Mechanika płynów
Mechanika płynów
Wykład 9
1
Wrocław University of Technology
14-I-2012
Mechanika płynów 14.I.2012
PÅ‚yny
Płyn  w odró\
nieniu od ciała stałego  to substancja zdolna do przepływu.
Gdy umieścimy go w naczyniu, przyjmie kształt tego naczynia.
PÅ‚yny  pod tÄ… nazwÄ… rozumiemy ciecze i gazy!
2
Mechanika płynów 14.I.2012
Gęstość
Gęstość płynu jest równa
g kg
"m
îÅ‚1 Å‚Å‚
= 1000
Á =
ïÅ‚
cm3 m3 śł
"V
ðÅ‚ ûÅ‚
Aby wyznaczyć gÄ™stość pÅ‚ynu Á w pewnym jego punkcie, wydzielamy maÅ‚y
element objętości "V w otoczeniu tego punktu i mierzymy masę "m płynu
zawartego w tej objętości.
Substancja lub ciało Gęstość [kg/m3]
Przestrzeń międzygwiazdowa 10-20
Powietrze (20oC, 1 atm) 1.21
Styropian 60.5
Lód 0.917 . 103
Krew 1.060 . 103
Ziemia 5.5 . 103
Słońce 1.4 . 103
3
JÄ…dro uranu 3 . 1017
Mechanika płynów 14.I.2012
Ciśnienie
Definicja:
"FÄ„"
p =
[ ]
1Pascal =1Pa =1N / m2
"S
"FÄ„"
jednostkowa siła prostopadła do powierzchni "S
1 Atm = 1.01 . 105 Pa = 1.013 bar =
= 760 Tr = 14.7 funt/in2
Atmosfera (atm) jest to - jak wskazuje sama nazwa -
przybli\
ona wartość średnia ciśnienia atmosferycznego
na poziomie morza. Tor (Tr), nazwany tak na cześć
Evangelisty Toricellego, który wynalazł barometr
rtęciowy w 1647 roku, nazywany jest równie\

milimetrem słupa rtęci (mm Hg).
4
Mechanika płynów 14.I.2012
PÅ‚yny w spoczynku
F2 = F1 + mg
F1 = p1S F2 = p2S
p2S = p1S + ÁSg(y1 - y2)
p2 = p1 + Ág(y1 - y2)
Oznaczając przez p0 ciśnienie atmosferyczne na
powierzchni cieczy, otrzymujemy:
y1 = 0, p1 = p0 oraz y2 = -h, p2 = p
p = p0 + Ágh
5
Mechanika płynów 14.I.2012
PÅ‚yny w spoczynku
p = p0 + Ágh
Ciśnienie w pewnym punkcie w płynie znajdującym się w równowadze statycznej
zale\
y od głębokości tego punktu pod powierzchnią płynu, a nie zale\
y od
poziomych rozmiarów płynu ani zbiornika, w którym płyn jest zawarty.
6
Mechanika płynów 14.I.2012
Pomiary ciśnienia
Manometr rtęciowy Manometr otwarty
7
Mechanika płynów 14.I.2012
Prawo Pascala
W zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona
bez zmiany wartości do ka\
dego miejsca w płynie i do ścian zbiornika.
Ciśnienie p w dowolnym punkcie cieczy P wynosi:
p = pzewn + Ágh
Następnie, do zbiornika ze śrutem dosypujemy nieco
śrutu, w wyniku czego ciśnienie pzewn wzrasta o
"pzewn. Zatem zmiana ciśnienia w punkcie P jest
równa "p:
"p = "pzewn
Ten przyrost ciśnienia nie zale\
y od h, a więc musi
być taki sam w ka\
dym punkcie cieczy, co właśnie
8
stwierdza prawo Pascala.
Mechanika płynów 14.I.2012
Prasa hydrauliczna
Fwej Fwyj Swyj
"p = = Fwyj = Fwej
Swej Swyj Swej
Jeśli przesuniemy tłok wejściowy w dół o odcinek
dwej, to tłok wyjściowy przesunie się w górę o
odcinek dwyj
V = Swejdwej = Swyjdwyj
Swej
dwyj = dwej
Swyj
stąd gdy Swyj > Swej , przemieszczenie tłoka
wyjściowego jest mniejsze ni\
przemieszczenie
tłoka wejściowego.
Praca wykonana przez siłę wyjściową:
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Swyj ÷Å‚ìÅ‚dwej Swej ÷Å‚
ìÅ‚
W = Fwyjdwyj = Fwej = Fwejdwej
9
ìÅ‚
Swej ÷Å‚ìÅ‚ Swyj ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Mechanika płynów 14.I.2012
Prawo Archimedesa
Na ciało całkowicie lub częściowo zanurzone w
płynie działa ze strony płynu siła wyporu Fw. Jest
ona skierowana pionowo do góry, a jej wartość
jest równa cię\
arowi mpg płynu wypartego przez
to ciało.
Siła wyporu, jaka działa na ciało w płynie, ma
wartość:
Fwyp = mpg
przy czym mp jest masą płynu wypartego przez
ciało.
CI
śAR CI
śAR WARTOŚĆ SIA
Y
= -
POZORNY RZECZYWISTY WYPORU
10
Mechanika płynów 14.I.2012
Ruch płynów doskonałych
1. Przepływ ustalony. Przepływ jest ustalony
(nazywany te\
laminarnym), gdy prędkość
poruszającego się płynu w ka\
dym wybranym
punkcie nie zmienia się w upływem czasu,
zarówno co do wartości, jak i co do kierunku.
2. Przepływ nieściśliwy. Będziemy zakładać,
podobnie jak to ju\
robiliśmy dla płynów w
spoczynku, \
e nasz doskonały płyn jest
nieściśliwy, to znaczy, \
e jego gęstość jest stała.
3. Przepływ nielepki. Z grubsza rzecz biorąc,
lepkość płynu jest miarą oporu, jaki stawia płyn
jego przepływowi.
4. Przepływ bezwirowy.
11
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie ciągłości
12
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie ciągłości
Prędkość elementu e jest równa v, zatem w
przedziale czasu "t element ten przebywa
wzdłu\
rury odcinek o długości "x = v "t.
Wobec tego w przedziale czasu "t przez liniÄ™
przerywaną przepływa płyn o objętości "V
równej
"V = S"x = Sv"t
"V = S1v1"t = S2v2"t
- równanie ciągłości
S1v1 = S2v2
Wynika z niego, \
e prędkość przepływu wzrasta, gdy maleje pole przekroju
poprzecznego, przez który płyn przepływa.
13
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie Bernoulliego
Oznaczenia:
y1, v1 i p1 - poziom, prędkość i ciśnienie płynu
wchodzÄ…cego do rury z lewej strony;
y2, v2 i p2 - odpowiednie wielkości odnoszące się
do płynu wychodzącego z rury z prawej strony.
1 1
2 2
p1 + Áv1 + Ágy1 = p2 + Áv2 + Ágy2
2 2
Równanie Bernoulliego:
1
p + Áv2 + Ágy = const
2
14
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie Bernoulliego
" Równanie Bernoulliego dla płynu w spoczynku, v1 = v2 = 0
p2 = p1 + Ág(y1 - y2)
" Równanie Bernoulliego dla płynu, który w trakcie przepływu nie zmienia
poło\
enia w pionie (y jest stałe np. y = 0)
1 1
2 2
p1 + Áv1 = p2 + Áv2
2 2
Jeśli przy przepływie wzdłu\
poziomej linii prądu prędkość elementu płynu
wzrasta, to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.
Równanie Bernoulliego stosuje się ściśle jedynie dla płynu doskonałego. Gdy
występują siły lepkości, nie wolno nam pominąć zmian energii termicznej płynu.
15
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie Bernoulliego
Wyprowadzenie
Zasada zachowania energii w postaci zwiÄ…zku pracy ze zmianÄ… energii kinetycznej:
W = "Ek
Zmiana energii kinetycznej jest wynikiem zmiany prędkości płynu między końcami
rury, a zatem wynosi:
1 1 1
2 2 2 2
"Ek = "mv2 - "mv1 = Á"V(v2 - v1 )
2 2 2
Praca wykonana nad układem ma dwa z
ródła. Po pierwsze, siła cię\
kości
("mg) wykonuje pracę Wg nad płynem o masie "m, wznosząc go z poziomu
wejściowego na wyjściowy. Praca ta jest równa:
Wg = -"mg(y2 - y1)= -Ág"V(y2 - y1)
Jest ona ujemna ze względu na przeciwne kierunki przemieszczenia płynu
(skierowanego w górę) i siły cię\
kości (skierowanej w dół).
16
Mechanika płynów 14.I.2012
Równanie Bernoulliego
Po drugie, praca jest te\
wykonywana nad układem (na wejściowym końcu
rury), gdy płyn jest wtłaczany do rury, oraz przez układ (na wyjściowym końcu
rury), gdy płyn jest wypychany z rury. Całkiem ogólnie mo\
emy powiedzieć,
\
e praca wykonana przez siłę o wartości F, działającą na próbkę płynu o polu
przekroju poprzecznego S, przy przemieszczeniu płynu na odległość "x, jest
równa
F"x = (pS)("x)= p(S"x)= p"V
Praca wykonana nad układem jest zatem równa p1"V, a praca wykonana przez
okład wynosi - p2"V. Ich suma Wp jest równa:
Wp = - p2"V + p1"V = -(p2 - p1)"V
ZwiÄ…zek pracy ze zmianÄ… energii kinetycznej:
W = Wg +Wp = "Ek
1
2 2
17
- Ág"V(y2 - y1)- "V(p2 - p1)= Á"V(v2 - v1 )
2
Mechanika płynów 14.I.2012
Efekt Magnusa
18
Mechanika płynów 14.I.2012
Efekt Magnusa
19
Mechanika płynów 14.I.2012
Efekt Magnusa
20
Mechanika płynów 14.I.2012
Efekt Magnusa
21