I. Równości i nierówności. Ciągi i szeregi
I.1 Wykazać stosując zasadę indukcji matematycznej następujące tożsamości:
1
a) 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
2
1
b) 13 + 23 + . . . + n3 = n(n + 1)
2
2n

c) (-1)k+1k2 = -n(2n + 1)
k=1
d) 2n n2 dla n 4
I.2 Udowodnić, że dla dodatnich liczb a1, . . . , an speÅ‚niajÄ…cych warunek a1a2 · · · an = 1 zachodzi
a1 + a2 + · · · + an n .
I.3 Pokazać, że jeÅ›li liczby dodatnie a1, . . . , an speÅ‚niajÄ… warunek a1 + · · · + an 1, wówczas
1 1
+ · · · n2 .
a1 an
I.4 Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą następujące nierówności:
1 1 1 2
a) + + · · · + > ;
n n + 1 2n 3
1 1 1
b) + + · · · + > 1 ;
n + 1 n + 2 3n + 1
1 1 1 1 2
c) < + + · · · + < .
2 3n + 1 3n + 2 5n + 1 3
I.5 JeÅ›li ak > 0, k = 1, . . . , n speÅ‚niajÄ… warunek a1a2 · · · an = 1, wówczas
(1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) 2n .
"
1+ak
Wskazówka: skorzystać z nierównoÅ›ci Cauchy ego 1 · ak .
2
I.6 Zbadać monotoniczność ciągów
n
1 1
a) an =
d) dn = - f) fn = 2n
n + 1
(n + 5)2 n
2-n
(-1)n
5
b) bn =
g) gn =
n2
4
n-1
3
e) en =
c) cn = n2 - 9n + 14
2
I.7 Obliczyć granice następujących ciągów lim xn:
n"
(2n - 1)3 12 + 22 + · · · + n2
a) xn = f) xn =
(4n - 1)2(1 - 5n) 5n3 + 3n + 4
"
1 1 1
1 + + + · · · +
( n + 3)2
2 4 2n
g) xn =
b) xn =
1 1 1
1 + + + · · · +
n + 1
3 9 3n
2n + (-1)n
1 - 2 + 3 - 4 + · · · + (2n - 1) - 2n
c) xn =
h) xn = " "
n
n2 + 1 + 4n2 - 1
"
n2 - 1 1
d) xn = " "
i) xn =
3
n3 + 1 4n2 + 7n - 2n
" "
n
j) xn = n - n2 + 5n
e) xn =

" "
"
3 3
n + n + n k) xn = n 2 - 2n3 + 5n2 - 7
1
"
3 2n+1
n + 1
l) xn = n2 - n3 + n
s) xn =
n + 2
n n
4n-1 - 5
n 2 3
m) xn =
t) xn = +
3 4
22n - 7

n+1
u) xn = n + (-1)n
2n+1 - 3n+2
n) xn =
3n+2
n + sin n2
v) xn =
n
n + cos n
3 2n+1 - 1
o) xn =
sin2 n
2 3n+1 - 1
w) xn =
n
n!
p) xn = 1
n 1
x) xn = 1 + + · · · +
nn
2 n
n + 5 n
1 1 1
q) xn = y) xn = " + " + · · · + "
n
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
3-n 2n n + 1 n n(-1)n
4
z) xn = · cos - ·
r) xn = 1 -
2n2 - 1 2n - 1 1 - 2n n2 + 1
n
I.8 Korzystając z twierdzenia Stolza-Cesąro obliczyć granice:
" "
"
3
n
n a2 an
1 + 2 + 3 + · · · + n
d) lim a + + · · · + , a > 1
a) lim
n"
n" an+1 2 n
n
" "
"
1 + 2 + · · · + n 1 1 1 1
b) lim " " " " + · · · + "
e) lim +
n" n"
n n n n
n + 1 2n

1 1 1
" "
c) lim 1 + + · · · + "
n"
n n
2
I.9 Pokazać, że jeśli {an} jest ciągiem zbieżnym w R lub C, wówczas lim |an| = | lim an|.
I.10 Podać punkty skupienia ciągów
(-1)nn + 1 (-1)n
a) an = c) cn = sin(nĄ/2) +
n n
n in + 2 n2 cos(nĄ/4) - 3
b) bn = d) dn =
n2 n2
I.11 Zbudować przykład ciągu xn " R, który posiada punkt skupienia nie będący jego granicą.
I.12 Podać przykład 2 ciągów rozbieżnych do ", takich że ciąg będący ich różnicą nie jest zbieżny.
0 "
I.13 Dla każdego z przypadków nieokreÅ›lonoÅ›ci 0 · ", oraz podać przykÅ‚ady ciÄ…gów zbieżnych do 0 i/lub
0 "
rozbieżnych do ", takich że ich iloczyny lub odpowiednio ilorazy mają granice
a) równe 0, c) nieskończone,
b) skończone = 0, d) nie mają granicy.


I.14 Zbadać zbieżność an gdy:
n
"
n
n
3
n5 + 1 n - 1
e) an = n
a) an = i) an =
5
2n n
n
3n + 1
n4 + 2n2
23n+1
f) an = (-1)n
j) an = ln
b) an =
4n + 1
n4 + 1
32n
"
1 1 ln(n + 1)
3
c) an = " g) an = n sin2 k) an =
n
n n 3n + 1

log n n100 · 99n (n2 + 1)2n
d) an = h) an = l) an =
n3 100n n · 3n/2
2
"
"
2
n
1
n + 1 - n 2
m) an =
o) an = q) an = 1 -
3n - n3
n n
1
1
1
p) an =
"
n) an =
"
r) an =
n
n ln(n + 1) n n2 + n n - n
3
"

I.15 Znalez
ć sumę szeregu an gdy:
n=1
n
1 1
a) an = 2(1-2n)/3
d) an = 1 - , a > 0 f) an = ln 1 +
a n
3n + 4n
n
b) an =
g) an =
5n
2n
1 2n + 1
c) an = e) an =
n(n + 1) n2(n + 1)2
"

I.16 Zbadać zbieżność an gdy:
n=1
(-n)n (-1)n (-1)n(n - 3)
a) an = c) an = e) an =
n
(2n)! n2 - 1
ln(n + 1)
(-3)n (-1)n-1(2n + 1)
(-1)n+1
b) an = f) an =
d) an =
(2n + 1)n n(n + 2)
n · 7n
3
II. Funkcje: granice i ciągłość
II.1 Wykazać podstawowe tożsamości dla funkcji hiperbolicznych:
a) cosh2 x - sinh2 x = 1 e) sinh(ix) = i sin x
b) sinh 2x = 2 sinh x cosh x f) cosh(ix) = cos x
c) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x g) sinh x = -i sin(ix)
d) sinh x + cosh x = ex h) cosh x = cos(ix)
II.2 Wyznaczyć funkcje odwrotne do
a) sinh x,
b) cosh x na przedziałach różnowartościowości tej funkcji.
II.3 Znajdz
granicÄ™ funkcji w punkcie
"
cos x - cos(Ä„/4) x - 5
a) lim (-3x2 + 4x + 7)
h) lim o) lim
x-1
xĄ/4 sin x - sin(Ą/4) x25 - 25
x
"
x3 + 1
x2 + 16 - 4
1 - cos x
b) lim
p) lim "
i) lim
x1 - 20)10 x0
(x
x2 + 25 - 5
x0
x2
tg x
x2 - 11x + 30
sin2 2x q) lim
c) lim x0
j) lim x
x5 - 5 x0
x
sin2 3x
sin(2x)
r) lim
x2 - 9 6x2 - 2x - 1
x0 - 1
e3x
d) lim k) lim
x-3 x0 - x2 - 1
x + 3 2x3
sinh x
s) lim
"
x0
x
x2 + 4x + 4 x + 1 - 1
e) lim l) lim
2x - 3x
x-2 x0
x + 2 x
t) lim
x0
x
"
3
1 + mx - 1
sin(5x)
5x - 1
m) lim
f) lim
u) lim
x0
x0 x
x
x0 - 1
7x
x - 2
sinh(2x)
sin Ä…x
n) lim "
" v) lim
g) lim
x2
x0
x0 x - 2 sin(5x)
sin ²x
II.4 Znajdz
granicę funkcji w nieskończoności

x2 + 4x - 7
g) lim (x3 - 7x + Ä„)
a) lim x2 - 3 - x
d) lim
x"
x"
x" - 2x + 3
3x2
h) lim (x3 + 2x2 - 6x + 1)

x-"
3x
b) lim x2 - 6x + 9 - x + 3 1
x"
e) lim 1 +
x3 - 5x2 + 7x - 8
x"
2x
i) lim
x" - 6x2 - 10
3x4
2
5x
x2 + 1 3x3 - 10x2 - 7x + 11
x2 - 2
c) lim j) lim
f) lim
x" x-" - 12x3 - 13x - 5
2x2 + x + 1 x" 2x2
x2
II.5 Zbadać granice jednostronne funkcji w punktach nie należących do dziedziny
1 1 2
a) f(x) = d) f(x) = g) f(x) =
x x - 1 x2 - 1
x
12 - x
1
b) f(x) =
e) f(x) =
h) f(x) = -
x - 4
x - 5
(x + 1)2
2 x2 + 2x - 15
c) f(x) = f) f(x) =
i) f(x) = e1/x
x + 2 x + 5
II.6 Zbadać ciągłość funkcji na zbiorze R
4
Å„Å‚ Å„Å‚
|x + 2|
òÅ‚ òÅ‚ x3 + 2x2 + x + 2
, x = -2 , x = -2

a) f(x) = c) f(x) =
x + 2 x + 2
ół ół
1, x = -2 -5, x = -2
Å„Å‚
Å„Å‚
x2 + x x(x + cos x)
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
, x = 0, 1 , x = 0

òÅ‚
d) f(x) =
x2 - x x + sin x
ół
b) f(x) =
-1, x = 0 0, x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1, x = 1
II.7 Policzyć następujące granice funkcji ([x] oznacza część całkowitą liczby x):

tan x - sin x 1
x3 - 8
g) lim m) lim x
a) lim
x0 x0
x3 x
x2 - 2
x
sin 2x
x + 2
n) lim 21/x
h) lim
b) lim
x0
x0
sin 3x
x-2
x5 + 32
arctg x
o) lim xÄ… ln x, Ä… > 0
x - 3
i) lim
x0+
c) lim (-1)[x]
x0
x
x3
x2 - 9


x b
ln(1 + x)
p) lim
d) lim x( x2 + 1 - x)
j) lim
x0Ä… a x
x"
x0 - 1
3x
"
3
10 - x - 2 ln(a + x) - ln a
e1/x - 1
e) lim k) lim
q) lim
x2 - 2| x0
|x x
x0Ä… e1/x + 1
"
1 - cos x ex - e-x
x
f) lim l) lim r) lim 1 + sin 2x
x0 x0 x0
x2 sin x
II.8 Wykazać, że nie istnieją granice funkcji:
1
b) lim 21/x c) lim sin x
a) lim sin
x0 x"
x1 - 1
x
II.9 Czy można określić funkcję f(x) w punkcie x = 0 tak, by była ona ciągła?
1 1
sin2 x
a) f(x) = x + c) f(x) = x sin
d) f(x) =
x x
1 - cos x
sin x
b) f(x) =
e) f(x) = [x] + [-x].
|x|

c2x x < 1
II.10 Dla jakich c funkcja f(x) = jest ciągła?
3cx - 2 x 1
II.11 Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego:
" " "
k

(-1)k k! x
a) xk d) 2k k! xk g)
k 1 · 3 · · · (2k - 1) 2
k=1 k=1 k=1
" "

xk xk
b) e)
k2 ln k
k=1 k=2
" "
k

(x - 3)k (-1)k+1 x - 2
c) f)
k3 (k!)2 3
k=1 k=1
II.12 Dla jakich wartości x " R zbieżny jest szereg:
" " 2 "
k
x k
1 x
a) x-k d) g)
2 2k x + 2
k=1 k=1 k=1
" "

7k
b) e) ekx
x2k
k=1 k=1
" "
x + 1 k
k!
c) f)
x (kx)k
k=1 k=1
5
III. Rachunek różniczkowy
III.1 Policzyć z definicji pochodne funkcji
a) f(x) = 2x3 w punkcie x0 = 2, c) f(x) = sin(2x) w punkcie x0 = Ä„/4,
"
b) f(x) = 1/ x w punkcie x0 = 1, d) f(x) = sinh(x) w dowolnym punkcie.
III.2 Oblicz pochodnÄ… funkcji:
a) f(x) = x + 5 i) f(x) = x3 q) f(x) = -10x-2
"
r) f(x) = 9x2 - 12x + 4
b) f(x) = x - Ä„ j) f(x) = x
"
s) f(x) = x3 - 9x2 + 27x + 27
c) f(x) = 5
k) f(x) = x3
d) f(x) = e
l) f(x) = 1/x2
t) f(x) = 49x2 - 70x + 25
e) f(x) = 2x
m) f(x) = 1/x5
u) f(x) = (5 - 7x)2
f) f(x) = -5x
n) f(x) = 2x3
v) f(x) = (x - 3)3
"
g) f(x) = 2x o) f(x) = 3x2
w) f(x) = 8x3 - 8x2 + 2x + 3
h) f(x) = x2 p) f(x) = 5x7 x) f(x) = (x + 2)4
III.3 Oblicz pochodnÄ… funkcji
a) f(x) = tg x e) f(x) = 2ex + 4e-x
b) f(x) = ctg x
f) f(x) = tgh(x)
c) f(x) = 2 sin x + Ä„ tg x
d) f(x) = 3 cos x - Ä„ ctg x g) f(x) = 2 tgh(x) - 3ex + 2e-x
III.4 Oblicz pochodnÄ… funkcji:
a) f(x) = (x - 1)(x2 + x + 1) g) f(x) = 3x log1/3 x
b) f(x) = x(x - 2)(x - 3) h) f(x) = x cos x
c) f(x) = x ex i) f(x) = x2 sin x + x tg x
d) f(x) = x2 2x j) f(x) = (3 + 4x - x2)(cos x - 2 sin x)
e) f(x) = x3 log3(x) + x2 log2(x) k) f(x) = (x2 - x + 1)(sin x + 3 cos x)
f) f(x) = 2x log2 x l) f(x) = x2 tg x
III.5 Oblicz pochodnÄ… funkcji:
x - 1 x log x
x3
a) f(x) = h) f(x) =
e) f(x) =
x x2 + 1
x - 2
x
x2(sin x + cos x)
b) f(x) =
i) f(x) =
x - 1
x - 3
x cos x
f) f(x) =
x2
x - 2
xn ex
c) f(x) =
j) f(x) =
x - 1
ln(x)
x 5x - 8
d) f(x) = g) f(x) =
x2 - 1 6x + 1
III.6 Oblicz pochodną funkcji złożonej:
6
 3
5x - 8
a) f(x) = (x2 + 1)10
i) f(x) =
6x + 1
b) f(x) = (x2 - 1)5/2
4
16x2 - 5x - 9
j) f(x) =
c) f(x) = (x3 + x2 - x - 2)5
12x - 7
d) f(x) = sin(2x)
k) f(x) = (3x5 - 17x + 3)3
e) f(x) = cos(3x)
l) f(x) = (3x5 - 17x + 3)13

f) f(x) = tg(4x)
4
m) f(x) = x4 + 4x3 + 2x2 + x + 1
"
g) f(x) = x2 + 1 "
x2 x2 - 1

n) f(x) =
h) f(x) = ln(x + x2 + 1)
(x2 + 1)2
III.7 Oblicz pochodną funkcji złożonej
1
a) f(x) = tg 8x d) f(x) = (cos x)3
g) f(x) = (tg x)2
7

3
b) f(x) = ctg 7x e) f(x) = (tg x)5
h) f(x) = sin x + Ä„
8
c) f(x) = (sin x)2 f) f(x) = 3(sin x)4 i) f(x) = cos(3x - Ä„/7)
III.8 Oblicz pochodnÄ… funkcji:
a) f(x) = [x cos(x)]2 f) f(x) = sin(x - Ć) cos(x + Ć)
1 x
b) f(x) = ctg
g) f(x) = 2 ln x2
x2 2
x
c) f(x) = sin x cos x
h) f(x) = log3
x - 1
d) f(x) = (sin x + cos x)2
e) f(x) = sin x cos(x - Ć) i) f(x) = log2 x
5
III.9 Oblicz pochodnÄ… funkcji z parametrem a > 0:
"
a) f(x) = a2x d) f(x) = 3a3x g) f(x) = xx
b) f(x) = -5a3x e) f(x) = e-ax
h) f(x) = xtg x
"
2
8x
c) f(x) = a f) f(x) = x2e-ax i) f(x) = (sin x)sin x
III.10 Policzyć i uprościć pochodne funkcji
1 1 + x
at2 - 1 2
k) f(x) = ln
a) f(t) = eat
2 1 - x
2a2
"
1 1 1
l) f(t) = ln(t + 1 + t2)
b) f(x) = x2 ln2 x - ln x + x2
"
2 2 4
m) f(x) = x arcsin x + 1 - x2
c) f(x) = ln(sin x) - x ctg x
1
n) f(u) = u arctg u - ln(1 + u2)
2
d) f(v) = b ln(a cos v + b sin v) + av
a ax + b 1
1 tg x o) f(x) = ln -
" "
e) f(x) = arctg b2 x bx
2 2
1 w2 1

p) f(w) = ln +
1 1
f) f(x) = sin x 1 - k2 sin2 x+ arcsin(k sin x) 2a2 w2 + a 2a(w2 + a)
2 2k
1 x2
q) f(x) = arctg
g) f(u) = sinh u cosh u - u
2a2 a2
"
r) f(x) = x(arcsin x)2 - 2x + 2 1 - x2 arcsin x
h) f(w) = (w2 + 2) cosh w - 2w sinh w
1
1
s) f(x) = x arctg x - ln(x2 + 1)
2
i) f(x) = - - arctg(sinh x)
sinh x
1 x 1 a2 + x2
1 t) f(x) = - arctg - ln
j) f(x) = - - ln(tgh x) x a 2a x2
2 sinh2 x
7
III.11 Wyrazić pochodną funkcji g(t) przez pochodną funkcji f(t)
a) g(t) = t2f(t) d) g(t) = sin[Ét - f(t)] g) g(t) = f(t) exp[-f(t)2]

e) g(t) = log2[f(t)]
b) g(t) = 1 + [f(t)]2 h) g(t) = sinh[f(t)] · cos[f(t)]
1 + [f(t)]2
f) g(t) = ln
c) g(t) = exp[-tf(t)] i) g(t) = arcsin[ln f(t)]
1 - [f(t)]2
III.12 Obliczyć pochodną rzędu n funkcji
1
a) f(x) = e-x d) f(x) = ln(1 + x)
c) f(x) =
b - ax
b) f(x) = eax e) f(x) = (5 + 2x)n
III.13 Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji
"
x
a) W (x) = -x3 + 12x - 3
e) f(x) =
x + 1
b) W (x) = 8x2 - x4
f) f(x) = sin x - x w przedziale [0, 2Ä„]
x2
c) f(x) =
g) f(x) = x - cos x w przedziale [0, 2Ä„]
x2 + 1
2x2 + 1
d) f(x) =
x2
III.14 Wyznacz ekstrema funkcji
x
1
a) W (x) = -x4 + 2x2
k) f(x) = "
g) f(x) = x +
x2 + 1
x
b) W (x) = 8x2 - x4
"
x 2
l) f(x) = x 2 - sin x
h) f(x) = +
c) f(x) = 3x2 - 5x + 7
2 x
m) f(x) = sin 3x - 3 sin x
d) f(x) = -5x2 + 17x + 1
x2
i) f(x) =
e) f(x) = 3x4 - 5x - 7
x2 - 9 n) f(x) = sin x sin(x - 45ć%)
f) f(x) = 5x3 - 12x2 +5x+12
x2 + x - 1
cos 2x
j) f(x) =
o) f(x) =
x2 - x + 1
cos x
III.15 Znalez
ć wymiary zamkniętej cylindrycznej puszki, która
a) przy danej objętości V ma najmniejszą powierzchnię
b) przy danej powierzchni S ma największą objętość.
III.16 Wyznaczyć ekstrema funkcji:
x2 - 3x + 2 x3
a) f(x) = c) f(x) = - |x2 - 1|
x2 + 3x + 2 3
x3 + x
b) f(x) =
d) f(x) = |x2 - 2| + |x - 1|.
x4 + x2 + 1
III.17 Zbadać przebieg zmienności funkcji
x2
a) W (x) = 3x - x3 f) f(x) = x + e-x
d) f(x) =
x2 - 1
b) w(x) = x(x - 1)2 g) f(x) = -x log2 x
2x2 x2 - 3
1
c) f(x) = h) f(x) =
e) f(x) = x2 +
4 - x2 x - 2
x2
III.18 Wyznaczyć wartości parametrów a, b i c tak, aby funkcja

2e(x-1)/2 x < 1
f(x) =
ax2 + bx + c x 1
oraz jej pochodne f (x) i f (x) były ciągłe.
8
III.19 Rozwinąć następujące funkcje w szereg McLaurina:
"
1 + x
a) f(x) = 1 + x f) f(x) = e-x cos x
d) f(x) = ln
1 - x
2
b) f(x) = arcsin x
g) f(x) = e-x
c) f(x) = arcsinh x e) f(x) = ln(1 + x + x2)
"
III.20 Obliczyć e z dokładnością do 10-4 korzystając z rozwinięcia McLaurina dla funkcji y = ex.
" "
5 5
III.21 Obliczyć 245 z dokładnością do 10-3 posługując się rozwinięciem Taylora funkcji y = 1 + x.
x2 x4
III.22 W jakim zakresie zmienności x można używać przybliżenia cos x H" 1 - + , aby dokładność
2 24
otrzymanych wyników nie była gorsza niż 10-3. Wynik wyrazić w stopniach kątowych.
III.23 Korzystając z reguły de l Hospitala policzyć granice:
ln x
a) lim x-Ä… ln x , Ä… > 0
f) lim
x"
x0+ ctg x

x
1 x
b) lim
g) lim -
x"
2x + sin x
x1
ln x ln x

c) lim xÄ… ln x 1
x0+ h) lim - ctg2 x
x0
x2
x

1
1 1
d) lim x sin
i) lim -
x"
x
x0
x3
sin3 x
e) lim (tan x)ctg x
j) lim x1/(1-x)
x(Ä„/2)-
x1
III.24 Korzystając z odpowiednich rozwinięć w szeregi McLaurina i z reguł rachunku wyrażeń asymptotycz-
nych o(xm) obliczyć następujące granice:
ex sin x - x(1 + x)
1 - cos(x2)
a) lim
c) lim
x0
x3 x0
x2 sin(x2)
2
1/x
arcsin x
1 - (cos x)sin x
d) lim .
b) lim
x0
x
x0
x3
III.25 Korzystając z następującego rozwinięcia dla |x| < 1 i ą " R:

Ä…(Ä… - 1) Ä…
(1 + x)Ä… = 1 + Ä…x + x2 + · · · + xn + o(xn) ,
2 n
Ä…
1
gdzie = Ä…(Ä… - 1) · · · (Ä… - n + 1), obliczyć także granice
n n!


6 6
a) lim x6 + x5 - x6 - x5
x"


1
b) lim esin x - 1 + x2 - x cos x .
x0
x3
III.26 Korzystając z faktu, że szereg potęgowy można różniczkować w przedziale zbieżności wyraz po wyrazie,
wyprowadzić wzory na sumy szeregów
" " "

nqn , n2qn , n3qn ,
n=1 n=1 n=1
gdzie |q| < 1.
III.27 Metodą najmniejszych kwadratów dopasować parametry funkcji liniowej y = ax + b do danych do-
świadczalnych w tabeli
xi 1.0 1.8 2.3 2.7 3.0 3.5 3.7 4.4 4.6 5.0
yi 2.8 3.7 4.8 6.6 6.6 7.5 8.2 9.9 9.8 11.1
III.28 Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji
9

y
a) F (x, y) = x2 - xy + 2y2 - x + 4y - 5 e) F (x, y) = x - 2y + ln x2 + y2 + 3 arctg
x
b) F (x, y) = x2 - 6xy + y3 + 3x + 6y f) F (x, y) = x2 + xy + y2 - 4 ln |x| - 10 ln |y|
1 1
c) F (x, y) = 4xy + + g) F (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y)
x y
d) F (x, y) = (6 - x - y)x2y3
III.29 Wyznaczyć wymiary prostopadłościennego (odkrytego) akwarium, które
a) przy danej objętości V ma najmniejszą powierzchnię;
b) przy danej powierzchni S ma największą objętość.
III.30 Znalez
ć wymiary silosu na zboże o pojemności 64 m3 w kształcie walca zakończonego u dołu stożkiem,
na zbudowanie którego potrzeba najmniej blachy.
III.31 Należy zaprojektować okno w kształcie prostokąta zwieńczonego trójkątem równoramiennym o obwo-
dzie 12 m i o maksymalnej powierzchni.
III.32 Metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange a wyznaczyć ekstrema F (x, y) przy warunku G(x, y) =
0 dla następujących funkcji:
a) F (x, y) = 2x2 + xy + y - y2, G(x, y) = 2x + 3y - 1
b) F (x, y) = x2 + y2, G(x, y) = xy - 1
c) F (x, y) = x + y, G(x, y) = ex+y - xy - 1
1 1 1 1
d) F (x, y) = + , G(x, y) = + - 1
x y x2 y2
III.33 Wyznaczyć dowolny punkt (x0, y0), przez który przechodzi jednoznaczna gałąz
funkcji uwikłanej y =
y(x) lub x = x(y) określonej przez F (x, y) = 0, obliczyć pochodne y , y i y w tym punkcie, a następnie
zapisać y(x) w postaci odpowiedniego wzoru Taylora.
a) 2y2 - 4x3y + 5x2 - 12 = 0 c) x + y - ey/x = 0
b) x2 ln y - y2 ln y + 1 = 0 d) 2 cos(x - 2y) - 2y + x = 0.
III.34 Wyznaczyć maksima funkcji uwikłanej y = y(x) zadanej przez relację
a) y3 + 2xy + x2 = 0 b) x3 + y3 - 12xy = 0.
10
IV. Rachunek całkowy
IV.1 Obliczyć całki:

"
a) (x + 1)dx f) (cos x - 3 sin x + x)dx k) x xdx
"


x x + 2
5 2
b) (x2 - 3x + 5)dx l) "
g) + dx
3
x
x x2
"
"
3
4
4 x2 + 2 x
c) (2x3 - 5x2 + 4x - 1)dx
h) dx m) " dx
x2 x


1
-3 (x2 - 1)3
d) (x4-x3+ x2-5x-5)dx
i) dx n)
2
x3 x
" "

3 4
x x + x
o) "
e) (sin x + 2 cos x)dx j) 2x - 3 · 2-xdx
5
x x
IV.2 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez części:

a) x sin xdx f) x3exdx k) e-x cos xdx


l) arctg xdx
b) x2 cos xdx g) x ln xdx


m) x arctg xdx
c) x3 cos xdx h) x5 ln xdx
"

"
n) ln(x + x2 + 4)dx
d) x3xdx i) x log2 xdx

arcsin x

o) dx
e) x2e-xdx j) ex sin xdx
x2
IV.3 Oblicz stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:


2
a) (3x - 2)7dx g) x e-x dx m) x2 5x3 + 3dx


dx
dx
n) "
b) h) cos 5xdx
2 + x
7x + 4


"
1
o) 3x + 1dx
c) dx i) sin(3x + Ä„/5)dx
x - 1



p) 2 cos2 3xdx
dx 1

d) j) sin x dx
(2x - 5)5 2 q) sin5 x cos xdx


r) cos x · esin xdx
e) x(2x2 - 7)7dx k) tg xdx



2 + ln |x|
f) e4xdx l) x x2 + a2dx s) dx
x
IV.4 Oblicz całki z ilorazów wielomianów

1 3x - 1 1
a) dx e) dx i) dx
x2 + 9 x2 - x + 1 x2 + a2


1
2x 1
f) dx
b) dx j) dx
x2 - 4
x2 + 1 x2 - a2


3x x2 + 4
x2 - 5x + 9
c) dx g) dx
k) dx
x2 - 3 x2 - 4
x2 - 5x + 6

7 x2 dx
d) dx h) dx l)
8x - 12 x2 + 16 5 - 12x - 9x2
11


dx
12x3 - 5 (x2 + 2x + 5) dx
m)
p) dx s)
2x2 - 5x + 7
3x4 - 5x - 7 (x2 - 1)(x2 + 4)


13dx
x dx
n)
q) dx
3x2 - 15x - 42
x4 + 1

21
(3x + )
(2x - 1) dx
4
o) dx r)
2x2 + 7x + 1 x2 - 6x + 9
IV.5 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych

sin 2x dx
a) sin2 Ä…dÄ… d) (cos 2x)3dx h) dx
1 + sin2 x

dĆ

e) sin 2Õ cos 4ÕdÕ i)
sin Ć + cos Ć
b) cos2 xdx

dÕ
f) sin(Ét) sin(Ét + Õ)dt j)

1 - sin4 Õ

c) (sin Ć)3dĆ
g) sin2 t cos2 tdt
IV.6 Obliczyć całki:

"

1 + x
d) 3 - 2x - x2 dx g) arcsin xdx
a) " dx
1 - x

h) x2 arctan x dx


(x + 3) dx
e) 2x + x2 dx
b) "
ex dx
1 - 4x2
i)
ex + e-x



"
x2 dx
f) "
c) x2 + 3x + 2 dx j) ex 1 + ex dx
x2 + 2x + 2
IV.7 PrzeksztaÅ‚cić caÅ‚kÄ™ wymiernÄ… z nierozkÅ‚adalnym mianownikiem ²2 - 4Å‚ < 0 i k " N

Ax + B
dx ,
(x2 + ²x + Å‚)k
do postaci

A 2x + ² dt
dx + C .
2 (x2 + ²x + Å‚)k (t2 + 1)k
IV.8 Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę

dt
.
(t2 + 1)k
IV.9 Obliczyć całki oznaczone:
Ä„/2
3 1



x2 2
dx
a) - dx h) 4 - x2dx
e) dx
2 x2
1 + cos x
1 0
-Ä„/2
8 3
"
dx
b) i) arctg xdx
1
x
x
2 1
f) dx
x2 + x + 1
Ä„/6 Ä„/2

-1
c) (cos 2x - sin 3x)dx j) (sin x)2n+1dx
0 0
2
e
Ä„
dx
g) dx
d) sin2 xdx
x ln x
e
-Ä„
12
IV.10 Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) y = x2 i y = 2x + 3
"
b) y = x2, y = x i y = 3x .
IV.11 Wyznaczyć objętości brył powstałych przez obrót krzywych:
a) y = sin x, 0 x Ą wokół osi OX.
"
b) y = x, 0 x 1 wokół osi OX.
c) y = 1 - x2, -1 x 1 wokół osi OX.
d) Tak jak w (c), ale z obrotem wokół osi OY .
IV.12 Obliczyć objętość części wspólnej kuli o promieniu 1 i stożka, powstałego przez obrót prostej y = x
wokół osi OX.
IV.13 Jakiej średnicy otwór należy wywiercić centralnie w kulce o promieniu 1 cm, aby jej masa zmniejszyła
się o połowę?
IV.14 Wyznaczyć długości łuku następujących krzywych:
"
" "
a) y = x3, 0 x 1 c) y = ln x, 3 x 2 2
d) y = cosh x, -1 x 1

b) y = 2x - x2, 0 x 1 e) y = ln(1 - x2), 0 x 1/2
IV.15 Obliczyć pola powierzchni bocznej brył obrotowych (wokół osi OX):
a) y = 2x3, 0 x 1 c) y = cos7/2 x, 0 x Ä„/2
1
d) y = , 2 x 4
x - 1
1
b) y = " , 2 x 4
e) y = ln sin x, Ä„/3 x Ä„/2.
x2 - 1
IV.16 Wyprowadzić wzory na pole powierzchni elipsoidy obrotowej przy obrocie wokół dłuższej i krótszej
osi.
IV.17 Obliczyć momenty bezwładności następujących jednorodnych brył wokół własnej osi obrotu:
a) paraboloidy obrotowej o tworzącej y = 1 - x2, 0 x 1, wokół osi OY
b) stożka o promieniu podstawy r, wysokości h
c) torusa o promieniach r i R
d) elipsoidy obrotowej o półosiach a i b wokół każdej z osi.
13