Matematyka 1 Macierze dr inż. Rajmund Stasiewicz 2013/2014, semestr I (zimowy) ELEKTROTECHNIKA R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 1 / 28 Podstawowe definicje i własności Definicja 1: Macierzą rzeczywistą (zespoloną)A wymiaru m n gdzie m, n " N nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m n liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach, postaci: ł łł a11 a12 a1n ł a21 a22 a2n śł ł śł ł śł A = = [aij]mn . . . . ł śł . . . . . ł . . . ł am1 am2 amn aij, [aij], Amn, A, B, C , . . . , X , " Rmn, A, B, C , . . . , X , " Cmn R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 2 / 28 Podstawowe definicje i własności Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn jest równa n ma ona postać An (Ann). Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową A = [aij]nn nazywamy macierzą diagonalną, jeśli dla i = j wszystkie elementy aij = 0.
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez In (I ). Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 28 Podstawowe definicje i własności Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn jest równa n ma ona postać An (Ann). Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową A = [aij]nn nazywamy macierzą diagonalną, jeśli dla i = j wszystkie elementy aij = 0.
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez In (I ). Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 28 Podstawowe definicje i własności Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn jest równa n ma ona postać An (Ann). Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową A = [aij]nn nazywamy macierzą diagonalną, jeśli dla i = j wszystkie elementy aij = 0.
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez In (I ). Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 28 Podstawowe definicje i własności Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn jest równa n ma ona postać An (Ann). Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową A = [aij]nn nazywamy macierzą diagonalną, jeśli dla i = j wszystkie elementy aij = 0.
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez In (I ). Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 28 Podstawowe definicje i własności Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn jest równa n ma ona postać An (Ann). Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej. Macierz wymiaru m n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową A = [aij]nn nazywamy macierzą diagonalną, jeśli dla i = j wszystkie elementy aij = 0.
Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez In (I ). Macierz kwadratową stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 28 Działania na macierzach Definicja 2: Dwie macierzeA = [aij] i B = [bij]są równe, gdy mają te same wymiary m n oraz aij = bij dla każdego 1 i m oraz 1 j n. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 4 / 28 Działania na macierzach Suma i różnica macierzy Niech A = [aij] i B = [bij] będą macierzami wymiaru m n. Sumą (różnicą) macierzy A i B jest macierz określona w następujący sposób: A ą B = [aij]mn ą [bij]mn = [aij ą bij]mn Przykład 1: Dane są macierze:
2 1 2 -4 3 1 A = , B = -1 0 4 2 2 -1 Oblicz A + B oraz A - B. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 5 / 28 Działania na macierzach Suma i różnica macierzy Niech A = [aij] i B = [bij] będą macierzami wymiaru m n. Sumą (różnicą) macierzy A i B jest macierz określona w następujący sposób: A ą B = [aij]mn ą [bij]mn = [aij ą bij]mn Przykład 1: Dane są macierze:
2 1 2 -4 3 1 A = , B = -1 0 4 2 2 -1 Oblicz A + B oraz A - B. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 5 / 28 Działania na macierzach Iloczyn macierzy przez liczbę Niech A będzie macierzą wymiaru m n oraz niech ą będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę ą jest macierz określona w następujący sposób: ąA = ą[aij]mn = [ąaij]mn Przykład 2: Dane są macierze A oraz liczba ą:
2 1 2 A = , ą = -3 -1 0 4 Oblicz ą A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 28 Działania na macierzach Iloczyn macierzy przez liczbę Niech A będzie macierzą wymiaru m n oraz niech ą będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę ą jest macierz określona w następujący sposób: ąA = ą[aij]mn = [ąaij]mn Przykład 2: Dane są macierze A oraz liczba ą:
2 1 2 A = , ą = -3 -1 0 4 Oblicz ą A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 28 Własności działań na macierzach Niech A, B, C " Rmn (A, B, C " Cmn), niech 0 oznacza macierz zerową wymiaru m n oraz niech ą, " R (ą, " C). Wówczas 1 A + B = B + A 2 A + (B + C) = (A + B) + C 3 A + 0 = A = 0 + A 4 A + (-A) = A - A = 0 5 ą(A ą B) = ąA ą ąB 6 (ą + )A = ąA + A 7 1 A = A 8 0 A = 0 9 (ą )A = ą(A) = (ąA) R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 7 / 28 Działania na macierzach Iloczyn macierzy Niech A będzie macierzą wymiaru m n, zaś macierz B wymiaru n k. Iloczynem macierzy A i B jest macierz C = [cij]mk, w której elementy cij określone są wzorem: cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj AB = [ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj]mk Przykład 3: Dane są macierze: ł łł
-4 3 2 1 2 ł śł A = , B = 2 2 ł ł -1 0 4 -1 1 Oblicz A B oraz B A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 28 Działania na macierzach Iloczyn macierzy Niech A będzie macierzą wymiaru m n, zaś macierz B wymiaru n k. Iloczynem macierzy A i B jest macierz C = [cij]mk, w której elementy cij określone są wzorem: cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj AB = [ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj]mk Przykład 3: Dane są macierze: ł łł
-4 3 2 1 2 ł śł A = , B = 2 2 ł ł -1 0 4 -1 1 Oblicz A B oraz B A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 28 Własności działań na macierzach Niech A1, A2 " Rmn (A1, A2 " Cmn), B1, B2 " Rnk (B1, B2 " Cnk), C1, C2 " Rkp (C1, C2 " Ckp), ą " R (ą " C). Wówczas 1 AB = BA (w ogólnym przypadku)
2 0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego wymiaru 3 IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru 4 (AB)C = A(BC); 5 A(B1 + B2) = AB1 + AB2; 6 (A1 + A2)B = A1B + A2B; 7 (ąA)B = ą(AB) = (AB)ą = A(ąB). Zamiast AA . . . A będziemy pisali Ak. Zauważmy, że dla każdego
k czynnikow naturalnego k 2 iloczyn Ak istnieje, tylko wtedy, gdy Ann. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 28 Własności działań na macierzach Niech A1, A2 " Rmn (A1, A2 " Cmn), B1, B2 " Rnk (B1, B2 " Cnk), C1, C2 " Rkp (C1, C2 " Ckp), ą " R (ą " C). Wówczas 1 AB = BA (w ogólnym przypadku)
2 0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego wymiaru 3 IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru 4 (AB)C = A(BC); 5 A(B1 + B2) = AB1 + AB2; 6 (A1 + A2)B = A1B + A2B; 7 (ąA)B = ą(AB) = (AB)ą = A(ąB). Zamiast AA . . . A będziemy pisali Ak. Zauważmy, że dla każdego
k czynnikow naturalnego k 2 iloczyn Ak istnieje, tylko wtedy, gdy Ann. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 28 Własności działań na macierzach Niech A1, A2 " Rmn (A1, A2 " Cmn), B1, B2 " Rnk (B1, B2 " Cnk), C1, C2 " Rkp (C1, C2 " Ckp), ą " R (ą " C). Wówczas 1 AB = BA (w ogólnym przypadku)
2 0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego wymiaru 3 IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru 4 (AB)C = A(BC); 5 A(B1 + B2) = AB1 + AB2; 6 (A1 + A2)B = A1B + A2B; 7 (ąA)B = ą(AB) = (AB)ą = A(ąB). Zamiast AA . . . A będziemy pisali Ak. Zauważmy, że dla każdego
k czynnikow naturalnego k 2 iloczyn Ak istnieje, tylko wtedy, gdy Ann. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 28 Własności działań na macierzach Niech A1, A2 " Rmn (A1, A2 " Cmn), B1, B2 " Rnk (B1, B2 " Cnk), C1, C2 " Rkp (C1, C2 " Ckp), ą " R (ą " C). Wówczas 1 AB = BA (w ogólnym przypadku)
2 0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego wymiaru 3 IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru 4 (AB)C = A(BC); 5 A(B1 + B2) = AB1 + AB2; 6 (A1 + A2)B = A1B + A2B; 7 (ąA)B = ą(AB) = (AB)ą = A(ąB). Zamiast AA . . . A będziemy pisali Ak. Zauważmy, że dla każdego
k czynnikow naturalnego k 2 iloczyn Ak istnieje, tylko wtedy, gdy Ann. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 28 Transpozycja macierzy Definicja 3: Macierz B = [bji]nm nazywamymacierzą transponowanądo macierzy A = [aij]mn, jeżeli bji = aij, gdzie 1 i m oraz 1 j n. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez AT (B = AT ). Przykład 4: Dana jest macierze:
2 1 2 A = , -1 0 4 Wyznacz macierz transponowaną do A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 10 / 28 Transpozycja macierzy Definicja 3: Macierz B = [bji]nm nazywamymacierzą transponowanądo macierzy A = [aij]mn, jeżeli bji = aij, gdzie 1 i m oraz 1 j n. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez AT (B = AT ). Przykład 4: Dana jest macierze:
2 1 2 A = , -1 0 4 Wyznacz macierz transponowaną do A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 10 / 28 Własności działań na macierzach Niech A " Rmn (A " Cmn), B " Rnm (B " Cnm), ą " R (ą " C). Wówczas: 1 (A ą B)T = AT ą BT 2 (ąA)T = ąAT T 3 AT = A 4 (AB)T = BT AT r 5 (Ar )T = AT T 6 I = I R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 11 / 28 Macierz symetryczna i antysymetryczna Definicja 4: Macierz kwadratową A nazywamymacierzą symetrycznąjeżeli A = AT . Przykład 5: ł łł 1 2 3 ł śł A = 2 0 -1 , ł ł 3 -1 5 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 12 / 28 Macierz symetryczna i antysymetryczna Definicja 4: Macierz kwadratową A nazywamymacierzą symetrycznąjeżeli A = AT . Przykład 5: ł łł 1 2 3 ł śł A = 2 0 -1 , ł ł 3 -1 5 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 12 / 28 Macierz symetryczna i antysymetryczna Definicja 5: Macierz kwadratową B nazywamymacierzą antysymetrycznąjeżeli BT = -B . Przykład 6: ł łł 0 1 2 ł śł A = -1 0 -3 , ł ł -2 3 0 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 13 / 28 Macierz symetryczna i antysymetryczna Definicja 5: Macierz kwadratową B nazywamymacierzą antysymetrycznąjeżeli BT = -B . Przykład 6: ł łł 0 1 2 ł śł A = -1 0 -3 , ł ł -2 3 0 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 13 / 28 Własności macierzy symetrycznej i antysymetrycznej 1 Dla dowolnej macierzy A macierze AAT i AT A są symetryczne. 2 Dla macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest symetryczna natomiast macierz A - AT jest antysymetryczna. Wtedy macierz A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej
1 1 A = A + AT + A - AT 2 2 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 14 / 28 Własności macierzy symetrycznej i antysymetrycznej 1 Dla dowolnej macierzy A macierze AAT i AT A są symetryczne. 2 Dla macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest symetryczna natomiast macierz A - AT jest antysymetryczna. Wtedy macierz A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej
1 1 A = A + AT + A - AT 2 2 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 14 / 28 Wyznaczniki Definicja 6: Wyznacznikiem macierzykwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [aij] przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A = |A|. Funkcja ta jest określona indukcyjnie: 1 jeśli macierz A jest stopnia 1, a więc A = [a11], to det A = a11; 2 jeśli macierz A ma stopień n 2, to det A = (-1)1+1a11 det A11 + . . . + (-1)1+na1n det A1n, gdzie Aij oznacza macierz stopnia n - 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 15 / 28 Wyznaczniki Reguła obliczania wyznacznika stopnia 2
a11 a12 Niech A = . a21 a22 Wyznacznik macierzy A jest definiowany jako
a11 a12
det A = = a11a22 - a12a21. a21 a22 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 28 Wyznaczniki Reguła obliczania wyznacznika stopnia 3 - schemat Sarrusa ł łł a11 a12 a13 ł Niech A = a21 a22 a23 śł. ł ł a31 a32 a33 Wówczas wyznacznik macierzy A przy wykorzystaniu metody Sarrusa obliczamy w następujący sposób:
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12
det A = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a21 a22 =
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a23 = (a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a23)-(a13a22a31 +a11a23a32 +a12a21a33). R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 17 / 28 Wyznaczniki Definicja 7: Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2.Dopełnieniem algebraicznymelementu aij macierzy A nazywamy liczbę: Dij = (-1)i+j det Aij, gdzie Aij oznacza macierz stopnia n - 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 18 / 28 Wyznaczniki Przykład 7: Wyznacz dopełnienie algebraiczne elementu a32 = 2 i elementu a24 macierzy B. ł łł 1 0 3 -1 ł śł 3 1 ł -1 0 śł B = ł śł ł 2 4 -4 0 ł 1 2 0 2 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 19 / 28 Wyznaczniki Twierdzenie (rozwinięcie Laplace a) Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Dla ustalonych liczb naturalnych i oraz j, gdzie 1 i, j n, wyznacznik macierzy A obliczamy korzystając z następujących wzorów: 1 det A = ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin, co oznacza, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem i-tego wiersza. 2 detA = a1jD1j + a2jD2j + . . . + anjDnj, co oznacza, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów j-tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace a względem j-tej kolumny. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 28 Wyznaczniki Własności wyznacznika 1 Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni znak. 2 Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też pomnożony przez ten czynnik. 3 Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 21 / 28 Wyznaczniki Własności wyznacznika 1 Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni znak. 2 Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też pomnożony przez ten czynnik. 3 Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 21 / 28 Wyznaczniki Własności wyznacznika 1 Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni znak. 2 Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też pomnożony przez ten czynnik. 3 Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 21 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki 4 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz złożony) z samych zer jest równy zero. 5 Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny (dwa wiersze) jest równy zero. 6 Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są zastąpione tymi składnikami. 7 Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe: det A = det AT . 8 Niech A = [aij]mn, B = [bij]mn, wtedy det(AB) = det A det B. 9 det In = 1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 28 Wyznaczniki Operacje elementarne: 1 wi ! wj - zamiana i-tego oraz j-tego wiersza 2 ki ! kj - zamiana i-tej oraz j-tej kolumny 3 cwi - pomnożenie i-tego wiersza przez liczbę c, gdzie c = 0
4 ckj - pomnożenie j-tej kolumny przez liczbę c, gdzie c = 0
5 wi + cwj - dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających elementów j-tego wiersza pomnożonych przez liczbę c 6 ki + ckj - dodanie do elementów i-tej kolumny odpowiadających elementów j-tej kolumny pomnożonych przez liczbę c R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 28 Wyznaczniki Operacje elementarne: 1 wi ! wj - zamiana i-tego oraz j-tego wiersza 2 ki ! kj - zamiana i-tej oraz j-tej kolumny 3 cwi - pomnożenie i-tego wiersza przez liczbę c, gdzie c = 0
4 ckj - pomnożenie j-tej kolumny przez liczbę c, gdzie c = 0
5 wi + cwj - dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających elementów j-tego wiersza pomnożonych przez liczbę c 6 ki + ckj - dodanie do elementów i-tej kolumny odpowiadających elementów j-tej kolumny pomnożonych przez liczbę c R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 28 Wyznaczniki Operacje elementarne: 1 wi ! wj - zamiana i-tego oraz j-tego wiersza 2 ki ! kj - zamiana i-tej oraz j-tej kolumny 3 cwi - pomnożenie i-tego wiersza przez liczbę c, gdzie c = 0
4 ckj - pomnożenie j-tej kolumny przez liczbę c, gdzie c = 0
5 wi + cwj - dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających elementów j-tego wiersza pomnożonych przez liczbę c 6 ki + ckj - dodanie do elementów i-tej kolumny odpowiadających elementów j-tej kolumny pomnożonych przez liczbę c R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 28 Wyznaczniki Operacje elementarne: 1 wi ! wj - zamiana i-tego oraz j-tego wiersza 2 ki ! kj - zamiana i-tej oraz j-tej kolumny 3 cwi - pomnożenie i-tego wiersza przez liczbę c, gdzie c = 0
4 ckj - pomnożenie j-tej kolumny przez liczbę c, gdzie c = 0
5 wi + cwj - dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających elementów j-tego wiersza pomnożonych przez liczbę c 6 ki + ckj - dodanie do elementów i-tej kolumny odpowiadających elementów j-tej kolumny pomnożonych przez liczbę c R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 28 Macierz odwrotna Definicja 8: Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.Macierzą odwrotnądo macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A-1, która spełnia warunek: AA-1 = A-1A = In, gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 24 / 28 Macierz odwrotna Definicja 9: Macierz kwadratową A nazywamymacierzą osobliwą, gdy det A = 0. W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa. Fakt: Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0.
Wtedy A-1 obliczamy ze wzoru 1 A-1 = DT det A gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 25 / 28 Macierz odwrotna Definicja 9: Macierz kwadratową A nazywamymacierzą osobliwą, gdy det A = 0. W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa. Fakt: Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0.
Wtedy A-1 obliczamy ze wzoru 1 A-1 = DT det A gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 25 / 28 Macierz odwrotna Własności macierzy odwrotnych 1 det(A-1) = (det A)-1 -1 2 A-1 = A -1 T 3 AT = A-1 4 (AB)-1 = B-1A-1 1 5 (ąA)-1 = A-1 ą n 6 (An)-1 = A-1 R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 26 / 28 Macierz odwrotna Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych
- -- [A|I ] op.el. I |A-1 gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach. Dozwolone operacje elementarne: 1 przestawić między sobą dwa dowolne wiersza; 2 dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera; 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby. Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 27 / 28 Macierz odwrotna Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych
- -- [A|I ] op.el. I |A-1 gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach. Dozwolone operacje elementarne: 1 przestawić między sobą dwa dowolne wiersza; 2 dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera; 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby. Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 27 / 28 Macierz odwrotna Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych
- -- [A|I ] op.el. I |A-1 gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach. Dozwolone operacje elementarne: 1 przestawić między sobą dwa dowolne wiersza; 2 dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera; 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby. Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 27 / 28 Macierz odwrotna Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych
- -- [A|I ] op.el. I |A-1 gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach. Dozwolone operacje elementarne: 1 przestawić między sobą dwa dowolne wiersza; 2 dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera; 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby. Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 27 / 28 Macierz odwrotna Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych
- -- [A|I ] op.el. I |A-1 gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach. Dozwolone operacje elementarne: 1 przestawić między sobą dwa dowolne wiersza; 2 dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera; 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby. Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 27 / 28 Macierz odwrotna Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach. Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej. Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 28 / 28 Macierz odwrotna Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach. Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej. Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 28 / 28 Macierz odwrotna Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach. Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej. Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej. R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 28 / 28