Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2012 godz. 12.00 1. Zadanie wstępne Zadanie Odp. 1. Napisać równanie różniczkowe, którego całkami szczególnymi są trzy funk- y - y + y - y = 0 cje: y = ex , y = sin x , y = cos x . Rozwiązanie: r1 = 1 , r2 = i , r3 = -i pierwiastki wielomianu charakterystycznego (r - 1)(r - i)(r + i) = (r - 1)(r2 + 1) = r3 - r2 + r - 1 wielomian y - y + y - y = 0 szukane równanie
y = y ctg x , x = kĄ , k " Z
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego: y = sin x y(Ą ) = 1 2 Rozwiązanie: dy y cos x dy cos x = =! = dx rozdzielamy zmienne dx sin x y sin x ln |y| = ln |sinx| + C całkujemy y = C sin x Ą 1 = C sin =! C = 1 2 "
n 3. Zbadać zbieżność szeregu rozbieżny n2 + 1 n=1 Rozwiązanie: n n 2 an = = 0 n2 + 1 n2 + n2 n "
2 Szereg jest rozbieżny (harmoniczny, ą = 1) więc z kryterium porównaw- n n=1 czego wynika, że badany szereg też jest rozbieżny. "
3n " 3n = - 1 = e3 - 1 n! n! n=1 n=0 Korzystamy z rozwinięcia f(x) = ex w szereg Maclaurina. -
- (t) 5. Wyznaczyć wektor binormalny krzywej o równaniu r = (et, t, e-t) , t " R b = [1 , -2 , -1] w punkcie P (1, 0, 1) . Rozwiązanie: - - (t) = [et 1 , -e-t] =! (0) = [1 , 1 , -1] Ł Ł r , r - - (t) = [et 0 , e-t] =! (0) = [1 , 0 , 1]
r , r wektor binormalny krzywej: -
- - (0) (0) Ł b = r r = [1 , 1 , -1] [1 , 0 , 1] = [1 , -2 , -1] 1 2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego ńł ł xy = x + y ł ł ół y(1) = 1 Rozwiązanie: Jest to równanie liniowe. y y - = 1 x Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y y - = 0 x Rozdzielamy zmienne: dy 1 = dx y x
dy 1 = dx y x ln |y| = ln |x| + C y = Cx Rozwiązujemy równanie niejednorodne: y y - = 1 x y = C(x)x uzmienniamy stałą Wtedy: y = C x + C C x + Cx - Cx = 1 wstawiamy do równania C x = 1 1 C = x
1 C = dx = ln |x| + D x Stąd: y = (ln |x| + D)x = x ln |x| + Dx 1 = 0 + D =! D = 1 podstawiamy x = 1 i y = 1 Odpowiedz: y = x ln |x| + x 2 3. Rozwiązać równanie: y + xy = xy3 Rozwiązanie: Jest to równanie Bernoulliego. Jednym z rozwiązań jest y = 0. Dzielimy obie strony przez y3: y x + = x y3 y2 Podstawiamy: 1 y z(x) = , wtedy z = -2 y2(x) y3 z - + zx = x wstawiamy do równania 2 z - 2zx = -2x Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne: z - 2zx = 0 Rozdzielamy zmienne: dz = 2x dx z
dz = 2x dx z ln |z| = x2 + C 2 z = Cex Rozwiązujemy równanie niejednorodne: z - 2zx = -2x 2 z = C(x)ex uzmienniamy stałą Wtedy: 2 2 z = C ex + 2xCex 2 2 2 C ex + 2xCex - 2xCex = -2x wstawiamy do równania 2 C = -2xe-x
2 2 C = -2xe-x dx = {t = -x2 , dt = -2x dx} = et dt = et + D = e-x + D Stąd:
2 2 2 z = e-x + D ex = 1 + Dex ą1 ą1 " " y = = 2 z 1 + Dex Odpowiedz: ą1 " y = oraz y = 0 2 1 + Dex 3 4. Rozwiązać równanie: y(3) + y = 2x Rozwiązanie: Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y(3) + y = 0 r3 + r = 0 równanie charakterystyczne r(r2 + 1) = 0 r2 + 1 = 0 =! r2 = -1 =! r = ąi r1 = 0 , r2 = i , r3 = -i y = C1 + C2 cos x + C3 sin x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y(3) + y = 2x Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci: ys = (Ax + B)x = Ax2 + Bx
ys = 2Ax + B
ys = 2A (3) ys = 0 Wstawiamy do równania: 2Ax + B = 2x
2A = 2 A = 1 =! B = 0 B = 0 ys = x2 y = C1 + C2 cos x + C3 sin x + x2 rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego Odpowiedz: y = C1 + C2 cos x + C3 sin x + x2 4 5. Dla jakich wartości x suma szeregu " n 2x 1 + x n=0 jest równa 5? Rozwiązanie: Jest to szereg geometryczny o ilorazie: 2x q = 1 + x Szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 Wtedy, suma tego szeregu jest równa: "
2 10x = 4 + 4x =! x = 3 Odpowiedz: 2 x = 3 5 6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0, Ą) przyj- muje wartości identyczne z funkcją
Ą 1 dla x " (0, ) 2 f(x) = 2 dla x " (Ą , Ą) 2 Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą] . Podać wartość sumy tego szeregu dla x = 2Ą . Rozwiązanie: Dla n = 1, 2, 3 . . . Ą Ą 2 Ą Ą 2 2 2 2 2 cos nx 4 cos nx Ą bn = f(x) sin nx dx = sin nx dx+ 2 sin nx dx = + = Ą Ą Ą Ą Ą n Ą n 0 Ą 2 0 0 2 2(cos nĄ - 1) 4(cos nĄ - cos nĄ ) 4(-1)n - 2 - 2 cos nĄ 2 2 2 + = nĄ nĄ nĄ Szereg Fouriera sinusów f(x) jest więc następujący: " "
4(-1)n - 2 - 2 cos nĄ 2 S(x) = bn sin nx = sin nx nĄ n=1 n=1 Suma szeregu w punktach ciągłości jest równa przedłużonej nieparzyście funkcji f. S(0) = S(Ą) = S(-Ą) = 0 f(Ą -) + f(Ą +) 1 + 2 3 2 2 S(Ą ) = = = 2 2 2 2 3 S(-Ą ) = -S(Ą ) = - 2 2 2 ńł Ą ł 1 dla x " (0, ) ł ł 2 ł ł ł 2 dla x " (Ą , Ą) ł 2 ł ł ł ł -1 dla x " (-Ą , 0) ł 2 S(x) = -2 dla x " (-Ą, -Ą ) 2 ł ł ł 0 dla x " {-Ą, 0, Ą} ł ł ł ł 3 Ą ł dla x = ł ł 2 2 ł ół -3 dla x = -Ą 2 2 S(2Ą) = S(0) = 0 Korzystamy z okresowości szeregu Fouriera. 6