Wykład II
Macierze  ciÄ…g dalszy
Macierz odwrotna
Zastosowanie macierzy do rozwiÄ…zywania
układów równań
Wartości i wektory własne macierzy
1
Oznaczenia
MacierzÄ… transponowanÄ… (lub przestawionÄ…) do macierzy A
nazywamy taką macierz, której wierszami są kolumny macierzy A .
2
A lub AT
Macierz transponowanÄ… oznaczamy przez .
m×n m×n
Przykład:
1 3 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
A =
ïÅ‚3 4 1 - 2śł A = ïÅ‚-1 4 5śł
2
3×4
2 1 0śł
4×3 ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚2 5 0 3ûÅ‚
2 - 2 3ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
Macierzą osobliwą nazywamy macierz, której
wyznacznik wynosi zero, tzn. |A|=0.
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz, której
2
wyznacznik jest różny od zera, tzn. |A|`"0.
Macierz odwrotna
Definicja:
MacierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy nieosobliwej A (|A|`"0),
nazywamy taką macierz A-1, która spełnia warunek:
-1
AÅ" A = A-1 Å" A = I
n×n n×n n×n
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji:
1 - 1Å‚Å‚
a11 a12
îÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
A-1 =
Niech , natomiast niech
A =
ïÅ‚a21 a22śł .
ïÅ‚2 3śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Z definicji macierzy odwrotnej mamy:
3
A Å" A-1 = I2
a11 a12 = a11 - a21, a12 - a22
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Å" =
ïÅ‚
ðÅ‚2 3 śł ïÅ‚a21 a22 śł ïÅ‚2a11 + 3a21, 2a12 + 3a22 śł ïÅ‚ 1ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Następnie musimy rozwiązać następujący układ równań
z czterema niewiadomymi:
Å„Å‚a11 = 3
5
ôÅ‚
a11 - a21 = 1 a11 = 1+ a21
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚a12 = 1
ôÅ‚ ôÅ‚a12 = a22
a12 - a22 = 0 ôÅ‚
5
òÅ‚2a + 3a21 = 0 Ò! òÅ‚2 + 2a21 + 3a21 = 0 Ò! òÅ‚
2
11
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚a = -
21
5
+ 3a22 = 1 + 3a22 = 1
ół2a12 ół2a22
ôÅ‚
1
ôÅ‚a =
22
ół 5
3 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
5 5śł
A-1 =
Ostatecznie otrzymujemy:
ïÅ‚
2 1śł
ïÅ‚-
śł
4
ðÅ‚ 5 5
ûÅ‚
Poprawność obliczeń możemy sprawdzić w następujący
sposób:
3
+ , -
îÅ‚1 - 1Å‚Å‚ îÅ‚ 5 1Å‚Å‚ îÅ‚3 2 1 1Å‚Å‚ îÅ‚1 0Å‚Å‚
5
A Å" A-1 = = =
ïÅ‚5 5 5 5śł
śł
2 1
ïÅ‚2 3śł Å" ïÅ‚ 6 6 2 3 ïÅ‚0 1śł
, +
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚5- śł
ðÅ‚- 5 5 ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
5 5 5
Macierz odwrotna została obliczona poprawnie.
Uwaga.
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji jest uciążliwe
dla macierzy wyższych wymiarów, gdyż sprowadza się ono
do rozwiązywania n2 równań z n2 niewiadomymi.
5
Metoda obliczania macierzy odwrotnej
1. Liczymy wyznacznik macierzy |A| i sprawdzamy czy
jest on różny od zera (|A|`"0)
2. Obliczamy macierz transponowanÄ… do macierzy A,
tzn. wyznaczamy A' .
3. Obliczamy macierz dołączoną D (macierz dopełnień
algebraicznych elementów macierzy A' :
.
Elementami macierzy D sÄ…
i+ j
2
dij = (-1) Aij ;i, j =1,2,L,n
4. Macierz odwrotnÄ… wyznaczamy ze wzoru:
1
A-1 = Å" D
6
A
Przykład:
1 - 1Å‚Å‚
îÅ‚
(ta sama macierz co poprzednio)
A =
ïÅ‚2 3śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1
A = = 3 + 2 = 5 `" 0
1. Liczymy wyznacznik:
2 3
(Ponieważ wyznacznik macierzy A jest różny od zera
więc istnieje macierz odwrotna)
1 2Å‚Å‚
îÅ‚
2. Transponujemy macierz:
A2 =
ïÅ‚
ðÅ‚- 1 3śł
ûÅ‚
3. Liczymy macierz dopełnień:
1+1 1+2
îÅ‚
3 1Å‚Å‚
- 1 Å" 3, - 1 Å" - 1
îÅ‚
( ) ( ) ( )Å‚Å‚
D = =
ïÅ‚ śł
2+1 2+2
- 1 Å" 2, - 1 Å"1ûÅ‚ ïÅ‚
( ) ( )
ðÅ‚- 2 1śł
ûÅ‚
ðÅ‚
2. Obliczamy macierz odwrotnÄ…:
3 1Å‚Å‚
1 1 îÅ‚
A-1 = Å" D =
7
A 5ïÅ‚- 2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚1 2 - 1Å‚Å‚
ïÅ‚3 1 2śł
Przykład 2.
A =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 1 - 1ûÅ‚
1. A = -1+ 4 - 3 +1- 2 + 6 = 5 `" 0
îÅ‚ 2 1Å‚Å‚
1 1 2 1
ïÅ‚ śł
2 -1, - -1 -1,
-1 2
1 3 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
- 3 1 5
îÅ‚ Å‚Å‚
2
2. A = 2 1 1
1 3
ïÅ‚ śł
1 1
ïÅ‚- 3 1 śł
3. D = = 5 0 - 5
ïÅ‚ śł
2 -1, -1 -1, -
ïÅ‚-1 2 -1śł -1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
2 1 - 5ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
ïÅ‚ śł
3 1 1 1 1 3
, - ,
ïÅ‚
1 1 2 1 2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
- 3 1 5
îÅ‚ Å‚Å‚
1
4. A-1 = 5 0 - 5
ïÅ‚ śł
5
2 1 - 5ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
Sprawdzenie czy macierz odwrotna została obliczona dobrze:
- 3 1 5 1 2 -1 5 0 0 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
tak !
A-1 Å" A = 5 0 - 5 Å" 1 2 = 0 5 0 = 0 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚3 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
8
5
2 1 - 5ûÅ‚ ðÅ‚1 1 -1ûÅ‚ 5 ðÅ‚0 0 5ûÅ‚ ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚
Zastosowanie macierzy odwrotnej do
rozwiązywania układów równań liniowych
Załóżmy, że mamy rozwiązań następujący układ równań:
a11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2
òÅ‚
M
ôÅ‚a x1 + an2x2 +L+ annxn = bn
ół n1
W notacji macierzowej powyższy układ przyjmuje postać:
(*)
Ax = b
a11 a12 L a1n x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a21 a22 L a2n śł ïÅ‚x2 śł ïÅ‚b2 śł
A = x = , b =
ïÅ‚ śł, ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
n×n
M M
ïÅ‚aM M L M śł ïÅ‚xn śł ïÅ‚bn śł
an2 L ann ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚
144n1 124ûÅ‚ 124ûÅ‚
424443 4 3 4 3
9
macierz wspolczynników wektor nieznanych wektor wyrazów
zmiennych wolnych
Mnożąc równanie (*) z lewej strony przez macierz
odwrotnÄ… do macierzy A otrzymujemy:
A-1 Å" A = A-1 Å"b
Ò! x = A-1 Å"b
123x
In
Przykład: Rozwiązać metodą macierzową układ równań:
2x1 - x2 + x3 = 2
Å„Å‚
ôÅ‚
- x1 +x2 - x3 = -1
òÅ‚
ôÅ‚
1
ółx + 2x2 + x3 = 4
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 1 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A =
RozwiÄ…zanie:
ïÅ‚-1 1 -1śł x = ïÅ‚x2 śł b = ïÅ‚-1śł
ïÅ‚x śł
1 2 1ûÅ‚ 4ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ðÅ‚
3
ðÅ‚ ûÅ‚
x = A-1 Å"b
10
A-1
Obliczamy zatem
1. A = 2 +1- 2 -1+ 4 -1 = 3 `" 0
2 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
2
2. A =
ïÅ‚-1 1 2śł
1 -1 1ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
3 3 0
îÅ‚ Å‚Å‚
3. D = 0 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚- 3 - 5 1ûÅ‚
3 3 0 2 3 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
4. x = DÅ"b = 0 1 1 Å" = 3 =
ïÅ‚ śł ïÅ‚-1śł ïÅ‚ śł ïÅ‚1śł
A 3
ïÅ‚ śł śł
ðÅ‚ ðÅ‚3śł ïÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚- 3 - 5 1ûÅ‚ ïÅ‚ 4ûÅ‚ 3 ïÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚1śł
11
x1 =1; x2 =1; x3 =1
Ostatecznie:
Wzory Cramera na rozwiÄ…zywanie
układu równań
a11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2
òÅ‚
Układ równań
M
ôÅ‚
n1
óła x1 + an2x2 +L+ annxn = bn
możemy także rozwiązać wykorzystując wzory Cramera:
W1 W2 Wn
x1 = , x2 = ,L, xn =
W W W
b1 a12 L a1n a1a b1 L a1n a11 a12 L b1 a11 a12 L a1n
b2 a22 L a2n = a21 b2 L a2n a21 a22 L b2 = a21 a22 L a2n
W1 = ,W2 ,L,Wn = ,W
M M L M M M L M M M L M M M L M
bn an2 L ann a2n bn L ann an1 an2 L bn an1 an2 L ann
12
Przykład: Rozwiązać metodą Cramera układ równań:
2x1 - x2 + x3 = 2
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚- x1 + x2 - x3 = -1
ôÅ‚
x1 + 2x2 + x3 = 4
ół
RozwiÄ…zanie:
2 -1 1 2 -1 1 2 -1
W = -1 1 -1 = -1 1 -1-1 1 = 2 +1- 2 -(1- 4 +1)= 3
1 2 1 1 2 1 1 2
2 -1 1 2 -1 1 2 -1
3
W1 = -1 1 -1 = -1 1 -1-1 1 = 2 + 4 - 2 -(4 - 4 +1)= 3 Ò! x1 = = 1
3
4 2 1 4 2 1 4 2
2 2 1 2 2 1 2 2
3
W2 = -1 -1 -1 = -1 -1 -1-1 -1 = -2 - 2 - 4 -(-1-8 - 2)= 3 Ò! x2 = = 1
3
1 4 1 1 4 1 1 4
2 -1 2 2 -1 2 2 -1
3
W3 = -1 1 -1 = -1 1 -1-1 1 = 8 +1- 4 -(2 - 4 + 4)= 3 Ò! x3 = = 1
13
3
1 2 4 1 2 4 1 2
Wektory własne i wartości własne
macierzy kwadratowej
Definicja: Wartością własną macierzy A nazywamy wartość
 spełniającą równanie:
A - I = 0
Definicja: Wektorem własnym macierzy A odpowiadającym
wartości własnej  nazywamy taki niezerowy wektor u
spełniający równość:
Au = u
Przykład: Wyznaczyć wartości własne i wektory własne
1 3
îÅ‚ Å‚Å‚
macierzy
A =
ïÅ‚ śł
ðÅ‚4 2ûÅ‚
Rozwiązanie: Wyznaczymy wartości własne macierzy
rozwiązując równanie:
1- , 3
A - I2 = 0 Ô! = 0
14
4, 2 - 
1- , 3
A - I2 = 0 Ô! = 0
4, 2 - 
(1- )(2 - )-12 = 0
2 - 3 -10 = 0
2
" = b2 - 4ac = (- 3) - 4Å"(-10)= 49
- b + " 3 + 7
- b - " 3 - 7
2 = = = 5
1 = = = -2
2a 2
2a 2
Odp. Otrzymaliśmy dwie wartości własne macierzy.
15
Wyznaczymy teraz wektory własne
odpowiadające uzyskanym wartościom własnym.
Przypadek 1: 1= -2
u + 3u2 = -2u1
Å„Å‚
1 3
îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚u Å‚Å‚
1
Au = 1u Ô! = -2îÅ‚u1 Å‚Å‚ Ô!
òÅ‚4u1
ïÅ‚ ïÅ‚u2 śł
ïÅ‚ śł
+ 2u2 = -2u2
ðÅ‚4 2ûÅ‚ðÅ‚u2 śł
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ół 1
Å„Å‚ 3u1 + 3u2 = 0: 3
1
òÅ‚4u + 4u2 = 0: 4 Ô! u1 = -u2 Ô! np. u = îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ðÅ‚-1śł
ûÅ‚
1
ół
Przypadek 2: 2= 5
1 3
îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚u Å‚Å‚ 5îÅ‚u1 Å‚Å‚ Ô! Å„Å‚ u + 3u2 = 5u1
1
Au = 2u Ô!
òÅ‚4u1
ïÅ‚u2 ûÅ‚ = ïÅ‚u2 śł
ïÅ‚ śł
+ 2u2 = 5u2
ðÅ‚4 2ûÅ‚ðÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ół 1
Å„Å‚- 4u1 + 3u2 = 0: -4
3
3
îÅ‚ Å‚Å‚
Ô! u1 = u2 Ô! np. u =
òÅ‚
ïÅ‚ 16
4u1 - 3u2 = 0: 4
ðÅ‚4śł
ûÅ‚
4
ół
Zadania na ćwiczenia do Wykładu 2
, gdzie
2
1. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A B + 2I
1 -1 0 2 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A =
1 1 2ûÅ‚, B = ðÅ‚0 1 -1ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚
, gdzie
2
AB + 3I
2. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy
1 -1 0 2 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A =
1 1 2ûÅ‚, B = ðÅ‚0 1 -1ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚
3. Odwrócić macierze:
îÅ‚
1 12
1 2 0Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 2 4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
B = ïÅ‚ śł E = 1- 2 3
A =
C = -1 2 3 ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚-1 1ûÅ‚
ðÅ‚1 3ûÅ‚
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 1 1ûÅ‚
0 2 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Rozwiązać układ równań:
2x1 - x2 + x3 = 3 2x1 - x2 + 2x3 = 5
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x1 + 3x2 = 4 x1 + 3x2 - x3 = 2
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x1 + x2 + x3 = 6 x1 + x2 + x3 = 6
ół ół
5. Obliczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
2 1
2 4
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
A = B =
17
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚-1 1ûÅ‚
ðÅ‚1 3ûÅ‚