Inż.Śr. Lista nr 4. Zastosowania rachunku całkowego c.d.
Zad.1. Korzystając z reguł Guldina wyprowadz
wzory na objętość i pole powierzchni torusa.
Zad.2. Znajdz
współrzędne środka ciężkości półpierścienia o promieniach r i R.
Zad.3.Wyznacz współrzędne środka ciężkości podanych obszarów:
a) ćwiartki koła o promieniu r
b) trójkąta ABC gdzie A(0,0), B(1,0), C(2,2)
c) figury ograniczonej krzywą y(x)=1-x2 i osią OX
d) figury ograniczonej krzywą y(x)=x2 i prostą y=2-x
e) obszaru ograniczonego jednym łukiem y(x)=cos(x), 0f) obszaru ograniczonego linią y(x)=e-x, osią OX, x>0
Zad.4. Wyznacz współrzędne środka ciężkości podanych brył:
a) półkuli o promieniu r,
b) naczynia w kształcie paraboloidy obrotowej o wysokości H i promieniu podstawy r
c) bryły powstałej przez obrót linii łańcuchowej dookoła osi OX, 0d) bryły powstałej przez obrót linii y(x)=e-x dookoła osi OX, x>0
Zad.5. Oblicz pracę potrzebną do wypompowania wody z basenu o olimpijskich wymiarach.
Dno basenu jest pochyłe, w najpłytszym miejscu ma głębokość h, w najgłębszym H. Długość
basenu wynosi L, szerokość s, basen jest całkowicie wypełniony wodą.
Zad.6. Oblicz pracę jaką trzeba wykonać, by wypompować wodę z półkulistego naczynia o
promieniu r. Rozważ różne położenia naczynia (wierzchołkiem w dół, w górę).
Zad.7. Treść jak wyżej, lecz naczynie ma kształt stożka o zadanej wysokości h i promieniu
podstawy r. Czy wynik się zmieni, jeśli stożek nie będzie prawidłowy (tzn. wysokość
opuszczona z wierzchołka nie spada na środek podstawy).
Zad.8. Treść jak wyżej, lecz naczynie ma kształt starożytnej amfory, t.j. jest paraboloidą
obrotową. Wysokość naczynia wynosi H, promień pokrywki R, wypełnione do połowy wodą.
Zad.9. Oblicz nacisk wody na pionową trójkątną płytę o podstawie b i wysokości h,
zanurzoną w wodzie tak, że wierzchołek płyty jest na powierzchni wody. Czy kształt trójkąta
wpływa na wynik ?
Zad.10. Oblicz nacisk na zanurzone pionowo w wodzie półkole (wierzchołkiem w dół lub w
górę), jeśli jego promień wynosi r, a średnica leży h metrów pod powierzchnią wody.
Zad.11. Pionowa tama ma kształt trapezu, którego górna podstawa jest równa 70 m, dolna 50
m, a wysokość 20 m. Oblicz nacisk wody na tamę.
M. Chalfen