D = (-1)l+1a1,lD1,l + (-1)l+2a2,lD2,l + ... + (-1)l+nan,lDn,l.
D = a1,1D1,1 - a1,2D1,2 + a1,3D1,3 - . . . + (-1)n-1a1,nD1,n =
= a1,1D1,1 - a1,2D1,2 + a1,3D1,3 - . . . + (-1)1-nan,1Dn,1.




a1,1 a1,2 a1,3



a2,2 a2,3 a2,1 a2,2



a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 + a1,3 =



a3,2 a3,3 a3,1 a3,2


a3,1 a3,2 a3,3
= a1,1(a2,2a3,3-a3,2a3,3)-a1,2(a2,1a3,3-a3,1a3,3)+a1,3(a2,1a3,1-a3,1-a2,3)
n2
(n - 1)2
a1,l0
D = a1,l, D1,l,



a1,1 0 0 .. 0 a2,2 a2,3 .. a2,n



a2,1 a2,2 a2,3 .. 0 a3,2 a3,3 .. a3,n

= a1,1


.. .. .. .. .. .. .. .. ..



an,1 an,2 an,3 .. an,n an,2 an,3 .. an,n



ca1,1 0 0 0 ... 0



a2,1 a2,2 0 0 .. 0



a3,1 a3,2 a3,3 0 .. 0

= a1,1a2,2...an,n


. . . . .



an-1,1 an-1,2 . . an-1,n-1 0



an-1 an,2 . . . an,n



1 0 0



x 1 0 = 1



y z 1




1 0 0 .. 0



b1,1 b1,2 .. b1,n



0 b1,1 b1,2 .. b1,n



b2,1 b2,2 .. b2,n



= 0 b2,1 b2,2 .. b2,n



.. .. .. ..



.. .. .. .. ..



bn,1 bn,2 .. bn,n


0 bn,1 bn,2 .. bn,n
cD = (Żl)k+1cak,1Dk,1 + (-1)k+2cak2Dk2 + ... + (-1)k+2cak,nDk,n
bk,l = (-1)k+lan,ldlak, l = 1, 2, .., n,



a1,1 ... a1,n b1,1 ... b1,n



.. . .. .. . ..

=


.. . .. .. . ..



a[n, a ... an,n b1,n ... bn,n


-b c

a b c a



d e f = -d e -f


-h i

g h i g
(-1)k+1al,1Dk,1 + (-1)k+2a1,2Dk,2 + ... + (-1)k+na1,nDk,n
ak,1, ak,2, ..., ak,n al,1, al,2, ..., al,n
i = k

(-1)k+1al,1Dk,1 + (-1)k+2al,2Dk,2 + ... + (-1)k+na1,nDk,n = 0
(-1)k+1a1,lD1,k + (-1)k+2a2,lD2,k + ... + (-1)k+nan,1Dn,k = 0
a1,l = A1 + A2 + ... + Ap,
a2,l = B1 + B2 + ... + Bp,
...............s
an,l = L1 + L2 + ... + Lp,
D = (-1)l+1(A1 +A2 +. . .+Ap)D1,l = (-1)l+2(B1 +B2 +...+Bp)D2,l+
+... + (-1)(L1 + L2 + . . . + Lp)Dn,l =
= (-1)l+1A1D1,l + (-1)l+2B1D2,l + . . . + (-1)l+nL1Dn,l+
+(-1)l+1A2D1,l + (-1)l+2B2D2,l + . . . + (-1)l+nL2Dn,l+
..................
+(-1)l+1ApD1,l + (-1)l+2B2D2,l + . . . + (-1)l,nLpDn,l
D = W1 + W2, +... + Wp
Wi
Al, Bl, ..., Ll



a1,1 a1,2 . . . a1,l-1 A1 + A2 + . . . + Ap a1,l+1 . . . a1,n



a2,1 a2,2 . . . a2,l-1 B1 + B2 + . . . + Bp a2,l+1 . . . a1,n

=


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



an,1 an,2 ... an,l-1 L1 + L2 + ... + Lp an,l+1 ... an,n



a1,1 a1,2 . . . a1,l-1 All a1,l+1 . . . a1,n


p


a2,1 a2,2 . . . a2,l-1 Bll a2,l+1 . . . a1,n

=


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l=1



an,1 an,2 . . . an,l-1 Ll an,l+1 . . . an,n



1 2 ... n



n + 1 n + 2 ... 2n

Dn


.. .. .. .


- 1)m + 1 .. . n2

(n
3
Dn = 0dlan 3
D1 = 1iD2 = -2



12 22 ... n2



(n + 1)2 (n + 2)2 ... (2n)2

"n =


. . . . . . . . . ..



. . . . . . . . . (2n2)2

"n "2 "3



1 1 1 1



a1 a2 a3 a4

V4 =


a2 a2 a2 a2
1 2 3 4



a3 a3 a3 a3
1 2 3 4
 a1, a2, a3 a4
a2Ża1 a3Ża1 a4Ża1


1 0 0 0


a1 1 1 1

V4 = (a2 - a1)(a3 - a1)(a4 - a1)
a2 a1 + a2 a1 + a3 a1 + a4
1


a3 a2 + a1a2 + a2 a2 + a1a3 + a2 a2 + a1a4 + a2
1 1 2 1 3 1 4


1 1 1


= (a2 - a1)(a3 - a1)(a4 - a1) a1 + a2 a1 + a3 a1 + a4



a2 + a1a2 + a2 a2 + a1a3 + a2 a2 + a1a4 + a2
1 2 1 3 1 4
a1 a1


1 1 1


a2 a3 a4



a2 a2 a2
2 3 4
V4


1 0 0


(a3 - a2)(a4 - a2) a2 1 1 = (a3Ża2)(a4Ża2)(a4 - a3)


a2 a2 + a3 a2 + a4
2
4 k-1

V4 = (a2Ża1)(a3Ża1)(a4Ża1)(a3Ża2)(a4 - a3) = (ak - al)
k=2 l=1


1 1 1 1


a1 a2 .. an



Vn a2 a2 .. a2
1 2 n

.. .. .. ..



an-1 an-1 .. an-1
1 2 n
n k-1

Vn = (ak - al)
k=2 l=1
n(n-1)
ak - al 1 l < k n
2
n(n-1
2
2
Vn
n(n-1)
2
n! 2
8.2
2
3! = 6 < 8 = 2
V3



a1 a1 . . . a1
1 2 n



a2 a2 ldotsa2
1 2 n

a1a2 . . . anVn = .


. . . . . . . . .



an an ..an
1 2 n



a1,1 .. a1,n



Dn = .. .. ..



an,1 .. an,n
al ak,l
k
Dn
n k-1

a1a2...anVn = a1a2...an (ak - al)
k=2 l=1
 a1a2...an
Vn



x y z t



a u a a



b v b b



c w c c



1 0 0 0 a



0 1 0 0 0



W = 0 0 1 0 0



0 0 0 1 0



b 0 0 0 1



3 13 17 4



6 28 33 8

D =


10 40 54 13



8 37 46 11