Metody Probabilistyczne Koło 1

METODY PROBABILISTYCZNE
METODY PROBABILISTYCZNE
zbiór materiałów do kolokwium nr 1
Aktualizacja: 18.11.2008
Przykładowe zestawy
1) Podaj definicje próbki losowej prostej?
2) Jakie znasz miary wartość centralnych zmiennej losowej?
3) Podaj definicje mediany.
4) Podaj definicje kwantyla.
5) Omów test Kołomorowa-Smirnowa.
6) Co to jest przedział ufności.
7) Jaki parametr definiuje asymetrie rozkładu i jakie istnieją rozkłady asymetrii?
8) Jakie znasz rozkłady testowe? Wymień nazwy i podaj zależności miedzy kwantylem, a wartością krytyczna dla rozkładu .
�ą2
9) Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu Weibulla i zdefiniuj jego parametry.
10) Podaj wzór na odchylenie standardowe skorygowane i nieskorygowane.
1) Jakie znasz wzory na prawdopodobieństwo empiryczne (z próby)?
2) Zdefiniuj pojęcie współczynnika zmienności.
3) Czemu się równa wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona?
4) Zdefiniuj parametry rozkładu normalnego.
5) Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu potęgowego.
6) Czemu się równa wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta?
7) Ile siatek funkcyjnych ma rozkład Weibulla i jak się nazywają?
8) Omów test Kołomorowa-Smirnowa.
9) Podaj zależność pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji.
10) Omów pojecie mieszanina rozkładów.
1) Zdefiniuj pojecie i podaj przykład kumulacyjnego.
2) Podaj zależność na k-ty moment centralny zmiennej losowej ciągłej. Jak się nazywa drugi moment centralny?
3) Podaj wzór na standaryzacje zmiennej losowej i podaj właściwości zmiennej standaryzowanej.
4) Co to jest wektor losowy?
5) Ze zbioru wyrobów o dużej liczebności i wadliwości w=10% losowano po jednej sztuce i badano. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że dla trafienia na sztukę niedobra trzeba zbadać 3 sztuki?
6) W jakim zakresie parametrów kształtu rozkład Weibulla jest pseudo symetryczny i podobny do rozkładu normalnego?
7) Napisz słowami co oznacza X ^l k,m.
8) Podaj definicje przedziału ufności.
9) Omów test zgodności .
śą2
10) Jakie znasz metody kontroli obliczeń statystycznych?
1) Co to jest populacja generalna?
2) Jakie znasz wzory na oszacowanie prawdopodobieństwa z próby?
3) Podaj definicje i właściwości dystrybuanty.
4) Co to jest moda?
5) Co to jest współczynnik zmienności.
6) Podaj definicje i właściwości kowariancji.
7) Zdefiniuj parametry rozkładu Weibulla.
8) Opisz graficzna metodę szacowania parametrów rozkładu.
9) Omów test zgodności .
śą2
10) Do czego służy i jak jest realizowany test serii?
1) Na czym polega metoda analizy statystycznej zwana metoda dystrybuanty empirycznej
2) Zdefiniuj pojecie wariancji:
3) Podaj dziedzinę współczynnika korelacji:
4) Narysuj wykres funkcji gęstości rozkładu równomiernego
5) Obszar ufności.
6) Test zgodności.
7) Czym się różni test od testu Kołmogomorowa-Smirnowa?
śą2
8) Jaki test można zastosować do oceny niezależności uzyskanych wyników badan statystycznych?
9) Podaj dowolna wartość testowa do testu błędów grubych.
10) Podaj warunek konieczny i wystarczający niezależności dwóch zdarzeń losowych?
Podaj definicję próbki losowej prostej.
Próbką losowa normalna nazywamy podzbiór stanowiący część populacji generalnej poddanej badaniu statystycznemu, na
podstawie którego wnioskuje się o populacji generalnej, przy czym wszystkie elementy populacji generalnej maja taka samą
szansę trafienia do próbki.
Jakie znasz miary wartości centralnych zmiennej losowej?
Średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna, kwadratowa, a także mediana i moda.
Podaj definicje mediany.
Medianą nazywamy wartość cechy w szeregu uporządkowanym poniżej i powyżej której znajduje się jednakowa liczba
obserwacji. Aby obliczyć medianę sortujemy dany zbiór w kolejności rosnącej i numerujemy od 1 do n. Jeżeli n jest
n
nieparzyste medianą jest wartość obserwacji w środku , jeśli zaś n jest parzyste medianą jest średnia arytmetyczną
2
n n�ą1
�ą
między dwoma środkowymi obiektami obserwacji .
śą źą
śą źą
2 2
Podaj definicje kwantyla.
Px
0"ą p"ą1 x
Kwantylem rzędu p, gdzie w rozkładzie empirycznym zmiennej losowej X nazywamy każdą liczbę dla
p
Pxśą
której spełnione są zależności: śą-" , x źąą p Pxśąśą x ,"źąźąą1- p
] oraz .
p p
x x
W szczególności, kwantylem rzędu p jest taka wartość zmiennej , że wartości mniejsze lub równe są przyjmowane
p p
x
z prawdo podobieństwem co najmniej p, zaś wartości większe lub równe są przyjmowane z prawdopodobieństwem co
p
najmniej 1- p .
Jaki parametr definiuje asymetrie rozkładu i jakie istnieją rodzaje asymetrii?
Asymetrię rozkładu definiuję parametr zwany współczynnikiem asymetrii lub współczynnikiem skośności, którego wzór
�ą3 �ą3
ąą= =
brzmi:
�ą3 /2 �ą3
2 x
�ą3
Gdzie, jest trzecim momentem centralnym, a jest odchyleniem średnim zmiennej losowej X .
�ą3
Jeśli ąą"ą0 to rozkład ma asymetrię ujemną, jeśli ąą=0 to rozkład jest symetryczny, jeśli zaś ąąą0 to rozkład ma
asymetrię dodatnią.
Oszacowanie współczynnika można również otrzymać w oparciu o wynik badania próbki losowej korzystając ze wzoru:
n�" [ xi- X ]3
"
i
ąą=
ęą
śąn-1źą�"śąn-2źą�"S3
Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu Weibulla i zdefiniuj parametry tego rozkładu.
0 dla xd"X
0
k
F śą xźą=
Dystrybuanta rozkładu Weibulla jest postaci: x-X
0
1-exp - dla xąX
0
{ }
śą źą
[ - X
]
X
m 0
Gdzie, X jest parametrem przesunięcia wyrażanym w jednostkach zmiennej losowej,
0
X ,śą F śą X źą=1-e1=0,6322źą jest parametrem skali wyrażonym w jednostkach zmiennej losowej,
m m
k jest bezwymiarowym parametrem kształtu.
Jakie znasz rozkłady testowe - wymień nazwy i podaj zależność miedzy kwantylem, a wartością krytyczna dla rozkładu
(ksi kwadrat)?
�ą2
Rozkłady testowe: , t-studenta, Fischera-Snedecora,.
�ą2
Zależność między kwantylem a wartością krytyczną dla rozkładu :
�ą2
Kwantyl rzędu 1-�ą jest równy wartości krytycznej rzędu �ą .
�ą2
Podaj wzór na odchylenie standardowe skorygowane i nie skorygowane.
n
śą zi-zźą
"
Odchylenie standardowe skorygowane
i=1
S =
ćą n-1
Gdzie z
i wartość pomiaru.
n
śą zi-zźą
"
Odchylenie standardowe nie skorygowane
i=1
S =
ćą n
Co to jest przedział ufności i obszar ufności?
śą�ą-�ą1,�ą�ą�ą2źą
Przedziałem ufności , gdzie �ą jest nieznanym parametrem rozkładu, o współczynniku ufności
śą�ą-�ą1,�ą�ą�ą2źą
1-�ą , nazywamy taki przedział , który spełnia warunek:
P śą�ą1"ą�ą"ą�ą2źą=1-�ą �ą1 �ą2
, gdzie i są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.
Obszarem ufności nazywamy obszar zawarty między krzywymi ufności dla regresji na poziomie 1-�ą .
Omów test Kołmogorowa - Smirnowa
Test Kołomogorowa Smirnowa jest najprostszym testem wiarygodności znakomicie nadającym się do szybkich obliczeń
inżynierskich w połączeniu z graficzną metodą opracowania wyników. Test ten stosuje się, gdy:
- zmienna losowa jest ciągła,
- liczba zaobserwowanych realizacji zmiennej losowej jest mniejsza od 10,
- wartości parametrów rozkładu są dane, a nie szacowane z wyników obliczeń.
W przypadku oszacowań graficznych gdzie dystrybuanta aproksymowana jest równaniem prostej, można badając odchylenia
punktów eksperymentalnych od prostej, obejść warunek dotyczący znajomości parametrów rozkładu.
ęą
dn=max#"F śą xiźą-F śą xiźą#"
Aby stosować test Kołmogorowa-Smirnowa oblicza się wartość statystyki:
1d"id"n
ęą
F śą xiźą xi F śą xiźą
gdzie wartość dystrybuanty empirycznej dla wartości zmiennej losowej , wartość dystrybuanty
xi
teoretycznej hipotetycznego rozkładu, odczytana z równania prostej dla wartości zmiennej losowej .
Hipotezę zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem teoretycznym należy odrzucić, gdy spełniona jest
nierówność: dnąDn śą�ąźą , gdzie Dnśą�ąźą jest jest wartością krytyczną dla rozkładu Kolmogorowa-Smirnowa odczytaną z
tablic dla danego poziomu ufności �ą .
Jakie znasz wzory na prawdopodobieństwo empiryczne (z próby)?
P śą A*"Bźą
P śą A#"Bźą= P śą Aźą=P śą A#"B1źą�"P śąB1źą�ąP śą A#"B2źą�"P śą B2źą�ą�"�ąP śą A#"Bnźą�"P śą Bnźą
P śą Aźą=#"A#"/#"śą#" , ,
P śą Bźą
n
�"pk�"qn-k p�ąq=1
śą źą
k
Zdefiniuj pojecie współczynnika zmienności.
Współczynnikiem zmienności nazywamy klasyczną miarę zróżnicowania rozkładu cechy. W odróżnieniu od odchylenia
standardowego, które określa bezwzględne zróżnicowanie cechy, współczynnik zmienności jest miarą względną, czyli zależną
od średniej arytmetycznej.
Współczynnik ten definiowany jest wzorem:
s
V = xśr
xśr , gdzie s - odchylenie standardowe, - średnia arytmetyczna.
Czemu się równa wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona?
Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona są sobie równie i równe jest jednemu parametrowi Żą :
E śąZ źą=V śą Z źą=Żą .
Zdefiniuj parametry rozkładu normalnego.
Parametrami rozkładu normalnego(Gaussa) są:
ź jest środkiem rozrzutu, który dla rozkładu normalnego pokrywa się z średnią, medianą i modą,
� odchylenie standardowe jest miara rozrzutu zmiennej losowej.
Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu potęgowego
0 td"0
�ą
t
F śątźą=
dla 0"ąt"ąc
śą źą
c
{ }
1 te"c
gdzie cą0 to parametr skali, a �ąą0 to parametr kształtu rozkładu.
Czemu się równa wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta?
E śąTkźą=0
Wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta równa jest zeru.
Zdefiniuj pojecie i podaj przykład szeregu kumulacyjnego.
Szereg, w którym każdej wartości szeregu uporządkowanego przyporządkowuje się sumy częstości odpowiadające wszystkim
wartościom zmiennej losowej nie większym od danej wartości.
Podaj zależność na k-ty moment centralny zmiennej losowej ciągłej. Jak się nazywa drugi moment centralny?
Momentem centralnym zmiennej losowej X rzędu k nazywamy wartość ck�"X =E śą X -EX źąk , o ile istnieją EX i
.
E śą X -EX źąk
Moment centralny drugiego rzędu nazywamy wariancją i oznaczamy V ar X albo .
D2�"X
�ąx= śąV ar X źą
Pierwiastek z wariancji nazywamy średnim odchyleniem standardowym, oznaczamy ćą
Podaj wzór na standaryzacje zmiennej losowej i podaj właściwości zmiennej standaryzowanej.
X -E śą X źą
Y =
�ąx nazywa się standaryzowaną zmienną losową. Właściwości standaryzowanej zmiennej losowej są
następujące: wartość oczekiwana jest równa E śąY źą=0 ; wariancja jest równa V śąY źą=1 ;
momenty zwykłe i centralne zmiennej Y są sobie równe; k-ty moment zmiennej Y jest równy ilorazowi k-tego momentu
�ąkśą X źą
mk śąY źą=�ąk śąY źą=
centralnego zmiennej X przez odchylenie średnie � w potędze k-tej:
x
�ąk
x
x-E śą X źą
P śą X "ąxźą=P Y "ą
znając dystrybuantę zmiennej Y można wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X z zależności
śą źą
�ąx
Co to jest wektor losowy?
Układ dwóch zmiennych losowych X i Y nazywa się wektorem losowym śą X ,Y źą .
Wektor losowy ma następujące rodzaje momentów:
mkl
Momentem rzędu k �ąl wektora losowego śą X ,Y źą oznaczonym jako nazywamy wartość oczekiwaną funkcji
k
k
, czyli mkl=E śą X �"Yl źą .
X �"Yl
Momentem centralnym wektora losowego (X, Y) rzędu k +l, oznaczonym � nazywamy wartość oczekiwaną funkcji
kl
[ X -E śą X źą]k�"[Y-E śąY źą]l , czyli �ąkl=E {[ X -E śą X źą]k�"[Y -E śąY źą]l}=E [śą X -m10źąk�"śąY -m01źąl]
�ą10 �ą01
Momenty centralne rzędu pierwszego oraz są równe 0. Momenty centralne rzędu drugiego są trzy:
-wariancje zmiennych losowych X i Y:
�ą20=E śą X -m10źą2=V śą X źą
�ą02=E śąY -m01źą2=V śąY źą
�ą11=E [śą X -m10źą�"śąY -m01źą]=covśą X ,Y źą
oraz mieszany drugi moment centralny
W jakim zakresie parametrów kształtu rozkład Weibulla jest pseudo symetryczny i podobny do rozkładu normalnego.
Przedział 3.2"ąk "ą3.7 . W tym przedziale jest podobny do normalnego.
Napisz słowami co oznacza (ksi kwadrat), k, .
�ą2 �ą
�ą
�ą2 - test zgodności, k - współczynnik kształtu, - poziom istotności.
Podaj definicje przedziału ufności.
Przedziałem ufności dla parametru � nazywa się przedział liczbowy (a, b) - gdzie a i b są zmiennymi losowymi - który
pokrywa prawdziwą wartość parametru � z określonym prawdopodobieństwem � zwanym poziomem ufności.
Przedział ufności może być jednostronny lub dwustronny.
Omów test zgodności (omega kwadrat).
�ą2
Test ten opiera się na bezpośrednio zaobserwowanych, niegrupowanych wartościach analizowanej zmiennej losowej, a więc
nadaje się znakomicie do wyników opracowywanych metodą dystrybuanty empirycznej.
Może być stosowany dla: metody graficznej i dystrybuanty empirycznej; zmiennej losowej ciągłej; próbki losowej pełnej;
liczby realizacji zmiennej losowej ne"10
n
1
Podstawą testu jest statystyka n�ą2= �ą [ F śą xiźą-F śą xiźą]2
"
n
12�"n
i=1
2
Jeżeli jest spełniona nierówność n �ą2�ąn śą�ą to hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem
n
teoretycznym należy odrzucić.
Test �2 jest oparty na podobnej statystyce jak test Kołmogorowa-Smirnowa. Jest to jednak test o większej mocy.
Jakie znasz metody kontroli obliczeń statystycznych?
Testy zgodności: Kołmogorowa-Smirnowa, , , , serii.
śą2 w2 �ą2
Ile siatek funkcyjnych ma rozkład Weibulla i jak się one nazywają?
Rozkład ten ma dwie siatki: uniwersalną oraz siatkę o ustalonym współczynniku parametrze kształtu k.
Podaj zależności pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji.
Współczynnik dopełnienia jest kwadratem współczynnika korelacji.
Ze zbioru wyrobów o dużej ilości i wadliwości = 10% losowano po jednej sztuce i badano. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze dla trafienia na sztukę niedobra trzeba zbadać 3 sztuki?
Odpowiedz daje rozkład geometryczny
P śą X =3, w=0.1źą=0.1śą1-0.1źą3-1=0.081
Napisz słowami co oznacza �ą2 , �ą .
k
�ą2 ,�ą to kwantyl statystyki rzędu o �ą ok stopniach swobody
�ą2
k
Zdefiniuj mieszaninę rozkładów
F śą xźą= p1�"F1śą xźą�ą p2�"F śą xźą F1śą xźą
Rozkład o dystrybuancie , nazywa się mieszaniną rozkładów o dystrybuantach ,
2
F śą xźą p1 p2
zaś , to udziały rozkładów składowych w mieszaninie.
2
Co to jest siatka funkcyjna?
Siatka specyficzna dla każdego rozkładu statystycznego, w którym dystrybuanta jest linią prostą.
Jaki związek mają ze sobą dystrybuanta i funkcja gęstości?
Gęstość prawdopodobieństwa jest pochodną dystrybuanty, a dystrybuanta jest całką z gęstości prawdopodobieństwa.
Do czego służy test serii?
Liczba uzyskanych serii pomiarowych może być miarą losowości badanego zjawiska lub inaczej może być miarą niezależności
poszczególnych doświadczeń. Zbyt mała liczba serii świadczy o zakłóceniu losowości badanego zjawiska lub świadczy o tym,
że poszczególne obserwacje wpływają na siebie, czyli nie są niezależne.
Jaki jest związek między rozkładem normalnym a logarytmo-normalnym?
Jeśli w centralnym twierdzeniu granicznym zamiast o sumie niezależnych czynników losowych będziemy mówić o o ich
iloczynie to zamiast rozkładu normalnego otrzymamy rozkład logarytmo-normalny. Wykresy gęstości prawdopodobieństwa i
dystrybuanty rozkładu logarytmo-normalnego są w skali logarytmicznej identyczne jak dla rozkładu normalnego. Jeśli X ma
rozkład logarytmo-normalny, to ln śą X źą ma rozkład normalny.
Test
w2
Stosowany gdy do opracowania wyników stosuje się dystrybuantę empiryczną. W przypadku badania zmiennej losowej ciągłej
przy liczbie realizacji ne"10 i próbie pełnej.
n
w2=-n-2 śą2�" ni-1źąln F śą xiźą�ą 2 n- ni �ą1 ln[1-F śą xiźą]
" " "
Podstawą testu jest statystyka: .
n
śą źą
[ ]
{ }
i=1 i i
jeśli spełniona jest nierówność w2e"w2 to na poziomie istotności �ą należy hipotezę o zgodności rozkładu teoretycznego
�ą
o
z empirycznym odrzucić. Test w2 ma moc porównywaną z mocą testu .
�ą2
n
Test
�ą2
Test ten jest addytywny i należy go stosować w wypadku opracowywania wyników metodą histogramu. Wymaga spełnienia
warunków co do podziału na klasy i liczności realizacji w klasach. W związku z tym otrzymane wyniki mogą być
subiektywne. Mimo zwiększenia ryzyka odrzucenia hipotezy prawdziwej stosuje się go w metodzie dystrybuanty empirycznej.
2
ni-nF śą xiźą
n
śą" źą
i
Podstawą testu jest wówczas statystyka: .
�ą2=
"
nF śą xiźą[1-F śą xiźą]
i=1
Hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem teoretycznym należy odrzucić jeśli jest spełniona
nierówność �ą2e"�ą2 -r -1. �ą gdzie �ą2 to wartość krytyczna rozkładu o N -r -1 stopniach swobody rzędu
�ą2
N N-r-1.�ą
�ą , r to liczba szacowanych parametrów rozkładu, N to liczba różnych wartości zmiennej losowej.
Definicja próbki losowej.
Jest to próbka pobrana w taki sposób, że wszystkie elementy populacji generalnej mają jednakową szansę na trafienie do niej.
Parametry określające miarę wartości centralnej.
Mediana, moda, wartość oczekiwana (średnia).
Rozkład multiplikatywny.
Jeśli mówimy o iloczynie zmiennych losowych, a nie o sumie, to rozkład jest multiplikatywny, a nie addytywny.
Patrz np. rozkład logarytmo-normalany.
Rozkład Fishera-Snedecora
x1 x2 k k
Jeśli i są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie odpowiednio z i stopniami swobody
�ą2
1 2
x1
k1
F =
to zmienna losowa (statystyka) równa jest:
x2
k2
Funkcja prawdopodobieństwa
pśą x1źą=P śą X =xiźą X =xi xi "śąi=1,2 ,3 ,... , nźą
określa prawdopodobieństwo zdarzenia dla każdej możliwej wartości
danej zmiennej losowej X . Znając funkcję prawdopodobieństwa można wyznaczyć dystrybuantę:
F śą xźą=P śą X "ąxźą= pśą xźą
"
xi "ąp
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Dla zmiennej losowej X ciągłej zakłada się, że jej dystrybuanta F śą xźą jest różniczkowalna w całym obszarze możliwych
dF śą xźą
wartości tej zmiennej losowej. Istnieje wówczas nieujemna funkcja f śą xźą= ą0 nazywana funkcją gęstości
śą źą
dx
prawdopodobieństwa. Wartość f śą xźą�"dx określa prawdopodobieństwo zdarzenia iż zmienna losowa znajdzie się w
przedziale xd"X "ąx�ądx i nazywa się ją elementem prawdopodobieństwa.
Podać wzór na zmienną standaryzowaną i jej właściwości
X -E śą X źą
Y =
Standaryzowana zmienna losowa:
�ąx
Właściwości:
" Wartość oczekiwana E śąY źą=0 , wariancja V śąY źą=1
" momenty zwykłe i centralne zmiennej Y są sobie równe
" k-ty moment zmiennej Y jest równy ilorazowi k-tego momentu centralnego zmiennej X przez odchylenie
�ąkśą X źą
�ąx mk śąY źą=�ąkśąY źą=
średnie w potędze k-tej:
�ąk
x
" znając dystrybuantę zmiennej Y można wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X z zależności
x-E śą X źą
P śą X "ąxźą=P Y "ą
śą źą
�ąx
Podaj zależność pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji
2
Kwadrat współczynnika korelacji r jest współczynnikiem dopasowania .
r

Wyszukiwarka