Układy dynamiczne http://prac.im.pwr.wroc.pl/~downar/old/polish/dokumenty/
Układem dynamicznym nazywamy parę (X,T), gdzie X jest pewnym zbiorem (nazywanym
przestrzenią fazową), a T grupą lub półgrupą przekształceń X w siebie. W klasycznym przypadku
kaskady, są to iteracje jednej transformacji (wtedy przez T oznaczamy tę transformację).
Zazwyczaj przestrzeń X jest wyposażona w jakąś strukturę, a transformacje z grupy T zachowują
tę strukturę. Teoria układów dynamicznych jest dziedziną interdyscyplinarną, gdzie stosowane są
metody badawcze z bardzo wielu gałęzi matematyki. Jest to teoria gwałtownie rozwijająca się w
ciągu ostatnich kilku dziesięcioleci i z powodzeniem konkurująca w zastosowaniach do
opisywania i przewidywania zjawisk zachodzących w rzeczywistości z metodami statystycznymi,
a nawet numerycznymi. Zobacz przykład.
I tak, jeśli X jest przestrzenią miarową (najczęściej probabilistyczną) to zakładamy, że
transformacje są mierzalne i zachowują miarę przez przeciwobraz (czasem zakłada się tylko, że
są one niesingularne). Badaniem układów tego typu zajmuje się teoria ergodyczna.
Jeżeli o X założymy, że jest przestrzenią topologiczną (najczęściej zwartą), to od transformacji
wymagać będziemy ciągłości. Takie układy są przedmiotem dynamiki topologicznej.
Wreszcie możemy wyposażyć X w strukturę rozmaitości różniczkowej klasy Cr, a za T wziąć
Cr-dyfeomorfizm. Takie podejście prowadzi do teorii gładkich układów dynamicznych.
Niezwykle ważnym parametrem układu dynamicznego jest entropia. Najogólniej mówiąc entropia
jest miernikiem złożoności układu, jego niedeterministyczności. Pojawia się ona we wszystkich
działach teorii, przy czym dla transformacji zachowujących miarę będzie to entropia miarowa
Kołmogorowa-Sinaja, a dla układów topologicznych lub gładkich - na przykład entropia
topologiczna Bowena. Tu znajduje się więcej szczegółowych informacji o entropii.
Poza tą klasyfikacją wspomnieć należy dynamikę symboliczną, w której przestrzenią X jest zbiór
ciągów dwustronnie nieskończonych {xn: n = ...-2,-1, 0,1,2,...} lub jednostronnych {xn: n = 0,1,2,...}
o wartościach w pewnym zbiorze skończonym (alfabecie) A, zaś transformacją jest przesunięcie
ciągu:
T({xn}) = {xn+1}.
Metody dynamiki symbolicznej stosuje się we wszystkich trzech wyżej wymienionych działach
oraz w teorii entropii.
Rozpatruje się przestrzeń miarową (X, B, �) i mierzalną transformację T z X w X, zachowującą
miarę przez przeciwobraz. Transformacja taka jest ergodyczna jeśli wszystkie zbiory
T-niezmiennicze są miary zero lub ich dopełnienia są miary zero. Główne twierdzenie tej teorii,
twierdzenie ergodyczne Birkhoffa mówi, że jeśli � jest miarą probabilistyczną, T transformacją
ergodyczną, a f jest rzeczywistą (lub zespoloną) funkcją na X �-całkowalną z modułem, wtedy
tzw. średnie Cesaro
[f(x)+f(Tx)+...+f(Tnx)]/n
Układy dynamiczne http://prac.im.pwr.wroc.pl/~downar/old/polish/dokumenty/
dążą �-prawie wszędzie do całki z f po mierze � (średnia po czasie jest równa średniej po
przestrzeni).
Nieco wcześniejsze jest twierdzenie Poincar� o powracaniu: Jeśli T zachowuje miarę
probabilistyczną �, a A jest zbiorem mierzalnym miary dodatniej, to �-prawie każdy punkt x
zbioru A ma tę własność, że Tnx należy do A dla pewnego n > 0. Interpretacja fizyczna tego
twierdzenia dla modelu dyfuzji gazu brzmi dość paradoksalnie i pozornie przeczy II zasadzie
termodynamiki: Jeśli do pojemnika wpuścimy dwa różne gazy (początkowo będą one
rozdzielone), to zgodnie z II zasadą po pewnym czasie nastąpi ich dokładne i bezpowrotne
wymieszanie. Twierdzenia Poincar� jednak mówi, że w pewnym momencie układ wróci jednak do
stanu zbliżonego do początkowego, czyli do sytuacji, w której gazy te znowu są rozdzielone.
Paradoks ten można wyjaśnić w taki sposób, że po pierwsze czas powrotu w twierdzeniu
Poincar� jest bardzo duży, po drugie, układ fizyczny nigdy nie jest dokładnie odizolowany od
losowych czynników zewnętrznych, zatem nie przebiega stale dokładnie według tej samej
transformacji i po pewnym czasie jego zachowanie odchyla się od matematycznego układy
dynamicznego (II zasada właśnie uwzględnia tę nieregularność). Zanim nastąpi teoretyczny
czasu powrotu układu, odchylenie to będzie tak duże, że faktyczny układ nie powróci w pobliże
stanu wyjściowego.
Mieszanie jest kluczowym pojęciem w teorii ergodycznej. Układ dynamiczny jest mieszający jeśli
dla dowolnych dwóch zbiorów mierzalnych A i B miara przekroju T-nA z B dąży do iloczynu miar
�(A)�(B). Intuicyjnie oznacza to, że po pewnym czasie każdy zbiór A rozmyje się równomiernie
po całej przestrzeni (jego udział w każdym zbiorze B będzie niemal proporcjonalny do miary
zbioru B). Każdy układ mieszający jest ergodyczny, ale na przykład obrót okręgu z unormowaną
miarą Lebesgue'a o kąt niewymierny względem liczby p jest ergodyczny ale nie mieszający (łuk
pozostaje łukiem - nie rozmywa się).
Pojęcia ergodyczności i mieszania (i wiele innych) wywodzą się z obserwacji fizycznych układów.
Nowoczesne metody teorii ergodycznej pozwalają przewidywać zachowanie się jakościowe i
ilościowe procesu w dalekiej przyszłości nie znając dokładnych wzorów na przyszłe położenia
cząstek.
W mechanice niedeterministycznej stan układu obserwowany w chwili obecnej (zerowej) nie
wyznacza jednoznacznie stanów, w jakich układ znajdzie się w chwilach następnych, a jedynie
determinuje rozkład prawdopodobieństwa, z jakim stany te będą przyjmowane. Prowadzi to do
pojęcia procesu stochastycznego. Okazuje się, że również te procesy można opisywać w języku
teorii ergodycznej. Za przestrzeń X musimy jednak przyjąć nie zbiór samych stanów, lecz zbiór
wszystkich możliwych całych przebiegów procesu w przyszłości, przy czym chwila obecna
indeksowana jest jako zerowa. Jeśli rozważamy kaskadę, to w każdej kolejnej chwili następuje
przenumerowanie czasu (chwila nr 1 staje się nową chwilą nr 0, chwila nr 2 staje się chwilą nr 1,
itd.). W przypadku, gdy zbiór stanów A jest skończony, otrzymamy układ symboliczny:
przestrzenią X będzie zbiór wszystkich ciągów {xn: n = 0,1,2,...} o wartościach w A, zaś
transformacją jest przesunięcie ciągu:
T({xn: n = 0,1,2,...}) = {xn+1: n = 0,1,2,...}.
Klasycznym przykładem jest tu spacer losowy po zbiorze skończonym stanów A = {1,2,3,..., k}
zadany macierzą stochastyczną prawdopodobieństw przejścia P= [pi,j] (ze stanu i układ
przechodzi z prawdopodobieństwem pi,j do stanu j). Prawdopodobieństwa przejścia wraz z
jakimś stacjonarnym rozkładem początkowym na zbiorze A zadaje na przestrzeni X miarę
T-niezmienniczą, w tym przypadku będzie to miara procesu Markowa.
Układy dynamiczne http://prac.im.pwr.wroc.pl/~downar/old/polish/dokumenty/
Dynamika topologiczna to najmłodsza z trzech wymienionych we wstępie dziedzin. W teorii tej
najczęściej rozważa się przestrzeń topologiczną zwartą X i transformację ciągłą lub wręcz
homeomorfizm T z X w X. Interpretacja fizyczna ciągłości jest taka, że mamy do czynienia z
ewolucją, w której punkty dostatecznie bliskie sobie w chwili zerowej podróżują w podobny
sposób, przynajmniej jeśli obserwujemy je w określonym, ograniczonym czasie. Dobrej intuicji
dostarcza przykład z przepływem wody w rzece. Jeśli mała początkowa odległość miedzy
punktami gwarantuje, że będą one zawsze pozostawać blisko siebie, to mamy do czynienia z
układem jednakowo jednostajnie ciągłym - jest to bardzo silna wersja stabilności wewnątrz
systemu. Odpowiednikami ergodyczności są w dynamice topologicznej tranzytywność - istnienie
punktu, którego trajektoria jest gęsta w X i minimalność - wymóg aby trajektoria każdego punktu
była gęsta.
Jednym z fundamentalnych twierdzeń wiążących dynamikę topologiczną z teorią ergodyczną jest
twierdzenie Bogolubowa-Kryłowa o tym, że każdy zwarty topologiczny układ dynamiczny posiada
co najmniej jedną borelowską T-niezmienniczą miarę probabilistyczną. Względem takiej miary, T
staje się transformacją zachowującą miarę i można na przykład można badać, czy jest to układ
ergodyczny lub mieszający. Nawet układ minimalny może jednak mieć wiele różnych miar
niezmienniczych, w tym wiele nieergodycznych. Odwrotnego powiązania tych dwóch teorii
dostarcza twierdzenie Jewetta-Kriegera: każda odwracalna transformacja przestrzeni
probabilistycznej zachowująca miarę i ergodyczna jest w sensie teorii miary izomorficzna z
pewnym minimalnym topologicznym układem dynamicznym posiadającym jedyną miarę
niezmienniczą.
Pojęciami często rozważanymi w dynamice topologicznej są własności takie jak proksymalność
punktów, distalność, jednakowa jednostajna ciągłość iteracji, czy też ekspansywność układu.
Dwa punkty są proksymalne, jeśli w trakcie ewolucji ich obrazy zbliżają się do siebie na dowolnie
małą odległość. Układ jest distalny, jeśli nie posiada par punktów proksymalnych. A
atwym
ćwiczeniem jest sprawdzenie, że jeśli homeomorfizm T ma jednakowo jednostajnie ciągłe iteracje
Tn, to daje układ distalny. Układ jest ekspansywny, jeśli istnieje stała d > 0 taka, że dowolne dwa
różne punkty oddalają się kiedyś od siebie na odległość co najmniej d.
Układy symboliczne również można badać metodami dynamiki topologicznej. Pełnym układem
symbolicznym nad alfabetem skończonym A (traktowanym jako przestrzeń topologiczna
dyskretna) nazywamy zbiór X wszystkich ciągów (jedno- lub obustronnie nieskończonych) o
wartościach w A z topologią Tichonowa (która jest w tym wypadku zero-wymiarowa) z
transformacją T{xn} = {xn+1}. Jest to oczywiście transformacja ciągła, a w przypadku ciągów
obustronnych (n przebiega Z), T jest nawet homeomorfizmem. Układem symbolicznym
nazywamy działanie transformacji T na dowolnym domkniętym podzbiorze T-niezmienniczym Y
zbioru X. Układy symboliczne są ekspansywne, a zatem nie mają iteracji jednakowo jednostajnie
ciągłych - chyba, że Y jest zbiorem skończonym. Twierdzenie Hedlunda mówi, że każdy układ
ekspansywny na przestrzeni zero-wymiarowej zwartej jest równoważny z jakimś układem
symbolicznym.
Abstrakcyjną klasą układów topologicznych są obroty grup topologicznych (nie koniecznie
przemiennych). W grupie G wyróżniamy jakiś jeden element g0 i za T przyjmujemy mnożenie w G
przez g0, mianowicie
T(g) = gg0.
Z aksjomatów grup topologicznych wynika, że tak określone T jest ciągłe. Klasycznym
przykładem jest tu obrót okręgu jednostkowego o kąt niewymierny. Układ ten jest minimalny oraz
ma jednakowo jednostajnie ciągłe iteracje. Jedno z kluczowych twierdzeń dynamiki topologicznej
(Tw. Halmosa - von Neumanna) mówi, że każdy układ minimalny na przestrzeni zwartej o
Układy dynamiczne http://prac.im.pwr.wroc.pl/~downar/old/polish/dokumenty/
jednakowo jednostajnie ciągłych iteracjach jest obrotem grupy. Jako zastosowanie dynamiki
obrotów niewymiernych można przytoczyć natychmiastowy dowód tego, że liczby sin(n) leżą
gęsto w przedziale [-1,1] (1 radian jest kątem niewymiernym, zatem orbita liczby zespolonej 1 jest
gęsta na kole, stąd poprzez rzutowanie na oś urojoną otrzymujemy tezę).
Historycznie, jest to najstarsza część teorii układów dynamicznych. Wywodzi się ona z potrzeb
fizyki. Układ taki może bowiem opisywać zachowanie układu fizycznego którego ewolucja w
czasie jest zadana układem równań różniczkowych (często cząstkowych). Klasycznym
przykładem jest tu układ n ciał niebieskich oddziaływujących na siebie siłami grawitacji, które są
równoważone siłami odśrodkowymi w ruchu obrotowym jednych wokół drugich. Stanami układu
(punktami przestrzeni X) są wektory
(x1,y1,z1,u1,v1,w1, x2,y2,z2,u2,v2,w2 , ..., xn,yn,zn,un,vn,wn),
gdzie każda kolejna szóstka opisuje położenie i prędkość jednego ciała. W mechanice
deterministycznej stan taki wyznacza jednoznacznie stany we wszystkich chwilach następnych.
Trajektorie planet są w tym modelu rozwiązaniami pewnych układów równań różniczkowych, a
otrzymany układ zaliczymy do kategorii układów gładkich. W rozwiązaniach układów równań
różniczkowych występują potoki, a nie kaskady. Potok to układ dynamiczny z działaniem grupy
transformacji indeksowanej liczbami rzeczywistymi, a nie tylko naturalnymi (czyli z czasem
ciągłym). Przykładem może być potok geodezyjny. Określony jest on one na polu kierunków
rozmaitości różniczkowej, a jego trajektorie przebiegają wzdłuż krzywych geodezyjnych. Najlepiej
zbadane zostały potoki geodezyjne na powierzchniach o ujemnej krzywiz
nie.
Ogólnie rzecz ujmując w teorii układów gładkich rozważane są dyfeomorfizmy klasy Cr, gdzie r
może być liczbą naturalną lub też oznaczać nieskończoność na (najczęściej zwartych, spójnych i
bez brzegu) rozmaitościach różniczkowych. Fakt, że odwzorowania takie są ciągłe powoduje, że
mamy do czynienia z topologicznymi układami dynamicznymi, a więc można zastanawiać się nad
ich tranzytywnością czy minimalnością, a także mierzyć ich entropię. Posiadają one również
miary niezmiennicze (o ile rozmaitość ta jest zwarta), stąd do zbadania jest cała gama własności
teorio-ergodycznych. Jednakże struktura różniczkowa pozwala analizować znacznie bardziej
szczegółowo zachowanie się układu, na przykład można mierzyć w jakim stopniu i w jakich
kierunkach następuje ściskanie i rozciąganie przestrzeni w okolicach poszczególnych punktów
przy iteracjach transformacji. Kluczowe jest tu pojęcie hiperboliczności. Punkt stały (lub okresowy)
x nazywamy hiperbolicznym, jeśli w lokalnym układzie współrzędnych transformacja T zachowuje
się jak transformacja liniowa, nie posiadająca (zespolonych) wartości własnych o module 1. W
otoczeniu punktu x można wtedy wyróżnić dwie podrozmaitości niezmiennicze: ściągającą W+ i
rozciągającą W - (które lokalnie stanowią dwie dopełniające się podprzestrzenie liniowe), takie że
kolejne obrazy każdego punktu z W+ zmierzają wykładniczo do x i podobnie zachowują się
kolejne przeciwobrazy punktów z W -. Domknięty podzbiór T-niezmienniczy L rozmaitości X
nazywa się hiperboliczny, jeśli wiązka styczna do rozmaitości obcięta do L rozpada się na sumę
prostą niezmienniczych wiązek E+ i E- takich, że pochodna dT jest na E+ odwzorowaniem
wykładniczo ściągającym, a wykładniczo rozciągającym na E-. Układ (X,T) nazywa się układem
Anosowa jeśli cała rozmaitość X jest zbiorem hiperbolicznym. Układy Anosowa
stanowią prawdopodobnie najlepiej poznaną rodzinę transformacji gładkich.
Przy ustalonej rozmaitości X w zbiorze wszystkich Cr-dyfeomorfizmów na X istnieje naturalna
Cr-topologia. Pozwala to rozważać stabilność pewnych własności transformacji T. Własność taką
nazwiemy stabilną jeśli posiada ją każdy dyfeomorfizm S należący do pewnego otoczenia T w
Układy dynamiczne http://prac.im.pwr.wroc.pl/~downar/old/polish/dokumenty/
tejże Cr-topologii. Sam dyfeomorfizm T nazwiemy strukturalnie stabilnym, jeśli wszystkie
dyfeomorfizmy S z pewnego otoczenia T są topologicznie równoważne z T. Stabilność ma
niezwykle ważną interpretację fizyczną: jeśli na przykład działanie jakiegoś układu fizycznego
opisywane jest układem gładkim strukturalnie stabilnym, to przy niewielkim zaburzeniu tego
układu jego funkcjonowanie (nawet po długim czasie) nie zmieni się w istotny sposób. Warto
wspomnieć, że już w XVIII wieku astronomowie zastanawiali się, czy ruch planet układu
słonecznego opisywany jest stabilnym układem dynamicznym (byłoby to bardzo pożądane).
Ważnym w teorii stabilności wynikiem jest twierdzenie Anosowa, mówiące, że każdy układ
Anosowa jest strukturalnie stabilny.