PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3. METODY OPISU UKA
ADÓW ELEKTRYCZNYCH
3.1. OPIS ZACISKOWY - CZWÓRNIK
3.1.a) WPROWADZENIE
Wielobiegunnikiem nazywamy element, którego liczba zacisków jest
większa od 2 (m>2). Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest
para wielkości elektrycznych.
Definicja1.
Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n) zgru-
powanych w n par i dla każdej pary zacisków zachodzi związek:
I = -I
(3.1)
k' k
to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";
- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć zaci-
skowych tworzących tę bramę;
- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM
Definicja 2.
Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy wie-
lowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.
I 1
1
1
1
U 1
U 1 I 1
I 1 I 1
I 1 I 2 2
1
1
.
.
.
n=2
m=2n
. U 1 U
. 2n
2
.
I n
I n
I n
1
n I I 2 2
1
n n
U n
U n I n
n
dr inż. Marek Szulim
1 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco
I 1 I
2
1 2
CZWÓRNIK
U 1 U 2
2
1 2
Para zacisków 1-1  wrota pierwotne (WE)
2-2  wrota wtórne (WY)
Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:
" stan jałowy  gdy prąd danej bramy jest równy zeru
(I1=0 lub I2=0)
" stan zwarcia  gdy napięcie danej bramy jest równe zeru
(U1=0 lub U2=0)
3.1.b) TRÓJNIK A CZWÓRNIK
Przyjmijmy jeden z zacisków trójnika za zacisk odniesienia. Rozsz-
czepiając zacisk odniesienia na dwa zwarte zaciski otrzymamy czwórnik 
nazywany czwórnikiem o strukturze trójnikowej (czwórnikiem o
wspólnej masie).
I 1 I 2 2 I 1 I
2
1 1 2
U 1 U
2
U 1 U 2
1 2
dr inż. Marek Szulim
2 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.1.c) PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA
Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą
WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I1, U1)
oraz prąd i napięcie wyjściowe (I2, U2).
Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być przyję-
te jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości niezależ-
nych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik można
zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.
Para wielkości zaciskowych
RODZAJ RÓWNAC

ZALEŻNYCH NIEZALEŻNYCH
ADMITANCYJNE
I1, I2 U1, U2
`$
IMPEDANCYJNE
U1, U2 I1, I2
a$
3. HYBRYDOWE
U1, I2 I1, U2
4. HYBRYDOWE ODWROTNE
I1, U2
U1, I2
5. A
AC
CUCHOWE
U1, I1
U2, I2
6. A
AC
CUCHOWE ODWROTNE
U2, I12
U1, I1
dr inż. Marek Szulim
3 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
`$ RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA
Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne
U1 oraz wtórne U2. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia
czwórnika
I 1 I 2 2
1
CZWÓRNIK
U 1
U 2
2
1
I 11 I 21 I I 22 2
12
1
CZWÓRNIK CZWÓRNIK
U 1
U 2
+
2
1
I1 = I11 + I12
�#
Ź#
I = I + I
2 21 22�#
gdzie: I11 = y11U1 I12 = y12U
2
I = y21U1 I = y22U
21 22 2
Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:
I1 = y11U1 + y12U
�#
2
�#
(3.2)
Ź#
I = y21U1 + y22U
�#
2 2
�#
dr inż. Marek Szulim
4 /15
e-mail: [e-mail]
=
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
I1 = y11U1 + y12U
�#
2
�#
(3.2)
Ź#
I = y21U1 + y22U
�#
2 2
�#
lub w postaci macierzowej
y11 y12 Ą# ń#
I1 Ą# ń# U1 U1
Ą# ń# Ą# ń#
= �" = Y �"
ó#y y22 Ą#
ó#I Ą# ó#U Ą# ó#U Ą#
Ł# 2 Ś# Ł# 2Ś# Ł# 2 Ś#
Ł# 21 Ś#
Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami ad-
mitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 3.2 (ja-
ko stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu
jednej z par zacisków):
I1 I1
y11 = y12 =
U1 U 2 =0 U
2
U1 =0
admitancja dwójnika 1-1 (od P) admitancja wzajemna od W do P
I I
2 2
y21 = y22 =
U1 U 2 =0 U
2
U =0
1
admitancja wzajemna od P do W admitancja dwójnika 2-2 (od W)
I 1 I I 1 I 2 2
2
1 2 1
CZWÓRNIK CZWÓRNIK
U 1
U
2
2 2
1 1
I 1 I 2
y11
U 1 y22 U
2
y12U2 y21U1
Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (3.2)
dr inż. Marek Szulim
5 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
a$ RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA
U1 = z11I1 + z12 I
�# U1 z11 z12 I1 I1
2 Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
= = Z �" (3.3)
Ź#
ó#U Ą# ó#z z22Ą# �" ó#I Ą# ó#I Ą#
U = z21I1 + z22 I
2 2�#
Ł# 2 Ś# Ł# 21 Ś# Ł# 2Ś# Ł# 2Ś#
Elementy macierzy impedancyjnej Z (parametry impedancyjne) ma-
ją wymiar impedancji [�]. Można je wyznaczyć jako stosunki napięć zaci-
skowych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par zacisków:
U1
z11 = = Z1o
U1
I1 I 2 =0
z12 =
I
2
I1 =0
impedancja dwójnika 1-1 (od P)
impedancja wzajemna od W do P
impedancja wejściowa rozwarciowa
U
2
z22 = = Z
U 2 o
2
I
z21 =
2
I1 =0
I1 I 2 =0
impedancja dwójnika 2-2 (od W)
impedancja wzajemna od P do W
impedancja wyjściowa rozwarciowa
I 1 I 2=0 I 1=0 I 2 2
1 2 1
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK
U 1 U U 1 U
2 2
2 2
1 1
I 1 I 2
z11 z22
U 1 U
2
z12I2 z21I1
Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.3)
dr inż. Marek Szulim
6 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.1.d) PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA
IMPEDANCYJA WEJŚCIOWA
Określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej dwójni-
kiem o impedancji Zobc.
I 1 I 2
Z g
1 2
Z obc
U 1 CZWÓRNIK U 2
E g
1 2
U 1
Z we =
I 1
Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z pierwsze-
go równania (3.3):
U1 I
U1 = z11I1 + z12 I �! Z = = z11 + z12 2
2 we
I1 I1
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U = -Z I
2 obc 2
I z21
2
U = z21I1 + z22 I �! = -
2 2
I1 Z + z22
obc
U1 z12 z21
Z = = z11 -
Stąd: (3.5)
we
I1 Z + z22
obc
dr inż. Marek Szulim
7 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
IMPEDANCYJA WYJŚCIOWA
Jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy
Eg = 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego.
I 1 I 2
1 2
Z g
CZWÓRNIK
U 1 U 2
1 2
U 2
Z =
wy
I
2
Z drugiego równania (3.3) otrzymujemy
U I1
2
U = z21I1 + z22 I �! Z = = z22 + z21
2 2 wy
I I
2 2
Natomiast z pierwszego równania po uwzględnieniu, że U1 = -Z I1
g
I1 z12
U1 = z11I1 + z12 I �! = -
2
I Z + z11
2 g
U z12 z21
2
Z = = z22 -
Stąd: (3.6)
wy
I Z + z11
2 g
dr inż. Marek Szulim
8 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
WZMOCNIENIE NAPI
CIOWE (TRANSMITANCJA NAPI
CIOWA)
U z21 Z
2 obc
K = =
(3.7)
u
U1 det Z + z11 Z
obc
I 1
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
1 2
rzeczywistego z
ródła energii, mó-
Z g
wimy o
U 1 U 2 Z
obc
skutecznym (efektywnym)
E g
1 2
wzmocnieniu napięciowym:
U U U K
2 2 2 u
K = = = =
(3.8)
u sk
Z
E U1 + Z I1 U1 + Z U1
g
g g
1+
g
Z
Z
we
we
WZMOCNIENIE PR
DOWE (TRANSMITANCJA PR
DOWA)
(- I ) z21
2
K = =
(3.9)
i
I1 z22 + Z
obc
I 1 (-I 2)
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
1 2
rzeczywistego z
ródła energii, mó-
wimy o
Z g U 1
I g
U 2 Z
obc
skutecznym (efektywnym)
1 2
wzmocnieniu prądowym:
(- I ) (- I ) (- I ) (- I ) K
2 2 2 2 i
K = = = = =
(3.10)
i sk
E U1 + Z I1 Z I1 + Z I1 Z
I
g g we g we
g
1+
Z
Z Z Z
g
g g g
dr inż. Marek Szulim
9 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.2. OPIS CZ
STOTLIWOŚCIOWY
3.2.a) POJ
CIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie harmo-
niczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub prądowe) i
dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedz
o symbolicznej wartości
skutecznej R (prądowa lub napięciowa).
F R
układ
elektryczny
Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to rozpatry-
wany układ jest dwójnikiem.
W zależności od wymuszenia odpowiedz
wyznaczamy ze wzoru:
I
I Z U Z Y
U0
I = Y U (3.11b)
U = Z I (3.11a)
Z 0
Zatem stosunek odpowiedzi do wymuszenia, definiujemy jako:
U I
IMpedancja Z = (3.12a) adMITANCJA Y = (3.12b)
I U
Z 0
Dla obu tych wielkości spełniających związek
Y Z = 1 (3.14)
stosujemy określenie : I M M I T A N C J A
dr inż. Marek Szulim
10 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia
z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-
wiedz
z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-
szenia nazywamy T R A N S M I T A N C J 
.
F R
K
R
K =
(3.15)
F
R = K F
czyli (3.16)
Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może
być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić cztery transmitancje:
transmitancję napięciową
I2=0
Ku U
U1
2
U2
K = (3.17a)
u
U1 I 2 =0
transmitancję prądowo-napięciową
I2
Kiu I
U1
2
K = (3.17b)
i u
U1 U =0
2
transmitancję prądową
I2
I1 Ki I
2
K = (3.17c)
i
I1 U 2 =0
transmitancję napięciowo-prądową
I2=0
I1 Kui U
2
U2
Ku i = (3.17d)
I1 I 2 =0
dr inż. Marek Szulim
11 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.2.b) CHARAKTERYSTYKI CZ
STOTLIWOŚCIOWE
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależą od:
" układu (jego struktury i wartości elementów);
" pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, badanego przy przebiegach harmonicznych dla
określonej pulsacji słuszna jest zależność:
Rm 2 R e j� R
R
j (� -� )
R F
K = = = e (3.18)
Fm 2 F e j� F F
j Ś
= K e
moduł transmitancji K
argument transmitancji Ś
określony jest stosunkiem war-
wyraża kąt przesunięcia fazowe-
tości skutecznych odpowiedzi
go odpowiedzi w odniesieniu do
do wymuszenia
wymuszenia
Charakterystykami częstotliwościowymi układu nazywamy
zależność transmitancji lub immitancji układu
od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.
jŚ (�)
K(�) = K(�)e
dla � " (0 � ") (3.19)
gdzie: K(�) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(�) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa
Ś(�) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa
KdB(�) = 20lg K(�)
UWAGA:
Wybrane wartości K
K(�)
0,1 1 10
1/ 2 2
10-N 10N
20lg K(�) [dB] - 20 N 20 N
-20 -3 0 3 20
dr inż. Marek Szulim
12 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.2.c) PARAMETRY CZ
STOTLIWOŚCIOWE UKA
ADÓW
częstotliwość przy której moduł transmitancji
maleje o 3 dB od wartości nominalnej dla której
częstotliwość graniczna
umownie przyjęto poziom 0dB.
zakres częstotliwości, w którym moduł transmi-
pasmo przenoszenia tancji maleje nie więcej niż o 3 dB od wartości
nominalnej, a jest to zakres częstotliwości zawar-
SP = fg 2 - fg1
ty między częstotliwościami granicznymi - miarą
pasma przenoszenia jego szerokość SP
zdolność rozdziału częstotliwościowego przeno-
szonych sygnałów - miarą selektywności jest
współczynnik prostokątności p
selektywność układu
SP(3dB)
p =
SP(20dB)
określa się liczbą decybeli wyrażającą zmianę
modułu transmitancji układu na dekadę w zada-
nachylenie charakterystyki
nym zakresie częstotliwości
K(f)
0dB
1
-3dB
0,707
-20dB
0,1
fg1 fs fg2
f
dr inż. Marek Szulim
13 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
3.2.d) FILTRY RC
I
C1
GÓRNOPRZEPUSTOWY (FG)
R1
U U
1 2
Zgodnie z (3.17a):
U R1 I R1
2
K (�) = = =
u
1
U1 �# ś#
1
R1 +
ś# R1 + ź# I
ś#
j�C1
j�C1 ź#
�# #
j�R1C1
K (�) =
Czyli: (3.20)
u
1+ j�R1C1
Ą
Ą#
j - arctg (�R1C1)ń#
ó# Ą#
�R1C1
2
Ł# Ś#
Ku(�)
lub = e
Ś(�)
1+ (�R1C1)2
K(�)
K(�) - częstotliwościowa Ś(�) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa charakterystyka fazowa
K(�)
Ś(�)
1
Ą/2
0,707
Ą /4
�
�
�g1=1/R1C1
�g1=1/R1C1
1 1
fg1 = =
UWAGA: �1 - stała czasu FG
2Ą R1C1 2Ą �1
dr inż. Marek Szulim
14 /15
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W3: Metody opisu układów elektrycznych
I
R2
DOLNOPRZEPUSTOWY (FD)
U1 U2
C2
Zgodnie z (3.17a):
�# ś#
1
1
ś# ź# I
ś#
j�C2 ź#
U j�C2
�# #
2
K (�) = = =
u
1
U1 �# ś#
1
R2 +
ś# R2 + ź# I
ś#
j�C2
j�C2 ź#
�# #
1
K (�) =
Czyli: (3.21)
u
1+ j�R2C2
lub
1
j [-arctg (�R2C2 )]
Ku(�)
= e
1+ (�R2C2)2
Ś(�)
K(�)
K(�) - częstotliwościowa Ś(�) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa charakterystyka fazowa
K(�)
Ś(�)
�g2=1/R2C2
1
�
0,707
-Ą/4
-Ą/2
�
�g2=1/R2C2
1 1
fg 2 = =
UWAGA: �2 - stała czasu FD
2Ą R2C2 2Ą �
2
dr inż. Marek Szulim
15 /15
e-mail: [e-mail]