macierze intro

Radosław Marczuk
Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
12 listopada 2005
1. Macierze
Macierzą nazywamy układ liczb (rzeczywistych, bądz zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci:
�ł łł
a11 a12 � � � a1n
�ł
a21 a22 � � � a2n śł
�ł śł
A = �ł śł
�ł � � � � � � � � � � � � �ł
am1 am2 � � � amn
Macierz A ma m wierszy i n kolumn. Parę liczb m, n nazywamy wymiarem macierzy. Jeżeli m=n to
mamy macierz kwadratową.
1.1. Specjalne macierze kwadratowe
1.1.1. macierz symetryczna
To macierz kwadratowa, którj wyrazy są umieszczone symetrycznie względem głównej przekątnej, tzn.
linii, na której znajdują się wyrazy a11 , a22 , a33 . . . ann i są sobie równe. np:
�ł łł
10 1 2 3
�ł śł
1 20 4 5
�ł śł
X = �ł śł
�ł 2 4 30 6 �ł
3 5 6 40
1.1.2. macierz diagonalna
Wszystkie elementy poza elemetami leżącymi na przekątej głównej są równe zero, np:
�ł łł
10 0 0 0
�ł śł
0 20 0 0
�ł śł
B = �ł śł
�ł 0 0 30 0 �ł
0 0 0 40
1.1.3. macierz jednostkowa stopnia n
Tp macierz diagonalna, na której przekątnej głównej znajdują się same jedynki:
dla n=4:
�ł łł
1 0 0 0
�ł śł
0 1 0 0
�ł śł
I = �ł śł
�ł 0 0 1 0 �ł
0 0 0 1
1.1.4. macierz wierszowa
Składa się z jedego wiersza:

D = 11 12 23 42
1
1.1.5. macierz kolumnowa
Składa się z jedej kolumny:
�ł łł
11
�ł śł
12
�ł śł
E = �ł śł
�ł 23 �ł
42
2. Działania na macierzach
2.1. Równość macierzy
Dwie macierze A = [aik] i B = [bik] są równe tylko wtedy, gdy mają te same wymiary i dla każdej pary
wskazników i oraz k zachodzi równość [aik] = [bik]. Innymi słowy: Tylko macierze identyczne uważa się
za równe pisząc: A = B.
2.2. Suma i różnica macierzy
Jeśli macierze A = [aik] i B = [bik] mają te same wymiary, to sumą macierzy A i B nazywamy
macierz C, której elementy [cik] są sumą elementów o tych samych wskaznikach:
cik = aik + bik
Na przykład:

10 2 3 -1 3 0 9 5 3
+ =
20 4 5 5 2 -1 25 6 4
Różnicą macierzy A i B nazywamy macierz D, której elementy [dik] są różnicą elementów o tych samych
wskaznikach:
dik = aik - bik
Na przykład:

10 2 3 -1 3 0 11 -1 3
- =
20 4 5 5 2 -1 15 2 6
2.3. Mnożenie macierzy
2.3.1. Mnożenie macierzy przez stałą
Każdy wyraz macierzy A mnożymy przez stałą ą tj: ąA = ąaik. Dla ą = 5 i poniższej macierzy będziemy
mieli:

10 2 3 50 10 15
ą � =
20 4 5 100 20 25
2.3.2. Mnożenie dwóch macierzy
Iloczyn macierzy A o wymiarze m i n oraz macierzy B o wymiarze m1 i n1 jest wykonalny tylko
wtedy, gdy ilość elementów w wierszach macierzy A jest równa ilości elementów w macierzy B. Czyli wynik
mnożenia, macierz C jest rozmiaru emphm i n1. Elementy macierzy C oblicza się z zależności:
cik = ai1b1k + ai2b2k + ai3b3k + . . . + ainbnk
Zatem wyraz cik powstaje przez pomnożenie przez siebie kolejnych elementów ais wiersza i macierzy A
przez kolejne wyrazy bsk kolumny k macierzy B
Najprostrzy przypadek otrzymujemy mnożąc macierz wierszową A przez macierz kolumnową B:
2
�ł łł
b1
�ł śł
b2
�ł śł
a1 a2 � � � an � �ł śł = a1b1 + a2b2 + � � � + anbn
�ł � � � �ł
bn
Wynikiem mnożenia jest macierz o jednym wyrazie (m=n1 =1)
Bardziej złożony przykład:

a11 a12 b11 b12 b13 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
� =
a21 a22 b21 b22 b23 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
2.4. Własności działań na macierzach
Z definicji dodawania macierzy wynika, że działanie to jest łączne i przemienne, tzn:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Pomijając banalny przypadek, kiedy macierze są jednoelementowe, mnożenie macierzy nie jest
przemienne, tzn:
A � B = B � A

Dla przykładu wezmy:

0 0 0 1
A = B =
1 0 0 0
Mamy

0 0 1 0
A � B = B � A =
0 1 0 0
Czyli
A � B = B � A

3. Wyznaczniki
Z pojęciem macierzy kwadratowej związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Wyznacznikiem macierzy
A (determinantem macierzy A) nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób:

a11 a12 � � � a1n

a21 a22 � � � a2n

W = detA =

� � � � � � � � � � � �

an1 an2 � � � ann
3.1. Wyznaczanie wartości wyznacznika 2x2

a11 a12

= a11a22 - a12a21

a21 a22
3.2. Wyznaczanie wartości wyznacznika 3x3 (Schemat Sarrusa)
Aby wyznaczyć wartość wyznacznika W o rozmiarze 3x3

a11 a12 a13

W = a21 a22 a23

a31 a32 a33
można posłużyć się nastąpującym algorytmem:
3
1. Dopisujemy do wyznacznika pierwszy i drugi wiersz (na dole)
2. Wykonujemy obliczenia wg wzoru:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a13a22a31 - a23a32a11 - a33a12a21

a11 a12 a13

a21 a22 a23
3.3. Wyznaczanie wartości wyznacznika metodą rozwinięcia Laplace a
4. Zastosowanie macierzy i wyznaczników do rozwiązywania układów równań
liniowych
4.1. Metoda Cramera
Rozważmy układ równań liniowych o dwóch niewiadomych x i y:
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
w zapisie macierzowym układ można przedstawić jako:

a11 a12 x b1
=
a21 a22 y b2
bądz w skrócie:
AX = B
Stosując tzw. metodę Cramera, wyznaczamy wartości wyznaczników:

a11 a12 b1 a12 a11 b1

W = Wx = Wy =
a21 a22 b2 a22 a21 b2
gdzie wyznacznik W to wyznacznik macierzy współczynników, Wx to wyznacznik macierzy, w której ko-
lumnę współczynników przy zmiennej x zastąpiono kolumną wyrazów wolnych, Wy to wyznacznik macierzy,
w której kolumnę wyrazów przy zmiennej y zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Niewiadome można wyznaczyć z następujących zależności:
Wx Wy
x = y =
W W
4.2. Metoda macierzy odwrotnej
Przy założeniu, że macierz A jest nieosobliwa, tzn. detA = 0 można wyznaczyć macierz odwrotną A-1

do danej macierzy A. Macierz odwrotna, to taka macierz, dla której spełniona jest zależność:
A � A-1 = I
czyli w wyniku otrzymujemy macierz jednostkową.
Macierz odwrotną A-1 wyznacza się z wzoru:
�ł łł
A11 A12 � � � An1
�ł
1
A21 A22 � � � An2 śł
�ł śł
A-1 = �ł śł
�ł � � � � � � � � � � � � �ł
detA
An1 An2 � � � Ann
W równaniu powyższym, macierz
4
�ł łł
A11 A12 � � � An1
�ł
A21 A22 � � � An2 śł
�ł śł
�ł śł
�ł � � � � � � � � � � � � �ł
An1 An2 � � � Ann
to macierz tzw. dopełnień algebraicznych.
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to istnieje macierz odwrotna A-1. Mnożąc lewostronnie obie strony
macierzowego układu równań przez A-1 otrzymujemy równanie:
A-1(AX) = A-1B
korzystając z łączności mnożenia macierzy oraz z tego, że A-1A = I i z tego, że IX = X można wynik
zapisać w postaci:
X = A-1B
5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zachowania macierzynskie klaczy i ich nieprawidlowosci
macierz0750
model Lesli ego, macierz Markowa
intro
GRADIENT INTRO
Intro
intro
Komórki macierzyste tkanek zęba i możliwości odtwarzania struktur zęba
Intro (40)
Appendices01 Intro

więcej podobnych podstron