ELEMENTY TERORII WARTOÅšCI PIENI
DZA W CZASIE
1. Zagadnienie 1  wartość przyszła pieniądza bez kapitalizacji odsetek (standard
future value  SFV):
r  stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n  n-ty okres,
- kwota wpłacona na początek okresu.
X
0
t
& & & & &
X X X X
0 1 n n+1
= + " r
X X X
1 0 0
= + " r
X X X
n+1 n n
jeśli n=1, to:
= + (1+ 2r)
X X X X X
n+1 0 0" r + 0* r = 0
uogólniając:
= (1+ n " r)
SFV X
n+i 0
Przykład:
Pan Kowalski wpłacił na początek bieżącego roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki nie sÄ… kapitalizowane. Oblicz
wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.
= 100 * (10 +10 * 0,1) = 200,00
SFV
10
2. Zagadnienie 2  wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek (future value 
FV):
r  stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n  n-ty okres,
- kwota wpłacona na początek okresu.
X
0
& & & & &
X X X X
0 1 n n+1
= + " r
X X X
1 0 0
=
X X X
2 1+ 1" r
z tego:
2
= + " r +(X 0 + " r)* r = + 2 " r + " =
(1+r)
X X X X X X X r2 X
2 0 0 0 0 0" 0 0
czyli:
= + " r = ... =
(1+r)n+1
X X X X
n+1 n n 0
=
(1+r)n
FV X
n,r 0
gdzie:
= - czynnik wartości przyszłej (future value interest factor).
(1+r)n
FVIV
n,r
Przykład:
Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki sÄ… kapitalizowane na koniec
każdego roku. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.
10
= 100 = 259,37
(1+0,1)
FV
10
3. Zagadnienie 3  wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu
nominalnego:
r  stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n  n-ty okres,
- kwota wpłacona na początek okresu.
X
0
m  ilość okresów kapitalizacji w n-tym okresie nominalnym
nm
r
= .
(1+ )
FV X
n,m,r 0
m
 Efektywna (sumaryczna) stopa procentowa wynosi:
nm m
n r r
= Ò! = -1
(1+re) (1+ ) (1+ )
r
e
m m
Przykład:
Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki sÄ… kapitalizowane na koniec
każdego kwartału. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania oraz
efektywnÄ… stopÄ™ procentowÄ….
m = 12m-cy / 3m-ce = 4
4*10
0,1
= 100 = 269,00
(1+ )
FV
10,4
4
4
0,1
= -1 = 0,1038 = 10,38%
(1+ )
r
e
4
4. Zagadnienie 4  wartość bieżąca pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu
nominalnego
FV
n,r
= = , a
(1+r)n Ò!
FV PV PV
n,r n,r n,r
(1+r)n
1
= - czynnik wartości bieżącej (present value interest factor).
PVIV
n,r
(1+r)i
Analogicznie, przy kapitalizacji m-krotnej w okresie stopy procentowej:
FV
n,m,r
=
PV
n,m,r
nm
r
(1+ )
m
Przykład:
Pan Kowalski ma zamiar zgromadzić w ciągu 10 lat na rachunku bankowym, wpłacając
jedną kwotę na początku okresu oszczędzania, kapitał w wysokości 300,00. Rachunek
oprocentowany jest w wysokości 10% w skali roku. Oblicz jaką kwotę Pan Kowalski
musi wpłacić na dany rachunek przy założeniu rocznej i kwartalnej kapitalizacji
odsetek.
300
= = 115,83
PV 10
10
(1+0,1)
300
= = 111,73
PV 10*4
10,4
0,1
(1+ )
4
5. Zagadnienie 5  zaktualizowana wartość netto strumienia pieniężnego
Zakładamy, że inwestujemy na początku okresu kwotę Io i uzyskujemy na koniec
każdego okresu różne dochody Ct. Zakładając alternatywę tej samej inwestycji na
rachunku bankowym o stopie procentowej r, można korzystając z poprzednich wzorów
obliczyć:
a. wartość bieżąca dochodów z inwestycji:
n
1 1 1 1
= + + ... + =
"
PV C1 C2 Cn Ct
t,r
t =1
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n (1+r)t
b. zaktualizowaną wartość netto dochodów z inwestycji (wartość dochodów
pomniejszoną o nakład
n
1
= -
"
NPV C I
t,r t t 0
t=1
(1+r)
NPV  net prezent value.
Przykład:
Przedsiębiorstwo  Alfa zainwestowało 10 000 w przedsięwzięcie, które na koniec
każdego z kolejnych okresów obrachunkowych przyniosło następujące dochody netto: 1
- 3000, 2  2500, 3  3500, 4  1000, 5  1500. Oblicz zaktualizowaną wartość netto
inwestycji, przyjmując alternatywną stopę procentową w wysokości 10%.
1 1 1 1 1
= 3000 + 2500 + 3500 +1000 +1500
NPV 2 3 4 5
5
(1+ 0,1)
(1+0,1) (1+0,1) (1+0,1) (1+0,1)
3000 2500 3500 1000 1500
-10000 = + + + + -10000 = 9042 -10000 = -958
1,1 1,21 1,33 1,46 1,61
6. Zagadnienie 6  zyskowność prosta inwestycji:
Stopa zyskowności inwestycji:
+ NPV
I
0
R =
I
0
Przykład:
Dane jak w zagadnieniu 5. Oblicz stopę zyskowności inwestycji.
10000 - 958
R = = 0,90
10000
7. Zagadnienie 7  wewnętrzna stopa zwrotu
Przyjmując, że NPV=0 można obliczyć tzw. wewnętrzną stopę zwrotu (internal rate of
return) IRR:
n
1
= - = 0
"
NPV C t 0
I
t,r t
t=1
(1+IRR)
n
1
=
"
C t 0
I
t
t=1
(1+IRR)
Określa ona dochód w stosunku do zainwestowanego kapitału uzyskany w wyniku
realizacji danej inwestycji.
Przykład.
Dokonano inwestycji, w której nakład początkowy 100 przyniósł następujące dochody:
na koniec pierwszego roku 30, drugiego 60, a pod koniec trzeciego 70.
30 60 70
100 = + +
2 3
(1+ IRR)
(1+IRR) (1+IRR)
W wyniku obliczeń otrzymuje się:
IRR = 23,96%
Czyli, chcąc otrzymać taki sam dochód jak z realizowanej inwestycji, należałoby wpłacić
pieniÄ…dze na rachunek bankowy oprocentowany 23,96%.