S.B. Leble
Równania całkowe w fizyce i
technice.
Skrypt dla studentów Wydziału FTiMS PG
10 paz
dziernika 2010
Politechnika Gdańska
Gdańsk 2006
Spis treści
1 Niektóre równania całkowe w fizyce i technice. . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Równanie struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Statyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Dynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Związek z równaniem różniczkowym . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fotografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Zdjęcia uszkodzone,  zmaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Uszkodzenie zdjęcia pszez dyfrakcją . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Tomografia komputerowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Równania całkowe w tomografii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Teoria Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Jednorodne równania całkowe o ciągłym jądrze. Widmo
operatora całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma . . . . 16
3.5 Równanie całkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego. . . 19
3.6 Równanie całkowe: aproxymacja rożnicami skończonymi . . . . . . 20
4 Rozwiązanie zagadnień odwrotnych. Metody regularyzacji. 21
4.1 Analiza signałów jako problem z
le uwarunkowany.
Monitorowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Przykłady kłasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 Metoda Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji
Tikhonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Metoda Regularyzacji Tichonowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
VI Spis treści
5.1.1 Regularyzacja metody Fouriera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.2 Methoda Moore-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.3 Pzykład regularyzacji Tikhonova w L2 . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.5 Następny przykład - przestrzeń Soboleva . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Przykłady. Równanie dyfuzji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1 Zagadnienie dla równania dyfuzji z
odwrotnym czasem . 32
5.2.2 Zagadnienie dla równania dyfuzji: funkcja żródła. . . . . . 32
5.2.3 Wygenerowanie testowych wartosci temperatury. . . . . . . 33
5.2.4 Sformu zagadnienia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . 34
lowanie
5.2.5 Rozwiazanie zagadnienia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ä…
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Załącznuk 1. Uwagi matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1 Uwagi matematyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.1 Podstawowe pojęcza [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.1.2 Regularyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.1.3 Liniowe zle uwarunkowane zagadnienia. . . . . . . . . . . . . . . 44
1
Niektóre równania całkowe w fizyce i technice.
1.1 Wstęp
Równanie caÅ‚kowe to takie równananie o funkcji niewiadomej Õ(x), że po-
jawia siÄ™ caÅ‚ka, w której funkcja podcaÅ‚kowa zależy od Õ(x). W równaniu
takim mogą też występować inne składniki - niekoniecznie w postaci całki -
zależne bezpoÅ›rednio od Õ(x). Jeżeli w równaniu caÅ‚kowym funkcja niewia-
doma występuje liniowo, to takie równanie nazywamy równaniem całkowym
liniowym. Przykład:

x
(x - s)Õ(s) ds = f(x); f(a) = f (a) = 0; => Õ(x) = f (x). (1.1)
a
1.2 Równanie struny
1.2.1 Statyka
h h
tg a = , tg b = ; tg a H" a H" sin a, tg b H" b H" sin b. (1.2)
s l - s
Rzut warunku równowagi
T1 + T2 + P = 0
na oÅ› y:
T (sin a + sin b) = p. (1.3)
Przybliżone wg. (1.2)
h h p
+ =
s l - s T
daje
p(l - s)s
h = (1.4)
T l
2 1 Niektóre równania całkowe w fizyce i technice.
stÄ…d forma trojkÄ…ta Fig. 1 (I).
x(l-s)
, 0 < x < s,
T l
R(x, s) = { (1.5)
(l-x)s
, s < x < l,
T l
y(x) = pR(x, s).
Zasada superpozycji daje profil nici.

l
p(s)R(x, s)ds = y(x), (1.6)
0
gdzie p(s) jest gęstość śiły. Mamy równanie Fredholma I rzędu dla niewiadomej
p(x) przy podanej funkcji (Fig. 1, II), która się wyzeruje na końcach.
Ćwiczenie. Wyprowadzić wzór na formę struny dla dwóch cząstek punk-
towych. Uogólnić na n punktów. (Zasada superpozycji.)
1.2.2 Dynamika
Niech na nić działa zmienna śiła o gęstosci
p(s)SinÉt (1.7)
uwzględniają śiły bezwładnosci dostajemy

l
f(x) + É2 p(s)K(x, s)ds = y(x), (1.8)
0

l
gdzie f(x) = p(s)R(x, s)ds, K(x, s) = G(x, s)Á(s). Ájestgstosciumasynajednostkdugosci.
0
Mamy równanie Fredholma II rzędu dla niewiadomej y(x), K(x, s) - jadro.
Możemy teraz sformulować problem dla y(x).
Ćwiczenie. Podać wzór na śiłę bezwładnosci.
1.2.3 Związek z równaniem różniczkowym
Niech gÄ™stość Á(x) = Á jest staÅ‚Ä…. Rozniczkujemy (refr2) uwzgledniajac (1.5).
Dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne dla y(x);
Á
y (x) = -É2 y(x) + f (x). (1.9)
T
Stw. Każde rozwiązanie (1.9) które się wyzeruje na końcach x = 0, l jest
też rozwiązaniem równania całkowego Fredholma (1.8).
Dowód: Mnożymu równanie (1.9) przez -T G(x, s) i całkijemy po s. Mamy
równanie (1.8) bo całka (prez części)

l
T G(x, s)f (s)ds = f(x).
0
1.4 Zdjęcia uszkodzone,  zmaz . 3
Ćwiczenie. Sprawdzić że

"
1 Á
y(x) = C1 sin(kx)+C2 cos(kx)+ f (s) sin[k(x-s)]ds, = c2, k = Éc.
k T
0
jest rozwiązaniem (ogólnym) (refdif).
Ćwiczenie. Podstawic do warunków brzegowych y(0) = y(l) = 0. Upewnic
sie że warunek sin kl = 0 jest warunkiem koniecznym dla istnienia rozwiazania

przy dowolnej ciagłej f(x).
1.3 Fotografia
W optyce geometrycznej można zaniedbać zjawiska dyfrakcji i interferencji.
Zapominamy, że światło jest falą o długosci  pod warunkiem że  d, gdzie
d  rozmiar obiektu (szczegółu).
1 1 1
+ = , f1 f,
f1 f2 f
w, w  intensywności,
w(¾, ·)  reprezentuje obrazek (zdjÄ™cie) na odlegÅ‚osci f1,
w (¾ , · )  rzeczywistość na odlegÅ‚osci f2; f-odlegÅ‚ość ogniskowa.
w(¾, ·) = w (¾ , · ), (1.10)
¾ -¾ · -·
= , = . (1.11)
f1 f2 f1 f2
Zagadnienie proste:
w(¾, ·) = w (¾ , · ),
gdzie:
-¾ -·
¾ = , · = ,
q q
f1 1 1
q = , f2 = ( - )-1, f1 f.
f2 f f1
1.4 Zdjęcia uszkodzone,  zmaz .
Niech w trakcie wykonywania zdjęcia aparat lub ciało znajdują się w ruchu, z
prÄ™dkoÅ›ciÄ… v, kierunek ruchu pokrywa siÄ™ z osiÄ… ¾, v ¾, ukÅ‚ad współrzÄ™dnych
(x, y) pokrywa siÄ™ w chwili poczÄ…tkowej z (¾, ·).
" = vÄ,
4 1 Niektóre równania całkowe w fizyce i technice.
gdzie: "  przesuniÄ™cie, Ä  czas wykonywania zdjÄ™cia.
Do punktu x, y trafi intensywność od całego odcinka:

x+"
1
w(x, y) = w (¾, y) d¾. (1.12)
"
x
Wprowadzamy funkcjÄ™:

1
dla ¾ " [x, x + "]
"
K(x, ¾) = (1.13)
0 dla ¾ " [x, x + "]
/
w (x, y) = Õ(x), w(x, y) = f(x).
Odrzymujemy równanie Fredholma I rzędu:

"
f(x) = K(x, ¾)Õ(¾)d¾. (1.14)
-"
"  na tym odcinku energia dochodzi w czasie Ä. Intensywność  liczba reakcji
chemicznych w pewnym punkcie; gdy ciało się porusza następuje rozmazanie.
Metoda transformacji Fouriera  funkcję reprezentuje się całką Fouriera lub
szeregiem Fouriera; na całej osi jest widmo ciągłe:

"
1
Õ(x) = " eiÉx Õ(É) dÉ,
Ü
2Ä„ -"

" "
1 1
Ü Ü
f(x) = " eiÉxf(É) dÉ, f(É) = " e-iÉxf(x)dx ,
2Ä„ -"
2Ä„ -"

" "
1
" K(x, ¾) eiɾÕ(É) dÉ d¾ = f(x), (1.15)
Ü
2Ä„ -" -"

" "
1
Ü
[eiÉ(x+") - eiwx ]Õ(É); dÉ = eiÉxf(É) dÉ,
Ü
iÉ"
-" -"

" "
1 1
Ü
(eiÉ" - 1)eiÉxÕ(É) dÉ = eiÉxf(É) dÉ,
Ü
Ä„ iÉ"
-" -"
1
Ü
f(É) = (eiÉ" - 1)Õ(É); (1.16)
Ü
iÄ„É"
eiÉx  bardzo szybko oscylujÄ…;

" "
Ü
1 1 iÄ„É"f(É)
Õ(x) = eiÉxÕ(É)dÉ = eiÉx dÉ. (1.17)
Ü
Ä„ Ä„ (eiÉ" - 1)
-" -"
Komentarz. Kierunek zmazania można określić po sladam na zdieczu.
Reprodukcja ilustracji z [18]. a)Rozmaz b)Wyniki odtwarzania przes roz-
wiązywanie równania (1.14) metoda Fouriera. c) Metoda Tikhonova.
1.5 Uszkodzenie zdjęcia pszez dyfrakcją 5
1.5 Uszkodzenie zdjęcia pszez dyfrakcją
Promień krążka dyfrakcyjnego:
a´
Á =
f2
´ odlegÅ‚ość miÄ™dzy dwiema pÅ‚aszczyznami
f2-´
x = - ¾
f1
f2+´
y = - ·
f2
Z powodu krążka informacja jest rozmyta i informacja z danego punktu miesz
się z informacją z punktów sąsiednich.
Warunek  trafienia informacji z otoczenia:

(x - ¾)2 + (y - ·)2 Á
g(x, y) intensywność w punkcie (x, y)

É(¾,·)
g(x, y) = d¾d·
&! Ä„Á2

&! = (x - ¾)2 + (y - ·)2 Á

"
1
g(x, y) = K(x - ¾, y - ·)É(¾, ·)d¾d·
Ä„Á2 -"

K(x - ¾, y - ·) = 1 gdy (x - ¾)2 + (y - ·)2 Á

K(x - ¾, y - ·) = 0 gdy (x - ¾)2 + (y - ·)2 > Á
Uwaga:
´, " =?
SÄ… to parametry.
Rysunek 1.1. Profil struny
Rysunek 1.2. Odtwarzanie obrazu.
Rysunek 1.3. Przesuniécie w funkcji czasu.
Rysunek 1.4. Obrazki z [18].
2
Tomografia komputerowa
2.1 Równania całkowe w tomografii
Problem związany z tomografią dotyczy obrazowania rozkładu gęstości ba-
danego obiektu. Dla uproszczenia zagadnienia zajmiemy siÄ™ tu problemem
dwuwymiarowym (w płaszczyz
nie XY), szerszy opis zagadnień oraz używa-
nych urządzeń znajduje się w [17, 18]. Uzyskanie poszerzenia na trzy wymiary
jest bardzo proste gdyż wystarczy przesuwać otrzymany wynik (metodę) dla
płaszczyzny wzdłuż osi Z (w układzie Kartezjańskim XYZ).
Rozpatrzmy zatem układ osi XY z umieszczonym w środku obiektem (2.1).
Detektory i elementy emitujące promieniowanie X (nie musi to być koniecz-
nie promieniowanie X, jednak jest ono najczęściej używane) przesuwają się
wzdłuż osi l i okrążają obiekt, kąt Ś zmienia się od 0 do Ą (często stosowany
jest obieg detektorów dookoła obiektu sprowadza się to jednak do dokona-
nia dwóch takich samych pomiarów - dzięki temu można poprawić jakość
pomiaru). Prezentowany tutaj sposób tomografii jest typem absorpcyjnym,
bowiem wiązka promieniowania przechodząca przez obiekt ulega osłabieniu,
które jest spowodowane absorpcją (oczywiście osłabienie to może być spowo-
dowane takimi procesami jak odbicie czy dyfrakcja promieniowania, jednak
dla uproszczenia nie będą one tutaj uwzględniane).
Dla naszych celów wystarczy prawo Lamberta

- c(x,y)ds
L(l,Åš)
I(l, Åš) = I0(l, Åš)e , (2.1)
co oznacza, że wiązka o natężeniu I0 przechodząc przez próbkę ulega osłabieniu
do I.
Całka

c(x, y)ds, (2.2)
L(l,Åš)
określa współczynnik absorbcji i jest liczona wzdłuż wiązki promieniowania
(na rysunku L) na odcinku pomiędzy detektorem a generatorem. Należy za-
10 2 Tomografia komputerowa
Rysunek 2.1. Schemat procesu skanowania (wzdłuż osi l zachodzi skanowanie,
układ obraca się wokół środka układu współrzędnych)
uważyć, że gęstość obiektu będziemy chcieli uzyskać we współrzędnych Ka-
retzjańskich.
W najprostszym przypadku jednolitego materiału o grubości d(l, Ś) w
danym położeniu generatora i detektora, całka (2.2) sprowadza się do

c(x, y)ds = µd(l, Åš), (2.3)
L(l,Åš)
gdzie
µ - współczynnik absorpcyjny obiektu. (należy zwrócić uwagÄ™ na to, że
współczynnik absorpcji jest związany najczęściej z gęstością ciała).
Dla uproszczenia (podobnie uproszczenie stosuje się w praktyce) zakłada
się, że generator promieniuje wiązkę o stałym natężeniu I0(l, Ś) = const..
Można zatem zapisać

I(l, Åš)
q(l, ¸) = c(x, y)ds = - ln (2.4)
I0
L(l,Åš)
StosujÄ…c teraz transformacje Radona [19] otrzymujemy
2.1 Równania całkowe w tomografii 11
"
Ä„
c(x , y )dx dy 1
= S(x, y) = q(x cos Åš + y sin Åš, Åš)dÅš,
Ä„
(x - x )2 - (y - y )2
-" 0
(2.5)
gdzie l = x cos Ś + y sin Ś jest równaniem prostej L.
ZapisujÄ…c teraz
1
K(x - x , y - y ) = , (2.6)
(x - x )2 - (y - y )2
otrzymujemy:
"

K(x - x , y - y )c(x , y )dx dy = S(x, y), (2.7)
-"
i jest to równanie całkowe Fredholma pierwszego rodzaju. Często (ze względu
na postać jądra K) równanie jest nazywane całkowym równaniem splotowym.
Wynika to z definicji splotu [16]
"
(K " f)(x) = K(x - y)f(y)dy (2.8)
-"
Zatem równanie (2.6) można zapisać w formie
(K " c)(x, y) = S(x, y) (2.9)
3
Teoria Fredholma
3.1 Klasyfikacja
Rozpatrywać będziemy tylko równania całkowe jednej zmiennej. O funk-
cjach Õ(x), f(x) zakÅ‚adać bÄ™dziemy, że sÄ… one okreÅ›lone i ciÄ…gÅ‚e na odcinku
[a, b], x " [a, b], natomiast o funkcji K(x, s) zakładamy, że jest ona określona
i ciÄ…gÅ‚a w kwadracie [a, b] × [a, b], x " [a, b], s " [a, b]. Funkcje f(x) oraz
K(x, s) są funkcjami danymi i nazywane są odpowiednio funkcją zakłócającą
oraz jądrem równania całkowego.
Równania całkowe, w których obie granice całkowania są stałe, nazywa się
równaniami całkowymi Fredholma, jeżeli natomiast tylko jedna z granic całko-
wania jest stałą, mówimy o równaniu całkowym Volterry. Równania całkowe
można dodatkowo sklasyfikować według następującego kryterium: jeżeli funk-
cja niewiadoma występuje jedynie pod znakiem całki to mówimy o równaniu
całkowym pierwszego rodzaju, jeżeli natomiast funkcja niewiadoma występuje
nie tylko pod znakiem całki, ale jeszcze w jakiś inny sposób, to równanie takie
nazywamy równaniem całkowym drugiego rodzaju. Poniżej przedstawiona jest
taka właśnie klasyfikacja:
równanie całkowe Fredholma pierwszego rodzaju

b
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = 0, (3.1)
a
równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = Õ(x), (3.2)
a
równanie całkowe Volterry pierwszego rodzaju

x
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = 0, (3.3)
a
14 3 Teoria Fredholma
równanie całkowe Volterry drugiego rodzaju

x
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = Õ(x), (3.4)
a
przy czym  jest pewnym parametrem, w ogólności zespolonym. W przypadku
gdy f(x) = 0 mówimy o równaniu całkowym niejednorodnym, natomiast gdy

f(x) = 0, o równaniu jednorodnym.
Korzystając z klasyfikacji wprowadzonej przez Hadamarda okazuje się, że
równania pierwszego rodzaju Fredholma oraz Volterry, (3.1) i (3.3), są często
zagadnieniami z
le uwarunkowanymi (ill posed), natomiast równania drugiego
rodzaju Fredholma i Volterry, (3.2) i (3.4), są już zagadnieniami dobrze uwa-
runkowanymi.
Równania całkowe można również zapisać, korzystając z operatora całko-
wego, którego jądrem jest funkcja K(x, s). Dla przykładu, równanie, które
definiuje taki operator dla równań typu Fredholma, ma postać

b
Ć
KÕ(x) = K(x, s)Õ(s) ds. (3.5)
a
W konsekwencji równanie Fredholma pierwszego rodzaju przyjmie postać
1
Ć
KÕ(x) = - f(x), (3.6)

natomiast równanie Fredholma drugiego rodzaju zapiszemy jako

Ć
1 - K Õ(x) = f(x). (3.7)
3.2 Jednorodne równania całkowe o ciągłym jądrze.
Widmo operatora całkowego
Rozpatrzmy jednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)Õ(s) ds = Õ(x), (3.1)
a
przy czym, o funkcji K(x, s) zakładamy, że jest ona ciągła w kwadracie &!

&! = (x, s) " R2 : a x b, a s b . (3.2)
Powyższe równanie w postaci operatorowej przyjmuje postać
1
Ć
KÕ(x) = Õ(x). (3.3)

3.3 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym 15
Zauważmy, że na powyższe równanie można patrzeć jak na zagadnienie spek-
Ć
tralne, tzn. zagadnienie na wartości własne, dla operatora całkowego K. W
tym miejscu nasuwa się pytanie: co można powiedzieć o wartościach własnych
Ć
operatora całkowego K w równaniu (3.3)? Odpowiedz
na to pytanie daje na-
stępujące twierdzenie:
Ć
Twierdzenie Widmo operatora całkowego K, o ciągłym jądrze K(x, s), okre-
ślonym w kwadracie &!, jest dyskretne.
3.3 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym
Rozpatrzmy równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju (3.1). Jądro
K(x, s) takiego równania nazywa się zdegenerowanym, jeśli jest ono sumą
skończonej ilości iloczynów funkcji zależnych tylko od x przez funkcje zależne
tylko od s, a więc jest funkcją postaci
m

K(x, s) = hi(x)gi(s). (3.4)
i=1
Rozważmy teraz najprostszy przypadek jądra zdegenerowanego
K(x, s) = h(x)g(s). (3.5)
Równanie Fredholma przyjmuje wówczas postać

b
Õ(x) =  h(x)g(s)Õ(s) ds + f(x) = h(x)c + f(x), (3.6)
a
przy czym

b
c = g(s)Õ(s) ds. (3.7)
a
W celu wyznaczenia stałej c podstawimy wyrażenie (3.6) do wyjściowego rów-
nania (3.1), otrzymujÄ…c

b

h(x)c + f(x) = h(x) g(s) h(s)c + f(s) ds + f(x), (3.8)
a
co po przekształceniach prowadzi do wyrażenia


b b
c 1 -  g(s)h(s) ds = g(s)f(s) ds, (3.9)
a a
z którego otrzymujemy wyrażenie na stała c

b
g(s)f(s) ds
a
c = . (3.10)

b
1 -  g(s)h(s) ds
a
16 3 Teoria Fredholma
Analogiczne rozważania dla jądra w postaci (3.4) doprowadzą do układu m
równań algebraicznych na stałe c1, c2, . . . , cm. Gdyby udało się przedstawić
jądro w postaci następującego szeregu
"

K(x, s) = hi(x)gi(s), (3.11)
i=1
to wówczas otrzymuje się metodę rozwiązywania równań całkowych poprzez
faktoryzacjÄ™ jÄ…dra.
3.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa
Fredholma
Rozważmy niejednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = Õ(x). (3.1)
a
O funkcjach K(x, s) oraz f(x) ponownie zakładamy, że są one określone i
ciągłe odpowiednio, w kwadracie &! oraz na odcinku [a, b].
Równanie (3.1) rozwiążemy metodą iteracyjną (jest to metoda przybliżo-
nego znajdywania rozwiązań podobna do metody kolejnych przybliżeń Picarda
dla równań różniczkowych zwyczajnych). Jako zerowe przybliżenie szukanego
rozwiÄ…zania Õ(x) przyjmiemy
Õ0(x) a" 0. (3.2)
Podstawiając to przybliżenie do lewej strony równania całkowego (3.1), otrzy-
mujemy pierwsze przybliżenie
Õ1(x) = f(x). (3.3)
Drugie przybliżenie otrzymamy, podstawiając (3.3) do (3.1)

b
Õ2(x) = f(x) +  K(x, s)f(s) ds, (3.4)
a
z kolei trzecie przybliżenie otrzymuje się podstawiając (3.4) do (3.1)


b b
Õ3(x) = f(x) +  K(x, s) f(s) +  K(s, ¾)f(¾) d¾ ds, (3.5)
a a
co można przepisać w postaci

b b b
Õ3(x) = f(x) +  K(x, s)f(s) ds + 2 K(x, s)K(s, ¾)f(¾) d¾ ds.
a a a
(3.6)
3.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma 17
Proces taki można kontynuować, otrzymując kolejne przybliżenia dla szuka-
nej funkcji Õ(x). Zapis operatorowy umożliwia podanie w czytelny sposób
wyrażenia na n-te przybliżenie, czyli n-tego kroku iteracyjnego:

Ć Ć Ć Ć
Õn(x) = I + K + 2K2 + . . . + nKn f(x), (3.7)
Ć
przy czym I jest operatorem tożsamościowym, tzn.
Ć
If(x) = f(x). (3.8)
PrzechodzÄ…c do granicy przy n " otrzymujemy tzw. szereg Neumanna:
"

Ć
Õ(x) = lim Õn(x) = nKnf(x). (3.9)
n"
n=0
Okazuje się, że szereg (3.9) jest zbieżny. Podamy szkic dowodu zbieżności tego
szeregu. Jak wiadomo, szereg jest zbieżny gdy ciąg jego sum częściowych jest
zbieżny do granicy właściwej. Oznacza to, że należy pokazać, iż
n"
Õ(x) - Õn(x) - -
-
0, (3.10)
przy czym norma zdefiniowana jest następująco

È(x) È(x) .
= max (3.11)
x"[a,b]
Zbieżność szeregu pokazuje się również za pomocą odpowiednich kryteriów.
Skorzystamy z kryterium porównawczego, które mówi, że jeżeli dwa szeregi,
(a) i (b), o wyrazach dodatnich, począwszy od pewnego n, spełniają warunek
an bn, (3.12)
to ze zbieżności szeregu (b) wynika, że szereg (a) jest zbieżny.
Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku jest funkcją ograniczoną. Oznacza
to, iż

K(x, s) M, dla (x, s) " &!
(3.13)
oraz

f(x)
F, dla x " [a, b], (3.14)
przy czym liczby M i F są kresami górnymi, odpowiednio jądra K(x, s) oraz
funkcji f(x). W oparciu o wyrażenia (3.13) i (3.14), możemy napisać nastę-
pujący ciąg nierówności:



 b
K(x, s)f(s) ds ||MF (b - a), (3.15)


a
18 3 Teoria Fredholma



2 b b
K(x, s)K(s, ¾)f(¾) d¾ ds ||2M2F (b - a)2, (3.16)


a a
dla n-tego wyrazu, w notacji operatorowej, mamy

nKnf(x)
Ć
||nMn(b - a)nF. (3.17)
W ostatniej nierówności, po prawej stronie występuje wyraz szeregu geome-
trycznego, który jest zbieżny, gdy jego iloraz q spełnia warunek: |q| < 1.
Oznacza to, że musi zachodzić

||M(b - a) < 1.
(3.18)
Na mocy kryterium porównawczego, szereg Neumanna (3.9) jest zbieżny, przy
założeniu, że
1
|| < . (3.19)
M(b - a)
Analogiczne rozważania przeprowadzone dla równania Volterry prowadzą
do następujących oszacowań:


x

 K(x, s)f(s) ds ||MF (x - a),
(3.20)

a


x x

2 K(x, s)K(s, ¾)f(¾) d¾ ds ||2M2F (x - a)2
(3.21)

2
a a
i dla n-tego wyrazu w notacji operatorowej

(x - a)n
nKnf(x)
Ć
||nMn F. (3.22)
n!
Szereg otrzymany po prawej stronie nierówności (3.22) jest zbieżny dla każ-
dego x.
W przypadku równań całkowych Fredholma prawdziwe jest następujące
twierdzenie:
Twierdzenie (Alternatywa Fredholma)
Szereg (3.9) jest rozwiązaniem niejednorodnego równania Fredholma (3.1),
dla wszystkich wartości  " C, wszędzie oprócz punktów  = n, dla których
to punktów (wartości własnych operatora całkowego) rozwiązanie niezerowe
posiada równanie jednorodne.
Równoważnie, powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Twierdzenie (Alternatywa Fredholma)
Niejednorodne równanie liniowe Fredholma

b
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = Õ(x),
a
3.5 Równanie całkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego 19
ma dokładnie jedno rozwiązanie przy dowolnej funkcji f(x) (z pewnej dosta-
tecznie szerokiej klasy), albo też odpowiednie równanie jednorodne

b
 K(x, s)Õ(s) ds = Õ(x)
a
ma co najmniej jedno rozwiązanie nietrywialne (nie równe tożsamościowo
zeru).
Alternatywa Fredholma jest szczególnie ważna w praktyce. Często bowiem
łatwiej jest pokazać, że równanie jednorodne ma tylko rozwiązanie trywialne,
niż dowodzić, że dane równanie niejednorodne ma rozwiązanie.
3.5 Równanie całkowe dla równania różniczkowego
zwyczajnego
Okazuje się, że równanie różniczkowe liniowe zwyczajne
dny(x) dn-1y(x)
+ a1(x) + . . . + an(x)y(x) = f(x), (3.1)
dxn dxn-1
o ciągłych współczynnikach ai(x), (i = 1, 2, . . . , n), przy warunkach począt-
kowych
y(0) = C0, y (0) = C1, . . . , y(n-1)(0) = Cn-1, (3.2)
można sprowadzić do zagadnienia rozwiązania równania całkowego Volterry
drugiego rodzaju. Aby to pokazać rozważmy przykład równania różniczkowego
drugiego rzędu
d2y(x) dy(x)
+ a1(x) + a2(x)y(x) = f(x), (3.3)
dx2 dx
z warunkami poczÄ…tkowymi
y(0) = C0, y (0) = C1. (3.4)
Przyjmijmy
d2y(x)
= Õ(x). (3.5)
dx2
Całkując kolejno powyższe wyrażenie i uwzględniając warunki początkowe
(3.4), otrzymujemy

x
dy(x)
= Õ(s) ds + C1, (3.6)
dx
0

p x
y(x) = Õ(s) ds dp + C1x + C0. (3.7)
0 0
Korzystając następnie ze wzoru
20 3 Teoria Fredholma

x p x
dp Õ(s) ds = (x - t)Õ(t) dt, (3.8)
a a a
możemy napisać

x
y(x) = (x - t)Õ(t) dt + C1x + C0. (3.9)
0
Podstawiając teraz (3.5), (3.6) oraz (3.9) do równania (3.3), otrzymujemy

x x
Õ(x)+a1(x) Õ(t) dt+a2(x) (x-t)Õ(t) dt+a1(x)C1+a2(x)(C1x+C0) = f(x),
0 0
(3.10)
co po wprowadzeniu oznaczeń

K(x, t) = - a1(x) + a2(x)(x - t) , (3.11)
F (x) = f(x) - a1(x)C1 - a2(x)(C1x + C0), (3.12)
przyjmuje postać równania całkowego Volterry drugiego rodzaju:

x
Õ(x) = K(x, t)Õ(t) dt + F (x). (3.13)
0
3.6 Równanie całkowe: aproxymacja rożnicami
skończonymi
Niejednorodne równanie liniowe Fredholma II rodzaju

l
 K(x, s)Õ(s) ds + f(x) = Õ(x),
0
może być przybliżone, eśli rozbić odczynek [0,l] na podotczynki
ih (3.14)
i = 1, ...n; in = l i zastąpić całkowanie sumą
n

 K(x, ih)Õ(ih)h + f(jh) = Õ(jh),
1
4
Rozwiązanie zagadnień odwrotnych. Metody
regularyzacji.
4.1 Analiza signałów jako problem z
le uwarunkowany.
Monitorowanie
Rozważmy równanie całkowe z popszedniego rozdziała.

b
R(¨, ¨ )Á(¨)d¨ = U(¨) (4.1)
a
ZakÅ‚adamy, że F i ´U udaÅ‚o siÄ™ pozbyć za pomocÄ… signal processing (np.
metody Frosta)
F = 0 i ´U = 0
rezultat:
kody numeryczne obróbki sugnałów (krzywe)
Monitorowanie wymaga:
1. Odpowiedniego modelu matematycznego procesu
2. Stabilnego algorytmu i metody jego rozwiÄ…zania
3. Kodów numerycznych
4.2 Przykłady kłasyczne
Problem algebraiczny. Przykład z elektrodynamiki.
Teza: Siła Lorentza określa pole magnetyczne
e
FL = [v × B], (4.2)
c
22 4 Rozwiązanie zagadnień odwrotnych. Metody regularyzacji.
e
FLx = [vyBz - vzBy], ... (4.3)
c
Mierzymy składowy FLx FLy FLz i vx vy vz;
stÄ…d chcemy wyznacic: Bx By Bz
(struktura wzoru: F=AB, A - to macierz kwadratowa, F i B - kolumny)
Liczymy ze wzorów Cramera. Wyzacznik A wyzeruje się automatycznie przy
dowolnych składowych prędkosci. Rozwiązanie niejednoznaczne. Obserwu-
jemy brak informacji - problem jest zle uwarunkowany.
Brakujące informacje uzupełniamy danymi z dodatkowych eksperymen-
tów. Naprzykład - jeszcze jeden pomiar z innej prędkośiu v daje już szeszcz
równań, teraz juz rozwiązanie , ogólnie, uwzgledniając błędy, nie istneje.
Stosujemy metodÄ™ Gaussa.
Przykład zadania: wzór Ampera

Bdl = I. (4.4)
l
Chociaż jest z
le uwarunkowane, możemy je rozwiązać, zakładając symetrię.
B = BÄ , Ä -wektor styczny do krzywej

2Ä„
Ä dl = B dl. (4.5)
l o
4.2.1 Metoda Gaussa
Historia: rozważmy problem wyznaczenia parametrów orbity planety.
Elipsa też może byc modelem, jeżeli znamy jej parametry...
Aiz = ai1z1 + ... + aimzm = Ui (4.6)
pomiar w czasie ti
Ui reprezentuje pomiar
aik też wartości mierzone (parametry położenia punktu obserwacji)
i = 1, ..., n, n > m
Równań jest więcej niż zmiennych; rozwiązanie ogólnie nie istneje.
W takim razie na podstawie matematyki klasycznej wprowadzamy z0 repre-
zentujący położenie.
Przykłady z rozdziałów poprzednich doprowadzili do równań całkowych
liniowych I rzędu. W przypadku równania Fredholma

b
K(x, s)Ć(s)ds = f(x), x " [c, d] (4.7)
a
4.2 Przykłady kłasyczne 23
b-a d-c
po dyskretyzacji = h, sj = a + jh, j = 0, ..., n; = Ä, xi = c + iÄ, i =
n m
0, ..., m mamy
n

K(xi, sj)hĆ(sj)ds = f(xi), (4.8)
j=0
odżymaliszmy ukÅ‚ad rownaÅ„ liniowych z macierżą n + 1 × m + 1, ogólnie
niekwadratowej
Kij = K(xi, sj)h. (4.9)
Metoda Gaussa opiera sie na funkcje (jesli n " - funkcjonał)


(Ui - Aiz0)2 = (Ui - Aiz0) = h0 (4.10)
i i
szukamy z0 żeby h0 było minimalne:
min h0 Ò! z0
Doświadczenie wskazuje na to, że jest kilka rozwiązań z0i. Zbiór rozwiązań
tworzy przestrzeń liniową.
S

z0 z0 = Ciz0i z0 " ZS
i=1
zn = min z , zn-wektor normalny (rozwiÄ…zanie normalne)
Metoda najmniejszych kwadratów nie pozwala na pozbycie się nieregularności.
z0 <" min Ui - Az 2
(A, U) nie może być podstawą dla stabilnego algorytmu
z1 + 7z2 = 5 (4.11)
" " "
2z1 + 98z2 = 50 (4.12)
stÄ…d
" " " "
z2(7 2 - 98) = 5 2 = 50 (4.13)
"
W obliczeniach numerycznych mamy 2 tylko z pewną dokładnością: 10-n
z1|0, .|1, 6|5, .
n|100|300|500
 Poprosiłemżozwiązać ten system SWP:
" "
x 2 + y 98 = 5
"
x + 7y = 50
24 4 Rozwiązanie zagadnień odwrotnych. Metody regularyzacji.

, Solution is: x = -8. 170 0 × 1028, y = 1. 167 1 × 1028
Typowy przykład analityczny:
z1 + z2 = 1
(1 + µ)z1 + z2 = 1 + ´
´ ´
z1 = , z2 = 1 - ; ´, µ - dokÅ‚adność
µ µ
Zwiększając dokładność, szkodzimy stabilności wyników!
SWP:
" "
x 2 + y 98 = 5
"
x + 7y = 50

, Solution is: x = -8. 170 0 × 1028, y = 1. 167 1 × 1028
Jeżeli układ ma rozwiązanie (ściśłe) to rozwiązanie uogólnione i ścisłe po-
krywajÄ… siÄ™
Koncepcja musi być uniwersalna
Tw. 1 (Tikhonow 1985) Nie ma żadnego stabilnego rozwiązania układu
równań liniowych jedynie na bazie informacji o indywidualnych poszerzonych
macierzach Anm, Un.
Żadna obróbka danych opartych na A i U nie daje stabilnego rozwiązania
(żaden algorytm)
Rozwarzmy macierz indywidualnie poszerzonÄ… parametrycznie (MIPP)
Poszerzenie może zmienić jakościowo układ równań.
Tw. 2 (Tikhonow 1985) Podana MIPP [A, U, A0] pozwala określić sta-
bilne równania uogólnione (RU)
"0 = (´0, µ0)
´0-dokÅ‚adność pomiaru A, µ0-dokÅ‚adność pomiaru U
Dowód metody opiera sie na sformułowaniu fizycznym (wiedza a priori)
Wyniki regularyzacji przykładu:
Niech zS, zR, zN (wektory) są: ścisłe, reguralne, normalne.
Poszerzona macierz:
Rozważmy MIPP "0 = (´0, µ0) - parametry poszerzenia
klasa macierzy:
4.2 Przykłady kłasyczne 25
U - U ´0 (4.14)
A - A µ0 (4.15)

A, U są równoważne w stosunku do dokładności

A = U
z
Wprowdz
my parametr stabilizujÄ…cy ´

A´ " {A}

Każdy parametr regularyzacji wprowadza pewną macierz A
Istneje wielu sposobów na relaryzacja (stabilizacje) patrz np. [18].
1. Dyskretna transformacja Fouriera.
Transformacja ciągła - patrz rozd. 4, wzór (4.6). Zapiszmy odpowidnik dla
czasowego procesu

1
Y (É) = " exp[Ét]y(t)dt. (4.16)
2Ä„
Możliwa regularyzacja

1
Y (É) = " exp[Ét]
2Ä„
5
Algorytm aproksymacji całkowej, metoda
regularyzacji Tikhonowa
5.1 Metoda Regularyzacji Tichonowa
5.1.1 Regularyzacja metody Fouriera.
Zagadnienie obliczenia TF jest typowym zle uwarunkowanym, bo pochodzi
z równania całkowego Fredholma I rodziaju. Rozwiązanie jest jawnym, ale
czasem też potrzebuje regularyzacji. Przykładem może byc wprowadzenie ob-
czynania z parametrem ą (regularyzacja Tikhonova rzędu n):

1 exp[Ét]y(t)
Y (É) = " dt, (5.0)
1 + Ä…t2n
2Ä„
Przykładowe obliczenia ilustrowany w [18].
Ogólnie metoda opiera się na danych a priori, w formie matematycznej,
dz
np. że funkcja poszukiwana z(t) jest funkcją ciągłej, albo istnieje z = .
dt
Takie założenia ogólne związane są z fizyką
5.1.2 Methoda Moore-Penrose
Rozważmy równanie macierzowe o wielu rozwiązaniach
Ax = y, x " Rn, y " Rm, (5.0)
gdzie A - macierz prostokątna m x n. Więc II warunek Hadamarda nie jest
spełniony.
Definicja Rozwiazanie jest normalnym, jeśli
x 2 = min. (5.0)
Można udowodnic, że rozwiązanie 5.1.2) równania (5.1.2,istneje i daje się wzo-
rem
28 5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji Tikhonowa
x = AMP y, albo AMP AAMP = AMP (5.0)
macierz n × m pseudoodwrotna Moore-Penrose a AMP zanjduje siÄ™ jako roz-
wiazanie
A = AAMP A. (5.0)
SÄ… lepsze algorytmy: patrz, np. [23].
Wiki:
In mathematics, and in particular linear algebra, the pseudoinverse AMP
of an matrix A is a generalization of the inverse matrix. More precisely, this
article talks about the Moore-Penrose pseudoinverse, which was independen-
tly described by E. H. Moore in 1920 and Roger Penrose in 1955. Earlier,
Fredholm had introduced the concept of a pseudoinverse of integral operators
in 1903. The term generalized inverse is sometimes used as a synonym for
pseudoinverse.
5.1.3 Pzykład regularyzacji Tikhonova w L2
Rozważmy równanie Fredholma I rodzaju na x " [c, d],

b
K(x, s)Ć(s)ds = f(x), (5.0)
a
albo w postaci operatorowej
Ć
KĆ = f.
Można powiedzeć że metoda Tikhonova łączy podejszcze Gaussa i Moore-
Penrose a. Mianowicze poszukuje się minimum sumy odległości z wagą ą
Ä…
Ć
T [Ć] = ą Ć 2 + KĆ - f 2 (5.0)
Def. 1. Funkcjonał Tikhonova w L2. Według definicji normy przez iłoczyn
skalarny w przestrzeni Hilberta Ć " L2[a, b],

b
Ć 2 = (Ć, Ć) = Ć2(s)ds
a
, więc, zakładajac że
Ć
KĆ, f " L2[b, c],
przepisujemy (5.1.3) jako

d b b
Ä…
T [Ć] = [ K(x, s)Ć(s)ds - f(x)]2dx + ą (Ć2(s))ds. (5.0)
c a a
Dyskretyzacja funkcjonaÅ‚a (5.1.3) na siatkie x = c + hi, s = a + Äj, Ć(a +
Äj) = Ćj, f(c + hi) = fi, K(c + hi, Ćj) = Kij, i = 0, 1, ...m; j = 0, 1, ..., n. daje
funkcje zmiennych Ćj, które reprezentuje funkcje poszukiwaną
5.1 Metoda Regularyzacji Tichonowa 29
m n n

Ä…
Td = h[Ä KijĆj - fi]2 + Ä… ÄĆ2, (5.0)
j
i=1 j=1 j=1
gdzie Ä… nazywa siÄ™ parametrem regularizacji.
Koniecznym warunkiem minimimum funkcionała discretyzowanego (funk-
cji (5.1.3)) jest układ rownań Eulera który powstaje po rózniczkowaniu wzglę-
dem Ćj i przyrównaniu do 0.
Ä…
"Td
= 0. (5.0)
"Ćj
Odrzymujemy :
m n m

hÄKijKikĆj + Ä…hĆk - hKikfi = 0. (5.0)
i=1 j=1 i=1
Postacz macierzowa rozwiÄ…zania
Ć = (KT KhÄ + Ä…I)-1KT hÄf. (5.0)
Dobrze widać, że równanie (5.1.3) i go rozwiązanie dązy do równań teorii
Gaussa kiedy Ä… 0.
Wiki: The pseudoinverse can be computed via a limiting process:
AMP = limÄ…0[AT A + Ä…]-1 (5.0)
if the limit exists. (see Tikhonov regularization). These limits exist even if
(AA * ) - 1 and (A * A) - 1 do not exist.
Wybór ą
Różne metody wyboru.
Oszacowanie za pomocą przykładów testowych. Schemat: wybieramy funk-
cje Ć0 którą łatwo scałkować. Obliczamy odpowiednie

d
f0(x) = K(x, s)Ć0(s)ds. (5.0)
c
Po f0 wyliczamy Ć(Ä…) = (KT KhÄ + Ä…hI)-1KT hf0 FunkcjonaÅ‚ odchyleÅ„
´(Ä…) = Ć0 - Ć(Ä…) 2 (5.0)
jest minimalnym, jeśli
d´(Ä…)
= 0.
dÄ…
- jest równaniem dla ą. Na bazie tego stwierdzenia
Prowadzenie eksperymentów numerycznych, wypracowana technologia ta-
kich eksperymentów, symulacja.
Metoda iteracyjna, kolejne przybliżenia zą z
z-istotne rozwiÄ…zanie fizyczne.
Oszacowanie za pomocą nierownosci matematycznych (patrz załącznik)
30 5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji Tikhonowa
5.1.4 Warunki brzegowe
Dopuszczmy funkcja poszukiwana na x " [a, b] spełnia warunki
Ć(a) = Ć[b] = 0, (5.0)
taką wiedzę powinnyśmy uwzgłędnić przy tworzeniu funkcjónałów i definicji
przestrzeni.
Naprzykład, yakie założenie oznacza że po dyskretyzacji suma już nie obe-
lmuje punkty a,b:
m n n

Ä…
Td = h[Ä KijĆj - fi]2 + Ä… ÄĆ2, (5.0)
j
i=1 j=1 j=1
bedzie
5.1.5 Następny przykład - przestrzeń Soboleva
Rozważmy
{z, z } W 1 = max z + max . (5.0)
1
t " [a, b].
1
Inaczej, {z, z } " W2 - przestrzeń Sobolewa (z pochodną z ; index - 1 - rząd
pochodnej, index 2 odzwierciedla sposób wprowadzenia normy:)

b
{z, z } 2 = [z2(s) + z (s)2]ds. (5.0)
1
W2
a
Rozważmy równanie całkowe Fredholma I rzędu:

b
Az a" K(x, s)z(s)ds = U(x), (5.0)
a
jądro K(x, s) ciągłe na prostokącie a,b,c.
Norma operatora - uogólnienie normy (Frobeniusa) prostokątnej macierzy A:
A 2 = T r(AT A),
L2
mianowicze

c b
K 2 = K(x, s)K(s, x)(s)ds. (5.0)
L2
b a
1
Dopuszczmy ze wiemy (a priori) że ścisłe rozwiązanie jest elementem W2 :
1
zs " W2
i przybliżone U´ " L2[c, d],
5.1 Metoda Regularyzacji Tichonowa 31
U´ - U L ´, (5.0)
z
gdzie U´-rozwiÄ…zanie przybliżone, U, Kh(x, s)-wyniki pomiarów. Przy czym
K - Kh L h Ò! A - Ah W 1 h
2 L2
2
A-operator całkowy
1
Stwierdzenie o zbieżności jednostajnej aproksymacji przy założeniu W2 [a, b]
C[a, b], C-przestrzeń funkcji ciągłych.
Funkcjonał Tikhonowa:

c b b
MÄ…[z] = [ Kh(x, s)z(s)ds - U´(x)]2dx + Ä… [z2(s) + z (s)2]ds (5.0)
a a a
Ä…- podobnie jako w (5.1.3) - parametr regularyzacji.
SKUTECZNE ZASTOSOWANIE NUMERYCZNE Rozważmy Równanie Eu-
lera dla (5.1.5)
BÄ…z = Bz + Ä…Cz = f´
B = BT -nieujemne


Funkcjonał T. Dyskretyzacja ( ) Równanie Eulera Algorytm
-1
obl. z = BÄ… f
Zaletą funkcjonału są efektywne algorytmy.
Dla zbyt małych ą mamy niestabilny problem!
Wzór na ocenę odchylenia:
´y
´ h
dla Ax = y Ò! < cond(A)( + )
y f A
f - f ´ (5.1)
A - A µ (5.2)
cond(A) = A A-1 (5.3)
Istnieje również odwrotne twierdzenie Tikhonowa:
Ä… Ò! ´, h
( Ä… okreÅ›la ´ i h potrzebne do stabilnego rozwiÄ…zania.)
32 5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji Tikhonowa
5.2 Przykłady. Równanie dyfuzji.
5.2.1 Zagadnienie dla równania dyfuzji z
odwrotnym czasem .
Rozwazmy
ut = uxx, x " [0, l], t " [0, T ]; (5.3)
równanie może posłużyć dla opisu zmian temperatury (dla dyfuzji - koncen-
tracji) w prętie.
Zagadnienie klasyczne (Cauchy)
u(x, 0) = f(x), u(0, t) = u(l, t) = 0. (5.3)
jest stabilne (patrz dowód w scryptie ŻRiC ).
Sformulujmy jeszcze jedno zagadnienie z oczywistym sensem fizycznym.
Chcemy oszacować rozkład gęstości masy w rurze w czasach t " [0, T ] na pod-
stawie pomiaru w chwili T . Mamy zagadnienie: równanie (5.2.1) plus warunki
brzegowe
u(x, T ) = f(x), u(0, t) = u(l, t) = 0. (5.3)
Rownoważnie do (5.2.1) po zamianie t T - t
ut = -uxx, x " [0, l], t " [0, T ]; u(x, 0) = f(x) (5.3)
- historia procesa.
5.2.2 Zagadnienie dla równania dyfuzji: funkcja żródła.
Pomiary w jednym punkcie. Rozwiazanie metodÄ… Fouriera.
Poprawność dzia obydwu Metod Regularyzacji sprawdzamy po-
lania
przez porównanie wyników otrzymanych z rozwiazania zagadnienia odwrot-
Ä…
nego z dana wcześniej funkcja.
Ä… Ä…
Aby móc sformu a nastepnie rozwiazać zagadnienie odwrotne,
lować,
Ä… Ä…
potrzebujemy model zjawiska oraz określona liczbe pomiarów.
Ä… Ä…
1. Model jest nam dany w postaci równania różniczkowego dyfuzji cieplnej:
du(t, x) d2u(t, x)
= a2 + f(x). (5.3)
dt dx2
a - sta dyfuzji
la
f(x) - funkcja z
ród
la
Do pe opisu zjawiska potrzebne nam sa warunki brzegowe:
lnego
Ä…
u(t, 0) = u(t, l) = 0,
(5.3)
u(0, x) = 0.
gdzie l jest d preta.
lugościa
Ä… Ä…
5.2 Przykłady. Równanie dyfuzji. 33
2. Pomiarami sa sprawdzenia temperatury preta w określonym punkcie x0,
Ä… Ä…
co pewien sta odcinek czasu.
ly
3. W przypadku testu i ustalenia parametru regularyzacji Ä… jako w (??);
temperature w czasie T otrzymujemy poprzez rozwiazanie zagadanienia
Ä… Ä…
prostego dla danego modelu funkcji z
ród w punkcie x0. Do otrzymanego
la
w ten sposób pomiaru wprowadzamy szum, który w warunkach laborato-
ryjnych by wynikiem niedoskona aparatury pomiarowej.
lby lości
Testową funkcję do której przyrównujemy wyniki rozwiazania zagad-
Ä…
nienia odwrotnego dana jest wzorem:

1 2
1 dla x
3 3
f(x) = (5.3)
1 2
0 dla 0 x , x 1
3 3
5.2.3 Wygenerowanie testowych wartosci temperatury.
Wartsoci u trzymujemy rozwiazujac równanie (1) przy warunkach (1).
Ä… Ä…
Poszukujemy rozwiazania w postaci szeregu Fouriera:
Ä…
"

nĄx
u(x, t) = Tn(t)sin( ) (5.3)
l
n=1
Zak również, że f(x) może być przedstawione w postaći:
ladamy
"

nĄx
f(x) = Ansin( ) (5.3)
l
n=1

l
2 nĄx
An = f(x)sin( )dx gdzie n = 1, 2, 3.. (5.3)
l l
0
Podstawiajac (5.2.3) i (5.2.3) do równania (1) otrzymuemy:
Ä…
" " "

dTn(t) nĄx nĄ nĄx nĄx
sin( ) = a2( )2Tn(t)sin( ) + Ansin( ) (5.3)
dt l l l l
n=1 n=1 n=1
Odpowiednio dzielac otrzymujemy:
Ä…
dTn(t) nĄ
- a2( )2Tn(t) = An. (5.3)
dt l
Po rozwiązaniu tego równania różniczkowego przy warunkach (1) dostajemy:

t
anĄ
Tn(t) = Anexp[-( )2(t - Ä)]dÄ gdzie n = 1, 2, 3.. (5.3)
l
0
Podstawiajac (5.2.3) i (5.2.3) do (5.2.3) uzyskujemy wzór :
Ä…
34 5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji Tikhonowa

"
l

2 nĄx l anĄ nĄx
u(t, x) = sin( )( )2(1 - exp[-( )2t]) f(x )sin( )dx
l l anĄ l l
0
n=1
(5.3)
Dla uproszczenia obliczeń przyjmujemy za
lożenia:
a = 1,
l = 1, (5.3)
n = 20.
Możemy dać ma n, gdyż dla wyższych, ich istotność dla wyniku jest znikoma.
le
Majac gotowy wzór oraz dana funkcje f(x), obliczamy temperature w
Ä… Ä…
1
punkcie x = x0 = , dla 12 czasów t odpowiednio 0.1, 0.2, ..., 1.2. Dodat-
2
kowo wyliczone temperatury poddajemy żealnemuz
aszumieniu.
Temperatury, które zosta wyliczone:
ly
îÅ‚ Å‚Å‚
0.04551
ïÅ‚ śł
0.06068
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06620
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06813
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06893
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06915
ïÅ‚ śł
(5.3)
ïÅ‚ śł
0.06934
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06923
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06931
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0.06962
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0.06954
0.06930
5.2.4 Sformu
lowanie zagadnienia odwrotnego.
Rozwiazanie (10) można przedstawiś w postaci równania Fredholma I rzedu:
Ä… Ä…
"

2 nĄx0 nĄx l anĄ
K(t, s) = sin( )sin( )( )2(1 - exp[-( )2t]) (5.3)
l l l anĄ l
n=1
f(s) = f(x)
u(t, x0) = g(t)
gdzie x0 jest pomiarem
Laczac otrzymujemy:

Ä… Ä…

l
g(t) = K(t, s)f(s)ds (5.3)
0
5.2 Przykłady. Równanie dyfuzji. 35
Równanie (14) macierzowo zapisujemy:
g = Mf (5.3)
Zagadnienie odwrotne, polega na wyliczeniu funkcji z
ród f przez odwrócenie
la
macierzy M przy danych g.
f = M-1g (5.3)
Macierz pomiarów temperatury g jest wygenerowywana (12).
Element macierzowy macierzy M wynosi:
10

nĄx0 nĄxi l anĄ
mij = 2sin( )sin( )( )2(1 - exp[-( )2tj]) (5.3)
l l anĄ l
n=1
A pe równanie macierzowe (15) wyglada nastepujaco :
lne
Ä… Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
g0 m0,0, . . ., m12,0 f0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g1 . . f1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g2 . . f2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g3 . . f3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g4 . . f4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g5 . . f5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= (5.3)
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g6 . . f6
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g7 . . f7
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g8 . . f8
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
g9 . . f9
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
g10 . . f10 ûÅ‚
g11 m0,11, . . ., m11,11 f11
Aby wyznaczyć kołumnę g, zgodnie z (5.2.4) należy odwrocić macierz M.
5.2.5 Rozwiazanie zagadnienia odwrotnego.
Ä…
Rozwiazanie za pomoca Metody Gaussa-Tikhonova
Ä… Ä…
W przypadku tej metody funkcjonał Tikhonowa w przestreni Sobolewa jest

d b b
MÄ…(f) = [K(x, s)f(s)ds-u(x)]2dx+Ä… (p(s)(f (s))2 +q(s)f2(s))ds,
c a a
(5.3)
Zdyskretyzowane równanie (5.2.5) wyglada nastepujaco:
Ä… Ä… Ä…
N J J J

fj+1 - fj
2
MÄ… = hi[ hjKijfj - ui]2 + Ä…[ hjfj + ( )2hj], (5.3)
h
i=1 j=1 j=1 j=1
36 5 Algorytm aproksymacji całkowej, metoda regularyzacji Tikhonowa
Zdyskretyzowany funkcjona minimalizujemy poprzez zrózniczkowanie wzgledem
l
Ä…
fj i przyrównanie wyniku do 0. Otrzymujemy :
N J N

fk+1 - 2fk + fk-1
hihjKijKikfj - hiKikui + Ä…( - fk) = 0, (5.3)
h2
i=1 j=1 i=1
Po przejściu z reprezentacji dyskretyzacji do macierzowej i za że
lożeniu
p(s) = 1 oraz q(s) = 1 , funkcjona wyglada nastepujaco:
l
Ä… Ä… Ä…
KT Khihjf - KT hi + Ä…Cf = 0, (5.3)
Image5.jpg
Rysunek 5.1. Metoda Gaussa, albo Ä… = 0.
Metoda Gaussa nie da sie rozwiazac tego zagadnienia odwrotnego.
Ä… Ä… Ä…
Metoda regularyzacji Tikhonova w przypadku nieciągłej funkcji żródła.
Ä…
Image2.jpg
Rysunek 5.2. Metoda Gaussa-Tikhonova, albo Ä… = 0.0000177064.
Metoda regularyzacji Tikhonova w przypadku ciągłej funkcji żródła. W
Ä…
obu przypadkach ą dobiera sie za pomocą minimalizacji funkcjonała Gaussa.
Image4.jpg
Rysunek 5.3. Metoda Gaussa-Tikhonova, gładka funkcja żródła ą =
0.00001978940.
Literatura
1. Sabatier, Pierre C.(F-MONT2-PT) Nonuniqueness in inverse problems. (En-
glish. English summary) J. Inverse Ill-Posed Probl. 4 (1996), no. 4, 307 316.
2. Tarantola, Albert, Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter
Estimation, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2005.
3. Dębski W. Metody inwersyjne w geofizyce
[e-mail] www.igf.edu.pl ebski
4. Lavrentjev, M.M. Romanov, V.G., Shyshatski S.P, Ill-posed problems of Ma-
thematical physics and analysis, M., Nauka, 1980.
5. Tikhonov, A. N. Goncharskij A. V. -editors Ill-posed Problems in Natural Scien-
ces Mir Publishers, Moscow, 1987.
6. Tikhonov, A. N.; Samarski-
, A. A. Equations of mathematical physics. Trans-
lated from the Russian by A. R. M. Robson and P. Basu. Reprint of the 1963
translation. Dover Publications, Inc., New York, 1990.
7. Tikhonov, A. N.; Goncharsky, A. V.; Stepanov, V. V.; Yagola, A. G. Numerical
methods for the solution of ill-posed problems. Translated from the 1990 Russian
original by R. A. M. Hoksbergen and revised by the authors. Mathematics and
its Applications, 328. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995.
8. Curtis R. Vogel Computational methods for inverse problems, Volume 10, SIAM,
2002.
9. Sabatier, Pierre C. Three-dimensional impedance scattering theory. Electroma-
gnetic and acoustic scattering: detection and inverse problem (Marseille, 1988),
245 274, World Sci. Publishing, Teaneck, NJ, 1989.
10. Tikhonov A.N. Arsenin V.Ya., Rubashov I.B. Timonov A.A. DAN SSSR, v 263,
872 919820
11. Tikhonov A.N. Arsenin V.Ya., Rubashov I.B. Timonov A.A. Priroda v 4, 11,
(1984).
12. Tikhonov A.N. Arsenin V.Ya.,Timonov A.A. Matematiczeskie zadachi kompju-
tornoj tomografii M. Nauka 1987.
13. Vladimir Romanov, Inverse problems of mathematical physics, VNU science
Press Utrecht, Netherland, 1987.
14.
15. Ivanov V.K. On ill-posed prob;ems. Mat. sb., 1963, bf 61 (103), n2, p.211-223.
16. A.Piskorek, Równania całkowe Elementy teorii i zastosowania, WNT, Warszawa
1997
38 Literatura
17. A.N.Tikhonov, A.V.Goncharsky, III-Posed problems in the natural sciences,
MIR Publishers, Moskwa 1987
18. V.S.Sizikov, Mathematical methods for processing of measurements results, BY3,
Sankt-Petersburg 2001
19. A.D. Poularikas, The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing,
CRC Press, USA 1999
20. Ivanov V.A. Wizja wewnętrzna (NMR tomografja) Znanie. 1989.
21. V. A. Kotelnikov, Ón the carrying capacity of the ether and wire in telecommu-
nications , Material for the First All-Union Conference on Questions of Com-
munication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian). (english
translation, PDF - Wiki.
22. H. Nyquist,  Certain factors affecting telegraph speed, Bell Syst. Tech. J.,
vol. 3, p. 324, Apr. 1924. R. V. L. Hartley,  The transmission of information,
Bell Syst. Tech. J., vol. 3, p. 535 564, July 1928.C. Shannon, PROCEEDINGS
OF THE IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10 21, Jan. 1949. Publisher Item Identifier S
0018-9219(98)01299-7.
23. Marko D. Petković,Predrag S. Stanimirović,Milan B. Tasić. Effective partitio-
ning method for computing weighted Moore-Penrose inverse, Computers Ma-
thematics with Applications archive Volume 55 , Issue 8 (April 2008) Pages
1720-1734
24. Boris N. Zakhariev,Vladimir Chabanov Submissive Quantum Mechanics: New
Status of the Theory in Inverse Problem Approach. Amazon,2007.
quant-ph 207074 Obedient quantum mechanics: New status of the theory in the
inverse problem approach. B. N. Zakhariev, V. M. Chabanov. physics.quant-ph.
25. T. Morawski, W. Gwarek, Pola i fale elektromagnetyczne, WNT, Warszawa
1998.
26. J. Wesson, Tokamaks, 3rd edition, Oxford University Press 2004. Moskva 1955.
27. S. Leble Rownania różniczkowe i cząstkowe w fizyce i technice. Skrypt, strona
domowa.
6
Załącznuk 1. Uwagi matematyczne
6.1 Uwagi matematyczne.
6.1.1 Podstawowe pojęcza [4]
Rozważmy przesrzeń Banacha X x, która jest obszarem definicji ciągłego
operatora A:
Ax = f " F, (6.0)
gzie F jest też prezetrzeń Banacha.
Def. Zagadnenie dotyczÄ…ce do (6.1.1) nazywa siÄ™ dobrze uwarunkowanym
(well-posed - classic ), jeśli
1. dla każdego f " F istnieje rozwiązanie (6.1.1) x " X;
2. rozwiÄ…zanie (6.1.1) jednoznazcznie siÄ™ definuje f;
3. x zależy ciągle od prawej strony: małym (w metrykie F) zmianom f od-
powiada małe zmiany x (w X).
Wystarczy żeby istnieł ciagły operator B = A-1.
Def. Zagadnenie (6.1.1) nazywa się jednostajnie (równomiernie) dobrze
uwarunkowanym jeśli wzmocnimy trzeczy warunek
1. dla każdego f " F istneje rozwiązanie (6.1.1) x " X
2. rozwiÄ…zanie (6.1.1) jednoznzczne
3. x zależy ciągle jednostajnie od prawej strony.
Zacytujmy:
Def.* Operator X F jest zwartym jeśli obraz każdej sfery jest zwarty.
A topological space X is compact if every open cover of it has a finite
subcover. In other words, if X is the union of a family of open sets, there
is a finite subfamily whose union is X.
A subset of a topological space which is compact with respect to the relative
topology.
http:/mathworld.wolfram.comĆompactSet.html
40 6 Załącznuk 1. Uwagi matematyczne
Wiki: Def.* A set is compact if every sequence in the set has a convergent
subsequence, the limit point of which belongs to the set.
In functional analysis, a compact operator (or completely continuous opera-
tor) is a linear operator L from a Banach space X to another Banach space
Y, such that the image under L of any bounded subset of X is a (relatively)
compact subset of Y.
http:/mathworld.wolfram.comĆompactSpace.html
Def. Operator A nazywa sie operatorem pierwszego rodziaju, jeśli operator
A jest zwarty (completely continuous) (jednostajnie ciągłym ?)" i żadna sfera
w X nie jest zwarta.
Przykład równania pierwszego rodzaju - równanie całkowe Fredholma I-go
rodzaju z ciągłym jądrem K(x, s) na [a, b],

b
KĆ a" K(x, s)Ć(s)ds = f(x), (6.0)
a
Dowod: Przestrzeń Banacha definiuje się przez ||Ć|| = maxs |Ć(s)|, funkcja
K(x,s) jest ograniczonÄ… |K(x, s)| M

b
1) Niech dla każdego ´ > 0, |Ć1(s)-Ć2| ´ ||f1-f2|| |K(x, s)||Ć1(s)-
a
Ć2|ds M(b - a)´ ., wiÄ™c operator K jest ciÄ…gÅ‚ym jednostajnie;
2) sfera w X ||Ć|| R patrz też [27]
Stw Zagadnenie uzyskania rozwiązania równania (6.1.1) dla operatora
pierwszego rodziaju nie może być dobrze uwarunkowanym, bo operator od-
wrotny do zwartego (jednostajnie ciągłego) nie jest ciągłym.
Dowod Nech X0 " X jest sferą. Z ciagłosci jednostajniej wynika że zbiór
F0 = A(X0) jest zwarty. Wędług definicji X0 nie jest zwartym więc istnieje
ciÄ…g {xk}
a) który nie jest zbieżnym do żadnego elementu X0,
b) ciąg fk = A(xk) jest zbieżnym: limk" = f0.
Stąd wynika że operator B = A-1 ne jest ciągłym na f0.
Def Nech w przestrzeni X istnieje podprzestrzeÅ„ Y ‚" X i, jeÅ›li
a priori wiadomo że rozwiązanie X istnieje dla x " Y
rozwiÄ…zanie jednoznaczne
nieskonczono małym zmianom f takich że x " Y odpowiada nieskonczono
małe zmiany x.
Zagadnienie (6.1.1) nazywa się dobrze uwarunkowanym wędług Tikhonowa
Podprzestrzeń Y nazywa się zbiórem korektności.
Jeśli podprzestrzeń Y jest zwarta, to ważnym jest
Twierdzenie Tikhonowa Niech rozwiÄ…zanie (6.1.1) jest jednoznaczne,
Y jest zwarta i YA ‚" F - obraz Y przy odwzorawaniu A, wtedy operator
odwrotny do A: B = A-1 jest ciagły jednostajnie.
Dowod Załózmy zalożenie stwierdzenia jest blędne, wtedy istnieje 0 > 0
takie że dla dowolnego ´ znajdÄ… siÄ™ takie x1,2 " Y że
6.1 Uwagi matematyczne. 41
ÁX(x1, x2) > ; ÁF (A(x1), A(x2) < ´. (6.0)
Niech {´k} - ciÄ…g, który dąży do zera przy k ", {xk1}, {xk2} - ciÄ…gi ele-
mentów Y .
ÁX(xk1, xk2) > ; ÁF (A(xk1), A(xk2) < ´k). (6.0)
Y jest zbiórem zwartym - więc są podciągi {xkj zbieżny w Y .
Dalej, załóżmy
x1 = lim xk1; x2 = lim = xk2. (6.0)
k" k"
Wtedy, na wskutek ciÄ…glosci operatora A,
ÁX(x1, x2) ; ÁF (A(x1), A(x2)) = 0. (6.0)
Stąd wynika że A(x1) = A(x2), co jest sprzecznie z założeniem twierdzenia o
jednoznacznym rozwiązaniu równania (6.1.1).
Ważnym następnym krokiem do rzeczywistych zastosowań jest uwzględ-
nienie błędów pomiarowych. Z tym jest związane pojęcze kwazirozwiązania
(V. Ivanov [15]).
Niech prawa strona równania (6.1.1), f jest znana z błedem . Zaznaczmy
dokładną funkcję literką fT , odpowiednią - dokładne rozwiązanie - jako xt:
Axt = fT , wtedy
ÁF (fT , f ) . (6.0)
Niech zagadnienie dla (6.1.1) zostało sformulowane dobrze uwarunkowane
(korektnie) według Tikhonova. Kwazirozwiązaniem wtedy nazywa się element
x " Y taki że wartość funkcjonaÅ‚a ÁF (A(y), f) jest minimalna na Y .
Å»
ÁF (A(x), f) = inf ÁF (A(y), f) (6.0)
Å»
y"Y
Jeżeli Y jest zwarty, kwazirozwiązanie zawsze istneje.
Dalej, rozważmy kwazirozwiązanie x takie że jest spełniony warunek
Å»
(6.1.1) wtedy
ÁF (A(x), f ) = inf ÁF (A(y), f ). (6.0)
Å»
y"Y
Z nierównosci trojkonta i definicji kwazirozwiązania wynika
ÁF (A(x), fT ) 2 , (6.0)
Å»
zkąd, z kolei, mamy ciąglość zależnosci kwazirozwiązania od prawej strony
(6.1.1), co oznacza
ÁX(x, xT ) É(2 ) a" sup ÁX(x1, x2), ÁF (A(x1), A(x2)) , (6.0)
xj"Y
co pozwala na ocenę, lecz kwazirozwiązanie jest rozwiązaniem przybliżonym
z kontrolowanymi błędami.
42 6 Załącznuk 1. Uwagi matematyczne
6.1.2 Regularyzacja
Rozważmy przesrzeń Banacha X x, oraz F f. Nech, dalej rownanie
Ax = f (6.0)
modeluje pewne pomiary za pomocu operatora A.
Def 1. Operator R(f, Ä…) nazywa sie regularyzajÄ…cym (operatorem regu-
laryzacji) w otoczeniu elementu fT = A(xT ) jeżeli dla dowolnych wartosci
parametru skalarnego ą i f " F , które spelnia warunki
1) istnieje Ä…0, ´0 taki że 0 < Ä… < Ä…0, Á(f, fT ) < ´0
2) istneje funkcja Ä…(´) taka że dla dolwolnego > 0 znajdzie siÄ™ ´( ) < ´0
takie że if Á(f, fT ) < ´( ), wtedy Á(xÄ…, xT ) < , gdzie xÄ… = R(f, Ä…(´)). Ä…
nazywa siÄ™ parametrem regularyzacji.
Def 2. Operator R(f, Ä…(´)) nazywa siÄ™ regularyzujÄ…cym (operatorem regu-
laryzacji) dla rownania (6.1.2) w F1 ‚" F jeÅ›li on jest operatorem regularyzacji
w otoczeniu kazdego elementu F1. PodkreÅ›limy ze F1 ‚" XA, gdzie X0 - zbior
wartości operatora.
Rozważmy teraz zagadnienie uzyskania przyblizonego rozwiązaia (6.1.2)
po elementu f´ prawej strony (6.1.2) z dokladnosciu
Á(fT , f´) < ´.
Zalóżmy udało się zbudować operator R w otoczeniu fT . Z definicji operatora
regularyzacji wynika ze przy ´ < ´0 mozna brać wartoÅ›ci operatora na ele-
mencie f´ jako rozwiÄ…zanie przybliżone przy wartosci Ä… odpowiedniej ocenie
´. Przy rozwiÄ…zywaniu konkretnego równania (6.1.2), które modeluje pewen
proces (opis).
Dwa przypadki są możliwe.
I. If - oszacowanie błędu dopuszczalnego przy rozwiązaniu równania.
Wtedu - problem w uzyskaniu ´( )- wymaganej dokÅ‚adnoisci pomiarów prawej
czÄ™sci i parametra regularyzacji Ä…(´).
II. Dokladnosc pomiarów ´ jeat jako podana. Problem jest w uzyskaniu
wartosci parametra regularyzacji (ą) dla któregobłąd w rozwiazaniu jest mi-
nimalny.
Def. 3 Operator R(f, ą) nazywa się regularyzającym jednostajnie dla rów-
nania (6.1.2), na zbiorze F1, jeÅ›li 1) istniejÄ… takie liczby Ä…0, ´0, że operator
R(f, Ä…) jest zdefiniowany dla dowolnych Ä…, f, fT dla ktorych spelnione sÄ… wa-
runki 0 < Ä… < Ä…0, ÁF (f, fT ) < ´0, fT " F1. 2) istneje funkcja Ä…(´) taka że dla
dowolnego > 0 znajdie siÄ™ ´( ) < ´0 takie że
Dostateczny warunek tego że by operator był regularyzającym dla
równania.
Twierdzenie 1 Niech operator G(f, ą), F X spełnia warunki
6.1 Uwagi matematyczne. 43
1) Opeator G jst zdefiniowany na dowolnych Ä…, f:
0 < Ä… < Ä…0, Á(fT , f) < ´0
.
2) jest ciÄ…gly na fT , limÄ…0, G(fT , Ä…) = xT .
10 Wtedy operatoe G jest regularyzatorem dla (6.1.2) w otoczeniu ele-
menta fT . 20 Jeśli 1),2) spelnione są dla każdego fT " F1, G jest regularyza-
jÄ…cym na F1. 30 Jesli operator G dla dowolnego Ä… jest ciÄ…glym jednostajnie i
G(A(x), Ä…) jest regularyzajÄ…cym
Dowod Nierownosc trojkonta
Á(G(f, Ä…), xT ) Á(xT Ä…, G(f, Ä…)) + Á(xT Ä…, xT ),
gdzhie
xT Ä… = G(fT , Ä…).
Zaznaczmy
Á(f, fT ) = ´.
Z ciÄ…glosci G przy Ä… > 0 wynika
Á(xT Ä…, G(f, Ä…) ²(´, Ä…, fT ), (6.0)
lim ²(´, Ä…, fT ) = 0
´0
. mozna rozważac ² jako monotnicznÄ… funkcje ´.
Rozważmy dowolnie małe > 0. Na mocy drugiej wlasnosci (6.1.2) istneje
Ä…( ) takie że dla dowolnego Ä… < Ä…( ) spelniona nierownosc: Á(xT Ä…, xT ) < .
Zatem, Á(xT , G(f, Ä…)) < . Drugie jest skutkiem pierwszego. Niech, teraz G
jet jednostajnie ciagly i zbieznosc G(A(x), Ä…) do x jest jednostajna na X1.
Wtedy moąna liczyć że funkcja po prawej stronie (6.1.2) nie zalezy od fT in
F1: ²(´, Ä…, fT ) = ²(´, Ä…), i nierownosci Á(xT , xT Ä…) < , Á(xT Ä…, g(f, Ä…)) <
maja mejsce przy Ä… < Ä…( ) dla dowolnych xT " X1, Á(f, fT ) < ´(Ä…), co
oznacza sprwiedliwosc 30.
Oczywyszcze dla jednego rownania (ref) istneje neskonczona ilosc opera-
torow regularyzajacych (RO). W przypadkach konkretnych wybor RO zalezy
od celi budowy aproximacji po danym z bledami, prostota z punktu widzenia
agorytmow numerycznych.
44 6 Załącznuk 1. Uwagi matematyczne
6.1.3 Liniowe zle uwarunkowane zagadnienia.
Teoria patrz []
1. Niech X,F - przestrzeni Banacha. A - ciagly liniowy operator X rightar-
row F. Rozwazmy liniowe rownanie
Ax = f. (6.0)
Dopuscmy (6.1.3) rozwiazuje siÄ™ jednoznacznie i.e. operaor odwrotny do A,
mianowicze A-1 istneje na XAnF , zbiorze
Niech rozwiÄ…zanie (6.1.2) jest jednoznaczne ,Y=Y +Y jest sumÄ… prostÄ…
(algebraiczną), gdzie Y jest zwartym, ale Y jest przestrzenią skończone wy-
miarową. Wtedy na zbiórze YA wartosci Ax, x " Y , operator A-1 jest jedno-
stajnie ciaglym.
Dowód Niech stwierdzenie nie jest prawidłowym. Wtedy istneją podciągi

x " Y , x " Y , ´k, j = 1, 2; k = 1, " i liczba > 0 taki że
jk jk
||x - x + x - x || <
1k 2k 1k 2k
,
´k
lim ´k = 0.
Wsrod mozliwych funkcjonalow mozna wydzielic podklas zwiazanych ze
sturture liniowa tych przestrzeni
Ü
Niech X- jest przestrzenią Banacha zwarte włożoną i wszedzie gęstą w
Ü
X. Funkcjonal Ć(x) = ł(||x||X) gdzie ł - funkcja z T" będzie oczywiscie
Ü Ü
Ü
Ü
stabilizującym. Jeśli F, X i funkcje ł(t), ł(t) " T" sczisle wypukłe.
Ü
Ü
W teorii zagadnień korektnych po Tikhonowu podprzestrzen X czesto za-
Ü
daje sie nastepujaco X = {x : x = Bx1x1 " X1} gdzie B - operator zu-
pełnie ciagly X1- > X. W przypadku, gdyX, X1, F sa przestrzeni Hilberta,
wtedy element minimalizujacy wygladzajacy funkcjonal znajduja sie w po-
staci jawnej. Rozwazmy wiec funkcjonal wygladzajacy typu () dla () wyberaja
Å‚(t) = Å‚(t) = t2 = È(x, Ä…) = (Ax - f, Ax - f)F + Ä…(B-1x, B-1x)X . Ele-
Ü
1
ment x1 na ktorym funkcjonal osiÄ…aga minimum jest rozwiazaniem rownania
Eulera.
(AB)"(ABx1 - f) + Ä…x1 = 0, (6.0)
więc,
x1 = [Ä…E + (AB) " AB]-1(AB) " f
(6.0)
x = Bx1 = B[Ä…E + (AB) " AB]-1(AB) " f.
na mocy Tw 4 (??) związku pomięzy kwazirozwiązaniem i operatorami regu-
laryzacj dla zbiórow korektnosci wędług relacji Y a = x : x = Bx1, ||x1|| a
kwazirozwiązanie buduje się po (6.1.3) przy określionej wartości parametra
Ä… = Ä…. Liczba Ä… znajduje siÄ™ z relacij
Å»
6.1 Uwagi matematyczne. 45
Def. 1 Rodzina operatorow RÄ…, 0 < Ä… < Ä…0 z F w X nazywa siÄ™ regulary-
zujÄ…cej rownanie () na Z if
1) dla dowolnego Ä…RÄ… jest zdefiniowanym operatorem i ograniczonym
2) dla dowolnego x " Z; limÄ…0 RÄ…Ax = x.
jeśli zbieżność w 2 jest jednostajna na Z, Rą nazywa się jednostajnym
operatorem regularyzacji (regularyzajÄ…cym jednostajnie).
Z nazywa sie zbiórem regularyzacji (jednostajnej) rownania (6.1.3) dla
rodziny RÄ…. Zawsze jest liniowa podprzestrzeniu X.
Rodzina Rn nazywa się rodziną operatorów reg. if
1) dla "n > 0D(RÄ…) = F i ||RÄ…|| < "
2) dla "x " Z, limn" RÄ…Ax = x
Rozwazmy problem budowy rozwązania przybliżonego po przybliżonym
danym
Niech
AxT = fT , (6.0)
i mamy f ; |||fT - f | .
Zaznaczmy
xÄ… = RÄ…f . (6.0)
Wprowadzmy
²(Ä…) = sup |RÄ…Ax - x||, (6.0)
|
wtedy
||xÄ… - xT || ||RÄ…|| + ²(Ä…). (6.0)
Można zminimizowac prawą stronę wybierając ą = ą( ).
Å»
||RÄ…|| + ²(Ä…) = inf ||RÄ…|| + ²(Ä…). (6.0)
Å»
Å»
Ä…
   
Przykłady rodzin regularyzacji (3e metody)