Schemat punktowania arkusza I z matematyki
Zad 1
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Zapisanie równania pozwalającego
0 = -3 2 + b
1 p
wyznaczyć b .
Obliczenie b . 1 p
b = 3 2
Zadanie 2
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
1 p
Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej f
f (x)= -x2 + 2x +1
w postaci ogólnej.
Obliczenie rzędnej wierzchołka paraboli, 1p
yw = 2
która jest wykresem funkcji f .
1 p
Wyznaczenie zbioru wartości funkcji f .
(- ", 2
Zadanie 3
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Zapisanie, że liczba miejsc w kolejnych
np. (an ) - ciąg arytmetyczny,
rzędach sektora to wyrazy ciągu 1 p
a1 = 8, r = 2
arytmetycznego.
Obliczenie a22 . 1 p a22 = 50
Obliczenie S22 . 1 p S22 = 638
Obliczenie liczby wszystkich miejsc na
2552
1 p
widowni.
Zadanie 4
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie miary kąta DBC .
1 p "DBC = 45�
Obliczenie miary kąta ABC .
1 p "ABC = 135�
Obliczenie miary kąta BCA .
1 p "BCA = 22,5�
Obliczenie miary kąta ACD .
1 p "ACD = 67,5�
np. powołując się na monotoniczność
1
Uzasadnienie , że cos( "ACD) < .
funkcji cosinus
2
1 p
1 1
( cos 60� = �! cos67,5� < ).
2 2
Schemat punktowania arkusza I z matematyki
Zadanie 5
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie długości r promienia okręgu.
1,5
1 p r = = 3
sin 60�
1,5
Obliczenie długości x = SO .
x = = 0,5 3
1 p
tg 60�
Obliczenie długości d .
1 p
d = 2 3
Obliczenie długości h .
1 p
h = 1,5 3
Zadanie 6
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Podanie wzoru funkcji f . 1 p f (x)= x �"(x - 3)
Zapisanie odpowiedniego równania
1 p
x2 - 3x + 3 = 0
Obliczenie wyróżnika i sformułowanie
" = -3 brak rozwiązań
1 p
odpowiedzi.
Zadanie 7
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Zaznaczenie w układzie współrzędnych
punktów ABC oraz narysowanie prostokąta 1 p
KLMN.
Wyznaczenie długości odpowiednich
KL = 4, LB = 1, BM = 3, MC = 2
odcinków.
1 p
CN = 2, NK = 4
Obliczenie pole prostokąta KLMN.
1 p PKLMN = 16
Obliczenie pól odpowiednich trójkątów
P"KLB = 2, P"BMC = 3, P"CNK = 4
1 p " " "
" " "
" " "
prostokątnych.
Wyznaczenie pola trójkąta ABC.
1 p P"ABC = 7
"
"
"
Zadanie 8
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Zapisanie nierówności za pomocą której
n2 - 5 < 0
można wyznaczyć liczbę ujemnych
1 p
wyrazów ciągu(an ).
n "{1, 2}
Rozwiązanie nierówności n2 - 5 < 0
1 p
w zbiorze liczb naturalnych.
Podanie liczby ujemnych wyrazów
2
1 p
ciągu(an ).
Zapisanie warunku na to by ciąg (an ) był an+1
np. = const
1 p
ciągiem geometrycznym.
an
an+1
an+1 - 2n - 4
n2
Obliczenie .
1p =
an
an n2 - 5
an+1
Stwierdzenie, że zależy od n więc
an 1p
ciąg (an ) nie jest geometryczny.
Schemat punktowania arkusza I z matematyki
Zadanie 9
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie długości odcinka AB . 1 p AB = 10
2 p (jeden punkt
Wyznaczenie równania prostej m . y = -3x + 5
przyznajemy za
poprawną
metodę)
Wyznaczenie współczynnika kierunkowego
1
1 p
prostej k .
3
Wyznaczenie równania prostej k . 1 2
1 p y = x -1
3 3
Zapisanie warunku na to, by środek okręgu
np. trójkąt ABC musiałby być
opisanego na trójkącie ABC należał do równoramienny, wtedy symetralna odcinka
prostej k .
BC pokrywałaby się z prostą k
1 p
(w przeciwnym przypadku są rozłączne,
a środek okręgu opisanego na trójkącie
musi do symetralnej należeć).
Sprawdzenie, czy środek okręgu opisanego
AC = 20 `" 10
na trójkącie ABC należy do prostej k
1 p
środek okręgu opisanego na trójkącie
i udzielenie odpowiedzi.
ABC nie należy do prostej k .
Zadanie 10
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie a - b .
4
1 p a - b = -
5
Obliczenie a �" b . 1
1 p a �" b = -
25
tak
a - b
Sprawdzenie, czy = 20 1 p
a �" b
a a
Obliczenie . 1 p = 4 3 - 7
b b
a
4 3 - 7 < 0
Zbadanie znaku wyrażenia . 1 p
b
Zastosowanie definicji wartości
a
bezwzględnej. 1 p = 7 - 4 3
b
Zadanie 11
Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)
Obliczenie wartości wielomianu Q dla
Q(2)= 6
1 p
x = 2
Sformułowanie odpowiedzi Liczba 2 nie jest pierwiastkiem
1 p
wielomianu Q
Wykonanie dodawania wielomianów
1 p
P(x)= x3 - 3x2 - 2x + 6
Zapisanie wielomianu P w postaci iloczynu
P(x)= (x - 3)(x2 - 2)
dwumianu liniowego i dwumianu 1 p
kwadratowego
Zapisanie wielomianu P w postaci
P(x)= (x - 3)(x - 2)(x + 2)
1 p
iloczynowej