Adam Zaborski  Stan odkształcenia: przykłady
Stan odkształcenia
Przykład 1.
Określić stan odkształcenia w punkcie A(2,-4,3), jeśli funkcje przemieszczeń są w postaci:
2
u = (xy + x2 - y ) Å"10-5
v = (4x - 3y + 3x2 )Å"10-5
RozwiÄ…zanie
1
Z równaÅ„ geometrycznych Cauchy ego, µ = (ui, j + u ) , obliczamy współrzÄ™dne tensora
ij j.i
2
odkształcenia i podstawiamy współrzędne punktu:
"u
µ = = (y + 2x)Å"10-5 = (-4 + 4) Å"10-5 = 0
x
"x
"v
µ = = -3Å"10-5
y
"y
ëÅ‚ öÅ‚
1 "u "v 1
ìÅ‚ ÷Å‚
µ = + = (x - 2y + 4 + 6x)Å"10-5 = 36Å"10-5
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 2.
Określić odkształcenie liniowe w kierunku równoległym do zadanego wektora n.
4 2
ëÅ‚ öÅ‚
Tµ = ìÅ‚ ÷Å‚ Å"10-4 , n(3,-4)
ìÅ‚
2 - 3÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie
Postępujemy podobnie jak przy obliczaniu składowej normalnej wektora naprężenia.
Obliczamy wersor wektora:
n(0.6,-0.8)
Rzut tensora odkształcenia na kierunek n daje wektor odkształcenia:
µ = µ n
i ij j
gdzie pojedynczy indeks przy wyrażeniu po lewej nie oznacza  skróconego zapisu
powtarzającego się indeksu, lecz pojedynczy indeks (a więc składową wektora)
µ = µ nx + µ n = [4Å" 0.6 + 2Å" (-0.8)]Å"10-4 = 2.4Å"10-4 -1.6Å"10-4 = 0.8Å"10-4
x x xy y
µ = µ nx + µ n = [2 Å"0.6 - 3Å" (-0.8)]Å"10-4 = 1.2Å"10-4 + 2.4 Å"10-4 = 3.6Å"10-4
y xy y y
Rzucając ponownie na ten sam kierunek otrzymujemy składową liniową (normalną)
odkształcenia (skalar):
µ = µ n = 0.8Å"0.6Å"10-4 + 3.6Å" (-0.8) Å"10-4 = 0.48Å"10-4 - 2.88Å"10-4 = -2.4 Å"10-4
j j
Podobny wynik możemy uzyskać na innej drodze. Zastosujemy prawo transformacji
tensorowej. Z warunków zadania wynika, że należy przetransformować wyjściową macierz
odkształcenia, zapisaną w układzie (x,y), do kierunku, którego np. pierwszą oś wskazuje
wersor n. Wersor ten jest więc pierwszym wierszem macierzy przejścia. Z warunku
ortonormalności (ortogonalności i unormowania) macierzy przejścia łatwo odtworzyć drugi
wiersz macierzy przejścia:
0.6 öÅ‚
ëÅ‚ - 0.8
Ä…ij = ìÅ‚ ÷Å‚
, i = n, m, j = x, y
ìÅ‚ ÷Å‚
0.8 0.6
íÅ‚ Å‚Å‚
Z prawa transformacji tensorowej otrzymujemy:
2 2
µ = Ä… µ + 2Ä… Ä… µ +Ä… = 0.62 Å"4Å"10-4 + 2Å"0.6Å"(-0.8) Å" 2Å"10-4 + 0.82 Å"(-3)Å"10-4 = -2.4Å"10-4
n nx x nx ny xy ny
Adam Zaborski  Stan odkształcenia: przykłady
Przykład 3
Dla danego tensora odkształcenia w p.s.o. określić odkształcenia i kierunki główne
ëÅ‚ 4 1.6
öÅ‚
Tµ = ìÅ‚ ÷Å‚ Å"10-5 .
ìÅ‚
1.6 -1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie:
2
µ + µ µ -µ
ëÅ‚ öÅ‚
x y x y
2
ìÅ‚ ÷Å‚
OdksztaÅ‚cenia główne ze wzorów: µ1,2 = Ä… + µ wynoszÄ…:
x y
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
µ1 = 4.468·10-5, µ2 = -1.468·10-5
µ1 - µ µ - µ
x 2 x
Kierunki główne: tgÄ…1 = Ò! Ä…1 = 0.2847, tgÄ… = Ò! Ä… = -1.286
2 2
µ µ
x y x y
gdzie ą1 jest kątem pomiędzy osią  x układu wyjściowego a osią  1 układu głównego
(dokładniej: mniejszy z 2 możliwych), ą2 to kąt pomiędzy osią  x a osią  2 , przy czym:
Ä„
Ä…1 + Ä… = .
2
2
Macierz przejścia i tensor odkształcenia w układzie własnym:
ëÅ‚ cosÄ…1 sin Ä…1 0.9598 0.2808 4.468 0 öÅ‚
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
aij = ìÅ‚ ÷Å‚ , Tµ ìÅ‚ ÷Å‚ Å"10-5
ìÅ‚cosÄ… sin Ä… ÷Å‚ = ìÅ‚
÷Å‚ ìÅ‚0.2808 - 0.9598÷Å‚ = ìÅ‚
0 -1.468÷Å‚
íÅ‚ 2 2 Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 4  Rozeta tensometryczna
Ponieważ pomiar odkształcenia liniowego jest prostszy niż odkształcenia kątowego,
bezpośredni pomiar składowych tensora odkształcenia (w p.s.o.), zastępuje się pomiarem
odkształcenia liniowego w trzech kierunkach na płaszczyz
nie.
Rozetą tensometryczną typu  delta dokonano pomiaru odkształceń liniowych. Dla
otrzymanych wyników określić macierz odkształcenia w układzie kartezjańskim (x,y).
µ = 0.000075, µ = 0.000034, µ = -0.000048
a b c
y
b
120º
x=a
120º
c
RozwiÄ…zanie
Zależność, zachodzącą między odkształceniem mierzonym w dowolnym kierunku,
określonym kątem ą w stosunku do pierwszej osi przyjętego układu współrzędnych, można
zapisać za pomocą wzoru transformacyjnego tensora odkształcenia:
2 2 2
µÄ… = aÄ…xµ + 2aÄ…xaÄ…yµ + aÄ…yµ = cos2 Ä…µ + 2 cosÄ… sin Ä…µ + sin Ä…µ .
x xy y x xy y
OczywiÅ›cie µ = µ . ZapisujÄ…c powyższy wzór kolejno dla kierunków b i c, dostajemy ukÅ‚ad
x a
równań:
0.000034 = 0.25Å"0.000075 + 2Å" (-0.5) Å" 0.866Å"µ + 0.8662 µ
xy y
- 0.000048 = 0.25Å" 0.000075 + 2Å" (-0.5) Å"(-0.866) Å"µ + 0.8662 µ
xy y
z którego wyliczamy:
µ = -0.000034, µ = -0.000047
y xy
i ostatecznie macierz odkształcenia:
ëÅ‚ 0.000075 - 0.000047
öÅ‚
Tµ = ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
- 0.000047 - 0.000034÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Adam Zaborski  Stan odkształcenia: przykłady
Przykład 5
Czy podana macierz może być macierzą odkształceń?
ëÅ‚5xy - Ay 2 Ax - By öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Tµ =
ìÅ‚ ÷Å‚
4xy - By Bx2 - 7xy
íÅ‚ Å‚Å‚
RozwiÄ…zanie:
Aby macierz mogła być macierzą odkształcenia musi spełniać warunki całkowalności
(równania nierozdzielności). Z ogólnej liczby 81 równań (z czego jedynie 6 równań jest
niezależnych):
µi j,kl + µkl,i j - µik, jl - µ = 0
jl,ik
dla płaskiego stanu odkształcenia warunki redukują się do jednego równania:
2 2
2
" µ " µ
" µ
y x y
x
+ - 2 = 0 .
2 2
" x" y
" y " x
Po wykonaniu elementarnych obliczeń, mamy:
-2A + 2B - 0 = 0 A = B
Tak więc podana macierz może być macierzą odkształceń (czyli opisywać odkształcenia
kontinuum materialnego) jeśli A = B.