EGZAMIN POPRAWKOWY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEC
STWA, 14 września 1996
IMI
I NAZWISKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Do zadań ponumerowanych liczbami naturalnymi należy podać rozwiąza-
nie. Do zadań ponumerowanych literami A, B, C etc. należy podać wyłącznie
wynik. W miarę możliwości proszę zmieścić wszystko na niniejszej kartce. Punk-
tacja: 1, 2: po 10 punktów, A D: po 5 punktów, razem 40 punktów.
1. (Xi) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona,
zaś (Yi) ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na
[0, a]. Udowodnić istnienie poniższej granicy i znalez
ć ją
X1 +. . . +Xn
lim .
2
n"
Y12 +. . . +Yn
2. Zmienne losowe Xi, i = 1, 2, . . . są niezależne i mają tę samą funkcję
charakterystyczną Ć. N ma rozkład Poissona z parametrem 1 i jest od nich
niezależna. Znalez
ć funkcję charakterystyczną  losowej sumy X1 +. . . +XN .
A. Bolek rzucił 100 razy monetą i otrzymał 77 orłów. Adaś chce powtórzyć
ten wyczyn (tj. otrzymać 77 lub więcej orłów) i zamierza rzucać monetą aż do
skutku. Ile średnio serii po 100 rzutów potrzeba, aby się doczekać 77 lub więcej
orłów? (Podać oszacowanie; nie korzystać z tablic. Wynik można wyrazić w
zależności od dystrybuanty rozkładu normalnego lub innej funkcji, wedle gustu
autora.)
B. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają ten sam standardowy rozkład
gaussowski. Dla wektora (2X - Y, X +2Y ) znalez
ć a) macierz kowariancji; b)
gęstość.
C. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [-1, 1], Y zaś standardowy
normalny. Znalez
ć, zakładając niezależność:
a) EXY ; b) P (Y > X); c) P (Y X).
D. Zdarzenia A1, . . . , An . . . są niezależne i mają prawdopodobieństwa pn.
Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń An?
1