MECHANIKA BUDOWLI Architektura sem. II letni Warunki równowagi: SIAY WEWNTRZNE dr inż. Marek BARTOSZEK KTKB p.126 WB marek.bartoszek@polsl.pl http://kateko.rb.polsl.pl/ 22 marzec 2011 www.rb.polsl.pl Za wszystkie uwagi odnośnie poniższych wykładów z góry dziękuję. Jeśli ktoś chciałby wykorzystać te materiały to proszę o kontakt. Warunki równowagi statycznej Przypomnienie zasad tworzenia warunków równowagi dla dowolnego ustroju 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 2 Równowaga statyczna konstrukcji
Statyka budowli
zajmuje się konstrukcjami, na które działają zrównoważone układy sił (lub zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona nie działają żadne siły);
takie obiekty pozostają w spoczynku są statyczne (lub poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym) .
Budowla to przedmiot inżynierskiej działalności człowieka na stale związany z podłożem (gruntem lub nawet inną budowlą) .
Związanie z podłożem unieruchamia budowlę odróżniając ją od mechanizmów (użytecznych na Wydziale Mechanicznym) .
Skoro budowla jest nieruchoma to oznacza, że siły na nią działające są w równowadze statycznej, tzn.: obciążenia zewnętrzne jako siły czynne są w równowadze z reakcjami podpór, czyli siłami biernymi. 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 3 Równowaga statyczna konstrukcji Przypomnienie: więzy i reakcje
Pojedynczy element na płaszczyznie ma trzy stopnie swobody i aby go unieruchomić potrzeba trzech więzów łączących go z podłożem
Ustrój złożony z e elementów ma 3*e stopni swobody i tyle właśnie potrzebuje więzów aby go unieruchomić. Te więzy łączą elementy:
pomiędzy sobą to więzy wewnętrzne,
lub z podłożem to więzy zewnętrzne.
W każdym z więzów, na skutek działania obciążeń pojawiają się siły bierne reakcje.
Aby wyznaczyć reakcje więzów układa się warunki równowagi statycznej.dr inż. Marek Bartoszek 22.03.11 4 Równowaga statyczna konstrukcji stat. wyznaczalność i geometr. niezmienność
Ustrój o takiej samej liczbie więzów jak stopni swobody (W=0) może być statycznie wyznaczalny z warunków równowagi statycznej można wyznaczyć nieznane reakcje więzów, ale więzy muszą być właściwie rozmieszczone.
Ustrój o większej liczbie więzów niż stopni swobody (W<0) jest statycznie niewyznaczalny nie ma wystarczającej liczby niezależnych równań równowagi aby wyznaczyć reakcje nadliczbowych więzów.
Jeśli ustrój ma mniej więzów niż stopni swobody (W>0) to nie można go unieruchomić jest mechanizmem (jest 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 5 geometrycznie zmienny i statycznie niewyznaczalny). Równowaga statyczna konstrukcji Przypomnienie: dobór warunków równowagi
Liczba niezależnych równań równowagi ułożonych dla całego ustroju jest stała: w 2D są tylko 3 takie równania.
W ustroju złożonym z e elementów jest w sumie 3*e nieznanych reakcji więzów zewnętrznych i wewnętrznych.
Kolejne warunki równowagi poza trzema dla całości układa się dla dowolnej części ustroju (jednej lub kilku).
Więzy łączące wydzieloną część konstrukcji z resztą ustroju zastępuje się siłami wewnętrznymi, działającymi na obie części konstrukcji z przeciwnymi zwrotami.
Każda dowolna, nawet najmniejsza, wydzielona część konstrukcji musi być w równowadze czyli spełniać ułożone dla niej warunki równowagi (jak cała konstrukcja). 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 6 Warunki równowagi statycznej Warunki równowagi dla części ustroju Przekrój przez przegub siły wewnętrzne 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 7 Warunki równowagi statycznej Reakcje wyznaczone w ostatnim przykładzie Przyjmijmy w ostatnim zadaniu Py P=12*20.5 kN ą=60 oraz P=12*20.5 kN p=1 ą Poprzednio wybrane równania B C Px pozwalają obliczyć reakcje: L/2 L/2 H =1 P"ćą23 =ćą43 P D L 2 3 ćą V =Py= P 2 HD HA r=3 A D 1 M =-PL"[ ą1 ćą23 ]= r=1 2 2 =-2ąćą3 PL y 4 rakcje M 4 w. zewn. V x 3 ćą H =-Px-H =-1 P- P= A D 2 4 Schemat statyczny ramy stat. =-2ąćą3 P 4 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 8 wyznaczalnej i geom. niezmiennej Warunki równowagi statycznej Oswobodzenie z więzów zewnętrznych VI zasada statyki (zasada P=12*20.5 kN oswobodzenia z więzów) Py=ćą23 Py P p=1 mówi, że: ą B C Px L/2 L/2 każde ciało można oswobodzić Px=1 P z więzów, zastępując ich 2 działanie reakcjami, L L a następnie rozpatrywać je oddzielnie jako ciało 3 ćą 2 H = P H =-Hąćą3 P HD D 4 A 4 A swobodne, znajdujące się D A pod działaniem sił czynnych V i biernych (obciążeń i reakcji M V =ćą23 P M =-2ąćą3 PL więzów). 4 Zgodnie z tym aksjomatem odrzucamy podpory a y 4 rakcje w. zewn. 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek pozostawiamy odpowiednie 9 x reakcje jak na rysunku. Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne jako reakcje więzów wewn. Przegub B to dwa więzy P
wewnętrzne blokujące HB ą e2 możliwość wzajemnego C L/2 L/2 przesuwu obu części VB w dwóch kierunkach. VB L
HB Można rozciąć przegub B zastępując dwa więzy B HD wewnętrzne w przegubie D dwoma reakcjami zgodnie e1 z aksjomatem oswobodzenia L Przekrój I-I przez przegub z więzów . Przegub jednokrotny Przegub nie blokuje obrotu HA A p=1, to dwa więzy (brak odpowiedniego więzu) wewnętrzne: V więc nie ma tam momentu y 2*p=2 w.w. 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 10 skupionego (MB=0). x M Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne równowaga dla części ustroju Więzy wewnętrzne przesuwu P
zastąpiono dwoma HB ą e2 reakcjami więzów wewn. C L/2 L/2 siłami wewnętrznymi: VB HB oraz VB. VB L
HB Siły wewnętrzne HB i VB B przyłożono do obu części HD D z przeciwnymi zwrotami, e1 gdyż każda z części L oddziałuje na drugą z taką Przekrój I-I przez przegub samą siłą ale w przeciwnym Przegub jednokrotny kierunku zgodnie z zasadą HA p=1, to dwa więzy A akcji i reakcji (V zasada wewnętrzne: V y 2*p=2 w.w. statyki). 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 11 x M Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne równowaga dla części ustroju Siły wewnętrzne HB i VB są P
nieznane, tak samo jak (były HB ą e2 nieznane) reakcje więzów C L/2 L/2 zewn (reakcje podporowe). VB VB Element e2 ma 3 więzy: L
HB 1 zewn. w podporze D oraz 2 wewn. w przegubie B. B HD D Element e1 ma 5 więzów: e1 3 zewn. w podporze A oraz L Przekrój I-I przez przegub 2 wewn. w przegubie B. Przegub jednokrotny Cała rama ma w sumie 6 HA p=1, to dwa więzy A różnych niewiadomych (w 6 wewnętrzne: V więzach blokujących 6 stopni y 2*p=2 w.w. swobody statycznie 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 12 x M wyznaczalnej ramy). Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne równowaga dla części ustroju P Reakcję HD wyznaczyliśmy
HB ą już z równania ŁMB(C)=0, e2 C L/2 L/2 które jest warunkiem VB równowagi dla części VB konstrukcji: elementu e2 . L
HB Pozostały dwie niewiadome e2: B HB, VB (1 równ. z 1 niewad.). HD D e1 Obliczymy je z kolejnych dwóch L warunków równowagi Przekrój I-I przez przegub ułożonych dla części e2. Przegub jednokrotny HA Mamy nieskończenie wiele kombinacji p=1, to dwa więzy A warunków równowagi dla e2, wewnętrzne: V przeważnie są zależne ale dla y 2*p=2 w.w. pojedynczej części w 2D zawsze jest 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 13 x M wiele takich trójek warunków, które są niezależne. Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne równowaga dla części ustroju Py P Przykładowo HB i VB można
HB obliczyć z warunków dla e2 : ą e2 C Px L/2 L/2 " Py=0 oraz " MC=0 VB VB W ten sposób obliczymy L
HB wartości sił wewnętrznych w przekroju I-I przez przegub B B, w którym moment MB=0. HD D e1 Mając siły HB i VB można by L Przekrój I-I przez przegub obliczyć reakcje HB, V, M Przegub jednokrotny z 3 niezależnych warunków HA p=1, to dwa więzy A równowagi ułożonych wewnętrzne: V wyłącznie dla elementu e1 . y 2*p=2 w.w. Oczywiście już je znamy. 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 14 x M Warunki równowagi statycznej Warunki równowagi dla części ustroju Siły wewnętrzne w przekroju przez węzeł sztywny 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 15 Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne w sztywnym węzle MC P Podobny przekrój można
VC wykonać w dowolnym p=1 ą miejscu np przez węzeł C. B L/2 L/2 HC MC Jest to węzeł sztywny e1 z trzema więzami L VC wewnętrznymi, więc po
rozcięciu trzeba je zastąpić HC C trzema niewiadomymi siłami A Przekrój II-II wewnętrznymi: HC, VC, MC. HA V L przez węzeł sztywny M Oczywiście muszą one działać jednakowo na obie części HD D ustroju lecz mieć przeciwne zwroty zgodnie z V. zasadą y Sztywny węzeł to trzy akcji i reakcji. 22.03.11 16 więzy wewnętrznedr inż. Marek Bartoszek x Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne równowaga dla części ustroju MC P Na części C-D są 4
VC niewiadome: HC, VC, MC i HD p=1 ą a na części A-B-C jest aż 6 B L/2 L/2 HC niewiadomych: HC, VC, MC i MC e1 HA, VA, MA. W sumie mamy L VC siedem niewiadomych.
HC C Dla części C-D ułożymy 3, A Przekrój II-II dla A-B-C 4 niezależne war. HA V L przez węzeł równowagi, razem 7 równań. sztywny M Jednak najlepiej najpierw HD wyznaczyć reakcje podpór D a dopiero pózniej tylko 3 y dodatkowe nieznane siły. Sztywny węzeł to trzy 22.03.11 17 wewnętrzne: HC, VC, MC. więzy wewnętrznedr inż. Marek Bartoszek x Warunki równowagi statycznej Warunki równowagi dla części ustroju Siły wewnętrzne w dowolnym przekroju pręta 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 18 Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne dowolny przekrój Mą P Podobny przekrój można ą Xą= wykonać w dowolnym Hą ą p=1 ź L miejscu np. w ź pręta C-B. Mą B L/2 L/4 Dwie części jednego pręta Vą e1 łączą się w sposób sztywny. L C L/4 Hą W takim połączeniu w 2D są Vą ą trzy więzy wewnętrzne L A (w 3D byłoby 6 więzów). HA V Więzy w miejscu rozcięcia HD M Przekrój ą-ą zastępujemy siłami D prostopadły wewnętrznymi: Hą, Vą, Mą. do osi pręta Działają one jednakowo na obie y Sztywny węzeł to trzy części lecz z przeciwnymi 22.03.11 19 więzy wewnętrznedr inż. Marek Bartoszek x zwrotami. Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne dowolny przekrój Mą P Podobnie jak poprzednio mamy ą Xą= 7 niezależnych równań Hą ą p=1 ź L równowagi statycznej ustroju Mą B L/2 L/4 (3 dla całości i 4 dla części), Vą z których wyznaczymy e1 L 7 niewiadomych: Hą, Vą, Mą C L/4 Hą oraz HD, HA, VA, MA. Vą ą L A Aby wyznaczyć nieznane siły HA V wewnętrzne: Hą, Vą, Mą HD M Przekrój ą-ą w przekroju ą w tym D prostopadły przypadku, najlepiej najpierw do osi pręta obliczyć reakcje podpór dla całego (niepodzielonego) y W dowolnym przekroju ustroju (nie zawsze możliwe). 22.03.11 20 pręta w 2D mamy dr inż. Marek Bartoszek x 3 więzy wewnętrzne Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne dowolny przekrój Mą P Znając reakcje: HD, HA, VA, MA , ą Xą= Hą ą p=1 obliczymy siły wewnętrzne: Hą, ź L Mą B L/2 L/4 Vą, Mą (przekrojowe) np. z 3 Vą warunków równowagi dla e1 L części ą-C-D: C L/4 Hą Vą V =0 " Py=0: ą ą L A " Px=0: HA V H =HD=ćą43 P ą HD M Przekrój ą-ą 3 ćą D " MśąDźą=0: M =HD"L= PL prostopadły ą ą 4 do osi pręta Wartości sił, które obliczymy z równań dla drugiej części, y W dowolnym przekroju 22.03.11 muszą być takie same więc21 pręta w 2D mamy dr inż. Marek Bartoszek x 3 więzy wewnętrzne używa się ich do sprawdzenia Siły wewnętrzne (przekrojowe) Funkcje sił wewn. wzdłuż osi pręta Mą P Jak zmienią się wartości sił ą Xą= wewnętrznych: Hą ą p=1 ź L Mą B L/2 L/4 M =HD"L ą Vą e1 H =HD V =0 ą ą L C L/4 Hą Vą po przesunięciu przekroju ą-ą ą wzdłuż osi pręta? L A HA V W powyższych równaniach nie miało znaczenia położenia HD M Przekrój ą-ą D prostopadły przekroju xą=ź L więc do osi pręta wartości sił były stałe dla dowolnego przekroju y W dowolnym przekroju x "<0,L) . 22.03.11 22 pręta w 2D mamy dr inż. Marek Bartoszeką x 3 więzy wewnętrzne Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne (przekrojowe) Funkcje sił wewnętrznych 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 23 Siły wewnętrzne (przekrojowe) Funkcje sił wewn. wzdłuż osi pręta Mą Przesuńmy przekrój ą-ą aż ą xą"(L, L> poza siłę skupioną P. Hą p=1 Położenie przekroju opisuje Mą B L/4 P współrzędna: xą"(L, L> . Vą ą e1 L Warunki równ. dla części ą-C-D C L/4 L/2 Hą będą tym razem funkcjami Vą ą współrzędnej xą: L A HA V " Py=0: V ąPy=0 ą HD M Przekrój ą-ą D " Px=0: H =HDąPx ą prostopadły do osi pręta " MśąDźą=0: ą L y W dowolnym przekroju pręta w 2D M ąPy"śąxą- źą=H24"L ą D 2 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek mamy 3 więzy wewnętrzne x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Funkcje sił wewnętrznych Mą Wartości sił wewnętrznych w ą xą"(L, L> przekroju ą-ą : Hą p=1 Mą B L/4 V =ćą23 P ą P Vą ą e1 H =ćą3ą2 P ą 4 L C L/4 L/2 Hą M =ćą23 PśąL-xą źą Vą ą ą W tym przypadku moment L A przekrojowy Mą jest funkcją HA V współrzędnej xą"(L, L>; HD M Przekrój ą-ą D prostopadły pozostałe dwie siły są do osi pręta funkcjami stałymi. y Funkcje te można wykreślić W dowolnym przekroju pręta w 2D 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 25 wzdłuż osi pręta! mamy 3 więzy wewnętrzne x Warunki równowagi statycznej Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy funkcji sił wewnętrznych 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 26 Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L Rozważmy prostszy ustrój - K=qL2/4 q belkę wolno-podpartą ze HA A P=qLC D wspornikiem jak na rysunku. L/2 L/2 L/2 B Najpierw obliczmy reakcje: VA VC " Px=0: H =P A L V L=Kąq "5 L " MA=0: C 2 4 Ustrój składa się z 1 elementu, który ma 3 stopnie swobody w 2D. L V LąKąq "L=0 " MB=0: A 2 4 3 więzy zewn. blokują te 3 st. swob. 7 ustrój jest statycznie wyznaczalny. H =qL;V = qL;V =-3 qL A C A 8 8 1 Te 3 liniowe więzy zewn. nie przecinają się VAąVC=q L Spr. " Py=0: w jednym punkcie ustrój jest 2 geometrycznie niezmienny (warunek 1 wystarczający rozmieszczenia tych 3 -3 qLą7 qL= qL 8 8 2 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 27 y więzów). La"P x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L Przyjmijmy początek układu ą współrzędnych w punkcie A. y Osią OX będzie oś belki. K=qL2/4 q HA A P=q C D Dokonajmy przekroju ą-ą belki. LL/2 x B L/2 Położenie przekroju wyrazmy VA VC współrzędną xą"<0,3/2L>. ą xą Podpory i obciążenia (oraz ewentualne węzły) dzielą belkę na 3 przedziały: I II III I: A-B: xą"<0,L) II: B-C: xą"(L,L) H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 28 y III: C-D: xą"(L,3/2L> x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta ą Więzy wewnętrzne w przekroju Dane: q, L xą Mą ą-ą zastąpimy siłami wewnętrzn. (przekrojowymi): HA A Ną, Tą, Mą . Ną VA Tą Nazwy sił wewnętrznych zależą od ich działania w stosunku K=qL2/4 do osi belki lub w stosunku Mą q do przekroju ( do osi): P=qL C D N osiowa lub normalna B L/2 L/2 Ną Tą VC T, V poprzeczna lub tnąca ą M moment zginający. W 3D jest 6 więzów i 6 sił wewn.: H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek y N, Ty, Tz, My, Mz, Ms. 29 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zasady znakowania sił wewnętrznych Zasady znakowania sił wewnętrznych: - dodatnia siła osiowa N działa od przekroju rozciąga element w miejscu przekroju; - dodatnia siła tnąca T kręci zgodnie ze wskazówkami zegara względem przekroju; - dodatni moment M rozciąga + wybraną przez nas stronę pręta (na rysunku kropkami + oznaczono dolną stronę pręta). 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 30 Siły wewnętrzne (przekrojowe) Która strona belki jest rozciągana przez M P Dodatni moment M rozciąga wybraną przez nas stronę pręta a ujemny przeciwną. W belkach zwykle wybiera się P dolną stronę jako dodatnią . Ną Mą Tą y 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 31 x r o z c i ą g a n i e ś c i s k a n i e Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta ą Szybko określimy wartości sił Dane: q, L xą Mą wewnętrznych zapisując warunki równ.gi dla wybranej HA A części ustroju, od razu w przekształconej formie: Ną VA Tą po lewej stronie znaku = zapisujemy obliczaną siłę; po K=qL2/4 Mą q prawej pozostałe składniki równania z właściwymi P=qL C D znakami. B L/2 L/2 Ną Tą VC Część ustroju, dla której ą będziemy sumowali siły wybieramy przyjmując tam początek układu współrzędn. H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 32 y Tutaj jest to strona A-ą. x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Sposób obliczania sił przekrojowych (wewn.) ą Siły wewnętrzne są sumami Dane: q, L xą Mą odpowiednich sił działających po jednej ze stron przekroju: HA A - siła osiowa N jest = sumie Ną VA Tą wszystkich sił przyłożonych po jednej stronie przekroju i równoległych do osi pręta; K=qL2/4 Mą q - siła poprzeczna (tnąca) T jest P=qL C D równa sumie wszystkich sił B L/2 L/2 Ną po jednej stronie przekroju Tą VC i prostopadłych do osi belki; ą - moment zginający M jest = sumie momentów wszystkich H =qL;V =7 qL;V =-3 qL sił po jednej stronie przekroju A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 33 y względem śr. ciężk. przekr. x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta ą Siły wewnętrzne w przedziale I: Dane: q, L y xą Mą A-B, xą"<0,L): HA A Ną=-HA =-qL Ną gdyż HA działa do ustroju; VA Tą Tą=ąVA =-3 qL 8 K=qL2/4 Mą q +VA kręci wzgl. przekroju P=qL C D zgodnie ze wskazówkami; B L/2 L/2 Ną Mą=ąVA"xą =-3 qL"xą Tą VC 8 ą + gdyż VA wygina koniec pręta w górę rozciągając zaznaczone włókna dolne. H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 34 y x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta y xą ą Siły wewnętrzne w przedziale Dane: q, L K=qL2/4 II: B-C, xą"(L,L): Mą HA A P=qL Ną=-HAąPą0 =0 L/2 B Ną Tą gdyż P działa od przekroju VA a momentu skupionego K nie rzutuje się na żaden kier.; Mą q Tą=ąVAą0ą0=-3 qL 8 C D gdyż P działa prostopadle L/2 Ną a momentu nie rzutuje się; Tą VC ą Mą=ąVA"xąąK +K gdyż K rozciąga zaznaczone włókna dolne H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 35 y kręci w tę stronę co VA . x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta y xą ą Siły wewnętrzne w przedziale Mą K=qL2/4 III: C-D, xą"(L, 3/2L>: q HA A P=qL Ną=-HAąP =0 L/2 B L/2 C Ną gdyż nic nowego wzdłuż osi; VA VC Tą Tą=ąVAąVC-q"śą xą-Lźą= Mą q gdyż VC kręci zgodnie a q przeciwnie do pierwszej skł.; Ną D Mą=ąVA"xąąKą Dane: q, L Tą ą ą ąVC"śąxą-Lźą-q"śąx -Lźą2 2 gdyż VC rozciąga zaznaczony H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek y dół jak VA a q przeciwną str.36 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L W zależności od przedziału otrzymaliśmy następujące K=qL2/4 q funkcje sił wewnętrznych: HA A P=qLC D osiowe: L/2 B L/2 L/2 Ną=-HAąP VA VC I II i III tnące: Tą=ąVAąVC-q"śą xą-Lźą I II III I i II III momenty: I II III H =qL;V =7 qL;V =-3 qL A C A 8 8 Mą=ąVA"xąąKą 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 37 y ą ąVC"śąxą-Lźą-q"śąx -Lźą2 x 2 Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L Po podstawieniu obc. i reakcji: K=qL2/4 - osiowe: q HA A P=qLC D NI =-qL NII=NIII=0 ą ą ą L/2 B L/2 L/2 - tnące: II VA VC TI =Tą=-3 qL ą 8 TIII=ą3 qL-q"xą ą 2 - momenty: I II III 3 MI =-8 qL"xą ą MII=-3 qL"xąą1 qL2 ą 8 4 H =qL;V =7 qL;V =-3 qL 3 2 A C A 8 8 MIII=-1 q xąą qL xą -9 qL2 ą 2 2 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 38 y x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L K=qL2/4 q Wykreślmy momenty zginające: HA A P=qLC D - przedział I (f. liniowa): L/2 B L/2 L/2 I Mąśąxą=0źą=0 VA VC L 3 I Mąśąxą= źą=-16 qL2 2 I II III - przedział II (f. liniowa): L 1 II Poszukujemy ekstremum MąIII(xą): Mą śąxą= źą=16 qL2 2 dMIII ą II =0 ! xextr : Mą śąxą=Lźą=-1 qL2 dxą 8 dMIII - przedział III (f. kwadratowa): ą =-q xąą3 qLa"TIII ą dxą 2 III Mą śąxą=Lźą=-1 qL2 8 TIII=ą3 qL-q"xextr=0 ą 2 III Mą śąxą=3 Lźą=0 2 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 39 y xextr=3 L III 2 MIII =Mą śąxextr=3 Lźą extr 2 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L K=qL2/4 q Wykreślmy momenty zginające: HA A P=qLC D - przedział I (f. liniowa): L/2 B L/2 L/2 I Mąśąxą=0źą=0 I II III VA VC L 3 I Mąśąxą= źą=-16 qL2 2 3/16 - przedział II (f. liniowa): 1/8 L 1 II M K Mą śąxą= źą=16 qL2 2 [qL2] II Mą śąxą=Lźą=-1 qL2 8 - przedział III (f. kwadratowa): + 1/16 III Mą śąxą=Lźą=-1 qL2 8 Na wykresie M nie umieszczamy III Mą śąxą=3 Lźą=0 2 znaków, ważne aby wykres był 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 40 y III MIII =Mą śąxextr=3 Lźą wykonany po właściwiej stronie. extr 2 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L K=qL2/4 q Wykreślmy siły poprzeczne T: HA A P=qLC D - przedział I (f. stała): L/2 B L/2 L/2 I Tą=-3 qL=const. 8 I II III VA VC V =-3 qL 7 A 8 V = qL C 8 - przedział II (f. stała): II Tą=-3 qL=const. 8 1/2 T - przedział III (f. liniowa): qL/2 VC III [qL] + Tą =ą3 qL-q"xą 2 VA III 3/8 - Tą śąxą=Lźą=ą3 qL-q L=1 qL 3/8 2 2 3 III Tą śąxą=3 Lźą=ą3 qL-q L=0 2 2 2 Na wykresie T ważne są znaki; a strona, po której będą 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 41 y x zaznaczone rzędne + oraz - , ma drugorzędne znaczenie. Siły wewnętrzne (przekrojowe) Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta Dane: q, L K=qL2/4 q Wykreślmy siły osiowe N: HA A P=qLC D - przedział I (f. stała): H =qL L/2 B L/2 L/2 A NI =-qL=const. ą I II III VA VC czyli ściskanie osiowe - przedział II (f. stała): N NII=0=const. ą [qL] HA - 1 P 1 - przedział III (f. stała): NII=0=const. ą Na wykresie N ważne są znaki; strona, po której będą 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 42 y zaznaczone rzędne + oraz - , ma drugorzędne znaczenie. x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zależność pomiędzy wykresami M i T Dane: q, L K=qL2/4 q Wykresy na belkach rysuje się P=qLC A D jeden pod drugim. H =qL L/2 B L/2 L/2 A Pomiędzy wykresami M i T zachodzi zależność: 7 V =-3 qL V = qL A 8 C 8 3/16 dMą 1/8 =Tą M K dxą [qL2] T są pochodną M, więc: tam jest ekstremum M, gdzie T + zmienia znak; rzędna 1/16 1/2 wykresu T to nachylenie M. T qL/2 VC Gdy wykres M jest linowy, to [qL] + wartość T można obliczyć: 1 1 VA 3/8 ą M 3 - 8 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek y #"T#"= =śą ą16 źąqL2= qL43 3/8 ą x L/2 8 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zasady tworzenia wykresów sił wewn. Dane: q, L K=qL2/4 q Sporządzanie wykresów sił P=qLC A D wewnętrznych na podstawie funkcji jest pracochłonne. H =qL L/2 B L/2 L/2 A W praktyce staramy się robić 7 V =-3 qL V = qL A 8 C 8 wykresy bez zbędnych 3/16 obliczeń. 1/8 M K Na podstawie rodzaju i [qL2] rozmieszczenia obciążeń ustala się typ funkcji, + charakterystyczne punkty, 1/16 1/2 oczywiste rzędne. T qL/2 Oblicza się tylko brakujące VC [qL] + rzędne w wybranych VA przekrojach tak aby możliwe 3/8 - 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 44 y 3/8 było wykreślenie funkcji. x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zasady tworzenia wykresów sił wewn. Dane: q, L K=qL2/4 q Gdzie na wykresie sił wewn. P=qLC A D występuje skok wartości: - na wykr. M jest skok pod H =qL L/2 B L/2 L/2 A momentem skupionym K; 7 V =-3 qL V = qL A - na wykr. T jest skok pod 8 C 8 3/16 siłami skupionymi do osi, 1/8 reakcjami: VA i VB; M K - na wykr N jest skok od siły [qL2] skupionej P działającej wzdłuż osi. + 1/16 W miejscu działania siły 1/2 T skupionej do osi wartość qL/2 VC [qL] + momentu M po prawej i lewej stronie jest taka sama jest VA 3/8 - tylko załamanie zgodne z 45 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek y 3/8 kierunkiem działania siły. x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zasady tworzenia wykresów sił wewn. Dane: q, L K=qL2/4 q Moment skupiony K powoduje P=qLC A D skok na wykresie M w stronę zależną od kierunku działania H =qL L/2 B L/2 L/2 A K: 7 V =-3 qL V = qL A 8 C 8 Pochylenie wykresu momentów 3/16 po obu stronach K jest takie 1/8 M K samo (funkcje M(x) różnią się tylko o stałą). [qL2] Moment skupiony nie wpływa + na kształt wykresu sił 1/16 1/2 poprzecznych T ani sił T osiowych N. qL/2 VC [qL] + W przegubie moment zginający VA M jest równy zeru. 3/8 - 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 46 y 3/8 x Siły wewnętrzne (przekrojowe) Zasady tworzenia wykresów sił wewn. Dane: q, L K=qL2/4 q Wykresem momentów od P=qLC A D obciążenia równomiernie rozłożonego q jest parabola H =qL L/2 B L/2 L/2 A ramionami skierowana 7 V =-3 qL V = qL A przeciwnie do kierunku 8 C 8 3/16 działania obciążenia q. 1/8 M K Aby wykreślić parabolę potrzeba 3 wartości: [qL2] na końcach przedziału i ekstremum. Oś symetrii + 1/16 paraboli przechodzi przez jej 1/2 T wierzchołek (ekstemum). qL/2 VC [qL] + Obciążenie q równomiernie rozłożone, działające do VA 3/8 - 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 47 y osi pręta zmienia wykres sił T 3/8 x liniowo a nie skokowo. DZIEKUJ ZA UWAG KONIEC wykładu 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 48 Siły działające na konstrukcję przyczyny i skutki
Siły czynne czyli obciążenia działające na konstrukcję
Siły bierne są to reakcje oraz siły wewnętrzne powstające na skutek działania obciążeń reakcje pojawiąją się w podporach podtrzymujących konstrukcję wyznacza się je metodami mechaniki budowli 22.03.11 dr inż. Marek Bartoszek 49