Mechanika ogólna
Wykład nr 1
Wprowadzenie
Podstawowe pojęcia
Rachunek wektorowy
Wypadkowa układu sił
Równowaga
1
Przedmiot
Mechanika ogólna, techniczna,
teoretyczna.
Dział fizyki, zajmujący się badaniem
ruchu ciał materialnych, ustalaniem
ogólnych praw ruchu ciał materialnych
oraz zastosowaniem tych praw do
pewnych wyidealizowanych ciał
rzeczywistych, jakimi są punkt
materialny oraz ciało doskonale sztywne
2
(ramy, kraty).
Program zajęć
Podstawowe pojęcia.
Podstawy rachunku wektorowego.
Układy sił i stan równowagi.
Reakcje więzów w układach płaskich.
Siły wewnętrzne
 w ustrojach kratowych;
 w belkach;
 w ustrojach ramowych.
Charakterystyki geometryczne figur
płaskich.
3
Literatura
[1] J. Leyko: Mechanika ogólna
[2] J. Leyko: Mechanika ogólna w zadaniach
[3] Z. Cywiński: Mechanika budowli w
zadaniach (Tom 1)
[4] J. Naleszkiewicz: Mechanika techniczna
[5] A. Chudzikiewicz: Statyka budowli
(Tom 1)
[6] P. Jastrzębski, J. Mutermilch,
W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów
(Tom 1)
4
Zaliczenie
Ćwiczenia:
 obecności;
 ćwiczenie projektowe;
 kolokwia.
Egzamin:
 część pisemna;
 część ustna.
5
Działy mechaniki
Statyka  bada przypadki, kiedy siły działające na
ciało nie wywołują sił bezwładności, tj. są
przykładane w nieskończenie długim czasie oraz
równoważą się wzajemnie.
Kinematyka  zajmuje się badaniem ruchu ciał
niezależnie od czynników wywołujących ten ruch.
Przedmiotem badań są: droga, prędkość,
przyspieszenie itd.
Dynamika  rozpatruje ruch ciał w zależności od sił
działających na nie, bada zależności między takimi
wielkościami jak: prędkość, przyśpieszenie, pęd, siła,
energia itd.
6
Zasady dynamiki Newtona (1)
Prawo I
Punkt materialny, na który nie działa
żadna siła lub działające siły
równoważą się, pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem jednostajnym
po linii prostej.
7
Zasady dynamiki Newtona (2)
Prawo II
Przyspieszenie punktu materialnego jest
wprost proporcjonalne do siły działającej na
ten punkt, a odwrotnie proporcjonalne do
masy punktu materialnego. Przyjmuje ono
zwrot i kierunek zgodny ze zwrotem i
kierunkiem wektora siły.
P
m
P = ma
a
8
Zasady dynamiki Newtona (3)
Prawo III
Dwa punkty materialne działają na
siebie dwoma siłami równymi co do
wartości, tym samym kierunku, ale o
przeciwnym zwrocie.
P1 =� -�P2
P2
P1 =� P2
P1
9
Idealizacje (1)
Punkt materialny  ciało o nieskończenie
małych wymiarach, ale posiadający swoją
masę. Punkt materialny modeluje ciała o
bardzo małych wymiarach w porównaniu z
wymiarami obszaru, w którym ciało się
porusza. Wymiary te powinny być na tyle
małe, aby można było pominąć zmiany
ułożenia tego ciała względem układu
odniesienia, wywołane przez obrót.
10
Idealizacje (2)
Ciało doskonale sztywne  ciało, w
którym odległości między jego punktami
nie zmieniają się. Ciało takie nie podlega
odkształceniom pod wpływem sił,
działających na to ciało. Ciało doskonale
sztywne może być modelem ciała
rzeczywistego, gdy odkształcenia tego
ciała są pomijalnie małe w stosunku do
wymiarów tego ciała.
11
Idealizacje (3)
Zasada zesztywnienia
Warunki równowagi sił działających na
ciało odkształcalne nie zostanie
naruszona przez zesztywnienie tego
ciała. Punkt przyłożenia siły nie ulega
przesunięciu mimo odkształcenia
konstrukcji.
12
Zasada superpozycji
Działania poszczególnych obciążeń są
od siebie niezależne.
Efekt działania (odkształcenie, siła
wewnętrzna) dwóch lub więcej
wpływów (obciążeń) może zostać
wyznaczony jako suma efektów
wywołanych działaniem tych wpływów
oddzielnie.
13
Skalar i wektor
Skalar  wielkość, do opisania której niezbędne jest
podanie jednej wartości w odniesieniu do
określonego punktu w przestrzeni.
Wektor  wielkość, do opisania której poza
wartością miary (modułu, długości wektora),
niezbędne jest także podanie kierunku (ułożenia linii
działania), zwrotu (uporządkowanie punktów od
początku do końca wektora), punktu zaczepienia.
Wektor może zostać przedstawiony jako
uporządkowana para punktów, z których jeden jest
początkiem wektora, a drugi jego końcem.
14
Przykłady
Skalary:
 gęstość, masa;
Wektory
 przemieszczenie, prędkość,
przyspieszenie, siła.
15
Podstawowe jednostki
Masa: g (gram); kg = 1000 g (kilogram)
Długość: mm = 0.001 m (milimetr);
m (metr); km = 1000 m (kilometr)
Czas: s (sekunda); min = 60 s (minuta);
h = 60 min = 3600 s (godzina)
Siła: N = kg m/s2 (niuton);
kN = 1000N (kiloniuton)
Moment siły: Nm (Niutonometr)
16
Rodzaje wektorów
Wektory zaczepione  związane z
punktem przyłożenia;
Wektory ślizgające się  mogące
poruszać się wzdłuż linii działania (np.
wektory sił w mechanice);
Wektory swobodne  mogą zostać
przyłożone w dowolnym punkcie (np.
wektory momentów sił).
17
Działania na wektorach
Suma wektorów;
Różnica wektorów;
Mnożenie wektora przez skalar;
Iloczyn wektorów:
 skalarny;
 wektorowy;
 mieszany;
 inne wielokrotne iloczyny wektorów.
18
Dodawanie wektorów
Suma wektorowa wektorów a i b:
a =� [ax,ay, az ] b =� [bx,by,bz]
c =� a +� b =� b +� a
c
c =� [ax +� bx,ay +� by,az +� bz ]
b
19
a
Twierdzenie cosinusów
Kwadrat długości boku trójkąta leżącego
naprzeciw kąta a� jest równy sumie
kwadratów długości boków leżących przy
tym kącie oraz podwojonego iloczynu tych
długości boków i cosinusa tego kąta a�.
a�
b
c
c =� a2 +� b2 -� 2ab cosg�
g�
b�
a
20
Zasada równoległoboku
Suma dwóch wektorów może zostać
przedstawiona jako przekątna
równoległoboku zbudowanego na
bazie sumowanych wektorów
przecinająca kąt między tymi
wektorami.
c
b
a�
21
a
Odejmowanie wektorów(1)
Różnica wektorów a i b jest równa
sumie wektora a i wektora
przeciwnego do b:
a =� [ax, ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
-� b =� [-�bx,-�by,-�bz ] c =� a -� b =� [ax -� bx, ay -� by, az -� bz ]
Różnica wektorów b i a jest równa sumie
wektora b i wektora przeciwnego do a:
-� a =� [-�ax,-�ay,-�az ] d =� b -� a =� [bx -� ax,by -� ay,bz -� az ]
22
Odejmowanie wektorów(2)
b
a
d
b
c
-b
-a
a
d =� b +� (�-� a)�=� b -� a
c =� a +�(�-� b)�=� a -� b
23
Skalowanie wektora
Mnożenie wektora przez skalar (n) w wyniku czego
otrzymuje się wektor o takim samym kierunku, mierze
n razy większej (przy |n|>1) lub 1/n razy mniejszej
(przy |n|<1) i takim samym zwrocie, jeżeli n>0, zaś
przeciwnym, jeżeli n<0.
a
n>1
n�a
a
0n�a
a
n�a
-1a
n�a
n<-1 24
Iloczyn skalarny (1)
Wielkość skalarna równa iloczynowi
modułów mnożonych wektorów i
cosinusa kąta zawartego między nimi
(iloczyn miary jednego wektora przez
rzut prostokątny drugiego na kierunek
pierwszego).
25
Iloczyn skalarny (2)
a =� [ax,ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
s =� a o� b =� a ��b��cos��(a,b) =� axbx+� ayby+� azbz
b
a�
a
b cosa�
26
a�
s
o
c
a
Iloczyn wektorowy (1)
Wektor o kierunku prostopadłym do
płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone
wektory, zwrocie określonym zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej i mierze
równej iloczynowi miar mnożonych
wektorów i sinusa kąta między nimi
(pole powierzchni równoległoboku
zbudowanego na mnożonych
wektorach).
27
Iloczyn wektorowy (2)
a =� [ax,ay, az ] b =� [bx,by,bz ]
i j k i j k
c =� a��b
c =� ax ay az d =� bx by bz
d =� b��a d =� -�c
bx by bz ax ay az
c =� d =� a ��b ��sin ��(a,b) =�
2
(� )� (� )�
=� aybz -� azby 2 +� (�azbx -� axbz )� +� axby -� aybx 2
b
a�
c
b
a
a�
d
a
28
Iloczyn mieszany
Wielkość skalarna  objętość
równoległościanu zbudowanego na
mnożonych wektorach jako na
krawędziach.
V =� (a��b) o� c
d
c
V =� d o� c =� d ��c cos b�
b�
d =� absina�
b
a�
V =� absina� ��c cos b�
29
a
Przemienność działań
Suma wektorów i iloczyn skalarny są
działaniami przemiennymi, natomiast
różnica wektorów i iloczyn wektorowy
nie są przemienne.
a  b = c b  a = d => d = -c
a � b = c b � a = d => d = -c
30
Pojęcie siły
Siła  wzajemne oddziaływanie ciał,
które przejawia się w wyprowadzeniu
ciała ze stanu spoczynku, bądz
przez
zmianę ruchu już poruszającego się
ciała. Aby scharakteryzować siłę
należy podać wektor, opisujący tą siłę,
oraz punkt przyłożenia siły.
31
Układy sił
Układ sił  dowolna grupa oddziaływań ciał
zewnętrznych na analizowane ciało, czyli zbiór
sił, których punkty przyłożenia, znajdują się w
analizowanym obszarze.
Równoważne układy sił
Dwa układy sił są równoważne wtedy, gdy
zastąpienie jednego układu, działającego na
ciało sztywne, przez drugi układ sił nie wywoła
zmiany stanu ruchu czyli nie spowoduje
zmiany kierunku ruchu, prędkości,
przyśpieszenia, itd.
32
Wypadkowa
Siła wypadkowa  wektor, który jest
sumą wszystkich wektorów sił z
układu, przyłożonego do punktu
materialnego i stanowi układ
równoważny, pod warunkiem, że siła
wypadkowa jest przyłożona do tego
samego punktu.
33
Płaski i przestrzenny
układ sił
Układ sił nazywamy płaskim jeżeli
kierunki wszystkich sił tego układu
położone są w jednej płaszczyz
nie, w
innym przypadku układ nazywamy
przestrzennym.
34
Układ sił zbieżnych
Układ sił zbieżnych  linie działania
wszystkich sił przecinają się w jednym
punkcie, tzw. punkcie zbieżności.
Określanie wypadkowej układu sił:
 działających wzdłuż jednej prostej;
 zbieżnych
metoda graficzna;
metoda analityczna.
35
Siły działające wzdłuż
jednej prostej
Wypadkowa układu sił działających wzdłuż
jednej prostej jest wektorem o także
działającym wzdłuż tej prostej, zwrocie
zgodnym z większą ze składanych sił i mierze
równej sumie, gdy miary wektorów
składowych są zgodne, lub różnicy miar
wektorów składowych, gdy zwroty
składowych są przeciwne.
P
W
P P 2
1 2
P
1
W
W =� P1 +� P2 W =� P1 -� P2
36
Wypadkowa
- metoda graficzna
Wypadkowa układu dwóch sił może zostać
wyznaczona jako przekątna równoległoboku
zbudowanego w oparciu o wektory
składowe przecinająca kąt między tymi
wektorami.
W W
P2 P2 P2
a� a� p�-�a�
P1 P1
W =� P12 +� P22 -� 2P1P2 cos(p� -�a� ) =�
37
=� P12 +� P22 +� 2P1P2 cosa�
Wielobok sznurowy
Do końca pierwszej siły przykłada się
początek siły następnej itd. Początek
pierwszej siły połączony z końcem
ostatniej określa wypadkową.
P
3
P
4
P P
2 2
P
3
W
P P
1 1
P
4
38
Rozkładanie siły na
składowe
Przez początek i koniec danej siły
przeprowadza się kierunki, na które siła
ma zostać rozłożona. Siły składowe
mogą zostać wyznaczone jako boki tak
zbudowanego równoległoboku.
2
P P
P
2
b� b�
a� a�
1
39
P
1
Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie stosunek
długości boku do sinusa
przeciwległego kąta jest stały i równa
się długości średnicy okręgu opisanego
na trójkącie.
a�
b
c
g�
b�
a
a b c
=� =� =� 2R
R
sina� sin b� sing�
40
Miary wektorów
składowych
P1 P2 P
=� =�
sin b� sina� sin(�p� -�(�a� +� b� )�)�
b�
P P sin b� P sin b�
P P
P1 =� =�
2 2
p�-�(�a�+�b�)�
b�
sin(�p� -�(�a� +� b� )�)� sin(�a� +� b� )�
a�
P sina� P sina�
P2 =� =�
P
1
sin(�p� -�(�a� +� b� )�)� sin(�a� +� b� )�
p�
��
a� +� b� =� p�
P sinć� -�a�
�� ��
2
Ł� ł�
Px =� =� P cosa�
p�/�2�-�a�
sinp�
P
Py
a�
P sina�
Py =� =� P sina�
Px
41
sinp�
Wypadkowa
- metoda analityczna
Składowe sił układu:
Pix =� Pi cosa�i Piy =� Pi sina�i
Składowe wypadkowej:
Wy =� P1y +� P2 y +� ...+� Pny
Wx =� P1x +� P2 x +� ...+� Pnx
Siła wypadkowa:
W =� Wx 2 +�Wy 2
Kierunek wypadkowej:
Wx
Wy
cosa� =�
sina� =�
42
W
W
Przykład
y
P
1
P
1y
a�
1�
P
3y
P
3
P
W 1x
a�
y W
3�
P
3x
a�
x
W
x
P
3
P
2
P
2x
a�
2�
P
W
2
P
P
2y
1
43
Moment siły (1)
Moment siły względem punktu  iloczyn
wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektora łączącego omawiany punkt i punkt
przyłożenia siły, oraz wektora siły:
P
MO =� r �� P
P
a�
P
MO =� r �� P sina�
r
r^� =� r ��sina�
a�
O
P
MO =� r^� �� P
r
4%
44
Moment siły (2)
Moment siły względem prostej -
Momentem względem prostej
nazywamy iloczyn wektorowy
promienia wodzącego, czyli wektora
łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły,
i wektora siły:
Ml=r � P
45
Wypadkowa układu sił
równoległych
Z
Z
Przyłożenie układu
W
2
zerowego (układ sił
W
1
P
2
równoważących się,
P
1
np. dwie siły o
takiej samej mierze,
linii działania i
Z
przeciwnych
Z
P
W
1
2
zwrotach) nie
P
W 2
wpływa na stan
W
1
P
1
równowagi ciała.
P
2
46
Para sił
Parę sił stanowią dwie siły o równoległych
liniach działania, o przeciwnych zwrotach,
zaś o tych samych miarach.
Ramię pary sił  odległość pomiędzy
kierunkami sił nosi nazwę ramienia pary sił.
P1 =� P2 =� P
a
P M =� Pa
2
P
1
47
Dowolny płaski układ sił (1)
Redukcja do siły wypadkowej przyłożonej w biegunie
redukcji i wypadkowego momentu względem tego
bieguna (pary sił).
Siły składowe mogą zostać przeniesione do bieguna
redukcji, pod warunkiem przyłożenie momentu od
tych sił względem bieguna redukcji.
Wypadkową siłę wyznacza się dla układu zbieżnego
przyłożonego w biegunie redukcji.
Wypadkowy moment jest równy sumie momentów od
sił składowych.
n n n
W =�
��P Mo =� ��r xPi =� ��M
i i io
i=�1 i=�1 i=�1
48
Przykład (1)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
P3x
(x3,y3)
(x1,y1)
P1x
x
0
(x2,y2)
P2x
a�2�
P2
P2y
49
Przykład (2)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
P3x
P1
P1x
P1
0
M0 x
P1
M0 =� -�P1x y1 +� P1y x1
P2x
a�2�
P2
P2y
50
Przykład (3)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
P3x
P1x
P2
M0
x
0
P2
P2
M0 =� -�P2x y2 +� P2 yx2
P2x
a�2�
P2
P2y
51
Przykład (4)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
P3x
P1x
P3
P3
M0
x
0
P3
M0 =� -�P3x y3 +� P3 yx3
P2x
a�2�
P2
P2y
52
Przykład (5)
y
P3y
P1y P1
P3
a�3�
a�1�
P3x
W
P1x
M0
x
0
P1 P P3
M0 =� M0 +� M0 2 +� M0
P2x
a�2�
P2
P2y
53
Dowolny płaski układ sił (2)
Wypadkowy moment może zostać
przedstawiony jako:
 wektor momentu;
 para sił;
 moment od siły wypadkowej przyłożonej
nie w biegunie redukcji, a na linii
działania wyznaczonej tak, że moment od
siły wypadkowej równy jest momentowi
od sił składowych.
54
Moment od wypadkowej
y
Wy W
W
Wx
y0
M0
a�
x
0
M0 =� -�Wx y0 +�Wyx0
x0
Wyx0 -� M0
y0 =�
Wx
M0
y0 =� x0tga� -�
55
Wx
Uogólnienie w przestrzeni
Układ sił zbieżnych  redukcja do siły
wypadkowej przyłożonej w punkcie
zbieżności.
Dowolny przestrzenny układ sił 
redukcja do wypadkowej siły i
wypadkowego momentu.
56
Stan równowagi
Równowaga statyczna
Punkt materialny (ciało sztywne) znajduje
się w stanie równowagi, jeżeli pod wpływem
działającego na ten punkt (ciało) układu sił,
punkt (ciało) nie porusza się lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej. Układ
sił, wywołujący opisane stany ruchu punktu
materialnego (ciała sztywnego), nazywa się
układem zrównoważonym lub
równoważnym zeru.
57
Oswobodzenie z więzów
Ciało nieswobodne można myślowo
oswobodzić z więzów, zastępując ich
działanie reakcjami.
Ciało oswobodzone z więzów można
traktować jako swobodne pod
działaniem sił czynnych (obciążeń) i
biernych (reakcji).
58
Równowaga dwóch sił
Układ dwóch sił pozostaje w
równowadze, jeżeli siły te leżą na
jednej prostej, mają przeciwne zwroty
i takie same miary.
R =� -�G
G G
R =� G
R
59
Równowaga trzech sił
Układ trzech sił jest zrównoważony,
jeżeli siły te tworzą płaski układ sił,
przecinają się w jednym punkcie, zaś
wielobok sznurowy zbudowany z tych
sił jest zamknięty.
R
B
R
B
B
G
A
R
A
R
G G
A
60
Równowaga par sił
Aby układ par sił, działających w
jednej płaszczyz
nie na ciało sztywne,
znajdował się w równowadze, suma
momentów tych par musi być równa
zero.
n
��M =� 0
i
i=�1
61
Warunki równowagi
układu zbieżnego
Wypadkowa układu sił musi być równa 0, tj.
zamyka się wielobok sznurowy sił
(graficznie), a sumy rzutów sił układu na
osie układu współrzędnych muszą być
równe zeru (analitycznie).
Płaski układ sił
n n
��P =� 0; ��P =� 0;
ix iy
i=�1 i=�1
Przestrzenny układ sił
n n n
��P =� 0; ��P =� 0; ��P =� 0
ix iy iz
i=�1 i=�1 i=�1
62
Warunki równowagi
dowolnego układu sił (1)
Płaski układ sił
n n n
��P =� 0; ��P =� 0; ��M =� 0
ix iy iO
i=�1 i=�1 i=�1
lub
n n n
AB�� ^� x
��P =� 0; ��M =� 0; ��M =� 0
ix iA iB
i=�1 i=�1 i=�1
lub
n n n
A, B,C ��l
��M =� 0; ��M =� 0; ��M =� 0
iA iB iC
i=�1 i=�1 i=�1
63
Warunki równowagi
dowolnego układu sił (2)
Przestrzenny układ sił
n n n
��P =� 0; ��P =� 0; ��P =� 0
ix iy iz
i=�1 i=�1 i=�1
n n n
��M =� 0; ��M =� 0; ��M =� 0
ix iy iz
i=�1 i=�1 i=�1
64