n
f : -
f(x1, . . . , xn) = a1x1 + a2x2 + . . . + anxn + a0,
a1, a2, . . . , an, a0 n
a1, a2, . . . , an a0
f(x) = 2x + 3
f(x, y) = 2x + 4y - 5
n
n
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn + a0 = 0.
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
b = 0 b = 0

a1, a2, . . . , an b
(1) x1, x2, . . . , xn
c1, c2, . . . , cn
(c1, c2, . . . , cn)
(1)
(c1, c2, . . . , cn)
(1)
3x+4y +3z = 5 (1, -1, 2)
(1, 0, 2)
(1)
(c1, c2, . . . , cn) (1)
m n
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
 m
n aij bi i =
1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b1
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ b2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = B = .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b1
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n b2 śł
ïÅ‚ śł
(A; B) = .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
(A; B)
A A
"
"
"
"
 2x + 3y + 6z = 5
3y + 2x + 6z = 5 ax + by + cz = 5
x = y, y = x, z = z.
3x + 2y + 6z = 5
F G
F G
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ,
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
aij
P
îÅ‚ Å‚Å‚
p11 p12 p13 . . . p1r p1,r+1 . . . p1n
ïÅ‚
0 p22 p23 . . . p2r p2,r+1 . . . p2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 p33 . . . p3r p3r,r+1 . . . p3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïÅ‚ śł
P = ,
ïÅ‚
0 0 0 . . . prr pr,r+1 . . . prn śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
pii = 0 i = 1, 2, . . . , r r e" 1 r d" min{n, m}

C
îÅ‚ Å‚Å‚
c11 0 0 . . . 0 c1,r+1 . . . c1n
ïÅ‚
0 c22 0 . . . 0 c2,r+1 . . . c2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
0 0 c33 . . . 0 c3r,r+1 . . . c3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïÅ‚ śł
C = ,
ïÅ‚
0 0 0 . . . crr cr,r+1 . . . crn śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0 0 . . . 0
 cii = 0 i = 1, 2, . . . r r e" 1 r d" min{n, m}

P C r
i cii cii
r = m P C
r = n r
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -4 0 3
ïÅ‚ śł
1 -1 -2 -2 -2
ïÅ‚ śł
A = .
ðÅ‚ ûÅ‚
1 -3 0 -4 0
0 1 -1 1 1
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
c11x1 + c1,r+1xr+1 + . . . + c1nxn = q1
c22x2 + c2,r+1xr+1 + . . . + c2nxn = q2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
crrxr + cr,r+1xr+1 + . . . + crnxn = qr ,
0 = qr+1
. . . . . .
0 = qm
cii i = 1, 2, . . . , r
r < m qr+1, . . . , qm
r < m qr+1 = . . . = qm = 0 r = m
r < m
" x1, . . . , xr
" xr+1, . . . , xn-r
r n - r
n - r
r = n
x + y - 4z = 1
x - y + z = 2
.
3x - y - 2z = 6
2x + 2y + z = 5
x + y - z = 2
2x - y + z = 1 .
x - y + 2z = 2
x + y - 4z = 1
x - y + z = 2 .
3x - y - 2z = 5
 n n
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
A
B
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b1
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ b2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = B =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann bm
n + 1 A
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
W = A = ,
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
n
b1 a12 . . . a1n a11 b1 . . . a1n
b2 a22 . . . a2n a21 b2 . . . a2n
W1 = , W2 = , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
bn an2 . . . ann an1 bn . . . ann
a11 a12 . . . b1
a21 a22 . . . b2
Wn = ,
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . bn
W j
1, 2, . . . , n j
W = 0

W1 W2 Wn
x1 = , x2 = , . . . , xn = .
W W W
(2)
Å„Å‚
5x + 3y - z = 3
òÅ‚
2x + y - z = 1 .
ół
3x - 2y + 2z = -4
îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 1 -1 .
3 -2 2
5 3 -1 5 3 -1
W = 2 1 -1 = -3 -2 0
3 -2 2 13 4 0
-3 -2
= (-1)(-1)1+3 = -(-12 + 26) = -14 = 0,

13 4
Å„Å‚
5x + 3y - z = 3
òÅ‚
2x + y - z = 1 ,
ół
3x - 2y + 2z = -4
W = -14
Wx, Wy, Wz
3 3 -1 3 0 -1
3 -1
Wx = 1 1 -1 = 1 0 -1 = 2(-1)5 = -2(-3+1) = 4;
1 -1
-4 -2 2 -4 2 2
5 3 -1 -1 3 2
-1 2
Wy = 2 1 -1 = 0 1 0 = 1(-1)4 = 2-22 = -20;
11 -2
3 -4 2 11 -4 -2
5 3 3 -1 3 0
-1 0
Wz = 2 1 1 = 0 1 0 = 1(-1)4 = 2.
7 -2
3 -2 -4 7 -2 2
Wx 4 2
x = = = - ;
W -14 7
Wy -20 10
y = = = ;
W -14 7
Wz 2 1
z = = = - .
W -14 7
Å„Å‚
3x + 2y - 4z = 5
òÅ‚
2x + 3y - 6z = 5 .
ół
5x - y + z = 4
A
(A : B) rz(A) = rz((A : B)) = r r
n r
n n-r
5x + 3y - z = 3
2x + y - z = 1
.
3x - 2y + 2z = -4
x - y + 2z = -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 -1 5 3 -1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 -1 2 1 -1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , (A : B) = .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 -2 2 3 -2 2 -4
1 -1 2 1 -1 2 -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 -1 5 3 -1 5 3 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-3 -2 0 -3 -2 0 -3 -2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = = =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 -2 2 13 4 0 13 4 0
-2 1 0 -2 1Å‚Å‚ 0 -2 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
11 0 1 0 0 1
0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-7 0 0 -7 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
= = = 21 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
21 0 0 21 0 0
0 1 0
-2 1 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚0
0 0 1 1 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= 1 0 0 = 0 1 0 = 3
0 1 0 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 -1 3 -1 0 2 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 -1 1 0 0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(A : B) = =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 -2 2 -4 11 2 -2 -4
1 -1 2 -2 5 1 0 -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 0 -1 0 2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 0 1 0 0 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
11 2 -2 0 1 0 -2 0
5 1 0 0 5 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 0
-1 0 2 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 1
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
= = 0 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 0 2 0
5 1 0 0
5 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 0 -1 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= 0 0 0 1 = 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
= 0 1 0 = 3.
0 0 1
A = (A : B) = 3
5 3 -1 5 3 -1
-3 -2
W = 2 1 -1 = -3 -2 0 = (-1)(-1)1+3
13 4
3 -2 2 13 4 0
= -(-12 + 26) = -14 = 0,

Å„Å‚
5x + 3y - z = 3
òÅ‚
2x + y - z = 1 ,
ół
3x - 2y + 2z = -4
W = -14
Wx, Wy, Wz
3 3 -1 3 0 -1
3 -1
Wx = 1 1 -1 = 1 0 -1 = 2(-1)5 = -2(-3+1) = 4;
1 -1
-4 -2 2 -4 2 2
5 3 -1 -1 3 2
-1 2
Wy = 2 1 -1 = 0 1 0 = 1(-1)4 = 2-22 = -20;
11 -2
3 -4 2 11 -4 -2
5 3 3 -1 3 0
-1 0
Wz = 2 1 1 = 0 1 0 = 1(-1)4 = 2.
7 -2
3 -2 -4 7 -2 2
Wx 4 2
x = = = - ;
W -14 7
Wy -20 10
y = = = ;
W -14 7
Wz 2 1
z = = = - .
W -14 7
3x + 2y - 4z = 5
2x + 3y - 6z = 5 .
5x - y + 2z = 4
2x - 3y + z - 5u = 1
x + 2y - 3z + 7u = 2 .
3x - y - 2z + 2u = 4