Inżynierskie zastosowania statystyki  ćwiczenia
Temat 5: Wybrane typy rozkładów, rozkłady wielowymiarowe
Zadania do rozwiązania:
1. Czas (w minutach) między kolejnymi zgłoszeniami w pewnej centrali abonenckiej jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem  = 2. Wyznacz:
a. średni czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami,
b. prawdopodobieostwo, że przed upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.
2. Narysuj wykres funkcji gęstości prawdopodobieostwa dla rozkładu: jednomodalnego,
wielomodalnego, antymodalnego, o asymetrii lewej, o asymetrii prawej, mającego
przedział *a, b+ median.
3. Fabryka produkuje odważniki 10-gramowe. Błędy pomiarów masy odważników mają
rozkład normalny o wartości przeciętnej ź=0 g oraz odchyleniu standardowym
�=0,01. Znajdz
prawdopodobieostwo tego, że pomiar masy będzie przeprowadzony z
błędem nie przekraczającym 0,02 g.
4. Prawdopodobieostwo nieprzekroczenia przez fabrykę dobowego limitu zużycia
energii wynosi p=0,8. Niech K oznacza liczbę dni w ciągu tygodnia pracy (5-
dniowego), w których nie nastąpiło przekroczenie limitu. Wyznacz:
a. funkcję prawdopodobieostwo zmiennej losowej K i jej histogram,
b. dystrybuantę i jej wykres,
c. prawdopodobieostwo, że co najmniej w trzech dniach limit nie zostanie
przekroczony,
d. najbardziej prawdopodobną liczbę dni, w których limit nie zostanie
przekroczony i prawdopodobieostwo takiej liczby dni,
e. wartośd przeciętna i wariancję zmiennej losowej K,
f. współczynnik asymetrii rozkładu.
5. Doświadczenie polega na losowaniu 1 karty z talii 52 kart. Zmienna losowa X
przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanych asów. Zmienna losowa Y przyjmuje
wartości równe liczbie wylosowanych pików. Wyznacz rozkład prawdopodobieostwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).
6. W fabryce produkowane jest urządzenie składające się między innymi z dwóch kół
zębatych: dużego i małego. Przy produkcji każdego koła może wystąpid dodatnie i
ujemne odchylenie grubości zębów od wartości nominalnej. Urządzenie nie będzie
działało prawidłowo, jeżeli do jego montażu zostaną użyte dwa koła zębate o
dodatnim odchyleniu grubości zębów. Montażysta losuje z partii produkcyjnej koło
duże i koło małe. Zmienna losowa X przyjmuje wartośd 1, jeżeli montażysta wylosuje
duże koło z odchyleniem dodatnim, natomiast 0, jeżeli montażysta wylosuje duże
koło z odchyleniem ujemnym. Analogiczne wartości przyjmuje zmienna losowa Y dla
koła małego.
a. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę zmiennej losowej (X, Y)
1
b. Jakie jest prawdopodobieostwo, że urządzenie nie będzie działało
prawidłowo?
7. Rozważamy dwuwymiarową zmienną losową (X, Y) o rozkładzie określonym w tabeli:
xi
yk 1 2 3
2 0,2 0,2 0,1
4 0,1 0,3 0,1
a. Wyznacz dystrybuantę rozkładu brzegowego zmiennej losowej Y
b. Wyznacz dystrybuantę rozkładu brzegowego zmiennej losowej X
8. Dla następującej funkcji:
cxy dla 0 Ł� x Ł� 2 Ł� 0 Ł� y Ł�1
��
f (x, y) =�
��
0 dla pozostalyc
h przypadkow
��
a. dobierz stałą c, aby funkcja f(x,y) była gęstością dwuwymiarowej zmiennej
losowej (X, Y)
b. wyznacz i narysuj jej dystrybuantę
9. Doświadczenie losowe polega na rzucie symetryczną sześciościenną kostką do gry.
Zmienna losowa X przyjmuje wartośd 0, gdy wyrzucimy parzystą liczbę oczek oraz
wartośd 1, gdy wyrzucimy nieparzystą liczbę oczek. Zmienna losowa Y przyjmuje
wartośd 1, gdy liczba oczek jest podzielna przez 3 oraz wartośd 2, gdy liczba oczek nie
jest podzielna przez 3. Zbadaj niezależnośd zmiennych losowych X i Y.
10. Zmienna losowa X jest oceną z kolokwium z Inżynierskich Zastosowań Statystyki
losowo wybranego studenta pewnej specjalności. Zmienna losowa Y jest oceną z
kolokwium z Metod numerycznych. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma
rozkład określony w tabeli.
xk
yk 2 3 3,5 4 5
2 3/35 2/35 1/35 0 0
3 1/35 10/35 2/35 1/35 0
3,5 0 1/35 5/35 1/35 1/35
4 0 0 0 3/35 2/35
5 0 0 0 1/35 1/35
a) Wyznacz dystrybuantę rozkładu brzegowego zmiennej losowej Y.
b) Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, że X = 4.
Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu.
2