Obserwator pełnego rzędu: Rozważać będziemy opis układu w postaci: d x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu dt (a) y( t ) = Cx( t ) równanie wyjścia x(t) wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1, u(t) wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1 y(t) wektor wyjść o wymiarze mx1 Szukamy obserwatora - układu d Ć x(t ) = Fx(t ) + $u(t ) + Ke y(t ), (b) dt Ć lime(t ) = 0 e(t ) = x(t ) - x(t ) który zapewni niezależnie od warunków początkowych. t " 2 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego Dobrym pomysłem będzie zbudowanie takiego układu (b), w którym transmitancja będzie taka sama jak w układzie (a), czyli -1 Ć X( s) = sI - A BU( s) () sX( %5ń) = FX(t ) + $U( s) + KeY( s) sX( %5ń) = FX(t ) + $U( s) + KeCX( s) -1 Ć Ć X(s) = sI - F HU(s) + KeCX(s) sI ( - F X ( s ) = HU( s ) + KeCX ( s ) () [ ] ) -1 Ć Ą#H + KeC sI - A -1 Bń#U( s ) X ( s ) = sI - F () () Ł#Ś# -1 -1 Ą#H + KeC sI - A -1 Bń# sI ( - A B = sI - F )() () Ł# Ś# Ą#I - sI - F -1 KeCń# sI - A -1 B = sI - F -1 H () ()() Ł#Ś# 3 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego -1 -1 -1 sI ( - F Ą# sI - F - KeCń# sI - A B = sI - F H ) ()Ś#() () Ł# -1 sI - F - KeC sI - A B = H () [] -1 Ą# - F + KeC sI - A = I B = H ń# () ( )Ś# Ł#sI F + KeC = A B = H ( ) F = A - KeC H = B Równaniem obserwatora jest więc d x( t ) = - KeC x( t ) + B( t ) + Ke y( t ) () Model układu dt lub inaczej: d Ć Ć x(t ) = x(t ) + Bu(t ) + Ke y(t ) - Cx(t ) () Sprzężenie od różnicy wyjść układu i modelu dt 4 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego d d x( t ) = - KeC x( t ) + B( t ) + Ke y( t ) odejmujemy od x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) () dt dt d Ć x( t ) - x( t ) = x( t ) - x( t ) - KęC x( t ) - x( t ) () () ()
dt e( t ) d e( t ) = A - KeC e( t ) () dt A - KeC ( ) Warunkiem koniecznym działania obserwatora jest by macierz była stabilna, a A - KeC ( ) dostatecznym by estymacja była szybka by wartości własne leżały bardziej na lewo (2-4 A - KeC ( ) razy) niż wartości własne A. Wartości własne są takie same jak wartości własne T A KeT musi być tak zaprojektowana by przesunąć wartości ( - KeC = AT - CT KeT . Macierz ) 5 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego AT ,CT () w zadane położenia. Więc: własne w układzie AT ,CT () jest konieczna dla rozwiązania tego zadania, czyli obserwowalność pary 1. Sterowalność pary C,A ( ) jest konieczna dla zaprojektowania obserwatora. KeT można wyznaczyć z formuły Ackermana 2. -1 TTn-1 Ke = 0 0 1 AT CT ń# Mc( AT ) []Ą#Ą# ( ) ó#CATCT
Ł#Ś# n 6 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego -1 C 0 Ą#ń# Ą# ń# ó#Ą# ó#0Ą# CA Ke = Mc( A)ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#CA Ą# ó#1Ą# n-1 Ł#Ś# Ł# Ś# Uwaga: Zakładaliśmy idealną znajomość parametrów modelu obiektu! Pominęliśmy zakłócenia: 7 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego d x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) + Bdd( t ) d dt e( t ) = A - KeC e( t ) + Bdd( t ) - Ken( t ) () da dt y(t ) = Cx(t ) + n(t ) Ke jak widać macierz wzmacnia szum pomiarowy, powinna więc być jak najmniejsza . Z drugiej Ke strony im większa tym szybsza estymacje można uzyskać i tym mniejszy bład ustalony wprowadzany przez zakłócenie d(t). 8 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego Połączmy teraz obserwator z problemem Ć u( t ) = -Kx( t ). przesuwania biegunów: Otrzymaliśmy układ stopnia 2n. Jakie będą jego bieguny? d Ć x(t ) = Ax(t ) - BKx(t ) dt d x(t ) = Ax(t ) - BK x(t ) - e(t ) [] dt d e( t ) = A - KeC e( t ) () dt 9 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego x(t ) A - BK BK x(t ) Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń# d ó#e( t )Ą# = ó# 0 A - KeCĄ# ó#e( t )Ą# dt Ł#Ś# Ł#Ś# Ł#Ś# det Ą#sI - ( - BK ń# det - ( - KeC ń# A Ą# A )Ś# Ł#sI )Ś# wielomianem charakterystycznym jest Ł# Takie same wartości własne będzie miał układ równań d Ć x( t ) = Ax( t ) - BKx( t ) dt d Ć x(t ) = - KeC x(t ) + B(t ) + Ke y(t ) = A - KeC x(t ) - BKx(t ) + Kex(t ) () () dt x(t ) A -BK x(t ) x(t ) I 0 x(t ) Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń#Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# d ó#x(t )Ą# = ó#K C A - BK - KeCĄ# ó#x(t )Ą# , b ó#x(t )Ą# = ó#I -I Ą# ó#e(t )Ą# , dt Ł#Ś# Ł# ę Ś# Ł#Ś#Ł#Ć Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# 10 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego czyli układ możemy projektować niezależnie det Ą#sI - ( - BK ń# det - ( - KeC ń# A Ą# A ) )Ś# Ł#
Ś# Ł#sI wartości własne odpowiadające za regulację wektora stanu x(t) Ć x( t ) wartości własne odpowiadające za dynamikę wektora stanu obserwatora Regulator+obserwator można przedstawić w postaci transmitancji: d Ć x( t ) = - KeC x( t ) - BKx( t ) + Ke w( t ) () dt d x(t ) = - KeC - BK x(t ) + Ke w(t ) () dt -1 Ć X( s) = sI - A + KeC + BK Y( s) ( ) 11 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego -1 U(s) =-K sI - A + KeC + BK Y(s) ( ) 12 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego Obserwator zredukowany Odtwarzaliśmy wszystkie zmienne stanu, choć pełna informacja o części z nich była w równaniu wyjścia: d x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) równanie stanu dt y( t ) = Cx( t ) równanie wyjścia Możemy odtwarzać tylko niedostępne zmienne stanu obserwator będzie układem niższego rzędu. Jeśli na przykład 13 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego x1( t ) Ą#ń# x( t ) = ó#x ( t )Ą# Ł# e Ś# x( t ) a11 A1e x( t ) b( t ) Ą#ń# Ą# ń# Ą#ń# Ą#ń# d 1 11 + u( t ) równanie stanu ó#x ( t )Ą# = ó# Ae1 Aee Ą# ó#xe( t )Ą# ó#Be( t )Ą# dt Ł# e Ś# Ł# Ś# Ł#Ś# Ł#Ś# , to można wyprowadzić y( t ) = Cx( t ) = 1 0 0 x( t ) równanie wyjścia [] równania obserwatora: ĆĆ xe( t ) = xe1( t ) - Ke y( t ) d xę1(t ) = Aee - Ke A1e xę1(t ) + Ae1 - Kea11 + AeeKe - Ke A1eKe y(t ) + Be - Keb1 u(t ) () ( ) ( ) dt 14 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego -1 A1e 0 Ą#ń# Ą# ń# ó# A1e Aee Ą# ó#0Ą# Ke = Mc( Aee )ó#Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#A Aeen-2 Ą# ó#1Ą# Ł# 1e Ś# Ł# Ś# x1(t ) ń# u( t ) =-[]Ą# k1 K2 ó#x i regulatora: (t )Ą# Ł#Će Ś# 15 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego Obserwator zakłóceń: d x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) + Bd dt y( t ) = Cx( t ) x( t ) A B x( t ) B Ą#ń# Ą# ń# Ą#ń# Ą# ń# d d + u( t ) x( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) + Bd ó#d( t )Ą# = ó# dt 0 0Ą# ó#d( t )Ą# ó# 0Ą# dt Ł#Ś# Ł# Ś# Ł#Ś# Ł# Ś# d x( t ) d( t ) = 0 y( t ) = C 0 []Ą#ń# ó#d( t )Ą# dt Ł#Ś# # A B ś# Ą# ń# C 0 , [] ś# ó#0 0 Ą#ź# warunkiem jest obserwowalność pary Ł# Ś# # # 16 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego Ć x( t ) x( t ) Ą#ń# B Ą# B Ke Ą#ń#ń# Ą# ń# Ą# ń# d =+ y( t ) - Cx( t ) u( t ) -Ć () ó#Ą# ó#Ą# ó#0 ó# ó#K Ą# ĆĆ dt Ś# Ś# Ł# d Ś# Ł#d( t )Ś# Ł# 0Ą# Ł#d( t )Ś# Ł# 0Ą# Ć x( t ) Ą#ń# CAAKOWANIE!! u( t ) =-[] Ke 1 ó#Ą# Ć Ł#d( t )Ś# 17 Automatyka i sterowanie 15 Obserwatory zmiennych stanu Układy czasu ciągłego i dyskretnego