Zadanie 1
Dla płyty kołowo-symetrycznej o promieniu a=1,6m zamocowanej jak na rysunku i poddanej działaniu
na całej powierzchni równomiernie rozłożonego obciążenia q = 12 wyznaczyć: równanie linii
ugięcia powierzchni środkowej, równania momentów promieniowych i obwodowych, oraz
naprężenia. Wykonać interpretację graficzną dla w/w wielkości przyjmując grubość płyty równą
g=16mm.
Dane:
a = 1,6 m
q = 12
½ = 0,3
E = 2,1 " 10 MPa
h = g = 16 mm = 0,016 m
Równanie różniczkowe powierzchni ugięcia płyty kołowej obciążonej kołowo- symetrycznie
względem osi przechodzącej przez środek płyty prostopadle do jej powierzchni.
+ - = - (1)
gdzie:
w- ugięcie płyty
=  kąt pomiędzy normalną do powierzchni odkształconej i osią symetrii
"
= - płytowa sztywność zginania
"( )
= (2)
Q  siła poprzeczna
Siłę poprzeczną Q wyznaczamy z warunku równowagi elementu walcowanego o promieniu r
" 2 =
" " "
= =
2 " 2
Po wstawieniu tej wartości do równania 2 otrzymamy:
1 "
=
2
Po jednokrotnym scałkowaniu równania (2) otrzymamy:
1 "
=
2
1 "
= + /"
4
"
= + " (3)
Całkujemy powtórnie równanie (3):
"
= + "
4
" "
= + + /:
16 2
" "
= + + (4)
Ponowne całkowanie równania (4) daje:
" "
= + +
16 2
" "
= + + " + (4)
Wyznaczenie stałych całkowania z warunków brzegowych. W przypadku płyty kolistej z krawędziami
utwardzonymi, kąt powierzchni odkształconej z kierunku promieniowym musi być równy zeru przy
r=0 i r=a.
= = 0 => = 0
=
" "
+ + = 0
16 2

" "
+ + = = 0
16 2
= 0
" "
+ = 0 => = -
16 2 8
Podstawiając stałą całkowania do równania (4) otrzymamy kąt nachylenia:
"
( )
= - = -
16
Wstawiając stałe całkowania do równania (4) otrzymamy:
" " "
= - + (5)
Korzystając z warunku brzegowego, że na krawędzi płyty ugięcie jest równe zero:
= => = 0
" "
0 = - +
64 32
Otrzymamy:
"
=
64
Podstawiając do równania (5) znajdujemy równanie linii ugięcia powierzchni środkowej:
( )
= - (6)
Równanie momentów promieniowych i obwodowych wyznaczamy korzystając z zależności:
= - + (7)
= - + (8)
W tym celu dwukrotnie różniczkujemy równanie linii ugięcia powierzchni środkowej płyty (6):
"
= - ( -
)
16
= - ( - 3
)
16
Wstawiając otrzymane zależności do równań (7) i (8) otrzymujemy:
( ) ) ( ) ( )
= - - " - 3 - ( - = - 3 + -
16 16
( ) ( )
= - 3 + - = 1 + - (3 +
16 16
1 "
( ) (
= - - ( - + - ( - 3 = - + - 3 )
) )
16 16 16
( ) ( )
= - + - 3 = 1 + - (1 + 3 )
16 16
Na brzegu płyty r=a momenty wynoszą:
1
( )
= ( ) = 1 + - (3 + ) = (1 + - 3 - ) = - "
16 16 8
( )
= 1 + - (1 + 3 ) = (1 + - 1 - 3 ) = - "
( )
16 16 8
1
= ( ) = - " 12 " 1,6 = -3,84
,
8
0,3
= - " 12 " 1,6 = -1,152
( , )
8
Natomiast na środku płyty dla r=0:
( )
= 1 +
( )
16
( )
= ( ) = 1 +
16
12 " 1,6
= = ( )
1 + 0,3 = 2,496
( ) ( )
16
Naprężenia normalne promieniowe i obudowę wyliczamy z zależności:
( ) ( )
12 12 " 1 + - 1 + 3 3
16
( )
= " = " = 1 + - (1 + 3 ) "
4
( ) ( )
12 12 " 1 + - 3 + 3
16
( )
= " = " = 1 + - (3 + ) "
4
Największe naprężenia występują w warstwach skrajnych dla =
)
12 6 6 " (-3,84
= " = = = -90
2 0,016
12 6 6 " 2,496
= " = = = 58,5
2 0,016
Zadanie 2
Wyznaczyć równanie powierzchni ugięcia w płycie pierścieniowej, zamocowanej i obciążonej kołowo-
symetrycznie jak na rysunku.
Przypadek zginania płyty kołowej przez siły poprzeczne P równoramiennie rozłożone wzdłuż
wewnętrznej krawędzi. Siła poprzeczna na jednostkę długości obwodu o promieniu r wynosi:
"
= =
2 "
Wyprowadzona z warunku równowagi środkowej części płyty:
" 2 " =
Gdzie: = 2 " " oznacza całkowite obciążenie, działające na wewnętrzną krawędz
płyty.
Równanie różniczkowe ugięcia płyty kołowej ma postać:
= (1)
" "
Po jednokrotnym scałkowaniu równania (1) otrzymujemy:
=
2 " "
1
= + /"
2 "
= " " + " (3)
"
Całkujemy powtórnie równanie (3):
= " " + " (4)
"
Wzór na całkowanie przez części:
( ) ( ) ( ) ( ) -
" " = " ( ) ( )
( ) =

" = = " -
= - + (a)
( ) = => =
( )
Wstawiając (a) do równania (4) otrzymamy:
"
= - + + /:
2 " 2 4 2
" "
= 2 - 1 + + (5)
"
Ponowne całkowanie równania (5) daje:
" "
= 2 - 1 + +
8 " 2
= 2 " - = - - " +
8 " 4 " 2 4 8 " 2
Podstawiając wyliczone wyrażenie A do równania wcześniejszego otrzymujemy:
"
= - - + + " +
8 " 2 2 4
 " "
= - 1 + + " + (6)
"
Stałe całkowania obliczamy z warunków brzegowych:
- = = 0 => =
" "
2 - 1 + + = 0
8 " 2
" · 1
= -
8 " 2
Korzystając z warunków brzegowych dla = :
= 0
1 + - 1
( )
+ 2 - - - 1 + + = 0
8 " 2
2 - 1
2 4
= · + 2 - - - 1 +
( ) )
8 1 + - ( - 1
2 - 1
2 4
= - · + 2 - - - 1 +
( ) )
8 " 16 1 + - ( - 1
Korzystając z warunku brzegowego, że na krawędzi płyty ugięcie jest równe zero:
= 0
=
" "
0 = - 1 + +
8 " 16 "
" "
0 = - + +
8 " 16 "
2 - "
= =
16 " 16 "
Podstawiając do równania (6) znajdujemy równanie linii ugięcia powierzchni środkowej:
" 2 - 1
( )
= - 1 + · + 2 - - - 1 +
( ) )
8 " 4 8 1 + - ( - 1
2
+ -
( ) )
8 " 16 1 + - ( - 1
- 1 "
( )
· + 2 - - - 1 + " +
16 "
 - 1
( )
= - 1 + · + 2 - - - 1 +
( ) )
8 " 2 1 + - ( - 1
- 1
( )
+ - · + 2 - - - 1 + "
( ) - ( - 1
1 + )
+
2
Zadanie 3
Płyta prostokątna obciążona na całej powierzchni obciążeniem ciągłym q=18 podparta jest jak na
rysunku. Wyznaczyć równanie linii ugięcia powierzchni środkowej płyty oraz jej strzałkę ugięcia
przyjmujÄ…c a=3,2 m, h=30 mm, b=2,2 m, E=2,05·105 MPa, ½=0,3.
= 0 d"> " - " " = 0
2
"
=
2
= 0 d"> + - " = 0
 " "
= " - =
2 2
Równanie momentu zginającego Mx przyjmuje postać:
= " - " "
2
" "
= -
2 2
Równanie różniczkowe powierzchni ugięcia płyty:
" = -
" " "
" = - + (1)
Po jednokrotnym całkowaniu równania (1) otrzymamy:
" "
= - +
2 2
" " "
" = - + + (2)
Ponowne całkowanie równania (2) daje:
2 3
" "
" = - + +
1
4 6
" " "
= - + + " +
12 24
Stałe całkowania otrzymujemy z warunków brzegowych:
= 0 => = 0

= => = = 0
2
" " 0 " 0
" 0 = - + + " 0 +
12 24

" " "
2 + 2 +
" 0 = -
4 6
= 0
" " "
0 = - + + => =
16 48 24
Ostatecznie otrzymujemy:
" " " "
= - + + " + 0
12 24 24
 " " "
= + ( - 2
)
24 24
Maksymalne ugięcie płyty zachodzi dla = i wynosi:
"
2 + " " - 2 "
2
= = =
2 24 24 2
" " " + 4 "
= + =
384 96 384
5 "
= "
384
Gdzie:
" !
=
12 " (1 - )
5 "
= " " 12 " (1 - )
384 " !
Po wykorzystaniu danych z zadania otrzymujemy:
5 18 " 10 " 3,2
( )
= " " 12 " 1 - 0,3 = 0,048 = 48
( )
384 2,05 " 10 " 0,03
Zadanie 4
Wyznaczyć ugięcie, momenty zginające oraz naprężenia zredukowane zg. z hipotezą HMH w punkcie
r=140 mm dla płyty kołowej o promieniu R=2,2 m obciążonej siłą skupioną P=1,8 kN przyłożoną w jej
środku, grubość płyty wynosi g=12 mm.
Dane:
= 2,2
= 1,8
! = 30
= 140
Wartość siły poprzecznej:
" 2 " =
=
2 "
Równanie różniczkowe ugięcia płyty kołowej ma postać:
1
=
2 " "
" "
= 2 - 1 + +
8 " 2
" "
= - 1 + + (1)
"
Dla wyznaczenia stałych C1 i C2 mamy dwa następujące warunki brzegowe:
= 0 => = = 0

= => " = - + = 0
" "
= 2 - 1 + + (2)
" " "
= - + + 2
4 8 2
1 1
= + " " - + +
4 8 2
= + 1 - + +
4 " 8 2
= 2 + 1 + + (3)
"
Podstawiamy wyliczone równania (2) i (3) do równań warunków brzegowych:
" 0 0 " 0
0 = 2 - 1 + + => = 0
8 " 2 0

" "
0 = 2 + 1 + - + 2 - 1 + +
8 " 2 8 "
1 = 0
= 0

" "
0 = + + - +
8 " 2 8 " 2
 = 0

" "
0 = ( - + " - +
1 )
8 " 8 " 2
= 0
1 -
= - "
4 " 1 +
Wstawiając stałe całkowania do równania (1) otrzymamy:
" 1 -
= - 1 + - " +
8 " 4 4 " 1 +
" " 1 -
= - 1 - " +
8 " 16 " 1 +
Korzystając z warunku brzegowego, że na krawędzi płyty ugięcie jest równe zero:
= => = 0
" " 1 -
0 = - 1 - " +
8 " 16 " 1 +
" " 1 -
0 = - " +
8 " 16 " 1 +
Otrzymujemy:
" 1 - " 2 + 2 + 1 - " 3 +
= 2 + = =
16 " 1 + 16 " 1 + 16 " 1 +
Podstawiając wyliczone stałe całkowania znajdujemy równanie linii ugięcia powierzchni środkowej:
" 1 - " 3 +
= - 1 + - " +
8 " 4 4 " 1 + 16 " 1 +
" 2 " " 1 - " 3 +
= " 2 - - " + "
16 " 16 " 16 " 1 + 16 " 1 +
" " 1 - " 3 +
= " 2 - " 2 + + "
16 " 16 " 1 + 16 " 1 +
( )
= " 2 " + - (4)
"
Równanie momentów promieniowych i obwodowych wyznaczamy korzystając z zależności:
= - + (5)
= - + (6)
W tym calu 2- krotnie różniczkujemy równanie linii ugięcia powierzchni środkowej płyty (4):
1 3 +
= " 4 + 2 " - " 2
16 " 1 +
3 +
= " 4 + 2 - " 2
16 " 1 +
2
= " 2 -
8 " 1 +
1 2
= " 2 + 2 " " -
8 " 1 +
2
= " 2 +
8 " 1 +
Wstawiając otrzymane zależności do równań (5) i (6) otrzymamy:
2 " 2
= - " 2 + + " 2 -
8 " 1 + 8 " 1 +
2 " " 2
= - " 2 + " + " 2 - "
8 " 8 " 1 + 8 " 8 " 1 +
= - " " (1 + )
4 "
= - " " (1 + )
4
= " " (1 + )
4
1 " 2 2
= - " 2 - + " " 2 +
8 " 1 + 8 " 1 +
2 " " 2
= - " 2 - " + " 2 + "
8 " 8 " 1 + 8 " 8 " 1 +
1
( )
= - " " 1 + + " -
4 " 4 " 1 + 1 +
( )
= - " " 1 + + (1 - )
4 "
( )
= " " 1 + + (1 - )
4
Po uwzględnieniu danych z zadania otrzymujemy:
1,8 2,2
( = 140 = " 1 + 0,3 = 0,513
) ( )
4 0,14
1,8 2,2
( = 140 = " 1 + 0,3 + (1 - 0,3) = 0,613
) ( )
4 0,14
Naprężenia promieniowe i obwodowe na powierzchni płyty = z zależności:
! 6
= 12 " = 12 " =
! ! 2 !
! 6
= 12 " = 12 " =
! ! 2 !
PodstawiajÄ…c dane z zadania i wyliczone momenty otrzymujemy:
6 " 0,513
= = 3420
0,03
6 " 0,613
= = 4086,67
0,03
Hipoteza Hubera Misesa Henck`yego: Kryterium wytężenia stanowi energia odkształcenia
postaciowego.
1+
2
Stan zastępczy: = "
3
( ) ( ) ( )
Stan złożony: = " - + - + -
StÄ…d:
1
( )2 ( )2 ( )2
= - + - + -
1 2 2 3 3 1
2
Naprężenia zredukowane według hipotezy HMH ( = , = , = 0 ) na powierzchni płyty
wynoszÄ…:
1
( )
= - + - 0 + 0 -
2
1
= - 2 + +
2
= - + +
Podstawiając dane z zadania i wyliczone naprężenia otrzymamy:
= 3420 + 4086,67 - 3420 " 7086,67 = 3797,48
Ugięcie w punkcie r=140 [mm] wynosi:
" !
=
12(1 - )
12 " (1 - ) 3 +
( )
= 2 + -
16 " " ! 1 +
12 " 1,8 " (1 - 0,3 ) 0,14 3 + 0,3
( ) 2,2 )
= 140 = 2 " 0,14 + ( - 0,14
16 " 2,05 " 10 " 0,012 0,22 1 + 0,3
( )
= 140 = 0,013 = 13
Zadanie 5
Wyznaczyć rozkład sił południkowych n1(x) i równoleżnikowych n2(x) w powłoce walcowej zbiornika
żelbetowego obciążonego ciężarem własnym łb=25 oraz parciem hydrostatycznym łc=18 .
Zbiornik ma wysokość równą promieniowi: H=R=24 m. Przyjąć warunki brzegowe gwarantujące
bezmomentowy stan osiowo-symetryczny (zamocowanie w dolnej części zbiornika potraktować jako
przegubowe). Wyznaczyć rozkÅ‚ad przemieszczeÅ„ u(x) i w(x) przyjmujÄ…c dla zbiornika moduÅ‚ E=3·104
MPa oraz grubość ścianki zbiornika h=22 cm. Wykonać interpretację graficzną w/w wielkości.
Dane:
= 25
=
= = 24
 = 3 " 10
! = 22
= 0,167
Obciążenie powierzchniowe przyjmujemy w postaci:
| | = " !
| | = " ( - )
Korzystając z równań równowagi:
+ = 0
=
Gdzie:
=
Obliczamy siły przekrojowe:
( ) - " = - " ! " +
=
WykorzystujÄ…c warunek brzegowy:
( )
0 = 0
0 = - " ! " 0 +
= 0
( ) -25 " 0,22 "
=
( ) -5,5 "
=
( ) = -5,5 · ( - )
( ) = " = " " -
( )
( ) = 24 " 18 " 24 - = 10368 - 432
( )
Jeśli połączymy równania kinematyczne:
( ) =
 ( )
( ) =
Z równaniami fizycznymi:
( - )
=
!
-
=
!
To możemy wyznaczyć funkcję przemieszczeń u(x) i w(x):
( - ! )
( ) = =
!
( ) ( ) (
-5,5 - 10368 - 432 -5,5 24 - - 0,167 10368 - 432 )
( ) = =
3 " 10 " 0,22 66 " 10
-77,644
= ( - = -1,18 " 10 24 -
24 ) ( )
66 " 10
( ) -1,18 " 10 24 -
= ( )
( ) -1,18 " 10 24 - +
=
2
WykorzystujÄ…c warunek brzegowy:
( ) -1,18 " 10 24 -
=
2
( )
0 = 0
0
0 = -1,18 " 10 " 24 " 0 - + => = 0
2
-
( ) = " =
!
( ) ( )
432 24 - - 0,167 -5,5 " 24 -
( ) = 24 "
3 " 10 " 0,22
( ) = 1,57 " 10 (24 - )