Rachunek rozniczkowy funkcji wielu zmiennych


[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 1
Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych.
Pochodne czÄ…stkowe.
k
Definicja 1. Niech f : A , gdzie A ‚" oraz niech P0 x1,0, x2,0, & , xk,0
będzie ustalonym elementem zbioru A .
Je\eli ( przy ustalonym i " 1, 2, & , k ) istnieje pochodna funkcji jednej zmiennej :
x f x1,0, x2,0, & , xi-1,0, x, xi 1,0, & , xk,0 ,
i
gdzie D x : x1,0, x2,0, & , xi-1,0, x, xi 1,0, & , xk,0 " A
i
w punkcie xi,0 , to nazywamy ją pochodną cząstkową ( pierwszego rzędu ) funkcji
f względem zmiennej xi w punkcie P0 .
Oznaczać ją będziemy jednym z następujących symboli :
"f
2
"
P0 , f P0 , f P0 , fx P0 .
xi
i
"xi "xi
Wniosek 1. Tak więc :
"f xi,0 h - xi,0
i i
2
P0 xi,0 lim
i
h0
"xi h
f x1,0, x2,0, & , xi-1,0, xi,0 h, xi 1,0, & , xk,0 - f x1,0, x2,0, & , xi-1,0, xi,0, xi 1,0, & , xk,0
lim
h0 h
o ile powy\sza granica istnieje.
Przykłady :
2
1. W przypadku funkcji dwóch zmiennych, czyli gdy A ‚" , P0 x0, y0 " A
mamy :
"f f x0 h, y0 - f x0, y0
x0, y0 lim
h0
"x h
"f f x0, y0 h - f x0, y0
x0, y0 lim
h0
"y h
Sens geometryczny powy\szych pochodnych czÄ…stkowych jest konsekwencjÄ…
geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji jednej zmiennej. Je\eli, mianowicie
oznaczymy przez kąt jaki tworzy styczna do krzywej opisanej układem równań
z f x, y
( czyli do krzywej będącej przekrojem wykresu funkcji z f x, y
y y0
płaszczyzną y y0 ) w punkcie x0, y0, f x0, y0 z dodatnim kierunkiem osi
z 0
liczbowej wyznaczonej przez prostą o równaniu krawędziowym ,
y y0
z f x, y
natomiast przez kÄ…t jaki tworzy styczna do krzywej w punkcie
x x0
x0, y0, f x0, y0 z dodatnim kierunkiem osi liczbowej wyznaczonej przez prostÄ…
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 2
z 0
o równaniu krawędziowym , to :
x x0
"f "f
x0, y0 tg , natomiast x0, y0 tg , co ilustrujÄ… poni\sze rysunki.
"x "y
"f "f
x0, y0 tg x0, y0 tg
"x "y
3
2. Je\eli A ‚" , P0 x0, y0, z0 " A , to
"f f x0 h, y0, z0 - f x0, y0, z0
x0, y0, z0 lim
h0
"x h
"f f x0, y0 h, z0 - f x0, y0, z0
x0, y0, z0 lim
h0
"y h
"f f x0, y0, z0 h - f x0, y0, z0
x0, y0, z0 lim
h0
"z h
Definicja 2. Je\eli zbiór B ‚" A tych punktów P " A w których funkcja f : A ,
"f
k
( A ‚" ) posiada pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… P ( przy ustalonym i " 1, 2, & , k )
"xi
"f
jest niepusty, to mo\emy rozwa\ać funkcję : B , która ka\demu punktowi
"xi
"f "f
P " B przyporządkowuje liczbę P . Funkcję nazywamy wówczas
"xi "xi
pochodną cząstkową ( rzędu pierwszego ) funkcji f względem zmiennej xi .
Wniosek 2. Z definicji pochodnych czÄ…stkowych wynika, \e pochodne czÄ…stkowe sÄ…
"f
zwykłymi pochodnymi funkcji jednej zmiennej. Aby obliczyć np. x, y wystarczy
"x
obliczyć zwykłą pochodną względem x traktując y jako stałą , natomiast aby
"f
obliczyć x, y nale\y obliczyć pochodną względem y traktując x jako stałą .
"y
A zatem do obliczania pochodnych cząstkowych mo\na posługiwać się wzorami
które obowiązują w przypadku funkcji jednej zmiennej, czyli wzorami na pochodną
sumy, ró\nicy, iloczynu, ilorazu oraz zło\enia funkcji.
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 3
Przykłady :
1. Je\eli f x, y x3y4 y2 sin x x2 2y2 1 , to mamy :
"f
x, y 3x2y4 y2 cos x 2x
"x
"f
x, y 4x3y3 2y sin x 4y
"y
a stąd w szczególności :
"f
0, 2 3 02 24 22 cos 0 2 0 4
"x
"f
0, 2 4 03 23 2 2 sin 0 4 2 8
"y
9x
2. Je\eli f x, y, z x2y3z xy 2 , to :
y
"f
9
x, y, z 2xy3z yxy-1
y
"x
"f
9x
x, y, z - 3x2y2z xy ln x
"y
y2
"f
x, y, z x2y3
"z
a stąd w szczególności :
"f
9
2, 3, -1 2 2 33 -1 3 23-1 - 93
"x 3
"f
9 2
2, 3, -1 - 3 22 32 -1 23 ln 2 8 ln 2 - 110
"y
32
"f
2, 3, -1 22 33 108
"z
Uwaga : Z istnienia pochodnych czÄ…stkowych w jakimÅ› punkcie nie wynika
2
ciągłość funkcji w tym punkcie. Np. dla funkcji f : określonej wzorem
1 gdy xy 0
f x, y
0 gdy xy `" 0
mamy :
"f f 0 h, 0 - f 0, 0 f h, 0 - f 0, 0
1 - 1
0, 0 lim lim lim 0
h0
"x h h0 h h0 h
"f f 0, 0 h - f 0, 0 f 0, h - f 0, 0
1 - 1
0, 0 lim lim lim 0
h0
"y h h0 h h0 h
natomiast granica podwójna lim f x, y nie istnieje, gdy\ dla ciągów :
x0
y0
1 1 1
P2 , oraz P2 2 0, zbie\nych do punktu P0 0, 0 jest :
n n
n n n
1 1 1
lim f P2 lim f , 0 , lim f P2 2 lim f 0, 1 oraz 0 `" 1
n n
n n n n n n n
( porównaj z definicją Heinego granicy funkcji ).
W konsekwencji funkcja f nie jest ciągła w punkcie P0 0, 0 .
Definicja 3. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych
"f
, i " 1, 2, & , k nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego
"xi
k
funkcji f : A ( A ‚" ).
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 4
"f
"
Pochodną , i, j " 1, 2, & , k oznaczamy następującymi symbolami :
"xj "xi
"2f
2 2
"2 f , fxixj , fx xj oraz w przypadku gdy i j , to zamiast "2f
,
i
"xj"xi "xj"xi "xi"xi
"2f
piszemy .
"x2
i
"2f
PochodnÄ… w przypadku, gdy i `" j nazywamy pochodnÄ… czÄ…stkowÄ…
"xj"xi
mieszaną rzędu drugiego.
Przykład :
W jednym z poprzednich przykładów zostały obliczone pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego funkcji f x, y x3y4 y2 sin x x2 2y2 1 :
"f
x, y 3x2y4 y2 cos x 2x
"x
"f
x, y 4x3y3 2y sin x 4y
"y
Wykorzystując ten wynik mo\emy teraz obliczyć pochodne cząstkowe rzędu
drugiego tej funkcji :
"2f "f
" "
x, y x, y 3x2y4 y2 cos x 2x 6xy4 - y2 sin x 2
"x "x "x
"x2
"2f "f
" "
x, y x, y 4x3y3 2y sin x 4y 12x3y2 2 sin x 4
"y "y "y
"y2
"2f "f
" "
x, y x, y 4x3y3 2y sin x 4y 12x2y3 2y cos x
"x"y "x "y "x
"2f "f
" "
x, y x, y 3x2y4 y2 cos x 2x 12x2y3 2y cos x
"y"x "y "x "y
Zwróćmy uwagę, \e dwie ostatnie pochodne cząstkowe, to pochodne mieszane.
Twierdzenie 1.( Schwarza ) Niech będzie dana funkcja f : A , gdzie
k
A ‚" jest zbiorem otwartym. Je\eli pochodne czÄ…stkowe mieszane rzÄ™du
"2f "2f
drugiego i istnieją i są ciągłe na A , to są one na tym zbiorze
"x"y "y"x
"2f "2f
równe : .
"x"y "y"x
Uwagi :
1. W wielu przypadkach, na podstawie opisu konkretnej funkcji mo\emy przewidzieć
jak będą wyglądały pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego tej funkcji i czy
będą one ciągłe. Je\eli np. funkcja f jest wielomianem swoich zmiennych, to
pochodne cząstkowe dowolnego rzędu tej funkcji te\ będą wielomianami podobnego
typu, a zatem będą one funkcjami ciągłymi. W takich właśnie przypadkach mo\na
wykorzystać powy\sze twierdzenie przy obliczaniu pochodnych cząstkowych rzędu
drugiego.
2. Zało\enie o ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych rzędu drugiego funkcji
f w powy\szym twierdzeniu jest zało\eniem bardzo istotnym, co pokazuje poni\szy
przykład.
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 5
Przykład : Wezmy pod uwagę funkcję dwóch zmiennych f określoną wzorem :
xy3 , gdy x2 y2 0
x2 y2
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
i obliczmy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji.
Dla punktu x, y takiego, \e x2 y2 0 ( czyli takiego, \e x, y `" 0, 0 ) mamy :
y3 x2 y2 - 2x xy3 y3 x2 y2 - 2x2 y3 y2 - x2
"f
x, y
"x
x2 y2 2 x2 y2 2 x2 y2 2
3xy2 x2 y2 - 2y xy3 xy2 3x2 3y2 - 2y2 xy2 3x2 y2
"f
x, y
"y
x2 y2 2 x2 y2 2 x2 y2 2
natomiast aby obliczyć pochodne cząstkowe w punkcie 0, 0 musimy wykorzystać
ich definicje :
h 03 - 0
"f f 0 h, 0 - f 0, 0 f h, 0 - f 0, 0
h2 02
0, 0 lim lim lim
h0
"x h h0 h h0 h
0 - 0
lim lim 0 0 ,
h0 h h0
0 h3 - 0
"f f 0, 0 h - f 0, 0 f 0, h - f 0, 0
02 h2
0, 0 lim lim lim
h0
"y h h0 h h0 h
0 - 0
lim lim 0 0 .
h0 h h0
W konsekwencji mamy :
y3 y2 - x2
, gdy x2 y2 0
"f
x, y x2 y2 2
"x
0 , gdy x2 y2 0
xy2 3x2 y2
, gdy x2 y2 0
"f
x, y x2 y2 2
"y
0 , gdy x2 y2 0
Obliczymy teraz pochodne mieszane rzędu drugiego tej funkcji w punkcie 0, 0 .
Zgodnie z wcześniejszymi definicjami, mamy :
"f "f "f "f
0 h, 0 - 0, 0 h, 0 - 0, 0
"2f "f "y "y "y "y
"
0, 0 0, 0 lim lim
h0
"x"y "x "y h h0 h
h 02 3h2 02
- 0
h2 02 2
0 - 0
lim lim lim 0 0
h0 h h0 h h0
"f "f "f "f
0, 0 h - 0, 0 0, h - 0, 0
"2f "f
" "x "x "x "x
0, 0 0, 0 lim lim
h0
"y"x "y "x h h0 h
h3 h2 - 02
- 0
02 h2 2
h - 0
lim lim lim 1 1
h0 h h0 h h0
i wobec tego :
"2f "2f
0, 0 0 `" 1 0, 0
"x"y "y"x
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 6
Aatwo mo\na sprawdzić ( co pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie ), \e dla
2
punktów zbioru " 0, 0 jest :
y2 6x2y2 - 3x4 y4
"2f "2f
x, y x, y
"x"y "y"x
x2 y2 3
i wobec tego :
y2 6x2y2 - 3x4 y4
, gdy x2 y2 0
"2f
x, y x2 y2 3
"x"y
0 , gdy x2 y2 0
y2 6x2y2 - 3x4 y4
, gdy x2 y2 0
"2f
x, y x2 y2 3
"y"x
1 , gdy x2 y2 0
Zauwa\my jeszcze, \e powy\sze pochodne cząstkowe nie są ciągłe w punkcie 0, 0
gdy\ nie istniejÄ… granice tych pochodnych w punkcie 0, 0 . To ostatnie wynika stÄ…d,
1
\e ich wartości na ciągu , 0 są równe 0 i dą\ą do liczby 0 , natomiast na
n
1
ciągu 0, są równe 1 i dą\ą do liczby 1 .
n
"f "f
Mo\na pokazać, \e zarówno funkcja f jak i pochodne cząstkowe i są
"x "y
2
funkcjami ciągłymi na zbiorze .
Istotne momenty dowodu tego faktu mo\na prześledzić poni\ej.
Dla bardziej dociekliwych :
Funkcje dwóch zmiennych określone wzorami :
xy3 , gdy x2 y2 0
x2 y2
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
y3 y2 - x2
, gdy x2 y2 0
g x, y x2 y2 2
0 , gdy x2 y2 0
xy2 3x2 y2
, gdy x2 y2 0
h x, y x2 y2 2
0 , gdy x2 y2 0
2 2
są ciągłe na zbiorze gdy\, co łatwo widać, są one ciągłe na zbiorze " 0, 0
a ponadto wobec znanych nierówności :
|a b| d" |a| |b| a2 d" a2 b2 b2 d" a2 b2
a,b" a,b" a,b"
oraz faktu, \e :
2
|a| - |b| e" 0 |a|2 - 2|a||b| |b|2 e" 0 a2 - 2|ab| b2 e" 0
a,b" a,b" a,b"
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 7
1
a2 b2 e" 2|ab| |ab| d" a2 b2
2
a,b" a,b"
otrzymujemy :
xy3 |xy|y2 y2 d" d" 1 x2 y2
|f x, y - f 0, 0 | |xy| |xy|
2
x2 y2 x2 y2 x2 y2
1
d x, y , 0, 0 2
2
y3 y2 - x2 y y4 - x2y2
|g x, y - g 0, 0 |
x2 y2 2 x2 y2 2
|y4 -x2y2 | |y4| |-x2y2|
y4 x2y2 y4 x2y2
|y| d" |y| |y| |y|
2
x2 y2 2 x2 y2 2 x2 y2 2 x2 y2 x2 y2 2
2
2
y2 2 xy
1 5 5 5
|y| d" 12 |y| |y| y2 d" x2 y2
2 4 4 4
x2 y2 x2 y2
5
d x, y , 0, 0
4
xy2 3x2 y2 x 3x2y2 y4
|h x, y - h 0, 0 |
x2 y2 2 x2 y2 2
2
3x2y2 y4 3x2y2 y4 xy y2 2 d"
|x| |x| 3 |x|
2
x2 y2 x2 y2
x2 y2 2 x2 y2 x2 y2 2
2
2
1 7 7 7 7
d" 3 1 |x| |x| x2 d" x2 y2 d x, y , 0, 0
2 4 4 4 4
Z powy\szych nierówności, po zastosowaniu np. definicji Cauchy ego ciągłości
funkcji, ju\ łatwo wynika ciągłość rozwa\anych funkcji w punkcie 0, 0 .
Definicja 4. PochodnÄ… czÄ…stkowÄ… rzÄ™du r ( r e" 2 ) funkcji f : A , A ‚" k
będziemy nazywać pochodną cząstkową rzędu pierwszego z pochodnej cząstkowej
rzędu r - 1 funkcji f ( oile ona istnieje ).
Uwaga : Symbole, jakich u\ywamy dla oznaczenia pochodnych czÄ…stkowych
wy\szych rzędów stanowią naturalne rozwinięcie symboli stosowanych dla
pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego i drugiego. W przypadku np. funkcji
dwóch zmiennych f x, y oznaczamy :
"2f "3f
"
pochodnÄ… symbolem , albo inaczej f 3 lub fxyy ,
xyy
"y "y"x
"y2"x
"3f "4f
"
pochodnÄ… symbolem lub odpowiednio f 4 , fxyyx ,
xyyx
"x
"y2"x "x"y2"x
"4f "5f
"
pochodnÄ… symbolem lub f 5 , fxyyxx .
xyyxx
"x
"x"y2"x "x2"y2"x
Definicja 5. PochodnÄ… czÄ…stkowÄ… rzÄ™du r , gdzie r e" 2 funkcji f : A , A ‚" k
określoną za pomocą ró\niczkowań względem co najmniej dwóch ró\nych
zmiennych nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu r .
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 8
Uogólnieniem twierdzenia Schwarza jest następujące twierdzenie :
k
Twierdzenie 2. Je\eli funkcja f : A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym, ma
pochodne cząstkowe mieszane rózniące się tylko kolejnością ró\niczkowania
względem zmiennych xi ( przy tej samej liczbie ró\niczkowań względem ka\dej
z tych zmiennych ) i jeśli te pochodne są ciągłe na zbiorze A , to są one w tym
zbiorze równe.
Wniosek 3. Je\eli pochodne cząstkowe są ciągłe na zbiorze otwartym, to ich
wartość nie zale\y od kolejności ró\niczkowania po poszczególnych zmiennych,
a jedynie od tego, ile razy po danej zmiennej miało miejsce ró\niczkowanie.
Przykład : W przypadku np. funkcji dwóch zmiennych f x, y oznacza to, \e przy
odpowiednich zało\eniach będzie :
"3f "3f "3f
"y"x"y
"y2"x "x"y2
"4f "4f "4f "4f "4f
"y"x"y"x "x"y"x"y
"y2"x2 "x"y2"x "x2"y2
itd.
Wprowadzimy teraz pewne oznaczenia, które bywają w pewnych sytuacjach bardzo
wygodne.
k
Definicja 6. KlasÄ… Cn A , gdzie A ‚" , n " ! , bÄ™dziemy nazywać zbiór
wszystkich funkcji f : A , mających na zbiorze A ciągłe pochodne cząstkowe
do rzędu n - tego włącznie.
Zapis f " Cn A czytamy : f nale\y do klasy ( lub : f jest klasy ) Cn na zbiorze A
.
Uwagi :
1. OczywiÅ›cie : Cn 1 A ‚" Cn A dla dowolnego n " !
2. Dla funkcji f z przykładu przedstawionego po twierdzeniu Schwarza mamy :
"2f "2f
2 2
f " C1 , ale f " C2 bo pochodne cząstkowe i nie są ciągłe
"y"x "x"y
w punkcie 0, 0 .
Pochodne kierunkowe.
Uogólnieniem przedstawionych powy\ej pojęć, czyli pochodnych cząstkowych, jest
pojęcie pochodnych kierunkowych.
k
Definicja 7. Niech bÄ™dzie dana funkcja f : A , gdzie A ‚" oraz niech
k
a " będzie ustalonym wektorem natomiast P0 " A ustalonym punktem.
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 9
d
2
Je\eli istnieje pochodna 0 ( dokładniej : 0 ) funkcji t f P0 t a ,
dt
gdzie D t " : P0 t a " A , to nazywamy jÄ… pochodnÄ… funkcji f
2
w punkcie P0 w kierunku wektora a i oznaczamy symbolem f P0 .
a
2 2
Funkcję f określoną na zbiorze B P " A : f P istnieje , która ka\demu
a a
2
punktowi P " B przyporzÄ…dkowuje liczbÄ™ f P nazywamy pochodnÄ… funkcji f
a
w kierunku wektora a ( lub : pochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f w kierunku a ).
W przypadku, gdy długość wektora a , tzn. | a | wynosi 1 będziemy zamiast słowa
" wektor " u\ywać tak\e słowa " wersor ".
Wnioski i uwagi :
f P0 h a - f P0
2
1. Bezpośrednio z definicji wynika, \e : f P0 lim
a
h0 h
i w szczególności pochodną funkcji f w punkcie P0 x1,0, x2,0, & , xk,0 w kierunku
wersora osi Oxi , czyli wektora ei 0, 0, & , 0, 1, 0, & , 0 jest pochodna czÄ…stkowa
funkcji f względem zmiennej xi w punkcie P0 , gdy\ mamy :
f P0 hei - f P0
fe2 P0 lim
i
h0 h
f x1,0, & , xi-1,0, xi,0, xi 1,0, & , xk,0 h 0, & , 0, 1, 0, & , 0 - f x1,0, & , xi,0, & , xk,0
lim
h0 h
f x1,0, & , xi-1,0, xi,0 h, xi 1,0, & , xk,0 - f x1,0, & , xi-1,0, xi,0, xi 1,0, & , xk,0 "f
lim P0
h0 h "xi
StÄ…d, oraz z interpretacji geometrycznej pochodnych czÄ…stkowych wynika
interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch zmiennych f x, , y
w punkcie x0, y0 w kierunku dowolnego wersora e .
2
f P0 tg
e
f P0 h 0 - f P0
2 2
2. Je\eli a 0 , to f P0 f P0 lim 0 .
a
0
h0 h
a
3. Je\eli w przypadku dowolnego wektora a `" 0 oznaczymy : e , to wektor
| a |
e jest wersorem mającym kierunek i zwrot wektora a , a ponadto jeśli istnieje jedna
2 2
z pochodnych kierunkowych f P0 lub f P0 , to istnieje tak\e druga oraz :
a e
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 10
h| a | t
f P0 h a - f P0 f P0 h| a | e - f P0
2
f P0 lim | a |lim
a
h0 h h0 h| a |
h 0 t 0
f P0 t e - f P0
2
| a |lim | a |f P0
e
t
t0
Uwaga : W starszych podręcznikach określa się pochodną kierunkową jako
pochodną w kierunku wersora, czyli zakłada się, \e wektor w kierunku którego jest
określana pochodna kierunkowa ma długość 1 . Powy\sza zale\nośc pokazuje
związak między tymi pojęciami.
4. Pochodna kierunkowa jest jednorodna względem wektora a , tzn jeśli istnieje
2
skończona pochodna kierunkowa f P0 , to dla dowolnej liczby " jest :
a
2
f 2 a P0 f P0 .
a
k
Definicja 7. Niech bÄ™dzie dana funkcja f : A , A ‚" oraz niech P0 " A .
"f
Je\eli istnieją skończone pochodne cząstkowe P0 , i 1, 2, & , k , to wektor
"xi
"f "f
grad f P0 df "f P0 , P0 , & , P0
"x1 "x2 "xk
nazywamy gradientem funkcji f w punkcie P0 .
Funkcję grad f określoną na zbiorze B P " A : grad f P istnieje , która
ka\demu punktowi P " B przyporzÄ…dkowuje liczbÄ™ grad f P nazywamy
gradientem funkcji f .
k
Twierdzenie 3. Je\eli funkcja f : A , A ‚" ma w pewnym otoczeniu punktu
P0 " Int A pochodne cząstkowe rzędu pierwszego które są ciągłe w punkcie P0 , to
istnieje w P0 pochodna kierunkowa w kierunku ka\dego wektora a a1, a2, & , ak
i zachodzi równość :
"f "f "f
2
f P0 grad f P0 " a P0 a1 P0 a2 & P0 ak
a
"x1 "x2 "xk
Wnioski i uwagi :
1. Wzór z powy\szego twierdzenia pozwala na stosunkowo szybkie obliczanie
pochodnych kierunkowych funkcji klasy C1 określonych na zbiorach otwartych.
Zało\enie występujące w tym twierdzeniu i dotyczące ciągłości pochodnych
cząstkowych rzędu pierwszego jest zało\eniem bardzo wa\nym, co uzasadnimy
w jednym z poni\szych przykładów.
k
2. Załó\my, \e f " C1 A , A ‚" jest zbiorem otwartym oraz, \e P0 " A . Wtedy,
wykorzystując powy\sze twierdzenie oraz własności iloczynu skalarnego, mamy :
2
f P0 grad f P0 " a |grad f P0 || a |cos "" grad f P0 , a
a
a stąd, w szczególności, dla dowolnego wersora e , czyli wektora o długości
| e | 1 , otrzymujemy :
2
f P0 |grad f P0 |cos "" grad f P0 , e .
e
UstalajÄ…c teraz punkt P0 i traktujÄ…c powy\sze wyra\enie jako funkcjÄ™ tylko wersora
e widzimy, \e funkcja ta będzie przyjmować wartość największą tylko wtedy, gdy
liczba cos "" grad f P0 , e będzie największa ( "" grad f P0 , e " 0, ). To
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 11
oczywiście będzie miało miejsce tylko wtedy, gdy będzie cos "" grad f P0 , e 1,
1
a to z kolei oznacza, \e "" grad f P0 , e 0 czyli, \e e grad f P0
|grad f P0 |
o ile tylko |grad f P0 | `" 0 .
2
W konsekwencji, je\eli wektor grad f P0 `" 0 , to pochodna kierunkowa f P0
e
w kierunku wersora e posiada wartość największą wtedy, gdy wersorem tym jest
wersor wyznaczony przez wektor grad f P0 a poniewa\ pochodna jest miarÄ…
zmienności funkcji, zatem wektor grad f P0 wskazuje kierunek najszybszego
wzrostu funkcji f w punkcie P0 , natomiast jego długość |grad f P0 | tempo tego
wzrostu. IlustrujÄ… to poni\sze rysunki.
z f x, y "f "f
grad f x, y x, y , x, y
"x "y
Przykłady :
1. Niech :
f x, y x2 xy2 y4 y2
Wtedy mamy :
"f "f
x, y 2x y2 , x, y 2xy 4y3 2y
"x "y
i wobec tego
grad f x, y x y2, 2xy 4y3 2y
"f "f
Poniewa\, co łatwo widać, pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i są
"x "y
2 2
ciągłe na , zatem f " C1 . Ponadto, na mocy ostatniego twierdzenia, dla
dowolnego wektora a ax, ay mamy :
"f "f
2
f x, y grad f x, y " a x, y ax x, y ay 2x y2 ax 2xy 4y3 2y ay
a
"x "y
czyli
f 2 x, y 2x y2 ax 2xy 4y3 2y ay .
ax,ay
StÄ…d dla konkretnego punktu np. P0 2, 1 jest :
"f "f
2, 1 5 , 2, 1 10 , grad f 2, 1 5, 10 oraz f 2 2, 1 5ax 10ay .
ax,ay
"x "y
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 12
2. Niech :
f x, y xye- x2 2y2
Wtedy mamy :
"f
x, y ye- x2 2y2 - 2x2ye- x2 2y2 1 - 2x2 ye- x2 2y2
"x
"f
x, y xe- x2 2y2 - 4xy2e- x2 2y2 x 1 - 4y2 e- x2 2y2
"y
i wobec tego
grad f x, y 1 - 2x2 ye- x2 2y2 , x 1 - 4y2 e- x2 2y2 e- x2 2y2 1 - 2x2 y, x 1 - 4y2
2
Widać, \e f " C1 , a ponadto, na mocy ostatniego twierdzenia dla dowolnego
wektora a ax, ay mamy :
f 2 x, y e- x2 2y2 1 - 2x2 yax x 1 - 4y2 ay .
ax,ay
3. Niech :
x3 , gdy x2 y2 0
x2 y2
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
2
Zauwa\my, \e funkcja ta jest ciągła na zbiorze " 0, 0 oraz wobec nierówności
x3 x2 |x| d" |x| x2 d" x2 y2 d x, y , 0, 0
|f x, y - f 0, 0 |
x2 y2 x2 y2
jest tak\e ciągła w punkcie 0, 0 .
Znajdzmy teraz pochodne czÄ…stkowe tej funkcji.
2
Otó\ dla punktów x, y " " 0, 0 mamy :
3x2 x2 y2 - 2x x3 x2 x2 3y2
"f
x, y
"x
x2 y2 2 x2 y2 2
0 x2 y2 - 2y x3 -2x3y
"f
x, y
"y
x2 y2 2 x2 y2 2
natomiast w punkcie P0 0, 0 jest :
h3 - 0
"f f h, 0 - f 0, 0
h2 02 lim h - 0
0, 0 lim lim 1
h0
"x h h0 h h0 h
03 - 0
"f f 0, h - f 0, 0
02 h2 lim 0 - 0
0, 0 lim lim 0
h0
"y h h0 h h0 h
i w konsekwencji :
x2 x2 3y2
, gdy x2 y2 0
"f
x, y x2 y2 2
"x
1 , gdy x2 y2 0
-2x3y
, gdy x2 y2 0
"f
x2 y2 2
x, y
"y
0 , gdy x2 y2 0
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 13
Zauwa\my teraz, \e powy\sze pochodne cząstkowe nie są ciągłe w punkcie
P0 0, 0 gdy\ mamy ( porównaj z definicją Heinego ciągłości funkcji ) :
2
1
02 02 3
n
"f "f
1 1
0, 0, 0 oraz 0, 0 0 `" 1 0, 0
n n 2
2
"x "x
1
02
n
i podobnie :
3 4
1 1 1
-2 -2
"f n n n
1 1 1 1
, 0, 0 oraz ,
n n n n 2 2
2 2 2
"y
1 1 1
2
n n n
4
1
-2
n "f
-1 -1
`" 0 0, 0 .
4
2 2 "y
1
4
n
2 2
A zatem f " C1 ale, jak widać f " C1 " 0, 0 .
Dalej mamy :
x2 x2 3y2 -2x3y
, , gdy x2 y2 0
2
grad f x, y
x2 y2 x2 y2 2
1, 0
, gdy x2 y2 0
2
i na mocy ostatniego twierdzenia, dla punktów x, y " " 0, 0 pochodna
w kierunku dowolnego wektora a ax, ay wyra\a siÄ™ wzorem :
x2 x2 3y2
-2x3y
f 2 x, y ax ay .
ax,ay
x2 y2 2 x2 y2 2
Oczywiście twierdzenia tego nie mo\emy zastosować w przypadku punktu
P0 0, 0 , dlatego pochodną kierunkową w tym punkcie spróbujemy obliczyć
w oparciu o jej definicję. Otó\ dla dowolnego, niezerowego wektora a ax, ay
jest :
f 0, 0 h ax, ay - f 0, 0 f hax, hay - f 0, 0
f 2 0, 0 lim lim
ax,ay
h0 h h0 h
hax 3 - 0
ha3
x
2
a2 a2
hax hay 2
x y a3 a3
x x
lim lim lim
h0 h h0 h h0
a2 a2 a2 a2
x y x y
2
i w konsekwencji ( zawsze jest f x, y 0 ) :
0
x2 x2 3y2
-2x3y
ax ay , gdy x2 y2 0
x2 y2 2 x2 y2 2
f 2 x, y
ax,ay
a3
x
, gdy x2 y2 0
a2 a2
x y
2
gdzie a ax, ay jest dowolnym wektorem w .
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 14
Zauwa\my jeszcze, \e w punkcie P0 0, 0 jest :
a3 , natomiast a " grad f 0, 0 ax, ay " 1, 0 ax
x
f 2 0, 0
ax,ay
a2 a2
x y
i np. dla wektora a ax, ay 1, 1 otrzymamy :
2
1
f 0, 0 f 2 0, 0 , natomiast a " grad f 0, 0 1, 1 " 1, 0 1
a 1,1
2
czyli \e nie zachodzi wzór z tezy ostatniego twierdzenia ( nawet mimo ciągłości
funkcji f ).
4. Niech :
xy2 , gdy x2 y2 0
x2 y4
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
Przeprowadzimy podobne obliczenia jak w poprzednim przykładzie.
2
Dla punktów x, y " " 0, 0 mamy :
y2 x2 y4 - 2x xy2 -y2 x2 - y4
"f
x, y
"x
x2 y4 2 x2 y4 2
2xy x2 y4 - 4y3 xy2 2xy x2 - y4
"f
x, y
"y
x2 y4
x2 y4 2
natomiast w punkcie P0 0, 0 jest :
h 02 - 0
"f f h, 0 - f 0, 0
h2 04 lim 0 - 0
0, 0 lim lim 0
h0
"x h h0 h h0 h
0 h2 - 0
"f f 0, h - f 0, 0
02 h4 lim 0 - 0
0, 0 lim lim 0
h0
"y h h0 h h0 h
i w konsekwencji :
-y2 x2 - y4
, gdy x2 y2 0
"f
x, y x2 y4 2
"x
0 , gdy x2 y2 0
2xy x2 - y4
, gdy x2 y2 0
"f
x, y x2 y4 2
"y
0 , gdy x2 y2 0
"f "f
Wszystkie te trzy funkcje : f , oraz nie są ciągłe w punkcie P0 0, 0 ,
"x "y
gdy\ mamy :
1
1 1 1 1 n4 1 1
, 0, 0 , oraz f , `" 0 f 0, 0
n2 n n2 n 1 1 2 2
n4 n4
2 2 4
1 1 1
- -
n n n
"f
1 1 1 1
, 0, 0 , oraz ,
n n n n 2
2 4
"x
1 1
n n
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 15
-1 1 1
-1
n4 n6 n2 -1 `" 0 "f 0, 0
1 2 1 2 1 "x
1
n4 n6 n8 n2 n4
2 4
1 1 1 1
2 -
n n n n
"f
1 1 1 1
, 0, 0 , oraz ,
n n n n 2
2 4
"y
1 1
n n
1 1 1
2 - 2 1 -
n4 n6 n2 2 `" 0 "f 0, 0
1 2 1 2 1 "y
1
n4 n6 n8 n2 n4
Dalej jest :
-y2 x2 - y4 2xy x2 - y4
, , gdy x2 y2 0
2
grad f x, y
x2 y4 x2 y4 2
0, 0
, gdy x2 y2 0
oraz dla dowolnego wektora a ax, ay `" 0, 0 0 mamy :
f 0, 0 h ax, ay - f 0, 0 f hax, hay - f 0, 0
2
f 0, 0 lim lim
a
h0 h h0 h
hax hay 2
- 0
2
h3axa2 axa2
hax hay 4
y y
lim lim lim
h0 h h0 h0
h h2a2 h4a4 a2 h2a4
x y x y
axa2
y a2
y
, gdy ax `" 0
ax , gdy ax `" 0
a2
x
0 , gdy ax 0
0 , gdy ax 0
a zatem :
-y2 x2 - y4 2xy x2 - y4
ax ay , gdy x2 y2 0
x2 y4 2 x2 y4 2
2
f x, y
a
a2
y
, gdy x2 y2 0 i ax `" 0
ax
0 , gdy x2 y2 0 i ax 0
2 2
gdzie x, y " oraz a ax, ay jest dowolnym wektorem w .
2
Zauwa\my jeszcze, \e jakkolwiek pochodna kierunkowa f P0 zawsze jest
a
jednorodna ze względu na wektor a , to nie zawsze musi być ona addytywna,
tzn. nie zawsze musi zachodzić równość :
2 2 2
f P0 f P0 f P0 .
a
a b b
W rozwa\any przypadku mamy bowiem :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 16
fe2 0, 0 f 2 0, 0 0 , fe2 0, 0 f 2 0, 0 0 oraz fe2 e2 0, 0 f 2 0, 0 1
1,0 0,1 1,1
1 2 1
czyli : fe2 e2 0, 0 1 `" 0 fe2 0, 0 fe2 0, 0 .
1 1 2
5. Niech :
xy3 , gdy x2 y2 0
x2 y6
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
Funkcja ta nie jest ciągła w punkcie P0 0, 0 , gdy\ mamy :
1
1 1 1 1 n6 1 1
, 0, 0 ,oraz f , `" 0 f 0, 0
n3 n n3 n 1 1 2 2
n6 n6
natomiast ma ona w tym punkcie pochodnÄ… kierunkowÄ… w dowolnym kierunku,
gdy\ dla dowolnego wektora a ax, ay `" 0, 0 0 mamy :
f 0, 0 h ax, ay - f 0, 0 f hax, hay - f 0, 0
2
f 0, 0 lim lim
a
h0 h h0 h
hax hay 3
- 0
2
h4axa2 haxa2
hax hay 6
y y
lim lim lim 0 .
h0 h h0 h0
h h2a2 h6a6 a2 h4a6
x y x y
Widać te\, \e pochodna ta jest addytywna względem wektora a , gdy\ dla
2
dowolnych wektorów a , b " jest :
2 2 2
f P0 0 f P0 f P0 .
a
a b b
3
6. Dla funkcji f x, y, z xy2z3 oraz dla dowolnego punktu x, y, z " mamy :
"f "f "f
x, y, z y2z3 , x, y, z 2xyz3 , x, y, z 3xy2z2
"x "y "z
grad f x, y, z y2z3, 2xyz3, 3xy2z2
2
f x, y, z y2z3ax 2xyz3ay 3xy2z2az , gdzie a ax, ay, az `" 0, 0, 0 0
a
i w szczególności np. dla punktu P0 3, 1, 2 , jest :
"f "f "f
3, 1, 2 8 , 3, 1, 2 48 , 3, 1, 2 36
"x "y "z
grad f 3, 1, 2 8, 48, 36
2
f 3, 1, 2 8ax 48ay 36az , gdzie a ax, ay, az `" 0, 0, 0 0
a
skąd, między innymi :
fe2 3, 1, 2 8 , f 2 3, 1, 2 48 - 36 12 , f 2 3, 1, 2 16 - 48 36 4
0,1,-1 2,-1,2
1
k
7. Dla f x1, x2, & , xk x2 x2 & x2 oraz dowolnego x1, x2, & , xk " jest
1 2 k
"f
"
x1, x2, & , xk x2 x2 & x2 2xi dla i 1, 2, & , k
"xi "xi 1 2 k
grad f x1, x2, & , xk 2x1, 2x2, & , 2xk 2 x1, x2, & , xk
2
f x1, x2, & , xk 2x1a1 2x2a2 & 2xkak 2 x1a1 x2a2 & xkak ,
a
gdzie a a1, a2, & , ak
StÄ…d np. otrzymujemy :
2
f 1, 1, & , 1 2a1 2a2 & 2ak 2 a1 a2 & ak
a
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 17
Ró\niczkowalność.
Jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących pochodnej funkcji jednej zmiennej
mówi, \e je\eli funkcja ma w jakimś punkcie skończoną pochodną ( jest w nim
ró\niczkowalna ), to jest ona w tym punkcie ciągła. W przypadku funkcji wielu
zmiennych nawet istnienie w jakimś punkcie skończonej pochodnej kierunkowej
w ka\dym kierunku ( a zatem tak\e istnienie skończonych pochodnych
cząstkowych ) a nawet jej addytywność nie gwaranują ciągłości funkcji w tym
punkcie, co pokazuje jeden z powy\szych przykładów ( przykład 5 ).
W związku z tym, określimy teraz pewne pojęcia, które pozwolą nam na stosunkowo
proste sformułowanie tego typu twierdzenia.
k
Definicja 8. Mówimy, \e funkcja f : A , gdzie A ‚" jest ró\niczkowalna
w punkcie P0 " Int A , je\eli ma ona w tym punkcie skończone pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu oraz
f P0 h - f P0 - grad f P0 " h
lim 0 .
h 0
h
Wektor grad f P0 nazywamy wtedy pochodnÄ… funkcji f w punkcie P0
2
i oznaczamy go symbolem f P0 , natomiast funkcjÄ™ grad f P0 " h zmiennej
h nazywamy ró\niczką ( zupełną ) funkcji f w punkcie P0 i oznaczamy ją
symbolem df P0, h lub df P0 lub krótko przez df .
A zatem :
"f "f "f
2
f P0 grad f P0 P0 , P0 , & , P0
"x1 "x2 "xk
oraz przyjmujÄ…c, \e h h1, h2, & , hk , mamy :
"f "f "f
df P0, h grad f P0 " h P0 h1 P0 hz & P0 hk .
"x1 "x2 "xk
Je\eli zbiór B ‚" A tych punktów, w których funkcja f jest ró\niczkowalna jest
2 k
niepusty, to funkcję f : B , która ka\demu P " B przyporządkowuje wektor
2 2
f P nazywamy pochodnÄ… funkcji f , natomiast wyra\enie df P, h f P " h
ró\niczką ( lub : ró\niczką zupełną ) funkcji f .
"f
Wyra\enia dfx P P hi , i 1, 2, & , k są nazywane niekiedy ró\niczkami
i
"xi
czÄ…stkowymi.
Wnioski i uwagi :
k
1. Je\eli funkcja f : A , gdzie A ‚" jest ró\niczkowalna w punkcie P0 " Int A
to biorÄ…c otoczenie U punktu P0 takie, \e U ‚" A oraz oznaczajÄ…c przez r funkcjÄ™
k
określoną dla ka\dego wektora h " takiego, \e P0 h " U wzorem :
r h f P0 h - f P0 - grad f P0 " h otrzymamy :
r h
f P0 h f P0 grad f P0 " h r h oraz lim 0 .
h 0
h
Wynika stąd, \e dla wektorów h le\ących blisko wektora zerowego 0 ( czyli
punktów postaci P0 h " U le\ących blisko punktu P0 ) jest wtedy :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 18
f P0 h H" f P0 grad f P0 " h .
Je\eli zatem oznaczymy teraz takie wektory h o stosunkowo małej długości h
przez dP dx1, dx2, & , dxk , to otrzymamy :
f P0 dP H" f P0 df P0, dP ,gdzie
"f "f "f
df P0, dP P0 dx1 P0 dxz & P0 dxk
"x1 "x2 "xk
Powy\sze wzory mo\na te\ zapisać w postaci :
"f "f "f
f P0 dx1, dx2, & , dxk H" f P0 P0 dx1 P0 dxz & P0 dxk
"x1 "x2 "xk
albo, gdy P0 x1,0, x2,0, & , xk,0 , w postaci:
f x1,0 dx1, x2,0 dx2, & , xk,0 dxk H" f x1,0, x2,0, & , xk,0
"f "f "f
x1,0, x2,0, & , xk,0 dx1 x1,0, x2,0, & , xk,0 dxz & x1,0, x2,0, & , xk,0 dxk
"x1 "x2 "xk
2
2. Je\eli funkcja dwóch zmiennych f : A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym
jest ciągła w pewnym punkcie P0 x0, y0 oraz z0 f x0, y0 , to płaszczyznę
3
przechodzącą przez punkt x0, y0, z0 " o równaniu : z z0 A x - x0 B y - y0
( czyli postaci : A x - x0 B y - y0 - z - z0 0 ) nazywamy płaszczyzną styczną
do wykresu tej funkcji w punkcie x0, y0, z0 , jezeli
f x, y - z0 A x - x0 B y - y0
lim,y 0 .
x,y x0 0 2
x - x0 y - y0 2
Stąd wynika, \e je\eli funkcja f jest ró\niczkowalna w punkcie P0 x0, y0 , to
płaszczyzna o równaniu :
"f "f
z f x0, y0 x0, y0 x - x0 x0, y0 y - y0
"x "y
jest płaszczyzną styczną do wykresu tej funkcji w punkcie x0, y0, f x0, y0 , gdy\
wtedy zgodnie z definicją funkcji ró\niczkowalnej w punkcie x0, y0 mamy :
"f "f
f x, y - f x0, y0 x0, y0 x - x0 x0, y0 y - y0
"x "y
lim,y
x,y x0 0 2
x - x0 y - y0 2
x x0 hx
y y0 hy
"f "f
f x0 hx, y0 hy - f x0, y0 - x0, y0 hx - x0, y0 hy
"x "y
lim
hx,hy 0,0
h2 h2
x y
"f "f
f x0, y0 hx, hy - f x0, y0 - x0, y0 , x0, y0 " hx, hy
"x "y
lim 0 .
hx,hy 0,0
h2 h2
x y
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 19
"f "f
z f x0, y0 x0, y0 x - x0 x0, y0 y - y0
"x "y
StÄ…d wynika interpretacja geometryczna wzoru przybli\ajÄ…cego w pobli\u punktu
P0 x0, y0 wartość funkcji f przy pomocy funkcji liniowej, którego ró\ne warianty
przedstawiamy poni\ej :
"f "f
f x, y H" f x0, y0 x0, y0 x - x0 x0, y0 y - y0
"x "y
"f "f
f x0 hx, y0 hy H" f x0, y0 x0, y0 hx x0, y0 hy
"x "y
"f "f
f x0 dx, y0 dy H" f x0, y0 x0, y0 dx x0, y0 dy
"x "y
przy czym w ostatnim z nich zawarta jest informacja, od których wartości wymaga się
aby były one bliskie wartości zerowej ( dx , dy ).
Mówią one, mianowicie o tym, \e wartość funkcji w punkcie le\ącym blisko punktu
P0 x0, y0 jest w przybli\eniu równa wartości jaka jest przyjmowana w tym punkcie
przez płaszczyznę styczną poprowadzoną do wykresu tej funkcji w punkcie P0 .
k
Twierdzenie 4. Je\eli funkcja f : A , A ‚" jest ró\niczkowalna w pewnym
punkcie, to jest w tym punkcie ciągła i ma pochodną kierunkową w ka\dym kierunku.
k
Twierdzenie 5. Je\eli funkcja f : A , A ‚" ma w pewnym otoczeniu punktu
P0 " Int A pochodne cząstkowe rzędu pierwszego które są ciągłe w punkcie P0 , to
jest ona ró\niczkowalna w punkcie P0 .
k
Wniosek 4. Ka\da funkcja f " C1 A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym jest
ró\niczkowalna na A .
k
Wniosek 5. Je\eli A ‚" jest zbiorem otwartym, to C1 A ‚" C A , gdzie klasa
C A ( oznaczana te\ przez C0 A ) oznacza zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych
określonych i ciągłych na zbiorze A .
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 20
k
Twierdzenie 6. Je\eli funkcje f : A i g : A , A ‚" sÄ… ró\niczkowalne
w pewnym punkcie P " Int A oraz c " , to funkcje cf , f g oraz f g te\ sÄ… te\
ró\niczkowalne w tym punkcie, a ponadto zachodzą wzory :
2 2
2
10 f g P f P g P f P g2 P
2 2
2
20 cf P cf P cf P
2 2
2
30 f g P f P g P f P g P f P g2 P
f
Je\eli ponadto g P `" 0 , to funkcja jest te\ ró\niczkowalna w punkcie P oraz
g
2
2
2
f f P f P g P - g2 P f P
40 g P
g P
g P 2
k
Wniosek 5. Je\eli funkcje f : A i g : A , gdzie A ‚" jest zbiorem
otwartym, sÄ… klasy C1 na zbiorze A oraz c " , to funkcje cf , f g oraz f g
f
sÄ… te\ klasy C1 na zbiorze A . Je\eli ponadto g P `" 0 dla P " A , to funkcja
g
jest te\ klasy C1 na A .
Przykłady :
1. Obliczyć ró\niczkę zupełną funkcji f x, y x2 yx w punkcie P0 2, -1 .
Rozw.:
2 2
Poniewa\ f " C1 zatem jest ona ró\niczkowalna w ka\dym punkcie zbioru .
"f "f
Dalej mamy : x, y 2x y oraz x, y x , a zatem
"x "y
"f "f
2, -1 3 oraz 2, -1 2 i wobec tego :
"x "y
df 2, -1 , dx, dy 3dx 2dy
co piszemy krótko : df 2, -1 3dx 2dy
albo jeszcze krócej : df 3dx 2dy
2. Korzystając z wzoru f P0 dP H" f P0 df P0, dP obliczyć przybli\oną wartość
wyra\enia : xy gdy x 2, 1 i y 8, 05 .
Rozw.:
W rozwa\anym tutaj przypadku chodzi o wzór :
"f "f
f x0 dx, y0 dy H" f x0, y0 x0, y0 dx x0, y0 dy
"x "y
w którym nale\y przyjąć f x, y xy , x0 2 , y0 8 , dx 0, 1 oraz dy 0, 05 .
"f y "f
x
Poniewa\ x, y , x, y , zatem funkcja f jest klasy C1 na
"x 2 xy "y 2 xy
zbiorze otwartym x, y : x 0 '" y 0 i wobec tego jest ró\niczkowalna w ka\dym
punkcie tego zbioru, a w szczególności w punkcie P0 2, 8 .
"f "f
8 2 1
Wobec tego, dalej jest : 2, 8 1 , 2, 8 0, 25
"x "y 4
2 2 8 2 2 8
skÄ…d dostajemy :
2, 1 8, 05 2 0, 1 8 0, 05 H" 2 8 1 0, 1 0, 25 0, 05
4 0, 1 0, 012 5 4, 1125
Dla porównania, przy wykorzystaniu kalkulatora otrzymujemy tutaj :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 21
2, 1 8, 05 4, 1115690435647557054389772280876
3. Niech :
xy3 , gdy x2 y2 0
x2 y6
f x, y
0 , gdy x2 y2 0
Funkcja ta była ju\ rozwa\ana w jednym z wcześniejszych przykładów (przykład 5.)
gdzie pokazaliśmy, \e ma ona w punkcie P0 0, 0 pochodną kierunkową
2
w dowolnym kierunku, oraz \e : f 0, 0 0 . StÄ…d, wobec tego mamy :
a
"f "f
0, 0 fe2 0, 0 0 , 0, 0 fe2 0, 0 0 oraz f 0, 0 0
1 2
"x "y
co, po wstawieniu do wzoru na płaszczyznę styczną do wykresu tej funkcji w punkcie
P0 0, 0 daje : z 0 .
Niemniej jednak, nie jest to płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f w punkcie
P0 0, 0 gdy\ mamy :
f x, y - 0 f x, y xy3
lim0,0 lim0,0 lim0,0
x,y
x2 y2 x,y x2 y2 x,y x2 y6 x2 y2
xy3
a ta granica nie istnieje. OznaczajÄ…c bowiem przez g x, y
x2 y6 x2 y2
wyra\enie występujące pod znakiem powy\szej granicy, mamy :
1 1
, 0, 0
n3 n2
3
1 1 1
1 1 n3 n2 n9
g ,
2 6 2 2
n3 n2
1 1 1 1
1 1 1 1
n6 n12 n6 n4
n3 n2 n3 n2
1 1
1
n9 n9 n
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
n6 n12 n2 n2 n8 n14 n2 n6 n2
oraz :
1 1
, 0, 0
n2 n
3
1 1 1
1 1 n2 n n5
g ,
2 2
n2 n
6 2
1 1 1 1
1 1 1 1
n n n4 n6 n4 n2
n2 n2
1 1
n5 n5 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
n4 n6 n n2 n5 n7 n2 n2 n2
Jak się mo\na spodziewać, powy\szy fakt jest spowodowany tym, ze funkcja f
nie jest ró\niczkowalna w punkcie P0 0, 0 .
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 22
Poniewa\ pochodne wy\szych rzędów funkcji wielu zmiennych są kłopotliwe
w zapisie ( między innymi macierze wielowymiarowe ), zatem dalej ograniczymy
się jedynie do określenia ró\niczek wy\szych rzędów takich funkcji.
k
Je\eli funkcja f : A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym, jest klasy C2 A ,
to przy ustalonych wartościach ró\niczek dx1, dx2, & , dxk , ró\niczka tej funkcji
k
"f
df P " P dxi jest pewną funkcją klasy C1 A zmiennej P , a więc jest
"xi
i 1
funkcją ró\niczkowalną na zbiorze A . Ró\niczkę zupełną tej funkcji nazywamy
ró\niczką zupełną rzędu drugiego funkcji f i oznaczamy symbolem d2f P, dP
lub d2f P lub krótko d2f . A zatem : d2f d df , skąd otrzymujemy :
k k k
"f "f
"
d2f P d " P dxi " " P dxi dxj
"xi "xj "xi
i 1 j 1 i 1
k k k k
"f "2f
"
" " P dxi dxj " " P dxi dxj
"xj "xi "xj"xi
j 1 i 1 j 1 i 1
k k k
"2f "2f
" " P dxidxj " P dxidxj
"xj"xi "xi"xj
j 1 i 1 i,j 1
Podobnie określamy ró\niczkę zupełną trzeciego i wy\szych rzędów.
k
Definicja 9. Je\eli funkcja f : A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym, jest
klasy Cn A , to ró\niczkę zupełną funkcji dn-1f : A nazywamy ró\niczką
zupełną rzędu n - tego funkcji f i oznaczamy symbolem dnf P, dP lub dnf P
lub krótko dnf . Krótko :
dnf d dn-1f , n 2, 3, 4, &
Przykłady :
2
1. W przypadku funkcji dwuch zmiennych f " C2 A , gdzie A ‚" jest zbiorem
otwartym mamy :
"f "f
df x, y x, y dx x, y dy
"x "y
i wobec tego
"f "f
d2f x, y d df x, y d x, y dx x, y dy
"x "y
"f "f "f "f
" "
x, y dx x, y dy dx x, y dx x, y dy dy
"x "x "y "y "x "y
"2f "2f "2f "2f
x, y dxdx x, y dydx x, y dxdy x, y dydy
"x"x "x"y "y"x "y"y
skąd, po uwzględnieniu równości pochodnych cząstkowych mieszanych oraz
2 2
stosujÄ…c umowÄ™ zapisu : dx2 ozn dx i dy2 ozn dy otrzymujemy :
"2f "2f "2f
d2f x, y x, y dx2 2 x, y dxdy x, y dy2
"x"y
"x2 "y2
2
Je\eli funkcja f " C3 A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym, to postÄ™pujÄ…c
w podobny sposób, oraz przy podobnej umowie, otrzymamy :
"3f "3f "3f "3f
d3f x, y x, y dx3 3 x, y dx2dy 3 x, y dxdy2 x, y dy3
"x3 "x2"y "x"y2 "y3
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 23
itd.
Widać, \e powy\sze wzory przypominają trochę wzór dwumienny Newtona, dlatego
czasami na opis ró\niczki zupełnej rzędu n stosowany jest te\ symboliczny zapis :
n
" "
dnf dx dy f
"x "y
którego sens pozostawiamy domyślności czytelnika.
2. Niech f x, y x4y y4 x2y2 . Oczywiście funkcja ta ma pochodne cząstkowe
2
dowolnego rzędu i wszystkie one są ciągłe na całej płaszczyznie ( co zapisujemy
2
symbolicznie : f " C ), oraz mamy :
"f "f
x, y 4x3y 2xy2 , x, y x4 4y3 2x2y
"x "y
"2f "2f "2f
x, y 12x2y 2y2 , x, y 4x3 4xy , x, y 12y2 2x2
"x"y
"x2 "y2
"3f "3f "3f "3f
x, y 24xy , x, y 12x2 4y , x, y 4x , x, y 24y
"x3 "x2"y "x"y2 "y3
StÄ…d wynika, \e :
df x, y 4x3y 2xy2 dx x4 4y3 2x2y dy
d2f x, y 12x2y 2y2 dx2 2 4x3 4xy dxdy 12y2 2x2 dy2
d3f x, y 24xydx3 3 12x2 4y dx2dy 12xdxdy2 24ydy3
i ró\niczki te np. w punkcie P0 1, 2 przyjmują postać :
df 16dx 37dy
d2f 32dx2 24dxdy 50dy2
d3f 48dx3 60dx2dy 12dxdy2 48dy3
k
Twierdzenie 7.(wzór Taylora) Je\eli f : A , A ‚" jest funkcjÄ… klasy Cn
w pewnym otoczeniu U ‚" A punktu P0 " Int A oraz P0 dP " U , to istnieje taka
liczba " 0, 1 , \e
1 1 1
f P0 dP f P0 df P0, dP d2f P0, dP d3f P0, dP &
1! 2! 3!
1 1
& dn-1f P0, dP dnf P0 dP, dP
n!
n - 1 !
1
przy czym ostatni składnik powy\szej sumy Rn dnf P0 dP, dP nazywamy
n!
n - tÄ… resztÄ… wzoru Taylora.
Przykład : Dla funkcji f x, y x2 y2 , punktu P0 3, 4 , n 3 mamy :
"f "f y
x
x, y , x, y
"x
x2 y2 "y x2 y2
"2f y2 , "2f - xy "2f
x2
x, y x, y , x, y
3 3 3
"x"y
"x2 "y2
2 2 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2
skÄ…d :
"f "f
3 4
f 3, 4 5 , 3, 4 , 3, 4 ,
5 5
"x "y
"2f "2f "2f
- 12
16 9
3, 4 , 3, 4 , 3, 4
125 "x"y 125 125
"x2 "y2
i wobec tego wzór Taylora ma tutaj postać :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 24
2 2 12
3 4 1 16 9
3 dx 4 dy 5 dx dy dx2 - dxdy dy2 R3
5 5 2 125 125 125
lub przy innych, bardziej tutaj naturalnych, oznaczeniach :
2 2 12
3 4 1 16 9
3 hx 4 hy 5 hx hy h2 - hxhy h2 R3
x y
5 5 2 125 125 125
Wzory tego typu mogą tak\e słu\yć do obliczania przybli\onych wartości pewnych
wyra\eń. Dla przykładu, wykorzystując powy\szy wzór, mamy :
2 2 2 2
3, 1 4, 2 3 0, 1 4 0, 2 H"
2 2
12
3 1 4 2 1 16 1 1 2 9 2
H" 5 -
5 10 5 10 2 125 10 125 10 10 125 10
16 316
5, 22112
3125
Wybrane informacje dotyczące odwzorowań.
m
Niech będzie dane odwzorowanie (przekształcenie, transformacja ) F : A ,
k
gdzie A ‚" . Wtedy F : x1, x2, & , xk y1, y2, & , ym jest postaci :
y1 f1 x1, x2, & , xk
y2 f2 x1, x2, & , xk
ym fm x1, x2, & , xk
Mówimy, \e F " Cn A je\eli fi " Cn A .
i" 1,2,& ,m
k
Je\eji F " Cn A , gdzie A ‚" jest zbiorem otwartym, to pochodnÄ… ( macierzÄ…
Jacobiego ) odwzorowania F w punkcie P x1, x2, & , xk będziemy nazywać
macierz :
"f1 P "f1 P & "f1 P
"x1 "x2 "xk
"f2 P "f2 P & "f2 P
2
"x1 "x2 "xk
F P
"fm P "fm P & "fm P
"x1 "x2 "xk
2
Je\eli m k ( tzn. gdy macierz ta jest kwadratowa ), to det F P będziemy
nazywać jakobianem odwzorowania F i będziemy oznaczać go symbolem
" y1, y2, & , yk " f1, f2, & , fk
P lub P lub krótko symbolem J F P lub J F .
" x1, x2, & , xk " x1, x2, & , xk
m p
Je\eli dane są dwa odwzorowania G : A i F : B określone na zbiorach
k m
otwartych A ‚" i B ‚" oraz G A ‚" B i odwzorowania te sÄ… klasy C1 na
swoich dziedzinach, to prawdziwy jest następujący wzór na pochodną superpozycji
( zło\enia ) odwzorowań :
2
2 2
F " G P F G P G P
gdzie " " oznacza mno\enie macierzy.
Je\eli teraz oznaczyć :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 25
H F " G , P x1, x2, & , xk , Q G P y1, y2, & , ym
oraz przyjąć, \e
z1 f1 y1, y2, & , ym y1 g1 x1, x2, & , xk
z2 f2 y1, y2, & , ym y2 g2 x1, x2, & , xk
F : , G :
zp fp y1, y2, & , ym ym gm x1, x2, & , xk
z1 h1 x1, x2, & , xk
z2 h2 x1, x2, & , xk
H :
zp hp x1, x2, & , xk
to mamy :
"f1 Q "f1 Q & "f1 Q
"y1 "y2 "ym
"f2 Q "f2 Q & "f2 Q
2
"y1 "y2 "ym
F Q
"fp "fp "fp
Q Q & Q
"y1 "y2 "ym
"g1 P "g1 P & "g1 P
"x1 "x2 "xk
"g2 P "g2 P & "g2 P
2
"x1 "x2 "xk
G P
"gm P "gm P & "gm P
"x1 "x2 "xk
"h1 P "h1 P & "h1 P
"x1 "x2 "xk
"h2 P "h2 P & "h2 P
2
"x1 "x2 "xk
H P
"hp "hp "hp
P P & P
"x1 "x2 "xk
i wzór na pochodną superpozycji odwzorowań przyjmuje postać :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 26
"h1 P "h1 P & "h1 P
"x1 "x2 "xk
"h2 P "h2 P & "h2 P
"x1 "x2 "xk
"hp "hp "hp
P P & P
"x1 "x2 "xk
"f1 Q "f1 Q & "f1 Q
"g1 P "g1 P & "g1 P
"y1 "y2 "ym
"x1 "x2 "xk
"f2 Q "f2 Q & "f2 Q
"g2 P "g2 P & "g2 P
"y1 "y2 "ym
"x1 "x2 "xk
"fp "fp "fp "gm P "gm P & "gm P
Q Q & Q
"x1 "x2 "xk
"y1 "y2 "ym
Stąd, na podstawie znanych wzorów na iloczyn macierzy, dostajemy :
"fi "g1 "fi "g2 "fi "gm
"hi P Q P Q P & Q P
"xj "y1 "xj "y2 "xj "ym "xj
i zastępując teraz, dla łatwiejszego zapamiętania tego wzoru, gr przez yr
otrzymujemy :
"fi "y1 "fi "y2 "fi "ym
"hi P g P P g P P & g P P
"xj "y1 "xj "y2 "xj "ym "xj
gdzie i 1, 2, & , p , j 1, 2, & , k .
Jeszcze łatwiejszą wersją do zapamiętania tego wzoru jest postać :
"fi "y1 "fi "y2 & "fi "ym
"hi
"xj "y1 "xj "y2 "xj "ym "xj
gdzie i 1, 2, & , p , j 1, 2, & , k
lub, po kolejnym uproszczeniu zapisu ( porównaj opis odwzorowań f i H ) :
"y1 "y2 "ym
"zi "zi "zi & "zi
"xj "y1 "xj "y2 "xj "ym "xj
gdzie i 1, 2, & , p , j 1, 2, & , k
Przykłady :
1. Je\eli h x, y f u x, y , v x, y , to
"f "f "f "f
"h "u "v "h "u "v
, ,
"x "u "x "v "x "y "u "y "v "y
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 27
co dokładniej oznacza, \e :
"f "f
"h "u "v
x, y u x, y , v x, y x, y u x, y , v x, y x, y
"x "u "x "v "x
"f "f
"h "u "v
x, y u x, y , v x, y x, y u x, y , v x, y x, y
"y "u "y "v "y
2. Je\eli h x, y, z f u x, y, z , v x, y, z , to
"f "f "f "f "f "f
"h "u "v "h "u "v "h "u "v
, , ,
"x "u "x "v "x "y "u "y "v "y "z "u "z "v "z
a dokładniej :
"f "f
"h "u "v
x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z
"x "u "x "v "x
"f "f
"h "u "v
x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z
"y "u "y "v "y
"f "f
"h "u "v
x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z u x, y, z , v x, y, z x, y, z
"z "u "z "v "z
3. Je\eli h x, y, z f p x, y, z , q x, y, z , r x, y, z , s x, y, z , to
"f "p "f "q "f "f
"h "r "s
,
"x "p "x "q "x "r "x "s "x
"f "p "f "q "f "f
"h "r "s
,
"y "p "y "q "y "r "y "s "y
"f "p "f "q "f "f
"h "r "s
.
"z "p "z "q "z "r "z "s "z
4. Je\eli h x f p x , q x , r x , to
"f dp "f dq "f
dh dr
, lub inaczej :
dx "p dx "q dx "r dx
2
h x
"f "f "f
p x , q x , r x p2 x p x , q x , r x q2 x p x , q x , r x r2 x
"p "q "r
2 2
5. Jakobian odwzorowania G : , G r, x, y określonego wzorem :
x x r, r cos
G :
y y r, r sin
wynosi :
"x "x
"r "
cos -r sin
" x, y
r cos2 r sin2 r
"y "y
" r,
sin r cos
"r "
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 28
2
6. Niech z f x, y " C1 . Wykorzystując przekształcenie G określone
w poprzednim przykładzie, dokonać zmiany zmiennych w wyra\eniu ró\niczkowym :
"z "z
x y
"x "y
tzn. wyrazić to wyra\enie za pomocą zmiennych r i oraz pochodnych
czÄ…stkowych funkcji z h r, f " G r, f r cos , r sin .
Rozw.:
Poniewa\ :
x r cos
G :
y r sin
zatem wykorzystując wzory na pochodne cząstkowe superpozycji odwzorowań,
mamy :
"y
"z "z "x "z "z "z
cos sin
"r "x "r "y "r "x "y
"y
"z "z "x "z "z "z
-r sin r cos
" "x " "y " "x "y
czyli układ dwóch równań :
"z "z "z
cos sin
"x "y "r
"z "z "z
-r sin r cos
"x "y "
"z "z
Obliczmy teraz z tego układu pochodne cząstkowe i , wykorzystując
"x "y
wzory Cramera. Mamy :
cos sin
W r cos2 r sin2 r
-r sin r cos
"z
sin
"r
"z "z
Wx r cos - sin
"z
"r "
r cos
"
"z
cos
"r
"z "z
Wy cos r sin
"z
" "r
-r sin
"
skÄ…d dostajemy :
Wx cos - sin
"z "z "z
r
W
"x "r "
Wy cos
"z "z "z
sin
r
W
"y " "r
czyli wzory :
sin
"z "z "z
cos -
r
"x "r "
cos
"z "z "z
sin
r
"y "r "
Wykorzystując teraz te wzory oraz wzory opisujące przekształcenie G
do rozpatrywanego wyra\enia ró\niczkowego, otrzymujemy :
[AH]Rachunek ró\niczkowy funkcji wielu zmiennych. 29
sin cos
"z "z "z "z "z "z
x y r cos cos - r sin sin
r r
"x "y "r " "r "
"z "z "z "z
r cos2 - sin cos r sin2 sin cos
"r " "r "
"z "z "z "z
r cos2 r sin2 r cos2 sin2 r
"r "r "r "r
7. Wyprowadzić wzory na pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji zło\onej :
z f x u, v , y u, v
2
gdzie f x, y , x u, v oraz y u, v sÄ… funkcjami klasy C2 .
Rozw.:
Mamy :
"y "y
"z "z "x "z " " "x "
lub inaczej z z z
"u "x "u "y "u "u "x "u "y "u
"y "y
"z "z "x "z " " "x "
lub inaczej z z z
"v "x "v "y "v "v "x "v "y "v
a stÄ…d dalej, majÄ…c na uwadze fakt, \e
"z "z "z "z
x u, v , y u, v oraz x u, v , y u, v
"x "x "y "y
oraz wykorzystujÄ…c twierdzenie Schwarza, otrzymujemy :
"y
"2z " "z " "z "x "z
"u "u "u "x "u "y "u
"u2
"y "y
" "z "x "z " "x " "z "z "
"u "x "u "x "u "u "u "y "u "y "u "u
"y "2y
" "z "x "z "2x " "z "z
"u "x "u "x "u "y "u "y
"u2 "u2
"y
" "z "x " "z "x "z "2x
"x "x "u "y "x "u "u "x
"u2
"y "y "2y
" "z "x " "z "z
"x "y "u "y "y "u "u "y
"u2
"y
"2z "x "2z "x "z "2x
"u "y"x "u "u "x
"x2 "u2
"y "y "2y
"2z "x "2z "z
"x"y "u "u "u "y
"y2 "u2
2
"y
"2z "x "2z "x "z "2x
"u "y"x "u "u "x
"x2 "u2
2
"y "y "2y
"2z "x "2z "z
"x"y "u "u "u "y
"y2 "u2
2
2
"y "y "2y
"2z "x "2z "x "2z "z "2x "z
2
"u "x"y "u "u "u "x "y
"x2 "y2 "u2 "u2
czyli :
2
2
"y "y "2y
"2z "2z "x "2z "x "2z "z "2x "z
2
"u "x"y "u "u "u "x "y
"u2 "x2 "y2 "u2 "u2
W podobny sposób wyprowadza się wzory na pozostałe pochodne cząstkowe
drugiego rzędu :
2
2
"y "y "2y
"2z "2z "x "2z "x "2z "z "2x "z
2
"v "x"y "v "v "v "x "y
"v2 "x2 "y2 "v2 "v2
"y "y "y "y "2y
"2z "2z "x "x "2z "2z "x "2z "x "z "2x "z
"u"v "u "v "u "v "x"y "u "v "y"x "v "u "x "u"v "y "u"v
"x2 "y2


Wyszukiwarka