Mechanika ogólna Mechanika ogólna Wykład nr 4 Wykład nr 4 Reakcje w układach z przegubami. Reakcje w układach z przegubami. 1 1 Reakcje belki Reakcje belki przegubowe (1) przegubowe (1) q P HA A D B C l l l l V VA RB RD X : H = 0 A Y :VA + RB + RD - P - q 2l = 0 : RB 2l + RD 4l - P l - q 2l 3l = 0 M A l p M : RD l - q l 2 = 0 C 2 2 Rozwiązanie Rozwiązanie X : H = 0 A l l p : RD l - q l = 0 RD = q MC 2 2 : RB 2l + RD 4l - P l - q 2l 3l = 0 + - - =
M A - RD 4l + P l + q 2l 3l P P RB = = -2RD + + q 3l = + q 2l 2l 2 2 Y :VA + RB + RD - P - q 2l = 0 P l P l VA = P + q 2l - RB - RD = P + q 2l - - q 2l - q = - q 2 2 2 2 3 3 Podstawienie danych Podstawienie danych q = 5kN / m P = 10kN l = 2m H = 0 H = 0 A A l 2m RD = q = 5kN / m = 5kN 2 2 P 10kN RB = + q 2l = + 5kN / m 2 2m = 25kN 2 2 10kN 2m VA = - 5kN / m = 0 2 2 4 4 Reakcje belki Reakcje belki przegubowe (2) przegubowe (2) q MA HA RB VA l l l X : H = 0 A 5 5 Wypadkowa obciążenia Wypadkowa obciążenia trójkątnego trójkątnego q3l q MA A HA RB VA l l l Y :VA + RB - 1 q 3l = 0 2 M : RB 2l - M - 1 q 3l 2l = 0 A A 2 6 6 Suma momentów Suma momentów względem przegubu względem przegubu q ó q q q ó = q = q l 3l 3 q 2l (q-q )2l (q-q )2l q-q q-q q q MA q HA q 2l C q q 22l /3 2l /3 RB VA l l l 1 2l p ó 2l l - (q - q ) 2l 2 = 0 M : RB l - qó C 2 3 7 7 Rozwiązanie Rozwiązanie p X : H = 0 A M : RB l - q 2l2 - 1 2q 8l2 = 0 C 3 2 3 3 2 8 14 RB = ql + ql = ql 3 9 9 3 9 9 Y :VA + RB - 1 q 3l = 0 2 3 14 1 VA = ql - ql = - ql 2 9 18 M : RB 2l - M - 1 q 3l 2l = 0 A A 2 14 1 M = 2ql2 - 3ql2 = ql2 A 8 8 9 9 = + Podstawienie danych Podstawienie danych q = 10kN / m l = 1,5m H = 0 H = 0 A A 1 1 VA = - ql = - 10kN / m 1,5m = -0,833kN 18 18 14 14 RB = ql = 10kN / m 1,5m = 23,333kN 9 9 1 1 2 M = ql2 = 10kN / m(1,5m) = 2,5kNm A 9 9 9 9 Belki przegubowe (3) Belki przegubowe (3) Sąsiadujące przeguby Sąsiadujące przeguby 2q P q q m a A A B B E F E F C D l l l l l l l 2q P q q m a HA A B E F C D l l l l l l l VA 10 10 RB RE RF Belki proste równania Belki proste równania równowagi równowagi 9 niewiadomych 9 równań 9 niewiadomych 9 równań q X = 0
H H C D C D Y = 0 Y = 0 V V V V C D l M = 0 C 2q V V P C D q q m a H H H A D C A B E F C D l l l l l l V A R R R B E F X = 0 = 0 X = 0 = 0 Y = 0 M A Y = 0 M D 11 11 Reakcje belki Reakcje belki przegubowe (3) przegubowe (3) 2q P q q m a HA A B E F C D l l l l l l l l l l l l l l V VA RB RE RF X : H - P cosa = 0 A Y :VA + RB + RE + RF - q 4l - 1 q 2l - P sina = 0 2 -
M : RB 2l + RE 5l + RF 6l - m 2l - q 4l 5l - 1 q 2l ć5l + 2 2l P sina 7l = 0 A 2 3 Ł ł l :VA 3l + RB l + m 2l = 0 MC 1 2
p : RE l + RF 2l - q 3l 1,5l - q 2l ćl + 2l - P sina 3l = 0
M D 12 12 2 3 Ł ł Sąsiadujące przeguby Sąsiadujące przeguby łatwość rozwiązania łatwość rozwiązania Równania względem sąsiadujących Równania względem sąsiadujących przegubów lepiej zapisać z tej samej przegubów lepiej zapisać z tej samej strony. strony. strony. strony. X : H - P cosa = 0 A Y :VA + RB + RE + RF - q 4l - 1 q 2l - P sina = 0 2 -
M : RB 2l + RE 5l + RF 6l - m 2l - q 4l 5l - 1 q 2l ć5l + 2 2l P sina 7l = 0 A 2 3 Ł ł l M :VA 3l + RB l + m 2l = 0 C 1 2
p : RE l + RF 2l - q 3l 1,5l - q 2l ćl + 2l - P sina 3l = 0
M D 2 3 Ł ł 1 13 l 13 :VA 4l + RB 2l + m 2l - q l l = 0 M D 2 Rozwiązanie Rozwiązanie P = 10kN q = 5kN / m H = 5kN A m = 5kNm / m m = 5kNm / m VA = -6,25kN = - l = 1m RB = 8,75kN RE = 2,173kN RF = 28,987kN 14 14 Zasady pisania dodatkowych Zasady pisania dodatkowych równań dla przegubów (1) równań dla przegubów (1) Dodatkowe równanie względem Dodatkowe równanie względem przegubu musi wykorzystywać przegubu musi wykorzystywać własność przegubu, tj. że moment w własność przegubu, tj. że moment w własność przegubu, tj. że moment w własność przegubu, tj. że moment w przegubie równy jest 0, a więc przegubie równy jest 0, a więc dodatkowe równanie nie może być dodatkowe równanie nie może być zwykłą sumą momentów względem zwykłą sumą momentów względem przegubu, a musi być sumą przegubu, a musi być sumą momentów od sił z jednej strony momentów od sił z jednej strony przegubu. przegubu. 15 15 Zasady pisania dodatkowych Zasady pisania dodatkowych równań dla przegubów (2) równań dla przegubów (2) Każdy przegub musi zostać Każdy przegub musi zostać wykorzystany co najmniej jeden raz. wykorzystany co najmniej jeden raz. Jeżeli chcemy zapisać równanie dla Jeżeli chcemy zapisać równanie dla Jeżeli chcemy zapisać równanie dla Jeżeli chcemy zapisać równanie dla przegubu z drugiej strony, to przegubu z drugiej strony, to zastępuje ono jedno z równań zastępuje ono jedno z równań podstawowych (sumę momentów podstawowych (sumę momentów względem dowolnego punktu). względem dowolnego punktu). 16 16 Inne rodzaje obciążeń Inne rodzaje obciążeń Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. intensywność na jednostkę długości pręta. l 2q 2q 2q 2q 2 2 q l2 + h2 q h q h 2h q/2 2 h 17 17 l /2 l Reakcje rama Reakcje rama trójprzegubowa (1) trójprzegubowa (1) q h M M h P h l l 18 18 Reakcje rama Reakcje rama trójprzegubowa (2) trójprzegubowa (2) q C X : H - HB + P = 0 A h M Y :VA +VB - q l = 0 M Y :VA +VB - q l = 0 h 1
:VA 2l + P h - q l ćl + l + M = 0
M B P 2 Ł ł h p :VB l - HB 3h - M = 0 MC HA HB A B l l VA VB 19 19 Reakcje rama Reakcje rama przegubowa (1) przegubowa (1) 2q h M M P h a q h l 20 20 Reakcje rama Reakcje rama przegubowa (2) przegubowa (2) X : H + P cosa = 0 A 2q C h Y :VA + RB - P sina + M - 2q l2 + h2 - q 2h = 0 - 2q l2 + h2 - q 2h = 0 P h q a : M + P cosa h + M + M A A M h A A H A B l + 2q l2 + h2 + 2 l V A R B + q 2h l - RB l = 0 l p 21 21 M : RB l - q 2h l - 2q l2 + h2 2 = 0 C Rama nawowa Rama nawowa q h P P M M q q h h l l l l 22 22 Rama nawowa Rama nawowa równania równowagi równania równowagi q X : HB + HC + P = 0
G h Y : RA +VB +VC + RD + P M - q l - q 2l - q l = 0 q q h h E F M :VB l +VC 3l + RD 4l + A h HB B HC C A D l - P 2h - M - q l + RA RD l VB l l VC l 2 - q 2l 2l - q l 3,5l = 0 l p :VC l + HC 3h + RD 2l - q l - M - q l 1,5l = 0 MG 2 l p l l : RD l - q l = 0 : RA l - q l = 0 M F M E 23 23 2 2 Rama ze ściągiem reakcje Rama ze ściągiem reakcje podporowe (3 niewiadome) podporowe (3 niewiadome) 2q 2q M M C q q h h P P E D h h h h H A A B l l l l V R A B X : H + P = 0 A Y :VA + RB - q l - 2q 2l = 0 l M : RB 2l - P h - M - q l 2 - 2q 2l l = 0 A 24 24 Siły w ściągu cztery Siły w ściągu cztery dodatkowe równania dodatkowe równania 2q M C V h q D V E H H H H P D E D E E E D D V V V V D E h l l H A A B X : HD - HE = 0 l l V R
A B Y :VD +VE - q l = 0 l M :VE 2l - q l 2 = 0 D l p M :VE l - HE h - RB l + M + 2q l 2 = 0 C 25 25 Rama ze ściągiem 7 Rama ze ściągiem 7 niewiadomych niewiadomych 2q M C V h q D V E H H H H P D E D E E E D D V V V V D E h h l l H A A B X : HD - HE = 0
l l V R A B Y :VD +VE - q l = l0 X : H - HD + HE + P = 0 A :VE 2l - q l = 0 M D 2 Y :VA + RB -VD -VE - 2q 2l = 0 : RB 2l - P h - M - 2q 2l l -VE 2l - HE h + HD h = 0 M A l p 26 26 M :VE l - HE h - RB l + M + 2q l 2 = 0 C Przeguby pojedyncze Przeguby pojedyncze Przeguby, w których jeden pręt łączy Przeguby, w których jeden pręt łączy się z drugim ze swobodą obrotu. się z drugim ze swobodą obrotu. Pozwala na zapisanie jednego Pozwala na zapisanie jednego Pozwala na zapisanie jednego Pozwala na zapisanie jednego dodatkowego równania (sumy dodatkowego równania (sumy dodatkowego równania (sumy dodatkowego równania (sumy momentów względem przegubu od sił momentów względem przegubu od sił na jednej części konstrukcji na jednej części konstrukcji oddzielonej przegubem). oddzielonej przegubem). 27 27 Przeguby wielokrotne Przeguby wielokrotne Przeguby, w których łączą się ze sobą Przeguby, w których łączą się ze sobą więcej niż dwa pręty ze swobodą obrotu więcej niż dwa pręty ze swobodą obrotu względem pozostałych prętów. względem pozostałych prętów. Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego dodatkowego równania równowagi. dodatkowego równania równowagi. dodatkowego równania równowagi. dodatkowego równania równowagi. 28 28 Rama z przegubem Rama z przegubem dwukrotnym dwukrotnym q q M M D h h R C P P M M B h h h h R A H B l l l l V B X : HB + P = 0
Y : RA +VB + RC - q 2l = 0 l l M : RA l + M - RC l + M - q l 2 + q l 2 + P h = 0 B B l l p l 29 29 M : RC l - q l 2 = 0 M : RA l - q l 2 + M = 0 D D