CAAKA PODWÓJNA W PROSTOKCIE Niech P = {(x, y): a Ł x Ł b,c Ł y Ł d} f : P R f funkcja ograniczona y d P1 P P3 P 2 Pk Pn c b a x Dn Tworzymy następujący podział prostokąta P i oznaczamy . Pk " prostokąt P dzielimy na n prostokatów o polach Ds , k =1,..., n k Pk " w każdym z prostokatów wybieramy punkt Ak(xk , yk ) Pk " następnie tworzymy sumę całkową n Sn = f (xk , yk )Ds k k =1 Wprowadzamy oznaczenia d długość przekątnej prostokąta P k k dk średnica podziału , gdzie jest największą długością przekątnej; Dn dk dn := mk Łn dk ax 1Ł Tworzymy ciąg podziałów prostokąta P. (Dn) nN Definicja Ciąg nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic (Dn ) nN dąży do 0, tzn. sn nĄ0
Definicja (całki podwójnej) Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych jest (Sn) nN zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A , to granicę tę k f (x, y) nazywamy całką podwójną funkcji w prostokącie P i oznaczamy f (x, y)ds
P Zatem f (x, y)ds := lim0 Sn .
dn P 1 Uwaga f (x, y) Ograniczoność funkcji jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to warunek wystarczający. Twierdzenie (o całkowalności funkcji dwóch zmiennych) f (x, y) Z: funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0, tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż ). T: f jest całkowalna w prostokącie P. Wniosek Z twierdzenia wynika: 1 f ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji y = j(x), gdzie j C([a,b])
f całkowalna w P y Uzasadnienie: {(x,j(x)): x [a,b]} zbiór jest zbiorem miary P y=Ć(x) zero (można go pokryć skończoną liczbą prostokątów o dowolnie małych polach) x b a 2 f ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji x =y (y), gdzie y C([c, d])
f całkowalna w P y c P x=(y) d x Wniosek Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna. opracował Mateusz Targosz 2