PROJEKT 2 CZ
ŚĆ 2
 Sprawdzenie nośności słupa estakady
Cel ćwiczenia
Dane:
Beton C30/37: fcd = fck/łc = 30/1,4 = 21,43MPa
Stal BSt500: fyd = fyk/ys = 500/1,15 = 435MPa
Moduł sprężystości: Es = 200GPa
�yd = fyd/Es = 435/200000 = 2,180
NEd=791 kN
HEd,y=ą6 kN
y
x
l
col
= 800cm
H
Ed,x
=ą12 kN
 Siły pierwszego rzędu:
M1 NEd
Siły pierwszego rzędu
bez uwzględniania
imperfekcji
M1,x=48kN
791 kN
M1,y=96kN
M1,y - moment względem osi y, zginanie w płaszczyz
nie x-x
M1,x - moment względem osi x, zginanie w płaszczyz
nie y-y
Długość efektywna słupa w płaszczyz
nie x-x i y-y
Efektywna długość w elementach ściskanych dla układu nieusztywnionego (o
węzłach przesuwnych), wyznacza się ze wzoru:
��
����
k1 �� k2 ć� k1 �� ć� k2 ��
��
�� �� ��ż�
l0 =� lcol �� max �� 1+�10 ,��1+�
��
k1 +� k2 Ł� 1+� k1 ��,��1+� 1+� k2 ����
��
ł� Ł� ł�
�� ��
k - względna podatność podpór na końcach 1 i 2
natomiast dla układu usztywnionego ze wzoru:
gdzie:
ć� k1 ��ć� k2 ��
��
l0 =� 0,5l ��
��1+� 0,45 +� k1 ���� 0,45 +� k2 ��
����1+� ��
Ł� ł�Ł� ł�
k  względna podatność podpór na końcach 1 i 2
k = �/M � EI/l
�  kąt obrotu podpory
k = 0 zamocowanie całkowicie sztywne (zaleca się przyjmować 0,1)
k = " pełen przegub (zaleca się przyjmować dużą wartość, np. 10)
Kąt � można odczytać wykonując analizę statyczną układu w programie
komputerowym, w przypadku braku takich danych można skorzystać z metody
uwzględniającej sztywność elementów połączonych w węz
le, ze wzoru
zaczerpniętego z UK National Annex:
EJ
c
lc
k =� ł� 0,1
2EJb
��
lb
J  moment bezwładności przekroju niezarysowanego.
Sztywności sąsiednich słupów nie mogą różnić się bardziej niż o 10 %.
W przykładzie mamy układ nieusztywniony.
PA
ASZCZYZNA Y-Y
- podatność podpory dolnej - zamocowanie: k1 = 0,1
- podatność końca górnego - swobodny koniec: k2 = 10
�� ��
0,1��10 0,1 �� 10
ć�1+� ��
l0 y =� 8,0 �� max 1+�10 �� =� 1,41;ć�1+� �� �� =� 2,08ż�
��
�� ��
��
0,1+�10 1+� 0,1ł� Ł� 1+�10
ł�
Ł�
�� ��
l0, y =� 8,0�� 2,08 =� 16,64m
PA
ASZCZYZNA X-X
- podatność podpory dolnej - zamocowanie: k1 = 0,1
- podatność końca górnego - belka, przyjęto: k2 = 0,5
(proszę przyjąć 0,1*i, i - ilość liter w imieniu)
�� ��
0,1�� 0,5 ć� 0,1 �� ć� 0,5 ��
l0 x =� 8,0 �� max�� 1+�10 �� =� 1,35; 1+� �� �� �� =� 1,45ż�
�� �� 1+�
0,1+� 0,5 1+� 0,1ł� Ł� 1+� 0,5
Ł� ł�
�� ��
l0,x =� 8,0��1,45 =� 11,60m
Imperfekcje:
Analizując konstrukcje i ich elementy, należy uwzględniać niekorzystne
wpływy możliwych odchyłek geometrycznych konstrukcji (chodzi tu o odchylenie od
zaplanowanego kształtu) i zmian położenia obciążeń, są to tzw. imperfekcje
geometryczne.
Wpływ imperfekcji na wydzielone elementy można uwzględnić jako mimośród
ei, który w uproszczeniu można obliczyć jako:
l0
ei =�
lo - długość efektywna słupa
400
h - wysokość przekroju
Mimośród wg wzoru powyżej należy uwzględnić w płaszczyz
nie, w której efekt
będzie bardziej niekorzystny, w przykładzie przyjęto, że będzie to płaszczyzna, w
której słup ma większą długość wyboczeniową czyli y-y:
l0y 16640
ei, y =� =� =� 41,6mm
400 400
ei, y =� 41,6mm
Mi, x =� ei, y �� NEd
Mi,x =� 0,0416�� 791 =� 32,9kNm
zatem moment przy podporze:
M0Ed, x =� M1, x +� ei, y �� NEd
M0Ed, x =� 48 +� 32,9 =� 80,9kNm
Natomiast w płaszczyz
nie x-x:
M0Ed, y =� M1, y
M0Ed, y =� 96kNm
M0Ed,x=33kN
M0Ed NEd
Siły pierwszego rzędu
z uwzględnieniem
imperfekcji
M0Ed,x=81kN 791 kN
M0Ed,y=96kN
Kryterium smukłości
Efekty drugiego rzędu należy uwzględnić, jeżeli smukłość  w danej płaszczyz
nie
przekracza smukłość graniczną lim:
20ABC
l�lim =�
n
gdzie:
M0Eqp, x M0Eqp, y
j�ef , x =� j�(Ą�,t) �� j�ef , y =� j�(Ą�,t) ��
M0Ed, x M0Ed, y
M0Eqp - moment zginający wywołany przez prawie stałą kombinacje obciążeń
M0Ed = M1 - moment zginający wywołany przez obliczeniową kombinacją obciążeń
Można przyjąć:
M0Eqp
=� 0,8
M0Ed
,
,
w układach nieusztywnionych zaleca się przyjmować C=0,7
M01, M02 - momenty I rzędu na końcach słupa
Dla naszego słupa mamy zatem:
PA
ASZCZYZNA X-X PA
ASZCZYZNA Y-Y
j�ef , x =� 2�� 0,8 =� 1,6 j�ef , y =� 2�� 0,8 =� 1,6
1
A =� =� 0,76
1+� 0,2 ��1,6
10 �� 6,16 �� 435
w� =� =� 0,71
35��50 �� 21,43
B =� 1+� 2 �� 0,71 =� 1,55
C =� 0,7
NEd 791kN
n =� =� =� 0,211
AC �� fcd 0,35m��0,50m��21,43MPa
20��0,76��1,55��0,7
l�lim,x =� l�lim,y =� =� 35,9
0,211
Smukłość elementu w poszczególnych płaszczyznach wynosi:
l0x 11600
l�x =� =� =� 114,6
iy 101,0
l0y 16640
l�y =� =� =�115,6
ix 144
Zatem:
- płaszczyzna x-x: l�x =� 114,6 >� l�lim,x =� 35,9
- płaszczyzna y-y: l�y =�115,6 >� l�lim,y =� 35,9
W obydwu płaszczyznach smukłość przekracza wartość graniczną, zatem w obydwu
trzeba uwzględnić efekty drugiego rzędu.
Efekty drugiego rzędu można uwzględnić w każdej z płaszczyzn jedną z dwóch
metod:
- metodą nominalnej sztywności
- metodą nominalnej krzywizny.
Efekty drugiego rzędu - metoda nominalnej krzywizny (płaszczyzna y-y)
NEd=791 kN
M0Ed M2,x MEd,x
e2,y M0Ed,x=33kN
HEd,y=6 kN
+ =
y
M0Ed,x=81kN
x
l
col
= 800cm
W metodzie nominalnej krzywizny znajdujemy całkowity moment MEd poprzez
obliczenie momentu od efektów drugiego rzędu M2 oraz dodanie go do momentu I
rzędu z uwzględnieniem imperfekcji M0Ed, dla płaszczyzny y-y:
MEd,x = M0Ed,x + M2,x, gdzie: M2,x = NEd �e2,y
Efekty drugiego rzędu uwzględniamy wyznaczając mimośród e2:
2
1 1
l0, y
1
=� Kr �� Kj� ��
e2, y =� ��
r r0
r c
e�
1
yd
=�
r0 0,45�� d
y
1
/r - krzywizna
l0 - długość efektywna w danej płaszczyz
nie
c - współczynnik zależny od rozkładu krzywizny momentu II rzędu
Kr - współczynnik poprawkowy zależny od siły podłużnej, wg wzoru 5.36
KĆ - współczynnik zależny od pełzania, wg wzoru 5.37
�yd - odkształcenie odpowiadające granicy plastyczności
d - dla danej płaszczyzny, dla zbrojenia rozmieszczonego na dwóch bokach
przekroju d jest wysokością użyteczną przekroju, dla zbrojenia rozłożonego na
wszystkich bokach należy skorzystać ze wzoru:
d =� 0,5��h +� is,x
y
Is,x
gdzie:
is, x =�
As
Is - moment bezwładności zbrojenia dla zginania w płaszczyz
nie y-y, liczony
względem osi x (w drugiej płaszczyz
nie analogicznie)
As - pole zbrojenia
Po wyznaczeniu mimośrodu e2, dokonujemy sprawdzenia z wartością minimalną
mimośrodu:
hy
e0, y =� max( ;20mm)
30
czyli zweryfikowana wartość momentu całkowitego ma postać:
M
ć� ��
�� ��
M *Ed, x =� max�� Ed, x ;e0, y �� �� NEd
NEd
Ł� ł�
Efekty drugiego rzędu - metoda nominalnej sztywności (płaszczyzna y-y)
W metodzie nominalnej sztywności całkowity moment uzyskujemy mnożąc moment
pierwszego rzędu przez współczynnik zwiększający:
ć� ��
�� ��
��1+� b� ��
M =� M
Ed, x 0Ed, x
��
NB ��
-�1��
��
NEd ł�
Ł�
2
p� EI
x
gdzie N B, y =� jest siłą krytyczną obliczoną dla sztywności nominalnej EI:
2
l0, y
EI =� KcEcd Ic,x +� KsEsIs,x
x
l0 - długość efektywna w danej płaszczyz
nie
Kc - współczynnik zależny od wpływów zarysowania, pełzania, wg wzoru 5.22
Ks - współczynnik zależny od udziału zbrojenia, wg wzoru 5.22
Ic - moment bezwładności przekroju betonu
Is - moment bezwładności prętów zbrojenia względem środka ciężkości
przekroju betonowego
Ecd - obliczeniowa wartość modułu sprężystości betonu, wg wzoru 5.20
Es - moduł sprężystości stali, Es=200GPa
natomiast współczynnik � zależy od rozkładu momentu pierwszego i drugiego rzędu,
wg wzoru 5.29.
Po wyznaczeniu momentu całkowitego również sprawdzamy czy uzyskany mimośród
jest większy od minimalnego. Zweryfikowana postać momentu ma postać
analogiczną:
hy
e0, y =� max( ;20mm)
30
M
ć� ��
�� ��
M *Ed, x =� max�� Ed, x ;e0, y �� �� NEd
NEd
Ł� ł�
Zginanie ukośne
Po wyznaczeniu wartości MEd,x, MEd,y zgodnie z założoną metodą należy sprawdzić
nośność dla zginania ukośnego.
Sprawdzanie zginania ukośnego można pominąć gdy smukłości w dwóch
płaszczyznach spełniają warunki:
l�y l�x
Ł� 2
Ł� 2 i
l�y
l�x
ey beq
ez heq
�� Ł� 0,2 �� Ł� 0,2
oraz gdy spełniony jest jeden z warunków: lub
heq ez beq ey
M M
Ed, x Ed, y
gdzie mimośrody: ey =� ex =�
NEd NEd
natomiast beq, heq oznaczają wymiary zastępcze przekroju: heq =� ix 12
beq =� iy 12
a ix, iy to promienie bezwładności względem danej osi.
Jeżeli powyższe warunki są spełnione to można sprawdzać oba kierunki niezależnie:
M
M
Ed, y
Ed,x
Ł� 1,0 Ł� 1,0
i
M M
Rd,x Rd, y
Jeżeli powyższe warunki nie są spełnione to należy uwzględnić zginanie ukośne.
Z krzywych interakcji w poszczególnych płaszczyznach odczytujemy nośność
przekroju na zginanie przy zadanej sile, np.: dla siły 1000kN:
W przykładzie przedstawionym na początku należałoby wyznaczyć nośność dla siły
NEd=791kN dla krzywej interakcji w płaszczyz
nie y-y - MRd,x i analogicznie x-x - MRd,y.
Następnie sprawdzamy warunek zginania ukośnego wg wzoru 5.39:
a�
a�
ć� ��
ć� �� M
M
Ed, y
Ed,x
�� ��
�� ��
+� Ł�1,0
�� ��
�� ��
M M
Rd,x Rd, y
Ł� ł�
Ł� ł�
NEd
gdzie wykładnik potęgi ą należy ustalić wg 5.8.9 (4) w zależności od stosunku
NRd