Praca, moc, energia
Pole grawitacyjne
m
R
można pokazać, że pole grawitacyjne jest polem
zachowawczym, tzn. istnieje energia potencjalna
M
energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M
R
mM mM
Ep,G (R) =� -�W (Ą� �� R) =�
��G r2 dr =� -�G R
Ą�
potencjał Ep,G (R)
M
VG (R) =� =� -�G
pola grawitacyjnego
mR
��
ś�VG
����
ś�x
x ����
ć� ��
�� �� ����
ś�VG
g� =� -�gradVG (R) =� -��VG �� y =�
M �� ����
ś�y
�� �� ����
z
Ł� ł�
��
ś�VG ��
����
ś�z
Ł�ł�
Praca, moc, energia
Potencjał elektrostatyczny
(pole skalarne)
Ep (r )
1J
��1V =� ł�
V (r ) =�
��
1Cś�
q
��
związek potencjału z natężeniem pola
E(r ) =� -�grad V (r ) =� -��V (r )
wektor natężenia pola jest skierowany w stronę
największego spadku potencjału
Praca, moc, energia
Potencjał ładunku punktowego
Energia potencjalna ładunku q w polu
k0 qQ
ładunku punktowego Q
Ep(r ) =�
e� r
Potencjał wokół ładunku punktowego Q
E(r ) =� -��V (r )
k0 Q
E1
V (r ) =�
E2
e� r
E3
powierzchnie ekwipotencjalne
Q >� 0
Q
= sfery o środku w miejscu
V1
V1 >� V2 >� V3
położenia ładunku Q
V2
V3
Fizyka
Drgania
Drgania
Ruch drgający
inaczej oscylacyjny, to ruch okresowy
(periodyczny) czyli taki, w którym co określony
okres czasu (okres ruchu) ruch się powtarza,
tzn. parametry ruchu: położenie, prędkość
i przyspieszenie mają te same wartości
y
ródło ruchu drgającego: siła proporcjonalna do
wychylenia z położenia równowagi, tj. takiego,
w którym siła nie działa; np. siła sprężysta
F =� -�k x
Drgania
Ruch drgający
Najważniejsze parametry ruchu drgającego:
amplituda A = największe wychylenie
z położenia równowagi
okres T = czas, po którym ruch się
powtarza (1 drgania)
częstość f = liczba drgań wykonywanych
w jednostce czasu
Drgania
Ruch drgający
Równanie ruchu drgającego:
2
F d x(t)
2
a =� a =�
F =�-�mw� x(t)
m dt2
2
d x(t)
=�-�w�2x(t)
dt2
równanie ruchu oscylatora prostego (harmonicznego)
np.:
k
w� =�
F =�-�kx(t)
m
Drgania
Oscylator harmoniczny
Ogólne równanie ruchu oscylatora harmonicznego
faza
początkowa
x(t) =� Acos(w� t +�j�0)
ruchu
amplituda
częstość
kołowa
2p�
1 w�
w�T =� 2p� �� w� =�
f =� =�
T
T 2p�
okres drgań
1
częstość
[ f ] =�1Hz =�
drgań
s
Drgania
Oscylator harmoniczny
Równanie ruchu masy m na sprężynie
o współczynniku sprężystości k
x(t) =� Acos(w� t +�j�0)
k
w� =�
m
Drgania
Oscylator harmoniczny
x(t) =� Acos(w� t)
Drgania
Oscylator harmoniczny
x(t) =� Acos(w� t +�j�0)
z definicji prędkości i przyspieszenia oraz 2. zasady Newtona:
v(t) =� -�w� Asin(w� t +�j�0)
a(t) =� -�w�2� Acos(w� t +�j�0) =� -�w�2�x(t)
F =� ma =� -�mw�2�x(t)
Drgania
Oscylator harmoniczny
Masa na sprężynie położenie prędkość przyspieszenie
A 0 -�w�2A
0 -� w�A 0
-�A 0 w�2A
0 w�A 0
Drgania
Oscylator harmoniczny
Y
y(t)
Dlaczego częstość kołowa?
r
współrzędne punktu:
x(t) =� r cosj�(t)
j�(t)
y(t) =� r sinj�(t)
x(t)
X
ruch jednostajny po
okręgu:
j�(t) =� j�0 +�w�t
x(t) =� r cos(w� t +�j�0)
Drgania
Oscylator harmoniczny
v
Y
związek z ruchem
ad
po okręgu
prędkość:
v =� w�r
vx (t) =�-�w�r sinj�(t) j�(t)
vy (t) =� w�r cosj�(t)
X
przyspieszenie
dośrodkowe:
ad =�-�w�2r
ad,x (t) =�-�w�2r cosj�(t)
ad,y(t) =�-�w�2r sinj�(t)
vx (t) =� -�w�r sin(w�t +�j�0) ad,x (t) =� -�w�2x(t)
Drgania
Oscylator harmoniczny
Energia w ruchu masy m na sprężynie
o współczynniku sprężystości k
x(t) =� Acos(w� t +�j�0) , v(t) =� -�w�Asin(w� t +�j�0)
11
Ek =� mv2 =� mw�2 A2 sin2 j�(t)
22
k
w�2 =�
11
m
Ep =� kx2 =� kA2 cos2 j�(t)
22
11
Ec =� Ek +� Ep =� kA2 =� mw�2 A2
22
Drgania
Wahadło fizyczne
M =�-�lQsina�
l
z 2. zasady Newtona dla ruchu
a�
obrotowego
Ie� (t) =�-�lQsina�(t)
Q =� mg
dla małych wartości kąta (w radianach): sina� � a�
Ie� (t) =�-�lmga�(t) �� a�(t) =� Acos(w�t +�j�0)
2p� I
mgl
T =�=� 2p�
w� =�
w� mgl
I
Drgania
Wahadło matematyczne
przybliżenia:
l
" nieważka nić
a�
" cała masa skupiona w punkcie
I =� ml2
materialnym o masie m
" małe wychylenia
Q =� mg
g
e� (t) =�-� a�(t)
l
g
l
l
2
w� =�
T =� 2p�
�� g =� 4p�
2
l
g
T