Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema
(trzema) niewiadomymi.
Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań.
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Definicja 1. Wartością bezwzględną liczby nieujemnej nazywamy tę liczbę, a wartością
bezwzględną liczby ujemnej nazywamy liczbę do niej przeciwną, to znaczy:

x jeśli x 0
|x| :=
-x jeśli x < 0
Stąd na przykład | - 5| = 5, |5| = 5, |0| = 0, |Ą| = Ą.
Uwaga.
1) Wartość bezwzględna nazywana jest też modułem.
2) Z geometrycznego punktu widzenia, |x| wyraża odległość na osi liczbowej pomiędzy punktem
x a punktem 0, innymi słowy odległość x od 0.
3) Na |x - y| można spojrzeć jak na odległość x - y od 0, a ta jest równa odległości na osi
liczbowej pomiędzy punktami x i y.
"
4) x2 = |x|.
5) |x|2 = x2 = (-x)2.
Własności wartości bezwzględnej
Twierdzenie 1. Niech x, y " R i b " R, b 0, wówczas
|x| = | - x|, (1)
|xy| = |x||y|, (2)
|x| b Ð!Ò! -b x b, (3)
|x| b Ð!Ò! x -b lub x b, (4)
|x + y| |x| + |y|, (5)
|x - y| |x| + |y|, (6)
||x| - |y|| |x + y|, (7)
||x| - |y|| |x - y|. (8)
Dowód. Własności (1) i (2) wynikają wprost z definicji wartości bezwzględnej. Dowodząc każdą
z tych własności należy rozważyć dwa przypadki: x 0 i x < 0.
Pokażemy, że dla dowolnego x " R |x| = | - x|.
Jeśli x 0, to |x| = x i jednocześnie | - x| = -(-x) = x, a zatem |x| = | - x|.
Jeśli x < 0, to |x| = -x i jednocześnie | - x| = -x, więc |x| = | - x|. Stąd dla dowolnego x " R
zachodzi równość (1).
Aby udowodnić własność (2) należy rozważyć trzy przypadki rozkładu znaków liczb x i y : 1o
x 0 i y 0, 2o x 0 i y < 0 i 3o x < 0 i y < 0. Oczywiście przypadek 4o x < 0 i y 0
możemy pominąć, bo jest on ujęty w 2o. Mamy odpowiednio
1o x 0 '" y 0 Ò! |xy| = xy = |x||y|,
2o x 0 '" y < 0 Ò! |xy| = -xy = x(-y) = |x||y|,
3o x < 0 '" y < 0 Ò! |xy| = xy = (-x)(-y) = |x||y|.
WÅ‚asność (3), |x| b Ð!Ò! -b x b.
Pokażemy najpierw, że zachodzi implikacja -b x b =Ò! |x| b.
Załóżmy, że -b x b, zatem dla x 0 mamy |x| = x b, a dla x < 0 mamy |x| = -x b.
Stąd dla dowolnych x rzeczywistych spełniających warunek -b x b mamy |x| b.
Teraz implikacja w przeciwnÄ… stronÄ™ |x| b =Ò! -b x b.
Jeśli |x| b i b 0, to ponieważ wartość bezwzgledna liczby x jest zawsze liczbą nieujemną,
mamy
-b |x| b.
Dla x 0 powyższa nierówność przyjmuje postać -b x b, a dla x < 0 postać -b -x b.
W tym ostatnim przypadku pomnożymy strony podwójnej nierówności przez -1 otrzymując
b x -b. StÄ…d dla dowolnego x " R, |x| b zachodzi -b x b.
WÅ‚asność (5), |x| b Ð!Ò! x -b lub x b.
Jeśli |x| b, to dla x mamy x = |x| b, a dla x < 0 otrzymujemy -x = |x| b, czyli x -b.
Jeśli x -b, to ponieważ b 0 mamy x 0. Stąd |x| = -x b. Jeśli x b i b 0, to x 0,
stÄ…d |x| = x 0.
Własność (6), |x + y| |x| + |y|.
Z wÅ‚asnoÅ›ci (3) zastosowanej dla b = |x| mamy |x| |x| Ð!Ò! -|x| x |x|. Zatem
-|x| x |x| i -|y| y |y|.
Dodamy te dwie nierówności stronami, otrzymując
-(|x| + |y|) x + y |x| + |y|.
Teraz z własności (3) |x + y| |x| + |y|.
Własność (7), |x - y| |x| + |y|, wynika z (5), jeśli za y podstawimy -y:
|x + (-y)| |x| + | - y| Ð!Ò! |x - y| |x| + |y|.
Własność (8), ||x| - |y|| |x + y|. Korzystając z własności (6) otrzymamy:
|x| = |x + y - y| |x + y| + |y| Ô! |x| - |y| |x + y|, (9)
|y| = |y + x - x| |y + x| + |x| Ô! |y| - |x| |x + y| Ô! |x| - |y| -|y + x|(10)
Z (9) i (10) mamy -|x+y| |x|-|y| |x+y|, a więc na podstawie (3) mamy ||x|-|y|| |x+y|.
Własność (4), ||x| - |y|| |x - y| otrzymujemy z (8) przez podstawienie y := -y.
Przykład 1. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie
|x - 1| + |x - 5| = 4.
Rozwiązanie. Zgodnie z Uwagą 3) zbiór rozwiązań równania jest zbiorem tych x " R, dla
których suma ich odległości (na osi liczbowej) od 1 i od 5 jest równa 4. Ponieważ 1 i 5 są odległe
od siebie o 4 (jednostki osi) więc, na pewno, każda z tych liczb jest rozwiązaniem równania
|x - 1| + |x - 5| = 4. Roziązań równania nie można się spodziewać wśród liczb leżących na lewo
od 1 czy też na prawo od 5, bo dla tych, które leżą na lewo od 1 odległość od 5 jest większa od
4 i podobnie dla tych które leżą na prawo od 5, ich odległość od 1 jest większa od 4. Natomiast
każda liczba leżąca pomiędzy 1 i 5, ma tę własność, że suma jej odległości od 1 i od 5 jest równa
4. Zatem rozwiązaniem naszego równania są x " [1; 5].
Przykład 2. Zapisz bez użycia symbolu wartości bezwzględnej wyrażenie |a2 - 1|.
Rozwiązanie. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy bez zmiany znaku wyrażenia znajdującego
się  pod wartościa bezwzględną, jeśli to wyrażenie jest nieujemne i ze zmianą znaku, jeśli to
wyrażenie jest ujemne. Zatem musimy rozstrzygnąć dla jakich a " R a2 - 1 0 i dla jakich a
a2 - 1 < 0.
a2 - 1 0 Ð!Ò! a -1 (" a 1,
a2 - 1 < 0 Ð!Ò! -1 < a < 1.
StÄ…d

a2 - 1, jeżeli a -1 lub a 1,
|a2 - 1| =
-a2 + 1, jeżeli -1 < a < 1.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Przy rozwiązywaniu równań lub nierówności z wartością bezwzględną stosujemy następujące
warunki równoważne, pozwalające  opuścić znak wartości bezwzględnej:
|x| = b Ð!Ò! x = -b lub x = b, (11)
|x| = |y| Ð!Ò! x2 = y2. (12)
|x| |y| Ð!Ò! x2 y2. (13)
oraz własności (3) i (4):
|x| b Ð!Ò! -b x b,
|x| b Ð!Ò! x -b lub x b.
W każdym z powyższych warunków x, b " R i b 0.
Przykład 3. Rozwiąż równania
a) |x - 2| = 5,
b) |2x - 5| + 10 = 3x,
c) |x + 1| + |2x - 4| = 9,
d) |x + 2| = |2x + 1|.
RozwiÄ…zanie.
a) |x - 2| = 5.
Skorzystamy z (11):
|x - 2| = 5 Ð!Ò! x - 2 = -5 lub x - 2 = 5 Ð!Ò! x = -3 lub x = 7.
b) |2x - 5| + 10 = 3x.
Z definicji wartości bezwzględnej mamy

5
2x - 5, jeżeli x
2
|2x - 5| =
5
-2x + 5, jeżeli x < .
2
Zatem nasze równanie można zapisać w postaci alternatywy układów:

2x - 5 + 10 = 3x -2x + 5 + 10 = 3x
lub
5 5
x x < ,
2 2
stąd po przekształceniach otrzymamy

x = 5 x = 3
lub
5 5
x x < ,
2 2
Drugi układ jest sprzeczny, zatem rozwiązaniem równania jest x = 5.
c) |x + 1| + |2x - 4| = 9.
Ponieważ
x - 1 = 0 Ð!Ò! x = 1 i 2x - 4 = 0 Ð!Ò! x = 2,
więc należy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 x < 2, x 2.
Przypadek I. Jeśli x < 1, to x - 1 < 0 i 2x - 4 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 1| + |2x - 4| = 9 przyjmie postać
-x - 1 - 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = -2 i rozwiązanie to należy do rozważanego w
tym przypadku przedziału: x " (-"; 1).
Przypadek II. Jeśli 1 x < 2, to x - 1 0 i 2x - 4 < 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x - 4| = 9
przyjmie postać x + 1 - 2x + 4 = 9. Jego rozwiązaniem jest x = -4, ale -4 " [-1; 2), zatem tę
/
odpowiedz
odrzucamy.
Przypadek III. Jeśli x 2, to x - 1 0 i 2x - 4 0. Wówczas równanie |x + 1| + |2x - 4| = 9
przyjmie postać x + 1 + 2x - 4 = 9. Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 i 4 " [2; ").
Rozwiązaniem równania |x+1|+|2x-4| = 9 jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach
I, II i III, czyli x = -2 lub x = 4.
d) |x + 2| = |2x + 1|.
Sposób 1o. Postępujemy jak w podpunkcie c). Ponieważ
1
x + 2 = 0 Ð!Ò! x = -2 i 2x + 1 = 0 Ð!Ò! x = - ,
2
więc rozważymy trzy przypadki: x < -2, -2 x < -1, x -1.
2 2
Przypadek I. Jeśli x < -2, to x + 2 < 0 i 2x + 1 < 0, zatem obydwie wartości bezwzględne
opuszczamy dokonując zmiany znaku. Wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1| przyjmie postać
-x - 2 = -2x - 1. Jego rozwiÄ…zaniem jest x = 1 ale 1 " (-"; -2), zatem tÄ™ odpowiedz

/
odrzucamy.
Przypadek II. Jeśli -2 x < -1, to x + 2 0 i 2x + 1 < 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|
2

przyjmie postać x + 2 = -2x - 1. Jego rozwiązaniem jest x = -1 i -1 " - 2; -1 , zatem
2
x = -1 jest jednym z rozwiązań równania d).
Przypadek III. Jeśli x -1, to x + 2 0 i 2x + 1 0, wówczas równanie |x + 2| = |2x + 1|
2

1
przyjmie postać x + 2 = 2x + 1. Jego rozwiązaniem jest x = 1 i 1 " - ; " .
2
Rozwiązaniem równania d) jest suma rozwiązań otrzymanych w Przypadkach I, II i III, czyli
x = -1 lub x = 1 .
Sposób 2o. Skorzystamy z (12). Jeśli moduły dwóch liczb są równe, to ich kwadraty też są
sobie równe. Zatem
|x + 2| = |2x + 1| Ð!Ò! (x + 2)2 = (2x + 1)2 Ð!Ò! 3x2 - 3 = 0
Ð!Ò! 3(x - 1)(x + 1) = 0 Ð!Ò! x = -1 lub x = 1.
Przykład 4. Rozwiąż nierówności
a) |2x + 2| > 4,
b) |x2 - 5| 2,
c) |2x + 2| + 3x > 4,
|4x+1|
d) 2,
|2x-3|
e) |x - 3| |x - 1|.
RozwiÄ…zanie.
a) |2x + 2| > 4.
Skorzystamy z własności (4), otrzymując alternatywę nierówności:
|2x + 2| > 4 Ð!Ò! 2x + 2 < -4 lub 2x + 2 > 4
Ð!Ò! x < -3 lub x > 1.
Rozwiązaniem nierówności a) są zatem x " (-"; 3) *" (1; ").
b) |x2 - 5| 2.
Skorzystamy z własności (3), otrzymując równoważną nierówność podwójną:
|x2 - 5| 2 Ð!Ò! -2 x2 - 5 2
Ð!Ò! 3 x2 7 Ð!Ò! 3 - x2 0 i x2 - 7 0
" " " "
Ð!Ò! x - 3 lub x 3 i - 7 x 7
" " " "
Ð!Ò! - 7 x - 3 lub 3 x 7.
c) |2x + 2| + 3x > 4.
Nie możemy skorzystać z własności ( 4), bo w tym przypadku b = 4 - 3x może przyjmować
zarówno wartości nieujemne jak i ujemne. Aby rozwiązać tę nierówność musimy opuścić wartość
bezwzględną korzystając z jej definicji. Mamy zatem alternatywę układów równań:

-2x - 2 + 3x > 4 2x + 2 + 3x > 4
lub
2x + 2 < 0 2x + 2 0,
Rozwiązując nierówności w układach otrzymamy:

2
x > 6 x >
5
lub
x < -1 x -1,
Pierwszy z powyższych układów nierówności ma pusty zbiór rozwiązań, a rozwiązaniem drugiego

2 2
układu są x > . Rozwiązaniem nierówności c) są x " ; " .
5 5
|4x+1|
d) 2.
|2x-3|
Ponieważ

x |x|

= ,
y |y|
zatem równanie d) jest równoważne równaniu

4x + 1

2.
2x - 3
Zastosujmy własność (5):

4x + 1 4x + 1 4x + 1

2 Ð!Ò! -2 lub 2.
2x - 3 2x - 3 2x - 3
Dziedziną tej podwójnej nierówności wymiernej jest zbiór R \ {3}. Dalej mamy
2
4x + 1 4x + 1
-2 lub 2
2x - 3 2x - 3
8x - 5 7
Ð!Ò! 0 lub 0.
2x - 3 2x - 3
Rozwiążemy nierówności pomocnicze, w których zamiast badać znak ilorazu, zbadamy znak
iloczynu czynników występujących w powyższych nierównościach:
(8x - 5)(2x - 3) 0 lub 2x - 3 0

5 3 3
Ð!Ò! x " ; lub x " ; "
8 2 2

5
Ð!Ò! x " ; " ,
8
3
Ponieważ x = nie należy do dziedziny nierówności d), więc rozwiązaniem nierówności są
2

5 3 3
x " ; *" ; " .
8 2 2
e) |x - 3| |x - 1|.
Sposób 1o. Zastosujemy warunek (13), otrzymując
|x - 3| |x - 1| Ð!Ò! (x - 3)2 (x - 1)2
Ð!Ò! -6x + 9 -2x + 1 Ð!Ò! x 2.
Rozwiązaniem nierówności e) są x " (-"; 2].
Sposób 2o. Możemy rozważyć trzy przypadki: x < 1, 1 x < 3, x 3, postępując podobnie jak
w punkcie c) Przykładu 3.
Układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Niech dany będzie układ dwóch równań liniowych o niewiadomych x, y

a1x + b1y = c1
(A)
a2x + b2y = c2,
gdzie a1, b1, a2, b2 " R.
Definicja 2. Każdą parę liczb (x, y), która jest jednocześnie rozwiązaniem obu powyższych
równań, nazywamy rozwiązaniem tego układu.
Na przykład rozwiązaniem układu

2x - y = 4
(B)
x + 2y = -3
jest para liczb (1, -2), bo 2 · 1 - (-2) = 4 i 1 + 2(-2) = -3.
1o Jeżeli dla każdej pary współczynników ai, bi, dla i = 1, 2, przynajmniej jeden z nich jest różny
od zera tzn. a1 = 0 lub b1 = 0 i a2 = 0 lub b2 = 0, to wykresem każdego z równań układu (A)

jest prosta. Oznaczmy pierwszÄ… z nich przez l1 a drugÄ… przez l2, zatem l1 : a1x + b1y = c1 i
l2 : a2x + b2y = c2.
Uwaga.
1) Jeśli proste l1 i l2 nie są równoległe, to przecinaja się, zatem maja dokładnie jeden punkt
wspólny. Mówimy wówczas, że układ (A) jest oznaczony, a o równaniach tego układu mówimy, że
są niezależne. Taki układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para współrzędnych
punktu przecięcia się prostych l1 i l2.
2) Jeśli proste l1 i l2 są różne i równoległe, to nie mają żadnego punktu wspólnego. Wtedy o
układzie (A) mówimy że jest sprzeczny, a o równaniach, że są wzajemnie sprzeczne. Układ taki
nie ma rozwiązań, żadna para liczb nie spełnia jednocześnie obu równań.
3) Jeśli proste l1 i l2 pokrywają się, to układ (A) nazywamy nieoznaczonym. Układ taki ma
nieskończenie wiele rozwiązań, każda para która spełnia równanie pierwsze spełnia też równanie
drugie układu.
2o Jeżeli, w którymś z równań układu (A), każdy ze współczynników ai, bi dla i = 1, 2 jest
równy zero, to równanie takie jest postaci 0x + 0y = ci, zatem ma rozwiązanie, gdy ci = 0
(każda para liczb (x, y) jest rozwiązaniem tego równania) i nie ma rozwiązań, gdy ci = 0. Stąd

dla a1 = a2 = b1 = b2 = c1 = c2 = 0 układ (A) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jego
rozwiązaniem jest każda para (x, y), gdzie x, y " R. Jeśli natomiast, a1 = a2 = b1 = b2 i c1 = 0

lub c2 = 0, to układ (A) nie ma rozwiązań.

Układy równań liniowych rozwiązujemy algebraicznie lub graficznie. Wśród metod algebraicznych
wyróżniamy metodę podstawiania, metodę przeciwnych współczynników i metodę wyznaczników.
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu niewiadomej z jednego z równań i podstawieniu
jej do równania drugiego. Zilustrujemy to na przykładzie:

2x - y = 4 y = 2x - 4
Ð!Ò!
x + 2y = -3 x + 2(2x - 4) = -3.
StÄ…d

y = 2x - 4 y = -2
Ð!Ò!
5x = 5 x = 1.
Zatem para (1, -2) jest rozwiązaniem układu równań.
Metoda przeciwnych współczynników polega na mnożeniu równań przez różne od zera stałe i
dodawaniu tych równań stronami. Pokażemy to na przykładzie:

2x - y = 4 2x - y = 4 2x - y = 4
Ð!Ò! Ð!Ò!
x + 2y = -3 x + 2y = -3 / (-2) -2x - 4y = 6.
Dodajemy stronami równanie drugie do pierwszego, otrzymując:

-5y = 10
-2x - 4y = 6.
Dalej mamy

y = -2 y = -2 y = -2
Ð!Ò! Ð!Ò!
-2x - 4y = 6 -2x - 4(-2) = 6. -2x = -2.
Ostatecznie rozwiązaniem układu (B) jest para liczb (x, y) = (1, -2).
Metoda wyznaczników rozwiązywania układów równań liniowych.
Wyznacznikiem W układu (A) nazywamy różnicę iloczynów a1b2 - a2b1, co zapisujemy tak:

a1 b1

W = = a1b2 - a2b1.
a2 b2
Dla układu (A) przez wyznaczniki charakterystyczne Wx i Wy rozumiemy odpowiednio:

c1 b1

Wx = = c1b2 - c2b1,
c2 b2

a1 c1

Wy = = a1c2 - a2c1.
a2 c2
Na przykład dla układu (B) mamy

2
-1 4 2 4
-1

W = = 4 + 1 = 5, Wx = - 3 = 5, Wy = -6 - 4 = -10.
= 8 =
1 2 -3 2 1 -3
Twierdzenie 1. Układ (A) równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma dokładnie jedno
rozwiÄ…zanie, gdy W = 0, przy czym

Wx Wy
x = , y = .
W W
Nie ma rozwiązań, gdy W = 0 i jednocześnie W1 = 0 lub W2 = 0, a także wówczas, gdy

W = Wx = Wy = 0 oraz a1 = a2 = b1 = b2 = 0 i c1 = 0 lub c2 = 0.

Ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru rzeczywistego, gdy W = Wx =
Wy = 0 i co najmniej jedna z liczb a1, a2, b1, b2 jest różna od zera, albo od dwóch parametrów
rzeczywistych, gdy a1 = a2 = b1 = b2 = c1 = c2 = 0.
Wy -10
Wx 5
Stąd układ (B) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y), gdzie x = = = 1 i y = = =
W 5 W 5
-2.
Przykład 4. W wolne miejsce wpisz tak dobrane równanie liniowe zmiennych x i y, aby
otrzymany układ równań, miał a) dokładnie jedno rozwiązanie , b) nieskończenie wiele rozwiązań,
c) nie miał rozwiązań. Przedstaw interpretację graficzną tak zaproponowanych układów równań.

3x + 2y = 7
......... =
RozwiÄ…zanie.
Oznaczmy przez ax + by = c ogólną postać poszukiwanego równania, które należy wstawić
w układzie równań w wolne miejsce. Przyjmijmy, że b = 0. Zapiszmy równania prostych l1 :

3x + 2y = 7 i l2 : ax + by = c z danego układu równań w tzw. postaci kierunkowej:
3 7 a c
l1 : y = - x + l2 : y = - + dla b = 0.

2 2 b b
a) Aby układ miał dokładnie jedno rozwiązanie, to prosta l1 powinna przecinać prostą l2
dokładnie w jednym punkcie. To znaczy, że proste te nie mogą być równoległe, w szczególności
nie mogą się pokrywać. Proste są równoległe, jeśli maja jednakowe współczynniki kierunkowe,
czyli w naszym przypadku dla
3 a
- = - Ð!Ò! a = 3k i b = 2k
2 b
dla pewnego k " Z \ {0}. Jeżeli współczynniki a i b spełniają warunek:
3 a

= (14)
2 b
to proste l1 i l2 nie są równoległe i co za tym idzie przetną się w jednym punkcie. Zatem jeśli
np. a = 3 i b = 1 lub a = -5 i b = -1 lub a = 0 i b = 2, to dla dowolnego c, układ równań ma
2
dokładnie jedno rozwiązanie. Proponowany układ będzie wtedy postaci:

3x + 2y = 7 3x + 2y = 7 3x + 2y = 7
lub lub
3x + y = 1 -5x + -1y = 7 2y = -4.
2
Możemy oczywiście, podać wiele innych możliwych układów wartości współczynników a i b, dla
których -a = -3, a zatem dla których proste l1 i l2, mają dokładnie jeden punkt wspólny, a

b 2
układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zauważmy, że z warunku -a = -3 wynika, że

b 2
2a - 3b = 0, tzn., że W = 0.

b) Układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli proste l1 i l2 będą się pokrywały, to
znaczy, gdy a = 3, b = 2 i c = 7, ale również gdy
a = 3k i b = 2k i c = 7k
dla pewnego k " Z \ {0}. Proponowany układ równań będzie postaci

3x + 2y = 7 3x + 2y = 7
lub
3x + 2y = 7 3kx + 2ky = 7k.
Możemy zatem znów podać wiele takich układów wartości współczynników a, b, c, np. a = 12,
1 2 7
b = 8 c = 28 (tu k = 4); a = -12, b = -8, c = -28 (tu k = -4), a = , b = , c = (tu
3 9 9
1
k = ) itd. Charakterystyczne jest to, że a, b i c są proporcjonalne do odpowiednio 3, 2 i 7 z
9
tym samym współczynnikiem proporcjonalności k " Z \ {0}, tzn.
a b c
" k " Z \ {0} = = = k. (15)
3 2 7
Z warunku (15) wynika, że W = Wx = Wy = 0.
c) Układ będzie sprzeczny, jeśli proste l1 i l2 nie przetną się, to znaczy wtedy, gdy będą równoległe
ale nie będą się pokrywały. Trzeba więc tak dobrać współczynniki a, b, c, aby współczynniki
kierunkowe prostych były równe, a c = 7, tzn.

3 a
- = - c = 7,

2 b
co można też zapisać w postaci:
a b c
" k " Z \ {0} = = k i = k. (16)

3 2 7
Warunek (16) zapisany za pomocą wyznaczników układu równań, oznacza, że W = 0 i Wx = 0

i Wy = 0. Wez
my a = 3, b = 2 i c = 5, lub a = -3 b = -2 c = 7 otrzymamy wtedy układ


3x + 2y = 7 3x + 2y = 7
lub
3x + 2y = 5. -3x + -2y = 7.
Przykład 5. Rozwiąż układy równań liniowych dwóch zmiennych metodą wyznaczników:

x + 2y = 3 -y + 2x = 3 2x + 6y = 7
(C) (D) (E)
2x - 3y = 1 4x - 2y = 6 x + 3y = 1.
RozwiÄ…zanie.
(C)

1 2 3 2 1 3

W = = -7 = 0, Wx = = -11, Wy = = -5.

2 -3 1 -3 2 1
Ponieważ wyznacznik główny W = 0, zatem układ (C) ma dokładnie jedno rozwiązanie (x, y),

gdzie
Wx 11 Wy 5
x = = y = = .
W 7 W 7
(D) Uporządkujmy w tym układzie kolumny niewiadomych tak, aby niewiadoma x z pierwszego
równania  stała nad niewiadomą x z drugiego równania, to znaczy zapiszemy układ (D) w
postaci:

2x - y = 3
4x - 2y = 6.
Obliczymy wyznaczniki układu:

2
-1 3 2 3
-1

W = = 0, Wx = = 0, Wy = = 0.
4 -2 6 -2 4 6
Wszystkie wyznaczniki są równe zero, zatem korzystając z Twierdzenia (1) wnioskujemy, że
układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Widać też, że ponieważ równania są proporcjonalne
(równanie pierwsze wystarczy pomnożyć przez 2, a otrzymamy równanie drugie układu), to każda
para (x, y), która spełnia jedno z równań spełnia jednocześnie równanie drugie. Wyznaczmy
jedną z niewiadomych np. z równania pierwszego:
2x - y = 3 Ð!Ò! y = 2x - 3.
Stąd rozwiązaniem równania 2x - y = 3 jest każda para liczb postaci (x, y) = (x, 2x - 3).
Jednocześnie widać, że ta para spełnia również równanie drugie (dzieje się tak dzięki proporcjonalności
tych dwóch równań):
4x - 2(2x - 3) = 6 Ð!Ò! 6 = 6.
Zatem rozwiązaniem układu (D) są pary liczb postaci (x, 2x-3), gdzie pod x możemy podstawić
dowolną liczbę rzeczywistą, stąd wynika nieskończona liczba rowiązań układu.
(E) Obliczymy wyznaczniki układu (E):

2 6 2 7

W = = 0, Wx = -5 = 0
=
1 3 1 1
Nie ma potrzeby by obliczać wartość wyznacznika Wy, bo W = 0, a Wx = 0, tzn., że co najmniej

jeden z wyznaczników Wx, Wy jest różny od 0, zatem zgodnie z Twierdzeniem (1), układ równań
nie ma rozwiązań.
Przykład 6. Rozwiąż układ równań
Å„Å‚
1 5
ôÅ‚ + = 2
òÅ‚
x+y+1 x-y+1
(F )
ôÅ‚
ół 3 5
- = 2.
x+y-1 x-y+1
Rozwiązanie. Do dziedziny tego układu równań należą takie pary (x, y), x, y " R, że y =

1 + x i y = 1 - x, tzn. (x, y) = (x, 1 + x) i (x, y) = (x, 1 - x), x " R. Wprowadzimy

1 1
pomocnicze niewiadome u i t. Niech u = i t = , zatem równoważny układ równań,
x+y-1 x-y+1
o niewiadomych u i t przyjmie postać

1 5
+ = 2
u t
3 5
- = 2.
u t
Dodajmy stronami równanie drugie do pierwszego. Otrzymamy

1 5 4
+ = 2 = 4 u = 1 u = 1
u t u
Ð!Ò! Ð!Ò! Ð!Ò!
3 5 3 5 3 5
- = 2 - = 2 - = 2 t = 5.
u t u t u t
Para (x, y) jest rozwiązaniem układu (F ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony będzie następujący
układu równań liniowych:

x + y - 1 = 1
x - y + 1 = 5.
Dodając stronami równanie drugie do pierwszego w tym układzie, otrzymamy układ równoważny:

2x = 6 x = 3
Ð!Ò!
x - y + 1 = 5. y = -1.
Rozwiązaniem układu (F ) jest para liczb: x = 3 i y = -1.
Przykład 7. Rozwiąż układ równań

|x - 1| + ||y - 5| = 1
(G)
|x - 1| - y = -5.
Rozwiązanie. Pomnóżmy równanie drugie przez -1 i dodajmy je stronami do równania pierwszego.
Otrzymamy

|x - 1| + |y - 5| = 1 y + |y - 5| = 6
Ð!Ò!
|x - 1| - y = -5 / (-1) |x - 1| - y = -5.
Rozważmy dwa przypadki y 5, y < 5 i zapiszmy odpowiednie układy równoważne.
1o Dla y 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y - 5| opuszczamy bez zmiany znaku:

11
y + y - 5 = 6 2y = 11 y =
2
Ð!Ò! Ð!Ò!
11
|x - 1| - y = -5 |x - 1| - y = -5 |x - 1| = -5 + .
2
StÄ…d

11 11 11
y = y = y =
2 2 2
Ð!Ò! lub
1 1
|x - 1| = . x - 1 = x - 1 = -1
2 2 2
Zatem

11 11
y = y =
2 2
lub
3 1
x = x = .
2 2
11
Oczywiście para (x, y) = (1, ) spełnia warunek y 5, zatem jest rozwiązaniem układu (G).
2 2
Rozważmy drugi przypadek.
2o Dla y < 5, znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |y - 5| opuszczamy ze zmianą znaku:

y - y + 5 = 6 5 = 6
Ð!Ò!
|x - 1| - y = -5 |x - 1| - y = -5.
Otrzymany układ jest sprzeczny, zatem dla y < 5 układ (G) nie ma rozwiązań. Podsumowując,
11 11
układ (G) ma dwa rozwiązania: (x1, y1) = (3, ), (x2, y2) = (1, ).
2 2 2 2
Przykład 8. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b " R.

ax - by = a2 + b2
x + y = 2a
Rozwiązanie. Zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:

a
-b a2 + b2 -b a a2 + b2

W = = a + b, Wx = = (a + b)2, Wy = = a2 - b2.
1 1 2a 1 1 2a
KorzystajÄ…c z Twierdzena 1 mamy:
Dla a = -b układ ma dokładnie jedno rozwiązanie


x = a + b
y = a - b.
Jeżeli a + b = 0, to a = -b, zatem W = 0, Wx = 0 i Wy = 0, czyli dla a = -b układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań.
1o Jeśli a = -b = 0, to układ przyjmuje postać

0x - 0y = 0 0 = 0
Ð!Ò!
x + y = 0. y = -x.
Jego rozwiązaniem jest każda para liczb (x, y) = (x, -x), gdzie x " R.
2o Jeśli a = -b, i b = 0 (wtedy również a = 0) to możemy pierwsze równanie podzielić przez -a

i dodać stronami do drugiego. Otrzymamy

ax + ay = 2a2 x + y = 2a
Ð!Ò!
x + y = 2a. 0 = 0
Rozwiązaniem tego układu są pary (x, y) = (x, 2a - x), dla dowolnego x " R.
Ten układ równań dla żadnych wartości parametrów a, b nie jest sprzeczny, bo jeśli W = 0, to
a = -b i co za tym idzie Wx = 0 i Wy = 0. PodsumowujÄ…c mamy:
a = -b Ò! jedno rozwiÄ…zanie (x, y) = (a + b, a - b);

a = -b Ò! nieskoÅ„czenie wiele rozwiÄ…zaÅ„ :
a = b = 0 Ò! (x, y) = (x, -x)
a = -b = 0 Ò! (x, y) = (x, 2a - x).

Przykład 9. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametrów a, b " R \ {0}.
Å„Å‚
y
x
ôÅ‚
+ = 1
òÅ‚
a b
ôÅ‚
y
ół x
+ = 1
b a
Rozwiązanie. Raz jeszcze zastosujemy metodę wyznaczników. Mamy odpowiednio:

1 1 1 1
1 1

1 1 1 1 1 1
a b b a
W = - , Wx = - , Wy = - .
= = =
1 1 1 1
a2 b2 a b a b
1 1
b a a b

ab ab
Jeśli a = b i a = -b, to układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie postaci (x, y) = , .

b+a b+a
Jeśli a = b, to W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci
(x, y) = (x, a - x), gdzie x " R.
-2
Jeśli a = -b, to W = 0 i Wx = = 0, zatem układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.

a
Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi.
Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi rozwiązujemy metodą podstawiania lub przeciwnych
znaków. Można też wprowadzić tu metodę wyznaczników. Jednakże my ograniczymy się do
dwóch pierwszych metod.
Przykład 10. Rozwiąż układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi
Å„Å‚
ôÅ‚ - 8y + 2z = -8
x
òÅ‚
(F ) 2y + 3z = -1
ôÅ‚
ół
2x + 4y - z = 9.
Rozwiązanie. Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników. Drugie równanie pomnóżmy
przez 4 i dodajmy stronami do równania pierwszego, następnie pomnóżmy je przez -2 i dodajmy
do równania trzeciego.
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ - 8y + 2z = -8 x + 14z = -12
ôÅ‚
x
òÅ‚ òÅ‚
2y + 3z = -1 Ð!Ò! 2y + 3z = -1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
2x + 4y - z = 9 2x - 7z = 11
Teraz pomnóżmy pierwsze równanie przez -2 i dodajmy je stronami do równania trzeciego.
Otrzymamy
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - 14 = -12 x = 2
ôÅ‚
x + 14z = -12 x
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
2y + 3z = -1 Ð!Ò! 2y - 3 = -1 Ð!Ò! y = 1
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół ół
-35z = 35 z = -1 z = -1
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest nim trójka liczb (x, y, z) = (2, 1, -1).
Zadania
"
1. Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej |1 - 2|, | (Ą - 4)2|, |x2 + 1|
2. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiąż równanie |x+2| =
|x + 4|.
3. Rozwiąż równania
a) |x| = x,
b) 3|x - 3| + x = 5,
c) |x - 1| + |x| + |x + 1| = 2.
4. Rozwiąż nierówności
a) |4x+1| > 2,
2x-3
b) |x2 - 2x - 3| 0,
c) |3x - 3| 6 - 3x,
d) x + ||x + 1| - 2| 0,
e) |x| + ||x + 1| + 1| - |x + 4| 0.
5. Rozwiąż równanie | sin x| = sin 2x.
6. Wykaż, że:
a) | sin x| + | cos | 1 dla x " R,
"
b) |a sin x + b sin x| a2 + b2 dla a, b, x " R.
7. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = |x| + |x + 1| + |x + 2|, g(x) = ||x - 3| - x|.
8. Rozwiąż układy równań metodą wyznaczników i metodą przeciwnych współczynników

x - y = 1 2x - y = 3 + x x - y = 2
(H) (I) (J)
2x - 2y = 2, x - y = 6 2x - 2y = 1
9. Rozwiąż układ równań

1 1
+ = 5
x y
(K)
3 5
- = -9,
x y
10. Bryła mosiądzu (stop miedzi i cynku) waży 67 kg. Ile waży miedz
, a ile cynk znajdujÄ…ce
się w bryle, jeżeli po zanurzeniu w wodzie traci ona (pozornie) na ciężarze 8kg, a ciężary
właściwe miedzi i cynku wynoszą odpowiednio 8, 9 kg / dm3 i 6, 9 kg / dm3 ?
Wskazówka: 1 dm3 wody waży 1 kg.
11. Statek płynie z prądem rzeki z prędkością 18 km/h, a pod prąd z prędkością 14 km/h.
Obliczyć prędkość własną statku i prędkość prądu rzeki.
12. Rozwiąż układy trzech równań z trzema niewiadomymi:
Å„Å‚ Å„Å‚
5 2 3
ôÅ‚ - 3y + 5z = 11
ôÅ‚ - + = -9
2x
òÅ‚ òÅ‚ x y z 4
2 3 1 5
+ + =
(L) x + 4y - 7z = -12 (M)
x y z 12
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
1 4 2 5
3x + 2y + 8z = 31
+ - =
x y z 3
13. Rozwiąż układ równań w zależności od wartości parametru m " R.

(m - 1)x + 2y = 1
x + my = 1
14. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu

2x + 8(m2 + 1) = 5
x + 5m2y = 2
jest para liczb dodatnich ?
15. Dla jakich wartości parametru m każde rozwiązanie układu

x + my = 3
mx + 4y = 6
spełnia warunek x > 1 i y > 0 ?
16. Dla jakich wartości parametru m układ

(m - 1)x + 3y = 5
mx - 2y = 4
nie ma rozwiązań ? Podaj interpretację geometryczną tego układu.
17. Rozwiąż układ równań

|x| + y = 1
x2 + (y - 1)2 = 8.
Podaj interpretację geometryczną tego układu. Oblicz pole i obwód figury, do której należy
początek układu XOY i ograniczonej liniami określonymi równaniami tego układu.
18. Rozwiąż układy równań:

"
"
x2 + xy = 10 x - y = 2 -4x3 + 4xy2 = 0
(A) (B) (C)
y2 + xy = 15 x - 4y = 0 -4y3 + 4yx2 = 0
19. Dla jakich wartości parametru m układ równań

(x - 1)2 + (y + 1)2 = 1
(x - 5)2 + (y - 2)2 = m
ma więcej niż jedno rozwiązanie?
20. Wyznacz wartości parametru m, dla których układ

x2 + y2 = 9
my2 - x = 3
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
21. Rozwiąż układy:
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ -1
x
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y 1
òÅ‚ òÅ‚
y -2
3x + y 3
ôÅ‚ ôÅ‚
y + x 6
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
y - x = 1.
ół
x + 3y 10,
Odpowiedzi
"
1. 2 - 1, 4 - Ä„, x2 + 1;
2. x = -3;
14
3. a) x 0, b) x = 2 lub x = , c) x = 0 ;
3

5 3 4
4. a) x < , b) x " R, c) x " (1; 1) *" ; " , d) x " (-", -3 , e) x " - ; 2 ;
8 2 2 2 3
Ä„ 4
5. x = + 2kĄ lub x = Ą + 2kĄ dla k " Z;
3 3
8. (H)- układ nieoznaczony, rozwiązania postaci (x, y) = (x, x - 1), (I) - układ oznaczony,
rozwiązanie (x, y) = (-3, -9), (J)- układ sprzeczny, brak rozwiązań;
1 1
9. x = , y = ;
2 3
10. 53, 4 kg, 13, 8 kg;
11. 16 km/h;
12. (L) - (x, y, z) = (1, 2, 3), (M)- (x, y, z) = (-6, 3, -4);
1 1
13. dla m = -1 i m = 2 jedno rozwiązanie (x, y) = (m+1, ), dla m = -1 brak rozwiązań,

m+1

1-x
dla m = 2 nieskończenie wiele rozwiązań postaci x, ;
2
4
14. m " (-4; );
3 3
15. m " (-2; 2) lub m " (2, 4);
2
16. m = ;
5
"
17. (x, y) = (-2, -1) lub (x, y) = (2, -1), P = 2Ä„, L = (4 + Ä„) 2;
18. (A)- (x, y) = (-2, -3) lub (x, y) = (2, 3), (B)- (x, y) = (16, 4), (C)- (x, x) lub (x, -x), gdzie
x " R;
19. t " (16; 36);
1
20. m = 0 lub m = .
6