KOLOKWIUM TOPOLOGIA 1, 6.11.2003
POTOK II
1. Niech A ‚" R2, B ‚" R2 beda nastepuja cymi podzbiorami: A = {(x, y) " R2 :
dk((x, y), (0, 0)) d" 1}, B = {(x, y) " R2 : dk((x, y), (1, 1)) d" 1}, gdzie dk jest metryka
kolejowa na p
laszczyz
nie. Czy A i B sa spójne?
2. Zbadać spójność {(x, y) " R2 : x " Z lub y " Z}.
3. Niech A ‚" X bedzie dowolnym zaÅ› B ‚" X spójnym podzbiorem przestrzeni topolog-
icznej X. Pokazać, że jeśli A )" B = " i (X \ A) )" B = " , to "A )" B = ".

4. Niech X bedzie spójna przestrzenia metryczna . Pokazać, że jeżeli X nie jest przestrzenia
jedno-punktowa , to X ma co najmniej continuum punktów.
5. Zbadać spójność R z topologia strza
lka.
6. Wykazać, że przestrzeń X = R2 \ A powsta z usuniecia z p
la laszczyzny euklidesowej
podzbioru przeliczalnego A jest spójna.
7. Wykazać, że przestrzeń C(I, R) funkcji cia g na odcinku jest
lych lukowo spójna.
8. Niech f : X R bedzie funkcja cia g z przestrzeni metrycznej spójnej X w prosta
la
euklidesowa . Niech W (f) = {(x, f(x)); x " X} bedzie wykresem funkcji f. Wykazać, że
podprzestrzeÅ„ (X ×R)\W (f) iloczynu X ×R jest niespójna i ma dok dwie sk
ladnie ladowe.
Sk
ladowa przestrzeni X nazywamy jej dowolna spójna podprzestrzeń, maksymalna ze wz-
gledu na w
lasność spójności.






















































 dk dr R2 0 = (0, 0) p(x, y) = (x, 0) de
R2

de(a, b), a, b 0 ,
dk(a, b) =
de(a, 0) + de(b, 0),

de(a, b), p(a) = p(b),
dr(a, b) =
de(a, p(a)) + de(p(a), p(b)) + de(b, p(b)), p(a) = p(b).

1
A = {(x, y) " R2 : x e" 1, 0 < y < }.
x
A (R2, dk) (R2, dr)
f : R2 R2
f(x, y) = (x + y, y).
f (R2, dr) (R2, dr)
C[0, 1] [0, 1] R
1
A = {f " C[0, 1] : t " [0, ], f(t) = 0},
2
1
B = {f " C[0, 1] : t " [0, ), f(t) = 0}.
2
A B C[0, 1]
1
tn " R an = (tn, ) " R2 I(an, an+1)
n
an an+1
"

A = I(an, an+1).
n=1
(t, 0) " A (t - , t + )
[tn, tn+1]
KOLOKWIUM TOPOLOGIA I, 11.12.2003
POTOK II, Grupa A
Nazwisko:
Imie :
1. (15) Udowodnić, że podzbiór [1, 2] × [1, 2] plaszczyzny z metryka rzeka jest homeomor-
ficzny z produktem przestrzeni metrycznych X1 i X2, gdzie X1 = [1, 2] z metryka dyskretna
a X2 = [1, 2] z metryka euklidesowa .
2. (15) Niech f, g : X R be da funkcjami cia glymi rzeczywistymi na przestrzeni spójnej
X takimi, że f(x) < g(x) dla każdego x " X . Pokazać, że zbiór {(x, t)| f(x) < t d" g(x)}
jest spójna podprzestrzenia produktu X × R.
3. (20) Niech X = In be dzie podzbiorem plaszczyzny euklidesowej, gdzie In jest
n"N
odcinkiem domknie tym la cza cym punkt (0, 0) z punktem (1/n, 1). Niech X0 = X *"{(0, 1)}.
Pokazać, że X0 jest przestrzenia spójna . Czy przestrzenie X i X0 sa homeomorficzne ?
4. (15) Niech f : X Y be dzie przeksztalceniem przestrzeni metrycznej (X, dX) w prze-
strzeÅ„ metryczna (Y, dY ). Pokazać, że jeÅ›li wykres W (f) = {(x, y) " X × Y | y = f(x)}
przeksztalcenia f jest zwartym podzbiorem X × Y , to f jest cia gle.
5. (20) Niech T0 = {0}*"{1/n| n " N}. Czy podzbiór plaszczyzny euklidesowej T0 ×T0 jest
homeomorficzny z T0 × T0 \ {(1, 0)} ? Czy T0 × T0 \ {(0, 0)} jest homeomorficzny z T0 × Z,
gdzie Z jest zbiorem liczb calkowitych z topologia podprzestrzeni prostej euklidesowej ?
6. (15) Niech S1 = {(x, y) " R2| x2 + y2 = 1} be dzie podprzestrzenia przestrzeni eukli-
desowej R2. Niech Ia oznacza odcinek domknie ty la cza cy a " R2 z punktem (0, 0). Niech
A be dzie dowolnym podzbiorem S1 a CA = Ia. Pokazać, że CA jest zwarty wtedy
a"A
i tylko wtedy gdy A jest zwarty. Czy prawda jest, że CA jest spójny wtedy i tylko wtedy
gdy A jest spójny ?
KOLOKWIUM TOPOLOGIA I, 11.12.2003
POTOK II, Grupa B
Nazwisko:
Imie :
1. (15) Niech A = B((0, 0), 2) \ B((0, 0), 1) be dzie podzbiorem plaszczyzny z metryka
kolejowa powstalym poprzez usunie cie dysku jednostkowego z dysku otwartego o promieniu
2 i środku w (0, 0). Udowodnić, że podzbiór A jest homeomorficzny z produktem przestrzeni
metrycznych X1 i X2, gdzie X1 jest okre giem jednostkowym z metryka dyskretna a X2
przedzialem [1, 2) z metryka euklidesowa .
2. (15) Niech f, g : X R be da funkcjami cia glymi rzeczywistymi na przestrzeni spójnej
X takimi, że f(x) < g(x) dla każdego x " X . Pokazać, że zbiór {(x, t)| f(x) d" t < g(x)}
jest spójna podprzestrzenia produktu X × R.
3. (20) Niech X = In be dzie podzbiorem plaszczyzny euklidesowej, gdzie In jest
n"N
odcinkiem domknie tym la cza cym punkty (0, 0) i (-1/n, -1). Niech X0 = X *" {(0, -1)}.
Pokazać, że X0 jest przestrzenia spójna . Czy przestrzenie X i X0 sa homeomorficzne ?
4. (15) Niech f : X Y be dzie przeksztalceniem przestrzeni metrycznej (X, dX) w prze-
strzeÅ„ metryczna (Y, dY ). Pokazać, że jeÅ›li wykres W (f) = {(x, y) " X × Y | y = f(x)}
przeksztalcenia f jest zwartym podzbiorem X × Y , to f jest cia gle.
5. (20) Niech T0 = {0}*"{1/n| n " N}. Czy podzbiór plaszczyzny euklidesowej T0 ×T0 jest
homeomorficzny z T0 × T0 \ {(0, 1)} ? Czy T0 × T0 \ {(0, 0)} jest homeomorficzny z Z × T0,
gdzie Z jest zbiorem liczb calkowitych z topologia podprzestrzeni prostej euklidesowej ?
6. (15) Niech S1 = {(x, y) " R2| x2 + y2 = 1} be dzie podprzestrzenia przestrzeni eukli-
desowej R2. Niech Ia oznacza odcinek domknie ty la cza cy a " R2 z punktem (0, 0). Niech
A be dzie dowolnym podzbiorem S1 a CA = Ia. Pokazać, że CA jest zwarty wtedy
a"A
i tylko wtedy gdy A jest zwarty. Czy prawda jest, że CA jest spójny wtedy i tylko wtedy
gdy A jest spójny ?
Egzamin z topologii I
marzec 2003
1 Niech
X = {x " R : -1 d" x < 0} *" N
1
Y = {x " R : x e" 1} *" {x " R : "n"Nx = - }
n
gdzie N = {1, 2, ...}. Prosze zbadać, czy X i Y sa homeomorficzne.

Odpowiedz
uzasadnić.
"

2 Niech X = Xi, gdzie Xi sa zwartymi podprzestrzeniami przestrzeni

i=0
metrycznej X, diam Xi 0 przy i 0, X0 = {x0} i Xi )" Xj = {x0}
dla i = j. Prosze wykazać, że X jest przestrzenia zwarta.


1
3 Niech X = N, Y = {x " R : x = 0 (" "n"Nx = }. Prosze zbadać, czy
n
istnieje funkcja nieciag f : X Y oraz funkcja nieciag g : Y X.
la la

Odpowiedz
uzasadnić, podać przyk jeśli odpowiedz
jest tak.
lad,
Egzamin z topologii I, Potok I, część I, 2003r.
Odpowiedz TAK lub NIE na poniższe 10 pytań (każde za 10 punktów) i krótko uzasadnij odpowiedz
.
(1) Niech C(I, R) będzie przestrzenią funkcji ciągłych określonych na odcinku euklidesowym I = [0, 1]
o wartoÅ›ciach w prostej euklidesowej R z metrykÄ…  supremum : Á(f, g) = sup{| f(x) - g(x) |: x " I}.
Czy zbiór A = {f " C(I, R) : 0 < f(0) < 1} jest otwarty w przestrzeni C(I, R)?
1
(2) Czy podprzestrzenie X = {(x1, x2) " R2 : x1 = 0 i x2 = } i Y = {(x1, x2) " R2 :

x1
x2 = 2x1 lub x2 = 0 } płaszczyzny euklidesowej są homeomorficzne?
(3) Niech
" "

1 1 1
X = {(0, 0)} *" ({ } × [0, ]) i Y = {(0, 0)} *" ({ } × [0, 1])
n n n
n=1 n=1
będą podprzestrzeniami płaszczyzny euklidesowej R2. Czy istnieje przekształcenie ciągłe przestrzeni X
na przestrzeń Y ?
(4) Ile niehomeomorficznych podprzestrzeni płaszczyzny euklidesowej R2 można utworzyć z okręgu o
promieniu 1 i odcinka domkniętego o długości 1?
(5) Czy na płaszczyz
nie euklidesowej R2 suma dwóch zbiorów brzegowych jest zawsze zbiorem
brzegowym?
(6) Czy istnieje przekształcenie ciagłe płaszczyzny euklidesowej R2 na iloczyn metryczny
(R, Áe) × (R, Ád), gdzie Áe jest metrykÄ… euklidesowÄ…, zaÅ› Ád - metrykÄ… dyskretnÄ… w R?
1
(7) Czy podprzestrzeń X = {(x1, x2) " R2 : x1 > 0 i x2 = sinx1 } płaszczyzny euklidesowej jest
homeomorficzna z pewną przestrzenią metryczną zupełną?
(8) Czy przestrzeń metryczna X będąca sumą przeliczalnie wielu niepustych zbiorów otwartych U1, U2, . . .
takich, że Ui )" Uj = " dla i = j, jest niespójna?

(9) Niech (X1, Á1) bÄ™dzie niepustÄ… przestrzeniÄ… metrycznÄ… zwartÄ…, zaÅ› (X2, Á2) - niepustÄ… przestrzeniÄ…
metryczną niezwartą. Czy iloczyn metryczny tych przestrzeni może być przestrzenią zwartą?
(10) Czy zbiór punktów izolowanych przeliczalnej nieskończonej przestrzeni metrycznej zupełnej może
być skończony?
1
Topologia I, Potok I, egzamin, część teoretyczna, 2003r.
Punktacja: 1, 2, 3 - po 20 punktów, 4 - 15 punktów, 5 - 25 punktów.
1. Niech (X, Á) i (Y, Ã) bÄ™dÄ… przestrzeniami metrycznymi.
(a) Zdefiniować pojęcie ciągłości funkcji f : X Y .
(b) Podać dwa spośród znanych Pani(u) warunków równoważnych ciągłości funkcji f.
2. (a) Zdefiniować pojęcie spójności przestrzeni metrycznej.
(b) Pokazać, że jeśli f : X Y jest ciągłym przekształceniem przestrzeni metrycznej X na
przestrzeń metryczną Y i przestrzeń X jest spójna, to przestrzeń Y jest też spójna.
3. (a) Podać definicję przestrzeni topologicznej.
(b) Zdefiniować pojęcie zwartości przestrzeni topologicznej.
(c) Podać charakteryzację zwartych podprzestrzeni przestrzeni euklidesowej Rn.
4. (a) Podać definicję pętli zaczepionej w punkcie x0 w przestrzeni metrycznej X.
(b) Podać definicję homotopii łączącej dwie pętle zaczepione w punkcie x0 w przestrzeni X.
5. (a) Zdefiniować pojęcie zupełności przestrzeni metrycznej.
(b) Sformułować i udowodnić twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych.
2
Topologia I, Potok I, egzamin poprawkowy, część I, 2003r.
Punktacja: zadania 1, 2, 3, 4 - po 25 punktów.
Poniżej R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, zaś Q - zbiór liczb wymiernych.
W zadaniu 1 proszę wypełnić tabelkę. Każde z zadań 2, 3 i 4 proszę rozwiązać na osobnej kartce.
Na każdej kartce proszę napisać imię i nazwisko i numer zadania.
                                          
1. Sprawdzić, czy następujące podprzestrzenie płaszczyzny z metryką euklidesową
"
A = Q × Q, B = {(x1, x2) " R2 : x2 + x2 = n2},
n=1 1 2
" 1
C = ({n} × [-1, 1]) *" ({0} × [-1, 1]) *" ([0, 1] × {0}), D = {(x1, x2) " R2 : x1 · x2 > 0}.
n=1
mają następujące własności (należy postawić w odpowiedniej rubryce +, jeśli zbiór ma daną własność,
lub -, jeśli jej nie ma):
podprzestrzeń A B C D
otwarta w R2
domknięta w R2
gęsta w R2
brzegowa w R2
spójna
zwarta
                                          
2. Zbadać spójność, zwartość i zupełność następujących podprzestrzeni płaszczyzny z metryką
euklidesową. Czy są wśród nich przestrzenie homeomorficzne? Odpowiedzi krótko uzasadnić.
X1 = {(x1, x2) " R2 : (-1 d" x1 d" 1 i x2 = 0) lub (x1 = 0 i - 1 d" x2 d" 1)},
X1 = {(x1, x2) " R2 : (-1 < x1 < 1 i x2 = 0) lub (x1 = 0 i - 1 < x2 < 1)},
X3 = X1 \ {(0, 0)}.
                                          
3. a) Wskazać wnętrze intA i domknięcie clA zbioru
A = {(x1, x2) " R2 : 0 < x1 < 1 i 0 < x2 < 1} *" {(x1, x2) " R2 : -" < x1 d" 0 i x2 = 0} na
płaszczyz
nie z metrykÄ… kolejowÄ….
b) Wskazać wnętrze intB i domknięcie clB zbioru B = {f " C(I, R) : f(0) = 2} w przestrzeni
C(I, R) funkcji ciągłych określonych na odcinku euklidesowym I = [0, 1] o wartościach w prostej euk-
lidesowej R z metrykÄ…  supremum : Á(f, g) = sup{| f(x) - g(x) |: x " I}.
                                          
4. Niech X bÄ™dzie przestrzeniÄ… metrycznÄ… zwartÄ… z metrykÄ… Á, zaÅ› A - domkniÄ™tym podzbiorem prze-
strzeni X. Pokazać, że podprzestrzeÅ„ B = {x " X : Á(x, A) e" 1} przestrzeni X jest zwarta.
Przypomnijmy, że dla x " X i A ‚" X, Á(x, A) = inf {Á(x, a) : a " A}.
                                          
Zadanie dodatkowe. Niech A będzie przeliczalnym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupełnej X.
Pokazać, że w podprzestrzeni Y = X \ A przestrzeni X jest spełnione twierdzenie Baire a.
1
Topologia I, Potok I, egzamin poprawkowy, część teoretyczna, 2003r.
Punktacja: zad.1 -15 p, zad.2 -20p, zad.3 -15p - razem 50 punktów
1. (a) Podać definicjÄ™ zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej (X, Á).
(b) Podać definicjÄ™ domkniÄ™cia zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, Á).
(c) Podać definicjÄ™ homeomorfizmu miÄ™dzy przestrzeniami metrycznymi (X, Á) i (Y, Ã).
2. (a) Podać definicję przestrzeni metrycznej zwartej.
(b) Pokazać, że jeśli f : X Y jest ciągłym przekształceniem przestrzeni metrycznej X na przestrzeń
metryczną Y i przestrzeń X jest zwarta, to przestrzeń Y jest też zwarta.
3. (a) Podać definicję ciągu Cauchy ego w przestrzeni metrycznej X.
(b) Podać definicję przestrzeni metrycznej zupełnej.
(c) Sformułować twierdzenie Baire a.
                       
Zadanie dodatkowe. Podać dowód twierdzenia Tichonowa mówiącego, że iloczyn kartezjański
dwóch przestrzeni topologicznych zwartych Hausdorffa (rozpatrywany z topologią Tichonowa) jest przestrzenią
zwartÄ… Hausdorffa.
2
 A (-Ä„/2, Ä„/2) 0 T (A)
R2 (0, 0) (s, tan(s))
s " A (T (A), de) A
de
R2
F
n = 1, 2, ... Fn R2 (0, n)
F × {1/2} t " R
"

(t, 0) " Fn
/
n=1
f, g : X R (X, T ) Ix
(f(x), 0) (f(x), g(x))
{Ix : x " X}
f : X R (X, T )
Y = {(x, f(x) + t) : x " X , t " [0, 1]}
(X, T ) R X×[0, 1]
TOPOLOGIA 1, wyk LAW
ladowca STANIS BETLEY
Egzamin, 26.01.04.
I. Cześć teoretyczna.
1. Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna .
a. Podać definicje podzbioru otwartego w X.
b. Udowodnić, że cześć wspólna dwóch podzbiorów otwartych w X jest podzbiorem ot-
wartym.
c. Wyrazić cia g odwzorowania f : X Y przestrzeni metrycznych w jezyku podzbio-
lość
rów otwartych X i Y .
2. a. Podać definicje przestrzeni topologicznej spójnej.
b. Udowodnić, że cia g obraz przestrzeni spójnej jest spójny.
ly
c. Podać przyk spójnego podzbioru A p
lad laszczyzny euklidesowej R2, którego wnetrze
nie jest spójne.
3. a. Zdefiniować zwartość przestrzeni metrycznej (X, d).
b. Niech A bedzie podzbiorem zwartej przestrzeni metrycznej X. Pokazać, że A jest zwarty
wtedy i tylko wtedy gdy jest domkniety w X.
c. Zdefiniować zwartość przestrzeni topologicznej.
4. a. Zdefiniować homotopijność dwóch odwzorowań cia g f, g : X Y .
lych
b. Udowodnić, że jeśli A jest wypuk podzbiorem przestrzeni euklidesowej Rn to
lym
dowolne dwa f, g : X A sa homotopijne.
c. Zdefiniować przestrzeń ścia galna .
d. Udowodnić, że jeśli Y jest ścia galna a y0 jest ustalonym punktem Y to dowolne
f : X Y jest homotopijne z odwzorowaniem sta fy : X Y określonym wzorem
lym
0
fy (x) = y0.
0
II. Zadania.
1. Niech A bedzie otwartym, zaÅ› B dowolnym podzbiorem przestrzeni topologicznej X i
Å» Å» Å»
niech A )" B = ". Pokazać, że A )" IntB = ". Czy IntB = IntB ?
2. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna a A i B jej podprzestrzeniami takimi, że
A ‚" B. Za óżmy, że A jest gesta w B a B gesta w X. Pokazać, że wówczas A jest gesta
l
podprzestrzenia X.
3. Niech A bedzie podzbiorem p ladaja cym sie z punktów o obu
laszczyzny euklidesowej sk
wspó
lrzednych wymiernych. Udowodnić, że przestrzeń R2 \ A jest spójna. Czy R2 \ A
pozostanie spójna, gdy zmienimy metryke na metryke rzeka ?
4. Niech Ci bedzie zwartym podzbiorem odcinka [i, i + 1], gdzie i jest dowolna liczba
ca
lkowita . Niech X = Ci. Pokazać, że dla dowolnego a " R istnieje b " X takie, że
i"Z
d(a, X) = d(a, b).
(Przypomnienie: d(a, X) = infx"X d(a, x))
5. Niech I(x, y) oznacza odcinek na p
laszczyz
nie la cza cy x z y. Niech xn = (1/n, 0),
y = (0, 1) a x0 = (0, 0). Niech X = I(x0, y) *" I(xn, y). Niech dk oznacza metryke
n"N
kolejowa na R2 z wez w x0.
lem
a. Czy I(x1, y) jest zupe podprzestrzenia (R2, dk) ?
lna
b. Czy X jest zupe podprzestrzenia (R2, dk) ?
lna
TOPOLOGIA 1, wyk LAW
ladowca STANIS BETLEY
Egzamin, 05.03.04.
I. Cześć teoretyczna.
1. Niech (X, d) bedzie przestrzenia metryczna .
a. Podać definicje cia gu Cauchyego w X.
b. Podać definicje przestrzeni metrycznej zupe
lnej.
c. Udowodnić, że domknieta podprzestrzeń przestrzeni zupe jest zupe
lnej lna.
d. Podać przyk pokazuja cy, że w punkcie c. s  domknieta nie można zasta pić
lad lowa
s  otwarta .
lowem
2. a. Podać definicje przestrzeni topologicznej ośrodkowej.
b. Udowodnić, że cia g obraz przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenia ośrodkowa.
ly
c. Czy p
laszczyzna R2 z metryka kolejowa jest przestrzenia ośrodkowa ?
3. a. Zdefiniować pojecie topologii w zbiorze X.
b. Niech A bedzie zbiorem trzy-punktowym, A = {a, b, c}. Czy rodzina podzbiorów A
sk
ladaja ca sie z czterech zbiorów: A, ", {a}, {a, b} wyznacza topologie w A ?
c. Czy przestrzeń A z topologia z punktu b. jest Hausdorffa ?
4. a. Zdefiniować homotopijność dwóch odwzorowań cia g f, g : X Y .
lych
b. Zdefiniować przestrzeń ścia galna .
c. Udowodnić, że jeśli A jest ścia galna to dowolne dwa f, g : X A sa homotopijne.
II. Zadania.
1. Niech A i B beda dowolnymi podzbiorem przestrzeni topologicznej X i niech A)"B = ".
Å» Å»
Pokazać, że IntA )" B = ". Czy dla dowolnego zbioru A zachodzi: IntA = IntA ?
2. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna a A jej otwartym podzbiorem. Niech B
bedzie brzegowym podzbiorem X. Udowodnić, A )" B jest brzegowym podzbiorem w A.
Podać przyk pokazuja cy, że twierdzenie powyższe stanie sie fa gdy otwartość A
lad lszywe
zamienimy na domknietość.
3. Niech A bedzie niepustym podzbiorem R2 zawartym w prostej o równaniu x = 0.
a) Za óżmy, że na R2 mamy metryke euklidesowa i A jest zwarty. Udowodnić, że R2 \ A
l
jest przestrzenia spójna .
b) Rozpatrzmy R2 z metryka kolejowa o wez
le w (0, 0) i za óżmy, że A jest zwarty w tej
l
metryce. Czy R2 \ A jest przestrzenia spójna ?
4. Niech I = [0, 1] i niech f : I R bedzie dowolna funkcja . Udowodnić, że jeśli wykres
W (f) = {(x, f(x))|x " I} ‚" R2 jest zwartym podzbiorem p
laszczyzny euklidesowej to f
jest funkcja cia g
la .
5. Niech I(x, y) oznacza odcinek na p
laszczyz
nie la cza cy x z y. Niech xn = (1/n, 0),
y = (0, 1) a x0 = (0, 0). Niech X = I(x0, y) *" I(xn, y). Niech dr oznacza metryke
n"N
rzeka na R2 z rzeka beda ca prosta y = 0.
a. Czy I(x1, y) jest zupe podprzestrzenia (R2, dr) ?
lna
b. Czy X jest zupe podprzestrzenia (R2, dr) ?
lna
 A ‚" R M(A) ‚" R2
(0, 1) (a, |a|) a " A M(A)
A
C ‚" R
" S
(0, 2) (c, 0) c " C a " R
q (a, q) " S
/
" 1
an > 0 n = 1, 2, 3, ... S = ((0, 1]×{0})*" {n}×[0, an]
n=1
S
S *" ({0} × (0, 1])
an 0
U ‚" X
(X, T ) f : U [0, 1] Y =
((X \ U) × [0, 1]) *" {(x, t) : x " U, t " [0, f(x)]}
X Y
X × [0, 1]
X Y
X × [0, 1]
 X
X × Y
(X, TX) (Y, TY )
A (X, T )
A = A A A (X, T )
(X, d)
X × Y (X, TX)
(Y, TY )
f, g : X Y
A
Rn f, g : X A
D2
 f : X Y
(X, TX) (Y, TY )
dX dY TX TY X
Y
> 0 a " X ´ > 0
x " X dX(x, a) < ´ dY (f(x), f(a)) <
(X, d)
(X, d) X
X × Y
(X, TX) (Y, TY )
dX dY TX TY X Y
X ×Y (X, TX)
(Y, TY )
X×Y
f, g : X Y
A
Rn f, g : X A
D2
 f : R2 R2 f(x, y) = (x, |x|)
f (R2, dr) (R2, dr) dr

|y1 - y2|, x1 = x2,
dr((x1, y1), (x2, y2)) =
|y1| + |x1 - x2| + |y2|, x1 = x2.

Fn n = 1, 2, ...
R2 a < b n
{t " R : {t} × [a, b] ‚" Fn}
"

R2 \ Fn = ".

n=1
A ‚" (0, +") S(A)
R2 A×{0} {0}×A
S(A) R2
A
" 1
an e" 1 n = 1, 2, 3, ... X = {n} × [0, an] *" {(t, t) : t " R}
n=1
X
Y = X *"{(0, n) : n = 1, 2, ...}
an