1. PRZESTRZEC PROBABILISTYCZNA Niech będą dane: niepusty zbiór &!, pewna rodzina Ł podzbioru zbioru &! i funkcja P:ŁR. Trójkę (&!, Ł, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli Ł jest -algebrą, a P miarą probabilistyczną tzn: a) &!=Ł b) Jeśli A1, A2, A3, & TŁ to " TŁ
c) Jeśli ATŁ to A =&!\ATŁ d) Jeśli ATŁ to P(A)e"0 " e) Jeśli zbiór A1, A2, A3, & TŁ, Ai)"Aj=" dla i`"j to P(" )= ( )
f) P(&!)=1 2. PRAWDOPODOBIECSTWO WARUNKOWE (&!, Ł, P) przestrzeń probabilistyczna, ATŁ, P(A)>0. Dla dowolnego BTŁ określamy jego prawdopodobieństwo warunkowe P(B|A) wzorem P(B|A)= ( )" ) ( ) 3. PRAWDOPODOBIECSTWO CAAKOWITE (&!, Ł, P) przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A1, A2, & , AnTŁ spełniają warunki: 1. P(Ai)>0 dla i=1, 2, & , n 2. Ai)"Aj=" dla i`"j 3. A1, A2, & , An= &! " wtedy dla każdego zdarzenia BTŁ zachodzi P(B)= ( | ) " ( )
4. TWIERDZENIE BAYESA (&!, Ł, P) przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A1, A2, & , AnTŁ spełniają warunki: 1. P(Ai)>0 dla i=1, 2, & , n 2. Ai)"Aj=" dla i`"j 3. A1, A2, & , An= &! ( | )
wtedy zachodzi równość P(Ak|B)= " " ( ) , k=1, 2, & , n ( | )" ( )
5. ZDARZENIA NIEZALEŻNE Zdarzenia A1, A2, & , An są niezależne, jeśli dla każdego podciągu Ak1, & , Akn zachodzi: P(Ak1)"Ak2)"& )"Akn) = P(Ak1)*P(Ak2)*& *P(Akn) 6. ZMIENNA LOSOWA (&!, Ł, P) przestrzeń probabilistyczna. Zmienną losową nazywamy funkcję X określoną &!R spełniającą warunek: {wT &!:X(w)d"x}TŁ dla każdego xTR. 7. DYSTRYBUANY ZMIENNEJ LOSOWEJ Funkcja FX daną wzorem FX(x)=P(Xd"x) gdzie P(Xd"x)=(P({wT &!:X(w)d"x})) 8. ZMIENNA LOSOWA O ROZKAADZIE DYSKRETNYM (SKOKOWYM) Zmienną losową X nazywany zmienną losową o rozkładzie dyskretym jeśli istnieje przeliczalny zbiór K taki, że P(xTK)=1 9. ROZKAAD JEDNOPUNKTOWY Zmienna losowa X na rozkład jednopunktowy jeśli istnieje x0TR:P(X=x0)=1, K={x0}, P(x0)=P(X=x0)=1 10. ROZKAAD DWUPUNKTOWY Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy jeśli istnieje x1, x2TR:pT (0,1) takie, że P(X=x1)=p, P(X=x2)=1-p 11. ROZKAAD DWUMIANOWY (ROZKAAD BERNULLEGO) Schematem Bernullego nazywamy ciąg takich samych niezależnych doświadczeń, z których każde kończy się zajściem zdarzenia A lub jego nie zajściem. 12. ROKAAD POISSONA
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem jeśli P(X=k) = , k=0, 1, & ! 13. ROZKAAD GEOMETRYCZNY Nieskończony schemat Bernullego o prawdopodobieństwie sukcesów w pojedyńczej próbie p. X nr próby, w której po raz pierwszy wystąpił sukces. Wówczas prawdopodobieństwo: P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1, 2, & .Nazywamy rozkładem geometrycznym=czas oczekiwania na pierwszy sukces w rozkładzie Bernullego. 14. ZMIENNA LOSOWA O ROZKAADZIE CIGAYM
Zmienna losowa X na rozkład ciągły jeśli istnieje taka nieujemna funkcja f, że FX(x)= ( ) . Funckję f +" nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X lub jej gęstością 15. ROZKAAD JEDNOSTAJNY Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b) jeśli x ma gęstość postaci 1 ( ) = " " ( , ) 0 " ( , ) 16. ROZKAAD WYKAADNICZY Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem jeśli x ma gęstość postaci ( ) = " > 0 0 d" 0 17. ROZKAAD NORMALNY (ROZKAAD GAUSA) ( )
" ( ) Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i jeśli ma gęstość = "
19. WARTOŚĆ OCZEKIWANA (NADZIEJA MATEMATYCZNA, WARTOŚĆ ŚREDNIA, WARTOŚĆ PRZECITNA) Warościa oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy wielkość oznaczoną symbolem EX i określoną następująco: " 1. Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym o wartościach w zbiorze k={x1, x2, & } i szereg | |P(x=xk)
" jest zbieżny to X = " ( = )
2. Jeśli x ma rozkład ciągły gęstościa fx i całka | | ( ) jest zbiezna to X= ( ) +" +" 20. MOMENT RZDU Momentem rzędu k zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną EXk i oznaczamy mK. 21. MOMENT CENTRALNY Momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy E((X-EX)K) oznaczamy źK 22. MOMENT CENTRALNY RZDU 2 Mamentem centralnym rzędu drugiego nazywamy wariancję zmiennej losowej X i oznaczamy D2X 23. ODCHYLENIE STANDARDOWE Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym i oznaczamy DX 24. NIEZALEŻNE ZMIENNE LOSOWE Mówimy, że zmienne losowe X, Y są niezależne jeśli "aTR, bTR zachodzi P(Xd"a, Yd" )=P(Xd" ) P(Yd" ) 25. NIERÓWNOŚĆ CZYBYSZEWA
Jeśli X jest zmienną losową o wartości oczekiwanej m i wariacji 2 to P(|X-m|> )d"
26. WAASNOŚCI PRAWDOPODOBIECSTWA a) P(")=0 " b) Jeśli zbiór A1, A2, & , AnTŁ takich, że Ai)"Aj=" dla i`"j to P(" )= ( )
c) Jeśli A, BTŁ, A"B to P(B\A) = P(B)-P(A) d) Jeśli ATŁ to P(A )=1-P(A) e) Jeśli A, BTŁ, to P(A*"B)=P(A)+P(B)-P(A)"B) " f) Jeśli zbiór A1, A2, & AnTŁ, to P(" )d" ( )
g) Jeśli A, BTŁ, A"B to P(A)d"P(B) h) P(A)d"1 dla ATŁ 27. WZÓR WACZ-WYACZ " ) ( ) P(" )= ( ) - " (-1 )" & )" dla dowolnych A1, & , AnTŁ )" + " +
28. TWIERDZENIE O CIGAOŚCI MIARY PROBABILISTYCZNEJ Jeśli (An)nTN jest wstępującą rodziną zdarzeń to P(" T )=lim ( ). Jeśli (An)nTN jest zstępującą rodziną zdarzeń to P(" T )=lim ( ).