1
Zadanie 1.
Studium wychowania fizycznego zorganizowało zawody sportowe dla studentów. W konkurencji skoku w dal
otrzymano następujące wyniki: średnia arytmetyczna skoku w dal wynosiła 4,5 m; odchylenie standardowe skoku w dal
wynosiło 1 m; najczęściej długość skoku w dal wynosiła 4,3 m.
Wyniki skoku wzwyż przedstawia poniższy szereg (dane umowne). W której konkurencji uzyskane wyniki były bardziej
zróżnicowane?
2
o
o ëÅ‚ öÅ‚
o
Wysokość w cm - xi Odsetek studentów - ni ìÅ‚ - x ni
÷Å‚
x
x ni i
x i ìÅ‚ ÷Å‚
i
íÅ‚ Å‚Å‚
90-110 10 100 1000 17640
110-130 20 120 2400 9680
130-150 40 Do 140 5600 160
150-170 15 160 2400 4860
170-190 10 180 1800 14440
190-210 5 200 1000 16820
razem 100 x 14200 63600
SKOK W DAL
Dane:
sx
Vs = =1/4,5=0,2222
x =4,5 m
x
x
sx=1m
x - Do
Do=4,3 m
Ws = =(4,5-4,3)/1=0,2
sx
SKOK WZWYÅ» (obliczenia w tablicy):
o
xini
"
i
x = =14200/100=142 cm
"ni
i
o
o
- x)2 ni xi2 ni
"(xi "
63600
i i 2
= =25,22 cm
sx = = - x
100
"ni "ni
i i
hD (nD - nD-1) 20(40 - 20)
Do = xD + =130 + =138,89 cm
(nD - nD-1) + (nD - nD+1) (40 - 20) + (40 -15)
sx
Vs = =25,22/142=0,178
x
x
x - Do
Ws = =(142-138,89)/25,22=0,12
sx
Odpowiedz
: Bardziej zróżnicowane wyniki zanotowano w konkurencji skoku w dal. Zróżnicowanie długości skoku w
dal mierzone odchyleniem standardowym stanowiło 22,22% średniej a w przypadku skoku wzwyż - 17,8% średniej
arytmetycznej.
Zadanie 2.
Napływ ludności do miast w roku 1984 wg wieku migrantów przedstawia tablica.
Migranci
nsk
wiek (w latach) - xi liczba osób - ni
0-4 63266 63266
5-14 45203 108469----Q1
15-29 185134 293603----Me
30-59 96805 390408----Q3
60 i więcej 24925 415333
razem 415333 x
y
ródło: Rocznik demograficzny 1985, s.223, tabl. 4 (108).
Zbadać asymetrię szeregu.
 2
Ponieważ ostatni przedział jest otwarty - liczymy miary pozycyjne.
hMe 15
Me = xMe + (NMe - nsk-1) = 15 + (207667 -108469) = 23,037 lat
nMe 185134
hQ1
10
Q1 =xQ1 + (NQ1 - nsk-1) = 5 + (103833,5 - 63266) = 13,975 lat
nQ1 45203
hQ3
30
Q3 =xQ3 + (NQ3 - nsk-1) = 30 + (311499,75 - 293603) = 35,546 lat
nQ3 96805
Q3 - Q1
Qx = = 10,7855 lat
2
(Q3 - Me) - (Me - Q1) Q3 - 2Me + Q1 35,546 - 2 * 23,037 +13,975
As = = = = 0,16
2Qx 2Qx 2 *10,7855
Szereg cechuje dodatnia (prawostronna) asymetria o niewielkiej sile. Większość migrujących była w wieku niższym,
niż wskazuje na to średni wiek migrujących.
Zadanie 3.
W dwu regionach rolniczych przeprowadzono badanie mające na celu porównanie wielkości gospodarstw
indywidualnych. Badanie wykazało, że w regionie I najliczniej występowały gospodarstwa o powierzchni 5,5 ha;
połowa gospodarstw tego regionu miała powierzchnię mniejszą od 6 ha; średnia powierzchnia gospodarstw wynosiła 6
ha. Współczynnik zmienności liczony w oparciu o odchylenie standardowe wynosił 0,3. Dla regionu II opracowano
następujący szereg (dane umowne):
2
o
o ëÅ‚ öÅ‚
o
Wielkość gospodarstw Liczba gospodarstw -
ìÅ‚ - x ni
÷Å‚ nsk
x
x ni
i
x i
(w ha) - xi ni i ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2-4 10 3 30 184,9 10
4-6 20 5 100 105,8 30
6-8 25----Me 7 175 2,25 55
8-10 35----Do 9 315 101,15 90
10-12 10 11 110 136,9 100
razem 100 x 730 531 x
Porównać możliwie wszechstronnie powierzchnię gospodarstw indywidualnych w obu regionach.
REGION 1:
Dane: Obliczamy:
Do=5,5 ha
sx = Vsx * x = 0,3*6 = 1,8 ha
Me=6 ha
x - Do 6 - 5,5
x =6 ha
Ws = = = 0,278
sx sx 1,8
Vs = =0,3
x
x
REGION 2 (obliczenia w tablicy):
o
xini
"
i
x = =7,3 ha
"ni
i
o
o
- x)2 ni xi2 ni
"(xi "
sx 2,3
i i 2
=2,3 ha Vsx = = = 0,3151
sx = = - x
x 7,3
"ni "ni
i i
 3
hD (nD - nD-1) 2 *(35 - 25)
Do = xD + = 8 + = 8,57 ha
(nD - nD-1) + (nD - nD+1) (35 - 25) + (35 -10)
hMe 2
Me = xMe + (NMe - nsk-1) = 6 + (50 - 30) = 7,6 ha
nMe 25
x - Do 7,3 - 8,57
Ws = = = -0,55
sx 2,3
Wyniki prezentujemy w tablicy:
Vsx
miara x Me Do sx Ws
region 1 6 ha 6 ha 5,5 ha 1,8 ha 30% 0,278
region 2 7,3 ha 7,6 ha 8,57 ha 2,3 ha 31,51% -0,55
Interpretacja:
W regionie 2 przeciętna wielkość gospodarstwa jest większa niż w regionie 1 i wynosi 7,3 ha (w regionie 1 - 6 ha).
W regionie 2 połowa gospodarstw ma wielkość poniżej a połowa powyżej 7,6 ha. W regionie 1 połowa
gospodarstw ma powierzchnię poniżej a połowa powyżej 6 ha.
W regionie 1 najczęściej występują gospodarstwa o powierzchni 5,5 ha, zaś w regionie 2 - o powierzchni 8,57 ha.
Zróżnicowanie wielkości gospodarstw było wyższe w regionie 2 i mierzone odchyleniem standardowym stanowiło
31,51% średniej arytmetycznej (w regionie 1 - 30% średniej arytmetycznej).
W regionie 1 występowała dodatnia asymetria wielkości gospodarstw - większość gospodarstw miała powierzchnię
poniżej przeciętnej. W regionie 2 występowała ujemna asymetria wielkości gospodarstw co oznacza, że większość
gospodarstw miała powierzchnię większą od przeciętnej. Siła asymetrii była wyższa w regionie 2 (była to asymetria o
średniej sile).
Zadanie 4.
Zbadano po 150 nabywców dwóch marek samochodów ze względu na wiek. Wśród nabywców samochodu A
przeciętny wiek wynosił 44,4 lata zaś odchylenie standardowe 10,66 lat. Połowa nabywców była w wieku poniżej 45,17
lat, 25% w wieku poniżej 37,4 lat a 75% w wieku poniżej 52,24 lat. Najczęściej samochód A kupowały osoby w wieku
40 lat. Dla nabywców samochodu B otrzymano następujący szereg:
Wiek w latach - Liczba
nsk
xi nabywców - ni
do 20 15 15
21-30 - Q1 25 40
31-40 - Me, Do 70 110
41-50 - Q3 25 135
51 i więcej 15 150
razem 150 x
Dokonać wszechstronnego porównania struktury nabywców obu samochodów z punktu widzenia ich wieku.
SAMOCHÓD A:
Dane:
x =44,4 lat
(Q3 - Me) - (Me - Q1)
As = = -0,05
sx = 10,66 lat
2Qx
Me = 45,17 lat
Q1 = 37,4 lat
Q3 = 52,24 lat
Do=40 lat
Obliczamy:
Qx = 7,42 lat
Qx
VQx = = 0,1643
Me
 4
SAMOCHÓD B:
Otwarte przedziały - liczymy miary pozycyjne
hMe 10
Me = xMe + (NMe - nsk-1) = 31+ (75 - 40) = 36 lat
nMe 70
hQ1
10
Q1 =xQ1 + (NQ1 - nsk-1) = 21+ (37,5 -15) = 30 lat
nQ1 25
hQ3
10
Q3 =xQ3 + (NQ3 - nsk-1) = 41+ (112,5 -110) = 42 lata
nQ3 25
Q3 - Q1 Qx
Qx = = 6 lat VQx = = 0,1667
2 Me
(Q3 - Me) - (Me - Q1)
As = = 0 - szereg symetryczny co widać z szeregu w tablicy z danymi.
2Qx
Zatem Me=Do= x =36 lat
Wyniki prezentujemy w tablicy:
VQx
miara x sx Do Me Q1 Q3 Qx As
samochód A 44,4 lat 10,66 lat 40 lat 45,17 lat 37,4 lat 52,24 lat 7,42 lat 16,43% -0,05
samochód B 36 lat x 36 lat 36 lat 30 lat 42 lat 6 lat 16,67% 0
Interpretacja:
Nabywcy samochodu A byli starsi - przeciętny wiek wynosił 44,4 lat zaś dla nabywców samochodu B - 36 lat. Połowa
nabywców samochodu A była w wieku co najwyżej 45,17 lat, zaś samochodu B - 36 lat. 25% nabywców samochodu A
miało mniej niż 37,4 lat a 75% - mniej niż 52,24 lat. 25% nabywców samochodu B było w wieku poniżej 30 lat a
75% - poniżej 42 lat. Najczęściej samochód A kupowały osoby w wieku 40 lat zaś samochód B - osoby w wieku 36 lat.
Zróżnicowanie wieku nabywców obu samochodów było podobne - mierzone odchyleniem ćwiartkowym stanowiło
odpowiednio 16,43% i 16,67% mediany. W przypadku samochodu A - szereg cechowała asymetria dodatnia !,
prawostronna (co widać na relacji pomiędzy średnią a dominantą), pomimo, że współczynnik As wskazuje na
asymetrię lewostronną o niewielkiej sile (tak się ułożyły kwartyle). Dla nabywców samochodu B - szereg był
symetryczny.