Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
Wykład 9. Pochodne wyższych rzędów. Funkcje wypukłe i
wklęsłe. Badanie funkcji za pomocą drugiej pochodnej
I. Pochodne wyższych rzędów
I 1. Definicje i oznaczenia
Definicja 1. Jeżeli funkcja f ma w przedziale X R pochodną f , to
pochodna f może mieć w punkcie x, tego przedziału, swoją pochodną
,
którą nazywamy drugą pochodna funkcji f w punkcie x ( drugą
pochodną oznaczamy lub (co czytamy odpowiednio:
f bis od x, d dwa f po dx kwadrat od x).
Jeżeli druga pochodna ma w punkcie x swoją pochodną, to nazywamy
ją trzecia pochodną f w punkcie x i oznaczamy .
Ogólnie: pochodną rzędu n funkcji f w punkcie x jest pochodna
funkcji będącej pochodną rzędu n-1, tzn.
lub w innym zapisie
Definicja 2. Mówimy, że funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w
przedziale, jeśli w każdym punkcie przedziału ma n-tą pochodną.
Mówimy, ze f jest klasy Cn(a,b) jeśli jest n-krotnie różniczkowalna i
n-ta pochodna jest funkcją ciągłą w (a,b).
Przykład 1.
a) Niech f(x)= , zatem: f (x)= , f (x)= ,
f (x)= , ,
Ogólnie. Dla f(x) = , 0 =
1
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
b) Wszystkie pochodne funkcji f(x) = są równe
Definicja 3. Funkcją klasy nazywamy funkcję, która ma
każdym punkcie przedziału (a,b) pochodne dowolnego rzędu.
Zauważmy, że funkcje sa klasy dla dowolnego
przedziału (a,b). W takiej sytuacji mówimy, że są klasy
I 2. Uogólnienie Twierdzenia Lagrange a
Twierdzenie1. (Wersja wzoru Taylora)
Jeśli funkcja f ma w otoczeniu (x0 x0 ) drugą pochodną, to dla
dowolnego punktu x (x0 x0 ) istnieje taki punk , że
f(x) = f(x0) + f (x0)(x-x0) + f )(x-x0)2 , (*)
przy czym
= x0+ x0) ,
Wzór (*) jest pomocny przy badanu ekstremów funkcji.
Przykład 2.(Wzór (*) dla f(x)= ).
Niech f(x)= ex, x0 = 0 , stosując wzór (*) otrzymujemy:
= 1 + x + ,
Komentarz. Można pokazać, że funkcja jest sumą następującego
szeregu ( nazywanego szeregiem Maclaurina)
x- dowolne
II. Badanie funkcji za pomocą pierwszej i drugiej pochodnej
2
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
Twierdzenie 2.(Warunki wystarczające ekstremum; f 0)
Jeżeli f jest funkcją klasy C2 w otoczeniu punktu x0 i jeśli
f f
to f(x) ma w tym punkcie lokalne ekstremum właściwe i jest to
a) minimum, jeśli f
b) maksimum, jeśli f
Dowód . W tym przypadku na mocy wzoru (*) z Twierdzenia 1 mamy
f(x) = f(x0) + f (x0)(x-x0) + f )(x-x0)2 = f(x0) + f )(x-x0)2
Zatem z faktu, że f wynika, iż istnieje takie
otoczenie (x0 że dla każdego z tego otoczenia f ) > 0
(f ) < 0). Stąd dostajemy nierówność
f(x) f(x0) > 0 (f(x) f(x0) < 0),
która oznacza, że w funkcja f w punkcie x0 osiąga minimum lokalne
(maksimum lokalne).
Przykład 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x)=x2(x-1)
Zauważmy, że
a) , ,
b) f(x)=0 dla x= 0 oraz x=1,
c) f (x)=3x2 2x, f (0)=0, f (2/3)=0,
d) f (x)=6x 2, f (0)= 2 < 0, f (2/3)=
Na mocy Twierdzenia 2 funkcja f ma w punkcie x=0 maksimum
lokalne natomiast w punkcie x= 2/3 minimum lokalne.
0 2/3 1 x
Rys.1. Szkic wykresu funkcji f(x)=x2(x-1) .
3
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
II 1. Wypukłość i wklęsłość funkcji
Definicja 4.( Wypukłość funkcji)
Mówimy, że f: (a,b) jest wypukła jeżeli spełnia warunek:
f((1- ; (**)
Jeżeli ponadto warunek (**) spełniony jest z ostrą nierównością (<),
to mówimy, że f jest ściśle wypukła w
f(x)
f((1-
x1 ( 1- ) x2 x
Rys.2. Funkcja ściśle wypukła
Definicja 5.( Wklęsłość funkcji)
Mówimy, że f: (a,b) jest wklęsła jeżeli spełnia warunek:
f((1- ; (**)
Jeżeli ponadto warunek (**) spełniony jest z ostrą nierównością (>),
to mówimy, że f jest ściśle wklęsła w
4
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
f(x)
f((1-
x1 (1- ) x2
Rys.3. Funkcja wklęsła ale nie ściśle wklęsła.
Definicja 6. Punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f jeżeli
istnieje takie , że w jednym z przedziałów x0 x0 ,
x0 x0 ) funkcja jest wypukła a w drugim wklęsła.
Twierdzenie. Jeżeli f jest klasy C2(a,b) (dwukrotnie różniczkowalna
w sposób ciągły, to
a) f jest wypukła (ściśle wypukła) na (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy
f (f dla x
b) f jest wklęsła (ściśle wklęsła) na (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy
f (f dla x .
c) Jeżeli (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia funkcji f, to f (x0) = 0
f(x)
(a,f(a)) jest punktem przegięcia wykresu f
Rys. 4. a
5
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 9. R.Rempała
Uwaga. W Wykładzie 8, w przytoczonym poniżej zadaniu, wkradł
się błąd rachunkowy. Poprawione miejsce zaznaczone jest na
czerwono. Proszę nanieść poprawkę. (Bardzo dziękuję Pani
Marioli Mowel za zwrócenie uwagi na błąd.)
Zadanie. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji
f(x) =x(x 2)2 w przedziale 1,2]
Rozwiązanie
a) Obliczamy pochodną i wyznaczamy jej punkty zerowe.
f (x)= (x 2)2+2x(x 2)=(x 2)(x 2+2x)=(x 2)(3x 2)
Punkty zerowania się pochodnej: 2 , 2/3.
Należy więc wyznaczyć max{f 1),f(2/3),f(2)} oraz
min{f( 1),f(2/3),f(2)}.
Wyznaczając wartości w poszczególnych punktach mamy
f( 1) = 9, f(2/3) = (2/3)(4/3)2 = 32/27, f(2)=0
Wniosek.
Wartość najmniejsza w przedziale [ ,2], to 9
Wartość największa w przedziale ,2], to 32/27.
6