Zasada d'Alemberta
Twierdzenie. W czasie ruchu układu punktów materialnych tworzących
bryłę sztywna, siły rzeczywiste działające na punkty tego układu oraz
ich momenty równoważą się w każdej chwili czasu z odpowiednimi
siłami bezwładności oraz ich momentami.
n n
-
"m ai + "F = 0
i i
i=1 i=1
n n
-
"r × miai + "r × Fi = 0
i i
i=1 i=1
Rezultat. Sprowadzenia zagadnienia dynamiki do równoważnego
zagadnienia kinetostatyki poprzez uwzględnienie w układzie sił
rzeczywistych oraz sił bezwładności.
Równania wektorowe równowagi sił oraz momentów sił
n
(Fi + Ai)= 0
"
i=1
n
(Mi(Fi)+ Mi(Ai))= 0
"
i=1
Opis skalarny równań kinetostatyki, jako rezultat rzutowania
wektorowych równań równowagi na osie prostokątnego układu
współrzędnych.
n n n
( )
Fyi + Ayi = 0
"(F + Axi ) = 0 " "(F + Azi ) = 0
xi zi
i=1 i=1 i=1
n n n
(M (Fi)+ M (Ai))= 0 ( (Fi)+ M (Ai)) (M (Fi)+ M (Ai))= 0
M = 0
" xi xi " yi yi " zi zi
i=1 i=1 i=1
Zastosowanie do obliczania reakcji dynamicznych łożysk wirników
Pojęcie reakcji dynamicznej
W irnik  bryła sztywna wykonująca ruch obrotowy wokół danej osi
Reakcja dynamiczna  dodatkowa reakcja więzów wywołana ruchem
wirnika
Twierdzenie. Reakcje dynamiczne łożysk wirnika wirującego wokół osi
z wyznaczane są z następującego układu równań
É2rdm
É2xdm
x
RBx z
µydm
µrdm
µxdm
2
° É ydm
B RBy
r
x
l
É
y
RAx µ
z
y
A RAy
n
Å„Å‚
2
"F = 0 RAx + RBx + xÉ dm + yµdm = 0
xi
ôÅ‚ +" +"
i=1
(m) (m)
2
ôÅ‚
n
RAx + RBx + SyzÉ + Sxzµ = 0
2
ôÅ‚
+" +" 2
"F = 0 RAy + RBy + yÉ dm - xµdm = 0 RAy + RBy + SxzÉ - Syzµ = 0
yi
ôÅ‚
(m) (m)
i=1
Ô! Ô!
òÅ‚
n
2
2
RByl + DyzÉ - Dxzµ = 0
RByl + yzÉ dm - xzµdm = 0
ôÅ‚
+" +"
"M = 0
xi
2
(m) (m)
ôÅ‚
i=1 RBxl + DxzÉ + Dyzµ = 0
2
n
ôÅ‚
RBxl + xzÉ dm + yzµdm = 0
+" +"
ôÅ‚
"M = 0
yi
(m) (m)
ół i=1
Cztery równania dynamiczne wirnika umożliwiają wyznaczenie reakcji
dynamicznych jego łożysk
Przykład. Tarcza kołowa o masie m1
i promieniu r została zamocowana
na wale AB, zgodnie z rysunkiem.
Do tarczy przymocowano pręt DE =
l o masie m2 i na nieważkim pręcie
DF = r punkt materialny o masie
m3. W ał obraca się z prędkością
É
kÄ…towÄ… i przyspieszeniem
µ
kątowym . W yznaczyć reakcje
dynamiczne w łożyskach A i B.
Rozwiązanie. W spółrzędne środka
masy C w układzie Oxy:
- m1e sinÄ… + m2(r - e)sinÄ… + m3[(r - e)sinÄ… + r]
xc =
m1 + m2 + m3
1
m2l
2
yc =
m1 + m2 + m3
Momenty statyczne:
S = (m1 + m2 + m3)xc Sxz = (m1 + m2 + m3)yc
yz
Momenty dewiacji:
pręt prostopadły do xz
l
Dyz = m2 Å" (r - e)cosÄ…
2
pręt prostopadły do xz
moment dewiacji punktu
tarcza pochylona o kat Ä…
2
2
r m1e2 m2(r - e)
Dxz = m1 sin 2Ä… + sin 2Ä… + sin 2Ä… + m3(r - e)cosÄ… [(r - e)sinÄ… + r]
8 2 2
twierdzenie Steinera
Reakcje dynamiczne można wyznaczyć z układu czterech równań
2
RA + RB = (m1 + m2 + m3) (- É Å" xc - µ Å" yc)
X X
2
RA + RB = (m1 + m2 + m3) (- É Å" yc - µ Å" xc)
Y Y
2
RA Å" b - RB Å" c = Dyz Å"É - Dxz Å"µ
Y Y
2
RB Å" c - RA Å" b = -Dxz Å"É - Dyz Å"µ
X X
W yważanie wirników
W irnik jest wyważony, jeżeli reakcje dynamiczne są równe zero.
Wyważenie statyczne  środek masy wirnika leży na osi obrotu.
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia statycznego wirnika 
zerowanie się momentów statycznych
Syz = Sxz = 0
Wyważenie dynamiczne  oś obrotu wirnika jest jedną z jego głównych
osi bezwładności (niekoniecznie centralną)
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia dynamicznego wirnika 
zerowanie się momentów odśrodkowych
Dyz = Dxz = 0
W arunek konieczny i dostateczny wyważenia statycznego i
dynamicznego wirnika  oś obrotu wirnika jest jedną z głównych
centralnych osi bezwładności.
Energia kinetyczna
Energia w przypadku ogólnym
Energię kinetyczną bryły w ruchu ogólnym określa wzór
1 1
2 2 2 2
T = mvC + (Ix Éx + I Éy + Iz Éz )- Dy z1ÉyÉz - Dx z1ÉxÉz - Dx y1ÉxÉy
y1
1 1 1 1 1
2 2
z1
z
É
y1
C
°
x1
vC
y
C  środek masy bryły
x
Układy współrzędnych xyz i x1y1z1 o osiach odpowiednio równoległych
Energia kinetyczna w zapisie macierzowym
1
forma kwadratowa
T = vTMv
2
gdzie
(
v = col vCx,vCy ,vCz ,Éx,Éy ,Éz )
m 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 m 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 m 0 0 0
M =
ïÅ‚
0 0 0 Ix - Dx y1 - Dx z1 śł
ïÅ‚ śł
1 1 1
ïÅ‚
0 0 0 - Dx y1 I - Dy z1 śł
y1
1 1
ïÅ‚ śł
0 0 0 - Dx z1 - Dy z1 Iz śł
ïÅ‚
ðÅ‚ 1 1 1 ûÅ‚
 Twierdzenie Koeniga o energii kinetycznej bryły
Energia kinetyczna bryły (układu brył) jest równa sumie energii
kinetycznej punktu materialnego o masie całego układu,
przemieszczającego się z prędkością środka masy układu, oraz energii
kinetycznej tego układu w ruchu względem środka masy
É = 0
Ruch postępowy bryły 
Energia kinetyczna  funkcja masy bryły oraz prędkości jej środka masy
1
2
T = mvC
2
É = Éz , Éx = Éy = 0, vC = 0, I = Iz
Ruch obrotowy bryły  oś obrotu z: ,
Energia kinetyczna  funkcja masowego momentu bezwładności bryły
względem osi obrotu oraz prędkości kątowej.
1
2
T = IÉ
2
Ruch płaski bryły
Energia kinetyczna  suma energii ruchu postępowego środka masy oraz
chwilowego ruchu obrotowego wokół środka masy
1 1
2 2
T = mvC + IÉ
2 2
I  masowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
środek masy i prostopadłej do płaszczyzny ruchu
Uwaga: Nie może to być dowolny punkt bryły
Energia kinetyczna  energia chwilowego ruchu obrotowego wokół
chwilowego środka prędkości
1
2
T = ISÉ
2
IS  masowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez
chwilowy środek prędkości i prostopadłej do płaszczyzny ruchu
Praca sił przyłożonych do bryły
Fi
Praca elementarna  przypadek ogólny
z
°
dL = F Å" drO + MO Å" dÕ
ri
° O
rO
n n
y
F =
"F MO = "r × Fi
i i
i=1 i=1
x
drO
 elementarny przyrost promienia wodzÄ…cego punktu O
dÕ
 elementarny obrót bryły wokół chwilowej osi obrotu,
przechodzÄ…cej przez punkt O
Ruch postępowy bryły
Opis wektorowy pracy elementarnej w prostokątnym układzie
współrzędnych
dL = F Å" drO
Ruch obrotowy bryły
Opis algebraiczny pracy elementarnej
dL = MOdÕ
MO  suma momentów sił działających na bryłę względem osi obrotu
dÕ  elementarny obrót bryÅ‚y.
Praca caÅ‚kowita na drodze kÄ…towej Õ1  Õ2. Praca siÅ‚ przyÅ‚ożonych do
bryły poruszającej się ruchem obrotowym jest równa
Õ2
L = MOdÕ
+"
Õ1
M
Praca pary sił. Praca elementarna pary sił, której moment wynosi ,
przyłożonej do bryły wykonującej ruch obrotowy, jest równa
dL = M Å" dÕ
zaÅ› praca caÅ‚kowita na drodze kÄ…towej Õ1  Õ2
Õ2
L = M Å" dÕ
É
+"
Õ1
dÕ
M
M = const.
Jeżeli , zaś para sił leży w płaszczyz
nie prostopadłej do osi
obrotu
L = M(Õ2 -Õ1)
Moc pary sił. Jeżeli do bryły wykonującej ruch obrotowy przyłożona
M
jest para sił, której moment wynosi , to moc tej pary sił jest równa
N = M Å"É
Ruch płaski bryły
Praca elementarna sił działających na bryłę w płaszczyz
nie ruchu
n n
ëÅ‚
dL = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"F cosÄ…i öÅ‚ ds + ëÅ‚"M öÅ‚ dÕ
i Oi
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
MOi  moment siły Fi względem punktu redukcji O
ds  elementarne przemieszczenie punktu redukcji O
dÕ  elementarny kÄ…t obrotu bryÅ‚y
Fi
y
Ä…i
ds
dÕ
ds
°
O
x
Praca całkowita w przypadku stałych obciążeń  zerowe warunki
poczÄ…tkowe
n n
ëÅ‚
L = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"F cosÄ…i öÅ‚ s + ëÅ‚"M öÅ‚ Õ
i Oi
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
s  przemieszczenie punktu redukcji obciążeń O
Õ  kÄ…t obrotu bryÅ‚y podczas wykonywania pracy
Zasada pracy i energii
Praca wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu punktów
materialnych jest równa zmianie energii kinetycznej całego układu.
2
T2 - T1 = L + L
W przypadku brył idealnie sztywnych, zmiana całkowitej energii
kinetycznej jest równa sumie prac wszystkich sił zewnętrznych
T2 - T1 = L
Różniczkowa postać zasady energii
Moc wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu punktów
materialnych jest równa pochodnej względem czasu energii kinetycznej
całego układu.
2
N + N = T
W przypadku brył idealnie sztywnych, pochodna względem czasu
całkowitej energii kinetycznej jest równa mocy wszystkich sił
zewnętrznych
N = T