Charakterystyki geometryczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Charakterystyki geometryczne figur płaskich Wielkości geometryczne charakteryzujące przekrój pod względem wytrzymałościowym to: pole przekroju (A), (ang. cross section), momenty statyczne przekroju (S), (ang. first moments of area), momenty bezwładności przekroju (I ), (ang. second moments of area) 2 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Pole przekroju (figury płaskiej) określa się wzorami: A = dA = dydz S Jest to wielkość zawsze dodatnia 3 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Momenty statyczne przekroju (figury płaskiej) względem dowolnej osi leżącej w płaszczyznie tego przekroju określa się wzorami: Sy = zdA, Sz = ydA
A A Są to wielkości addytywne, o wartościach dodatnich lub ujemnych 4 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Momenty statyczne są potrzebne do obliczania współrzędnych środków geometrycznych (środków ciężkości) przekrojów: ydA zdA
Sy Sz A A ey = = , ez = = A A A A Wniosek: moment statyczny względem dowolnej osi centralnej (przechodzącej przez środek geometryczny przekroju, np. yc, zc lub każda oś symetrii przekroju) jest równy zeru. 5 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 6 W przypadku przekrojów złożonych z prostych figur geometrycznych, ze względu na addytywność momentów statycznych, można zastosować wzory uproszczone (sumowanie zamiast całkowania): i=n i=n Sy = yi Ai z Ai, Sz = i i=1 i=1 i=n i=n yi Ai z Ai i Ponadto: i=1 i=1 ey = , ez = i=n i=n Ai Ai
i=1 i=1 6 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 7 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Biegunowy moment bezwładności przekroju (I0) (moment bezwładności przekroju względem punktu) oblicza się ze wzoru: 2 I0 = r dA A 8 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 9 Momenty bezwładności przekroju względem osi (Iy , Iz) (momenty osiowe) są zdefiniowane przez poniższe wzory: I = z2dA, I = y2dA y z
A A Momenty bezwładności są wielkościami addytywnymi, mającymi zawsze wartości dodatnie; addytywnymi , tzn. np. Iy=Iy1+Iy2+... Promieniem bezwładności nazywa się wielkość zdefiniowaną następująco: Iy Iz i = , i = y z A A 9 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 10 Odśrodkowy moment bezwładności przekroju (Iyz) względem układu osi yz (moment zboczenia, moment dewiacji) wyraża się wzorem: Iyz = yzdA
A Momenty odśrodkowe są wielkościami addytywnymi, przyjmującymi wartości dodatnie lub ujemne. Układ osi yz, w którym moment odśrodkowy równa się zeru nazywa się układem osi głównych; aby Iyz=0 wystarczy, że jedna z osi jest osią symetrii przekroju, Układ osi głównych o początku w środku geometrycznym przekroju to układ głównych centralnych osi bezwładności 10 Charakterystyki geometryczne figur płaskich W przypadku równoległego przesunięcia układu osi do obliczania momentów bezwładności stosuje się twierdzenie Steinera. Wyraża się ono wzorami: 2 2 I = I + Aez , I = I + Aey , y yc z zc a dla momentów odśrodkowych: I = I + Aezey yz yczc 11 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 12 Gdy występuje obrót układu odniesienia wokół jego początku o kąt a... 12 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 13 ... wówczas słuszne są następujące zależności: I = I cos2 a + I sin2 a - I sin 2a yą y z yz Iz = Iy sin2 a + Iz cos2 a + Iyz sin 2a ą I - I y z Iy zą = Iyz cos 2a + sin 2a ą 2 13 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Dla układu osi obróconych o kąt a względem osi głównych yg, zg powyższe równania można też zapisać w następującej formie: Iy + Iz Iy - Iz g g g g I = + cos 2a yą 2 2 Iy + Iz Iy - Iz g g g g Iz = - cos 2a ą 2 2 I - I yg zg I = sin 2a yązą 2 14 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 15 Wniosek: przy obrocie układu odniesienia zawsze słuszne są zależności: Iy + Iz = Iy + Iz = I0 ą ą g g Wzory można przedstawić graficznie za pomocą tzw. koła Mohra. 15 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Koło Mohra pozwala odczytać wartości momentów Iy, Iz i Iyz dla układu obróconego o dowolny kąt a względem układu głównego, albo wartości ekstre- malne momentów 16 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 17 2 I + I I - I ć y z y z 2 Imaks = Iy = + + Iyz
g Momenty 2 2 Ł ł główne można 2 teraz wyrazić I + I I - I ć y z y z 2 wzorami, które Imin = I = - + I zg yz jednocześnie 2 2 Ł ł określają 2I położenie osi yz oraz: tg2a0 = głównych I - I y z Wniosek: momenty bezwładności względem osi głównych mają wartości ekstremalne 17 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 18 Wartości charakterystyk geometrycznych dla najprostszych przekrojów: prostokąt h bh3 ez = , I = y 2 3 bh3 hb3 Iy = , Iz = c c 12 12 18 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Wartości charakterystyk geometrycznych dla najprostszych przekrojów: trójkąt h bh3 ez = , I = y 3 12 bh3 hb3 I = , I = yc zc 36 48 19 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Wartości charakterystyk geometrycznych dla najprostszych przekrojów: koło pd4 pr4 I0 = = 32 2 pd4 pr4 Iy = Iz = = c c 64 4 20 Charakterystyki geometryczne figur płaskich Wartości charakterystyk geometrycznych dla najprostszych przekrojów: półkole ć 1 pr4 pr4 I = I = = y zc 2 4 8 Ł ł 2 4 r pr4 pr2 4 r ć ez = Iy = - @ 0,11r4
c 3 p 8 2 3 p Ł ł 21 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 22 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 23 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 24 Charakterystyki geometryczne figur płaskich 25