P3

Zakład Napędów Wielozródłowych
Instytut Maszyn Roboczych Cię\kich PW
Laboratorium Elektrotechniki i Elektroniki
Ćwiczenie P3 - instrukcja
Pomiar mocy i energii
Data wykonania ćwiczenia................................................................................
Data oddania sprawozdania...............................................................................
Zespół wykonujący ćwiczenie:
Nazwisko i imię ocena końcowa
1. ............................................................. .........................
2. ............................................................. .........................
3. ............................................................. .........................
4. ............................................................. & .....................
5. ............................................................. .........................
6. ............................................................. .........................
7. ............................................................. .........................
8. ............................................................. .........................
9. ............................................................. .........................
10. ............................................................. .........................
Wydział SiMR PW
Rok ak. 20.../20...
Semestr...............
Grupa.................
Warszawa 2007r.
Spis treści:
1. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA.................................................................................................................. 2
2. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI TEORETYCZNE ..................................................................................... 2
2.1. Praca (energia) prądu elektrycznego ....................................................................................... 2
2.2. Moc prądu elektrycznego.......................................................................................................... 2
2.3. Moc i energia prądu przemiennego.......................................................................................... 4
2.4. Pojęcie mocy i energii biernej .................................................................................................. 4
2.5. Moc i energia prądu przemiennego dla obcią\enia impedancyjnego....................................... 6
2.6. Metody pomiaru mocy i energii prądu stałego......................................................................... 7
2.7. Metody pomiaru mocy i energii prądu przemiennego .............................................................. 8
2.8. Metody pomiaru mocy i energii prądu trójfazowego.............................................................. 11
3. LITERATURA POMOCNICZA.............................................................................................................. 15
1
1. Cel i zakres ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie ró\nych metod pomiaru mocy i energii w układach
prądu stałego, jednofazowego i trójfazowego.
Zakres ćwiczenia obejmuje metody pomiaru i obliczania mocy i energii w układach prądu
stałego, metody pomiaru i obliczanie mocy i energii, w tym mocy i energii czynnej i biernej,
w układach prądu przemiennego jedno i trójfazowego.
2. Podstawowe wiadomości teoretyczne
2.1. Praca (energia) prądu elektrycznego
Elementarny ładunek elektryczny +dq, przepływający pod wpływem ró\nicy
potencjałów U z punktu A do punktu B (u = VA-VB), przy czym potencjał VA jest większy od
potencjału VB, wykonuje pracę określoną wzorem:
dA = (VA -VB )dq = udq (2.1)
Uwzględniając zale\ność pomiędzy ładunkiem elektrycznym, prądem i czasem
dq = idt (2.2)
otrzymuje się:
dA = uidt (2.3)
a zatem
t
A = (2.4).
+"uidt
0
Dla prądu stałego u = U = const oraz i = I =const, więc
A = UIt (2.5)
Jednostką pracy (energii) elektrycznej jest watosekunda (1Ws) co równoznaczne jest
d\ulowi (1J). Jest to praca wykonana przez ładunek równy jednemu kulombowi (1C=1As)
pod wpływem ró\nicy potencjałów równej 1V:
1J = 1C �"1V = 1V �"1A�"1s (2.6).
2.2. Moc prądu elektrycznego
Praca wykonana w jednostce czasu jest mocą prądu. Dla prądu stałego o natę\eniu I:
A Q
P = = �"U = IU (2.7).
t t
Jednostką mocy jest jeden wat (1W):
1W = 1V �"1A (2.8).
Przy przepływie prądu przez przewodnik o oporze R następuje zamiana energii elektrycznej
na energię cieplną. Moc elektryczną mo\na wyrazić wzorem:
2
U
2
P = UI = I R = (2.9)
R
2
I
Energia
Energia
U
R
elektryczna
cieplna
Rys. 2.1 Zamiana energii elektrycznej na energię cieplną
Wyra\enie na energię elektryczną, dla prądu stałego, zamienianą na energię cieplną przyjmie
postać:
2
U
2
A = Pt = UIt = I Rt = t (2.10).
R
2.3. Moc i energia prądu przemiennego
Mno\ąc wartość chwilową natę\enia prądu i wartość chwilową napięcia otrzymuje się
wartość chwilową mocy:
p = ui (2.11).
Dla odbiornika rezystancyjnego prąd jest w fazie z napięciem, a wartości chwilowe napięcia i
prądu wyra\one są wzorami:
u = Um sin�t
(2.12)
i = Im sin�t
stąd wartość chwilowa mocy wyra\ona jest wzorem:
p = UmIm sin2 �t (2.13)
gdzie moc maksymalna:
Pm = UmIm (2.14).
Ze wzoru wynika, \e przebieg czasowy wartości chwilowej mocy przedstawia funkcja sin2�t,
której przebieg pokazano na rysunku 2.2.
p
Pm
i
R
p u
u
P=UI
3Ą
i
2
0
Ą
Ą
2Ą
2
Rys.2.2 Przebiegi u, i, p = f(�t) w obwodzie z odbiornikiem rezystancyjnym.
Krzywa p = f(�t) przebiega cały czas nad osią rzędnych, tzn. moc p jest zawsze dodatnia,
niezale\nie od kierunku prądu, a więc w obu półokresach przepływa od zródła prądu do
odbiornika. Energia pobierana przez odbiornik w ciągu jednego okresu wyra\ona jest
wzorem:
3
T
AT = pdt (2.15).
+"
0
Wartość tej energii jest proporcjonalna do pola pod krzywą p=f(�t). Pole to mo\na zastąpić
przez pole równowa\nego prostokąta o wysokości P, dla którego:
AT = PT (2.16)
gdzie P wartość średnia mocy pobieranej przez odbiornik w ciągu okresu.
Jak pokazano na rysunku 2.2, moc średnia P jest równa połowie mocy maksymalnej Pm.
Wykorzystując to spostrze\enie i wyra\enie na wartość mocy maksymalnej mo\na napisać:
Pm Um Im Um Im
P = = = (2.17)
2 2 2 2
a biorąc pod uwagę, \e wartość maksymalna prądu lub napięcia o przebiegu sinusoidalnym
podzielona przez 2 jest równa wartości skutecznej, to:
P = UI (2.18)
co jest identyczne ze wzorem wyra\ającym moc prądu stałego. A zatem w obwodzie prądu
przemiennego z odbiornikiem rezystancyjnym iloczyn wartości skutecznej prądu i wartości
skutecznej napięcia równy jest mocy średniej.
Wartość mocy prądu przemiennego pomno\ona przez czas jest wartością energią elektryczną
przenoszoną w tym czasie przez prąd.
Dla obcią\enia rezystancyjnego wartość mocy i energii nazywana jest mocą czynną i energią
czynną.
2.4. Pojęcie mocy i energii biernej
W obwodach prądu przemiennego obcią\onych elementami pasywnymi
zachowawczymi tzn. indukcyjnością (cewka) lub pojemnością (kondensator) występuje
zjawisko mocy i energii biernej.
Wartość chwilowa mocy w obwodzie z indukcyjnością wyra\a się wzorem:
p = ui (2.19).
Je\eli prąd zmienia się w sposób sinusoidalny tzn.
i = Im sin�t (2.20)
Ą
to napięcie wyprzedza prąd o kąt , a zatem:
2
Ą
�ł
u = Um sin�ł�t + (2.21).
�ł �ł
2
�ł łł
Stąd moc prądu określona jest wzorem:
Ą
�ł
p = ui = Um Im sin�t sin�ł�t + = UI sin2�t (2.22).
�ł �ł
2
�ł łł
A więc przebieg czasowy mocy chwilowej w obwodzie z indukcyjnością jest przebiegiem
sinusoidalnym o podwójnej częstotliwości w stosunku do częstotliwości prądu i napięcia.
Zale\ność tą pokazano na rysunku 2.3.
4
p
i
+
i
3Ą
+
2
L
p
0 Ą
u Ą
2Ą
2
u
-
-
T
�
4
�T
Rys. 2.3 Przebiegi u, i, p = f(�t) w obwodzie z indukcyjnością
W pierwszej ćwiartce okresu moc p ma wartość dodatnią, a więc przepływa od zródła prądu
do odbiornika indukcyjnego. W drugiej ćwiartce okresu wartość mocy chwilowej jest
ujemna, tzn. kierunek przepływu mocy jest odwrotny od odbiornika indukcyjnego do zródła
prądu. W następnych dwóch ćwiartkach przebieg się powtarza. Zakreskowane pole, objęte
krzywą p = f(�t), jest proporcjonalne do energii elektrycznej:
T
AT = pdt (2.23).
+"
0
Poniewa\, jak widać na rysunku 2.3, pola dodatnie są równe polom ujemnym, więc energia
pobrana w ciągu całego okresu przez odbiornik indukcyjny równa się zeru AT = 0.
Wynika stąd, \e moc średnia P, pobierana w ciągu okresu równa się zeru:
AT
P = = 0 (2.24).
T
Energia elektryczna pobierana lub oddawana przez odbiornik indukcyjny w poszczególnych
ćwiartkach okresu równa się energii pola magnetycznego. Np. w pierwszej ćwiartce prąd
narasta od zera do wartości Im. Strumień wytwarzany przez cewkę narasta od zera do wartości
Śm. Na wytworzenie tego strumienia pobierana jest ze zródła prądu energia:
T T
Im
4 4 2
di LIm
AT = = idt = = = Wm (2.25).
+"uidt +"L +"Lidi
dt 2
4 0 0 0
W drugiej ćwiartce okresu prąd i maleje od wartości maksymalnej Im do zera, SEM
samoindukcji zmienia kierunek i energia równa wartości Wm jest oddawana do zródła prądu,
gdy\ pole magnetyczne cewki zanika do zera. W następnych dwóch ćwiartkach to zjawisko
powtarza się.
W odbiorniku charakteryzującym się samą tylko indukcyjnością L (bez rezystancji R)
zachodzi więc okresowa wymiana energii między odbiornikiem a zródłem zasilania, bez
jednokierunkowego przepływu energii połączonego z nieodwracalną przemianą energii
elektrycznej w inną postać energii, np. cieplną, jak w odbiorniku rezystancyjnym.
Wskutek tego energia elektryczna pobierana przez odbiornik indukcyjny w ciągu danego
czasu, składającego się z pewnej liczby okresów, wyra\ona w d\ulach (J), równa się zeru,
oraz moc elektryczna, równa energii pobieranej w ciągu jednostki czasu, wyra\ona w watach,
równie\ równa się zeru. Jednak\e wskutek okresowej wymiany energii przez odbiornik
indukcyjny płynie prąd o wartości skutecznej I, a na jego zaciskach występuje napięcie o
5
wartości skutecznej U. Iloczyn tych dwóch wartości UI, w przypadku gdy kąt między
Ą
wektorami U i I wynosi nosi nazwę mocy biernej, która oznaczana jest literą Q.
2
Jednostką mocy biernej jest war (1 VAr)
Iloczyn mocy biernej i czasu nosi nazwę energii biernej:
Ab = Qt (2.26)
Jednostką energii biernej jest warosekunda (1 VArs).
Energii biernej nie wolno wyra\ać w d\ulach (lub kWh), gdy\ nie jest ona równowa\na
energii zamienianej w sposób nieodwracalny na inną postać energii.
2.5. Moc i energia prądu przemiennego dla obcią\enia impedancyjnego
W praktyce \adnego z odbiorników elektrycznych nie mo\na scharakteryzować tylko
jednym parametrem tzn. samą indukcyjnością, pojemnością czy rezystancją. Natomiast ka\dy
z odbiorników w obwodach prądu przemiennego mo\na opisać impedancją Z.
Na rysunku 2.4 przedstawiono obwód prądu przemiennego obcią\ony impedancją Z.
i
p
u
Z
Rys. 2.4. Obwód prądu przemiennego obcią\ony impedancją Z
Je\eli prąd i napięcie zapiszemy jako:
u = Um sin(�t +� )
u
(2.27)
i = Im sin(�t +� )
i
to wartość mocy chwilowej równa jest iloczynowi napięcia i prądu:
p = ui (2.28).
Podstawiając do wzoru wyra\enia na wartość prądu i napięcia otrzymujemy:
Um Im UmIm
p = Um sin(�t +� )Im sin(�t +� ) = cos(� -� ) - cos( 2�t +� +� )
u i u i u i
2 2
a zatem:
p = UI cos� -UI cos( 2�t +� +� ) (2.29)
u i
Człon pierwszy tego wyra\enia przedstawia wartość średnią przebiegu i określa moc czynną,
drugi człon zaś określa moc bierną.
W praktyce moc elektryczną wyra\a się w postaci symbolicznej jako iloczyn napięcia
j�u
i
U = Ue i prądu w postaci sprzę\onej I* = Ie- j� .
Wartość mocy wyznaczona poprzez pomno\enie tak określonych wartości napięcia i prądu:
j(� -�i )
u
S = U I* = UIe
j�
S = UIe (2.30).
S = UI cos� + jUI sin�
Jak widać człon pierwszy tego wyra\enia reprezentuje moc czynną P, zaś człon drugi moc
bierną Q.
Moduł tego wyra\enia nazywamy mocą pozorną:
S = UI (2.31).
6
Moc pozorna, czynna i bierna tworzą trójkąt nazywany trójkątem mocy, który pokazano na
rysunku 2.5. Kąt � jest kątem przesunięcia fazowego między napięciem i prądem, a
jednocześnie pozwala na określenie współczynnika mocy cos�.
S
Q
�
P
Rys. 2.5. Trójkąt mocy
2.6. Metody pomiaru mocy i energii prądu stałego
Moc prądu stałego mo\e być mierzona tak zwaną metodą techniczną, to znaczy przy
zastosowaniu woltomierza i amperomierza połączonych według jednego ze schematów
przedstawionych na rysunku 2.6.
a)
b)
IA IA UA
+ +
A A
IR IR
IV
RA
RV
Rx V V UV Rx UR
UR UV
- -
Rys. 2.6. Schematy połączeń do pomiaru mocy prądu stałego metodą techniczną.
W obydwu układach moc pobierana przez odbiornik o rezystancji R jest równa:
P = UI (2.32)
W układzie pokazanym na rysunku 2.6a woltomierz V mierzy napięcie na zaciskach
odbiornika, zaś amperomierz A sumę prądów przepływających przez odbiornik R i
woltomierz V. Oznaczając wskazania woltomierza i amperomierza odpowiednio przez UV i
IA, a rezystancję woltomierza RV, mo\na napisać \e:
UV = UR
UV
IA = IR + IV = IR + (2.33)
RV
2
�ł �ł
UV UV
P = URIR = UV �ł I - �ł = UV IA - = UV IA + p'
A
�ł �ł
RV RV
�ł łł
przy czym p jest poprawką uwzględniającą wpływ mocy rezystancji woltomierza RV na
wartość mocy odbiornika Rx.
Im większy jest iloraz rezystancji odbiornika Rx i rezystancji woltomierza RV, tym wartość
poprawki jest większa. Dokładność pomiaru tą metodą będzie większa gdy wartość
rezystancji woltomierza RV będzie du\o większa od wartości rezystancji dla której
wyznaczamy moc.
W układzie pokazanym na rysunku 2.6b woltomierz V mierzy sumę spadków napięć na
odbiorniku Rx i na rezystancji amperomierza RA, zaś amperomierz A prąd płynący przez
odbiornik Rx, a zatem mo\emy napisać:
7
UV = UR + UA = UR + RAIA
IA = IR (2.34)
2
P = URIR = (UV - RAIA )IA = UV IA - RAIA = UV I - p"
A
przy czym p jest poprawką uwzględniającą wpływ mocy rezystancji amperomierza RA na
wartość mocy odbiornika Rx.
Im mniejszy jest iloraz rezystancji amperomierza RA i rezystancji odbiornika Rx tym wartość
poprawki jest mniejsza. Dokładność pomiaru tą metodą będzie większa gdy wartość
rezystancji amperomierza RA będzie du\o mniejsza od wartości rezystancji odbiornika Rx.
Mno\ąc wartość tak wyznaczonej mocy przez czas w którym płyną przez odbiornik prąd
otrzymujemy wartość energii elektrycznej prądu stałego pobranej przez odbiornik.
Ast = Pt (2.35)
2.7. Metody pomiaru mocy i energii prądu przemiennego
Moc prądu przemiennego opisana jest następującymi wzorami:
moc czynna P=UI cos�
moc bierna Q=UI sin� (2.36).
moc pozorna S=UI
Do pomiaru mocy czynnej prądu przemiennego stosuje się watomierze. W watomierzu
elektrodynamicznym nieruchoma cewka prądowa połączona jest szeregowo z odbiornikiem
energii elektrycznej, a ruchoma cewka napięciowa równolegle do odbiornika.
I2 2 1 I0=I1
Z
Rd
U
Rys. 2.7 Układ watomierza elektrodynamicznego; 1- cewka prądowa, 2- cewka napięciowa,
Z- impedancja, Rd rezystancja dodatkowa
Prąd przepływający przez cewką prądową jest równy prądowi odbiornika, tj. I1 = I0. Prąd
przepływający przez cewkę napięciową jest proporcjonalny do napięcia na odbiorniku, tj. I2 =
c2U. Ze względu na du\ą rezystancję opornika dodatkowego Rd, prąd I2 jest w fazie z
napięciem U. Między prądami płynącymi w cewkach występuje takie samo przesunięcie
fazowe, jak między prądem odbiornika I0 a napięciem na odbiorniku U.
Odchylenie organu ruchomego jest proporcjonalne do iloczynu wartości chwilowych napięcia
u i prądu i to znaczy mocy czynnej P.
Podziałka watomierza jest zawsze niemianowana. W celu otrzymania wartości mierzonej
mocy nale\y liczbę działek, o jaką wychyliła się wskazówka, pomno\yć przez stałą
watomierza.
Stałą watomierza wyznacza się ze wzoru:
UnIn
cw = (2.37)
nmax
w którym: Un; In wartości zakresowe cewki napięciowej i cewki prądowej; nmax liczba
działek podziałki watomierza.
8
Zmiany zakresu pomiarowego watomierza dokonuje się przez zmianę zakresu cewki
prądowej i cewki napięciowej. Zmiana zakresu cewki prądowej odbywa się przez szeregowe
lub równolegle łączenie połówek cewki prądowej. Zmianę zakresu cewki napięciowej
uzyskuje się przez zmianę rezystancji opornika dodatkowego.
Do pomiaru mocy biernej wykorzystuje się waromierze. Miernik mocy biernej ró\ni od
watomierza jedynie obwodem napięciowym. Włączenie w obwód napięciowy cewki o
Ą
indukcyjności L powoduje opóznienie o kąt prądu cewki napięciowej względem
2
doprowadzonego napięcia. Układ waromierza elektrodynamicznego przedstawiono na
rysunku 2.8.
I2 2 1 I0=I1
Ib
Z
Rb Rd
U
L
I2+Ib
Rys. 2.8 Układ waromierza elektrodynamicznego.
Pomiaru mocy pozornej w obwodach prądu przemiennego dokonuje się pośrednio poprzez
pomiar napięcia i prądu odpowiednio woltomierzem i amperomierzem. Iloczyn wskazań tych
dwóch mierników jest wartością mocy pozornej.
Do pomiaru energii elektrycznej prądu przemiennego wykorzystuje się liczniki energii
elektrycznej, którymi są najczęściej mierniki indukcyjne. W miernikach indukcyjnych
wykorzystuje się oddziaływanie strumienia magnetycznego, wytworzonego przez prąd
płynący w cewce elektromagnesu, na prądu wirowe indukowane w metalowej tarczy. Zasadę
budowy licznika energii elektrycznej przedstawiono na rysunku 2.9.
Rys. 2.9. Licznik indukcyjny: 1 cewka prądowa; 2 cewka napięciowa; 3 tarcza
aluminiowa; 4 magnes hamujący; 5 liczydło
9
Głównymi zespołami licznika są elektromagnes napięciowy, elektromagnes prądowy, tarcza
aluminiowa, magnes trwały i liczydło. Cewka elektromagnesu napięciowego ma du\ą liczbę
zwojów cienkiego drutu miedzianego. Cewka prądowa jest uzwojona grubym drutem, o małej
liczbie zwojów. Tarcza aluminiowa jest osadzona na uło\yskowanej osi, połączonej
przekładnią zębatą z liczydłem bębnowym.
Pod wpływem sinusoidalnego napięcia i prądu doprowadzonych do odpowiednich cewek
licznika powstają przemienne strumienie magnetyczne przenikające tarczę. Strumienie te
indukują w tarczy prądy wirowe. Współdziałanie powstałych prądów wirowych ze
strumieniami magnetycznymi powoduje powstanie momentu napędowego:
Mn = kw�ŚuŚi sin� (2.38)
gdzie:
kw stała konstrukcyjna; � pulsacja strumieni, � kąt fazowy między strumieniami.
Zale\ność strumieni od napięcia i prądu w cewkach jest praktycznie liniowa. Mo\na więc
U
zapisać \e: Śi = kiI oraz Śu = kuIu = ku przy czym Zu = Ru + j�Lu - impedancja obwodu
Zu
napięciowego. Cewka napięciowa ma du\ą indukcyjność, więc z dostatecznie du\ą
U
dokładnością mo\na napisać: Śu = ku .
X
L
Podstawiając do wzoru na moment napędowy zale\ności opisujące strumienie otrzymuje się
Mn = kUI sin� (2.39).
Aby moment napędowy był proporcjonalny do mocy czynnej przepływającej przez licznik
musi być spełniona zale\ność sin� = cos� czyli � = 90o - � w której j jest kątem
fazowym pomiędzy napięciem i prądem obcią\enia.
Strumień prądowy wywołany prądem I odbiornika, jest w fazie z tym prądem, a strumień
napięciowy, wytwarzany przez cewkę napięciową (o du\ej indukcyjności), opóznia się
względem napięcia o kąt prosty. Powstaje więc związek sin� = sin(90o - � ) = cos�
decydujący o proporcjonalności momentu napędowego ustroju indukcyjnego do mocy
czynnej prądu P:
Mn = kUI cos� = kP (2.40).
Moment napędowy równowa\ony jest przez momentem hamującym, który powstaje w
obracającej się tarczy aluminiowej na skutek przecinania jej przez strumień magnetyczny
magnesu trwałego. W tarczy indukują się prądy wirowe proporcjonalne do strumienia i
prędkości obrotowej tarczy. Wzajemne oddziaływanie strumieni powoduje wytworzenie
momentu obrotowego skierowanego przeciwnie do kierunku obrotu tarczy.
Poniewa\ zachodzi równość momentu napędowego i momentu hamującego Mn = Mh tarcza
obraca się ruchem jednostajnym.
Mo\na zatem powiedzieć, \e licznik energii elektrycznej jest watomierzem (cewki prądowa i
napięciowa) wyposa\onym w mechanizm całkujący (obrotowa tarcza).
Poniewa\ moment napędowy licznika ogólnie mo\na wyrazić wzorem:
Mn(t) = c1P(t) (2.41)
zaś moment hamujący:
Mh (t) = c2V (t) (2.42)
i Mn = Mh wówczas
dN
c1P = c22Ąr (2.43)
dt
gdzie :
10
r odległość od osi tarczy do środka strumienia między magnesami
l = 2ĄrN - droga przebyta po N obrotach przez punkt tarczy oddalony o r od osi.
Po przekształceniach otrzymujemy:
c2
Pdt = 2ĄrdN = cdN (2.44),
c1
a po scałkowaniu :
t2 N
2
+"Pdt = c +"dn (2.45)
t1 N1
Wynika stąd, \e miarą energii mo\e być liczba obrotów tarczy z uwzględnieniem stałej
konstrukcyjnej c. W praktyce na tabliczce znamionowej licznika podawana jest inna stała
licznika, będąca odwrotnością stałej c
1 N
K = = (2.46),
c A
która wyra\a liczbę obrotów tarczy licznika odpowiadającą jednostce energii elektrycznej.
Pomiaru energii biernej dokonuje się przy pomocy liczników energii biernej. Zasada pomiaru
jest taka sama jak licznikiem energii czynnej. Ró\nica polega na tym, \e moment napędowy
licznika powinien być proporcjonalny do mocy biernej Q poniewa\ energia bierna określona
jest zale\nością:
t2 t2
Ab = sin�dt = (2.47)
+"UI +"Qdt
t1 t1
przy czym � kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem odbiornika.
Uzyskuje się to przesuwając dodatkowo wektor napięcia U o kąt 90o. Wtedy otrzymujemy:
UI cos(90o -� ) = UI sin� = Q (2.48).
2.8. Metody pomiaru mocy i energii prądu trójfazowego.
Do pomiaru mocy w sieciach prądu trójfazowego wykorzystuje się watomierze i
watomierze. W zale\ności od obcią\enia sieci (symetryczne lub niesymetryczne) i rodzaju
sieci (trój- lub czteroprzewodowe) stosuje się ró\ne podłączenia mierników. Dla sieci
obcią\onych symetrycznie wystarczające jest wykorzystanie tylko jednego miernika.
Schematy włączenia miernika w takim przypadku przedstawiono na rysunku 2.10.
a)
b)
R
W
R
W
S
S
T
T
N
R2 R3
0
Rys. 2.10. Schemat pomiaru mocy sieci trójfazowej obcią\onej symetrycznie: a)
czteroprzewodowej; b) trójprzewodowej
W sieci czteroprzewodowej obcią\onej symetrycznie, gdy moc wszystkich faz jest
jednakowa, wystarczy mierzyć moc jednej fazy, zaś moc całkowita równa jest P = 3P1 .
11
W sieciach bez przewodu zerowego (trójprzewodowych), obcią\onych symetrycznie, moc
mierzy się jednym watomierzem w układzie ze sztucznym punktem zerowym. Obwód
napięciowy watomierza o rezystancji R1 wraz z rezystancjami R2 i R3 równymi R1 stanowi
symetryczną gwiazdę, dzięki czemu watomierz włączony jest na napięcia i prąd fazowy.
W sieciach obcią\onych niesymetrycznie moc mo\na mierzyć trzema watomierzami. W
przypadku sieci czteroprzewodowej watomierze włączone są po jednym na ka\dą fazę. W
sieciach trójprzewodowych obwody napięciowe mierników połączone są w gwiazdę. Moc
całkowita równa jest sumie wskazań wszystkich mierników.
W praktyce, w sieciach trójprzewodowych, stosuje się wygodniejszy układ dwóch
watomierzy, zwany inaczej układem Arona. Schematy połączeń mierników w układzie Arona
przedstawiono na rysunku 2.11.
a) c)
b)
R
W1 R
W1
R
S W2 S
S W1
T
W2
T T W2
Rys. 2.11. Układy połączeń do pomiaru mocy metodą Arona.
Cewki prądowe tych watomierzy są włączone na dwie dowolne fazy. Początki cewek
napięciowych są połączone z początkami odpowiednich cewek prądowych, końce cewek
napięciowych są przyłączone do trzeciego przewodu (na cewkach napięciowych występuje
napięcie międzyprzewodowe). Moc całkowita jest sumą wskazań obu watomierzy.
W układzie sieci trójprzewodowej suma wartości chwilowych prądów fazowych jest równa
zeru:
iR + iS + iT = 0 (2.49)
stąd dla przypadku przedstawionego na rysunku 2.11 b:
iS = -(iR + iT ) (2.50).
Podstawiając tę zale\ność do ogólnego wzoru na moc w układzie trójfazowym otrzymujemy:
p = uRiR + uSiS + uTiT = uRiR - uS (iR + iT ) + uTiT =
(2.51)
= (uR - uS )iR + (uT - uS )iT = uRSiR + uTSiT
Iloczyn wartości chwilowych prądów i napięć stanowi moc chwilową prądu przemiennego. A
zatem mo\emy napisać, \e:
p1 = uRSiR
(2.52)
p2 = uTSiT
Wartości chwilowe prądów i napięć mo\na opisać równaniami ogólnymi mającymi postać:
i = Im sin(�t +� )
i
(2.53)
u = Um sin(�t +� )
u
gdzie:
Im, Um wartości maksymalne prądu i napięcia;
�i, �u kąt przesunięcia fazowego przebiegów prądu i napięcia.
Wyra\enie opisujące moc chwilową prądu przemiennego przyjmie postać:
p = ui = UmIm sin(�t +� ) sin(�t +� ) (2.54)
u i
Zastępując iloczyn sinusów kątów połową kosinusów ró\nicy i sumy kątów otrzymujemy:
1 1
p = UmIm cos(� -� ) - UmIm cos(2�t +� +� ) (2.55)
u i u i
2 2
12
Przyjmując, \e:
�u -�i=� kąt przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami napięcia i prądu;
Um Im
= U; = I - wartości skuteczne napięcia i prądu,
2 2
wyra\enie określające moc chwilową prądu przemiennego przyjmie postać:
p = UI cos� -UI cos(2�t + 2� + � ) (2.56)
i
Energia pobrana w ciągu okresu T wynosi:
T
AT = pdt (2.57)
+"
0
Podstawiając wyra\enie opisujące moc chwilową prądu przemiennego (2.56) otrzymujemy:
T T
AT = cos�dt - cos(2�t + 2� + � )dt (2.58)
i
+"UI +"UI
0 0
Po scałkowaniu otrzymujemy:
T
UI
�łUI
AT = cos�t - sin(2�t + 2� + � )łł (2.59)
i
�ł śł
2�
�ł �ł0
czyli
AT = UI cos�T (2.60)
Moc średnia (moc czynna) prądu sinusoidalnie zmiennego wynosi:
1
P = AT = UI cos� (2.61)
T
Stosując to uogólnienie do rozwa\nego przypadku otrzymamy wyra\enie opisujące moc
czynną wskazywaną przez watomierze:
P1 = URS IR cos�1
(2.62)
P2 = UTS IT cos�2
gdzie:
URS, UTS wartości skuteczne napięć międzyfazowych;
IR, IT wartości skuteczne prądów fazowych;
�1, �2 kąty przesunięcia fazowego pomiędzy odpowiednimi prądami fazowymi i napięciami
międzyfazowymi.
Dla układu symetrycznie obcią\onego zachodzi równość napięć międzyfazowych i prądów
fazowych. Mo\emy zatem zapisać, \e
URS=UTS=U oraz IR=IT=I.
Odpowiednie kąty przesunięcia fazowego wynoszą (rys. 2.12)
�1= �+30o
�2= �-30o
R
U
RS
U
30o
RS
I
T
I
R
�
30o
U
TS
U
TR
�
T
S
U
ST
I
S
Rys. 2.12. Wykres wektorowy układu obcią\onego symetrycznie
13
Po podstawieniu do równania (2.62) otrzymujemy:
P1 = UI cos(� + 30o )
(2.63)
P2 = UI cos(� - 30o )
A zatem suma mocy czynnych mierzonych przez poszczególne watomierze wynosi:
2� 60o
P1 + P2 = UI 2 cos cos = 3UI cos� (2.64)
2 2
Podstawiając do otrzymanego wzoru zale\ność pomiędzy napięciem fazowym Uf ,gdzie f
faza R, S lub T i międzyfazowym U tj. U = 3U równanie (2.64) przyjmie postać:
f
P1 + P2 = 3U I cos� (2.65)
f
co jest równowa\ne równaniu opisującemu moc całkowitą prądu przemiennego trójfazowego
obcią\onego symetrycznie.
Mo\na więc napisać, \e suma P1 + P2 jest całkowitą mocą układu trójfazowego.
Pomiar mocy metodą Arona mo\e być stosowany zarówno dla sieci obcią\onych
symetrycznie jak i niesymetrycznie.
W przypadku gdy odbiornik charakteryzuje się tylko oporem rzeczywistym, tzn. kąt
przesunięcia fazowego � równy jest 0, wskazania obu watomierzy są jednakowe. Natomiast
gdy � `" 0 wskazania obu watomierzy są niejednakowe. Szczególnym przypadkiem jest
� = 60o . Dla tego kąta jeden z watomierzy wskazuje moc równą 0. Dla obcią\enia
charakteryzującego się większym kątem przesunięcia fazowego (tzn. � > 60o ) jeden z
watomierzy wskazuje moc ujemną . Znak - jednego watomierza nale\y uwzględnić przy
sumowaniu wartości wskazywanych mocy przez watomierze.
�
R
U
RS
U
RS
I
T
I
R
�
U
TS
U
TR
T
S
U
ST
I
S
Rys.2.13. Wykres wektorowy dla watomierzy połączonych w układ Arona według rysunku
2.11 b, w przypadku gdy watomierz W1 wskazuje wartość 0.
Do pomiaru energii trójfazowej stosuje się liczniki indukcyjne trójfazowe o dwóch lub
trzech organach napędowych. W sieciach trójfazowych czteroprzewodowych stosuje się
liczniki trójustrojowe, a w sieciach trójprzewodowych obcią\onych niesymetrycznie liczniki
dwuustrojowe. Na rysunku 2.13 przedstawiono schematy liczników trójfazowych.
Licznik trójfazowy składa się z trzech lub dwóch organów napędowych takich jak w liczniku
jednofazowym, których momenty napędowe działają na dwie tarcze aluminiowe umocowane
na wspólnej osi. Górną tarczę obejmują dwa ustroje indukcyjne, a dolną tarczę jeden ustrój
oraz magnesy trwałe wytwarzające moment hamujący. Momenty napędowe od mocy
poszczególnych faz sumują się, a jedno liczydło wskazuje łączną energię trzech faz.
14
a) b)
R
R
S
S
T
T
N
Rys. 2.13. Schematy włączania liczników trójfazowych do sieci cztero- i
trójprzewodowej
3. Literatura pomocnicza
1. Cholewicki T. Elektrotechnika teoretyczna
2. Kukurba H. Śliwa A. Zbiór zadań z elektrotechniki
3. Michałowski K., Przyjałkowski A. Elektrotechnika z elektroniką
4. Ocioszyński J., Majewski P. Zbiór zadań z elektrotechniki
5. Przezdziecki F. Elektrotechnika i elektronika
6. Szumanowski A. wykład z Elektrotechniki i elektroniki
7. praca zbiorowa Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków
Opracował: dr in\. Arkadiusz Hajduga
15

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2002 p3 answers
p3 10 rus
p3
Pola Torsyjne 9 Ray p3
p3
arm p3
ch5 pl p3
2004 p3 answers
arkusze P1 P2 P3 matma
test elektrycznosc p3
Rownanie Lorenza Przeradzki p3
fce hb samp p3
2005 p3 answers
Teoria Ergodyczna WPPT IIIr kolokwium1 p3
A New?ginning Odrodzenie poradnik do gry ep3

więcej podobnych podstron