
óły(t) = r sin(Ét +Õ0)
vx = dx / dt = -rÉsin(Ét +Õ0)
Å„Å‚
dÕ
É = = const
òÅ‚v = dy / dt = rÉcos(Ét +Õ0)
dt
y
ół
Å„Å‚ dÉ
=dvx /dt=-rÉ2cos(
Ét+Õ0)=-xÉ2
ôÅ‚ax
µ = =0
òÅ‚
Ét+Õ0)=-yÉ2 dt
ôÅ‚
ółay =dvy /dt=-rÉ2sin(
lub inaczej:
aS = 0 , an = adoÅ› = rÉ2
a =[-xÉ2,-yÉ2] = -É2r
14
Ruch w dwóch wymiarach:
Ruch po okręgu  zmienny
Układ biegunowy:
r(t) = const. oraz Õ0 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ l(t)
ôÅ‚Õ(t) = r
ół
dÕ 1 dl v
É = = =
dt r dt r
dÉ 1 dv as
µ = = =
dt r dt r
v2
aS = µr, an = adoÅ› = rÉ2 =
r
v = rÉ
aS = µr
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
v2
= adoÅ› = rÉ2 =
ôÅ‚an
ół r
15
WZGL
DNOŚĆ RUCHU
Względne położenie:
rCA(t) = rCB(t)+rBA(t)
Względna prędkość: Względne przyspieszenie:
drCA(t) drCB(t) drBA(t) dvCA(t) dvCB(t) dvBA(t)
+ +
= =
dt dt dt dt dt dt
vCA(t) = vCB(t) + vBA(t) aCA(t) = aCB(t) + aBA(t)
16