DODATEK 1
Pole elektryczne nieskończenie wielkiej płaszczyzny z równomiernie rozłożonym
na niej Å‚adunkiem powierzchniowym
W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ lub różnicy potencjałów
U = "Õ nieskoÅ„czenie wielkiej pÅ‚aszczyzny naÅ‚adowanej dodatnim Å‚adunkiem rozÅ‚ożonym
równomiernie z gęstością powierzchniową qs (qs > 0 i qs = const) należy zdefiniować po-
wierzchnię Gaussa, na której zostanie określony strumień wektora natężenia pola elektrycz-
nego Åš. RozpatrywanÄ… sytuacjÄ™ pokazano na rys. D1.1.
z
2 1
y
E2 dS dS dS dS dS E1 x
0
90°
qs
A B
. .
x1 x2
Rys. D1.1. Nieskończenie wielka płaszczyzna równomiernie naładowana
Å‚adunkiem powierzchniowym i jej pole elektryczne
Ze względu na nieskończenie wielką płaszczyznę rysuje się dwie płaszczyzny (1) i (2)
równoległe i równoodległe od niej z dwoma elementami powierzchni dS współosiowymi z ta-
kim samym elementem na powierzchni rozpatrywanej. W ten sposób otrzymuje się walec o
podstawach równych dS.
Wektory natężenia pola elektrycznego E są wszędzie na wszystkich trzech płaszczyznach
prostopadle do nich, a ze względu na taką samą odległość powierzchni (1) i (2) od rozpatry-
wanej powierzchni wektory te mają takie same długości, lecz są przeciwnie zwrócone
E1 = -E2 i E1 = E2 = E . (D1.1)
StrumieÅ„ wektora indukcji elektrycznej ¨ (D = ee0E) przez powierzchniÄ™ zamkniÄ™tÄ… wal-
ca jest równy ładunkowi dQ = qs dS obejmowanemu przez tę powierzchnię. Strumień przez
pobocznicę walca jest równy zeru, ponieważ na pobocznicy nie istnieje składowa normalna
wektora E = En = 0. Zatem istnieją tylko dwa strumienie wektora natężenia pola elektryczne-
go Ś1 i Ś2 przez obie podstawy walca, których powierzchnie są powierzchniami Gaussa. Za-
tem całkowity strumień Ś jest sumą strumieni składowych Ś1 i Ś2
dQ
dÅš = dÅš1 + dÅš2 = E1dS + E2dS = 2EdS =
. (D1.2)
µµ0
Ponieważ dQ = qs dS, zatem
qs qs
E = i D =
. (D1.3)
2µµ0 2
Natężenie pola elektrycznego E nieskończenie wielkiej płaszczyzny naładowanej ładun-
kiem powierzchniowym o stałej gęstości jest stałe  nie zależy od odległości od płaszczyzny.
Potencjał w polu naładowanej nieskończenie wielkiej płaszczyzny oblicza się ze wzoru
(2.30) dla przypadku jednowymiarowego  jednej zmiennej niezależnej x
dÕ
E = - . (D1.4)
dx
PotencjaÅ‚ Õ w polu pÅ‚aszczyzny wynosi
qs qs
Õ = - dx = - dx = - x + C
(D1.5)
+"E +"
2µµ0 2µµ0
z dokładnością do stałej całkowania, którą należy zdefiniować na podstawie warunku brze-
gowego. Warunek ten jest następujący: na nieskończenie małej powierzchni (dS = 0), czyli w
punkcie na płaszczyz
nie (x = 0) o stałej gęstości powierzchniowej ładunek dQ (dQ = 0) jest
nieskoÅ„czenie maÅ‚y, skÄ…d wynika, że potencjaÅ‚ Õ pÅ‚aszczyzny musi być równy zero. Zatem
warunek brzegowy wynosi
Õ = 0 dla x = 0 . (D1.6)
Ze wzoru (D1.5) wynika, że stała całkowania C = 0 i
qs
Õ = - x
, (D1.7)
2µµ0
czyli dla dodatniego ładunku płaszczyzny potencjał maleje z odległością od płaszczyzny.
Można pokazać, że potencjaÅ‚ maleje z odlegÅ‚oÅ›ciÄ… wyznaczajÄ…c różnicÄ™ potencjałów Õ1 i
Õ2: U = "Õ = Õ1 - Õ2 dla punktów A i B odlegÅ‚ych od pÅ‚aszczyzny odpowiednio o x1 i x2.
x1 x2
qs qs x2 qs
U = Ć1 -Ć2 = - E dx = dx = x = x2 - x1
( ) . (D1.8)
+" +"
2µµ0 2µµ0 x1 2µµ0
x2 x1
Wobec warunku x2 > x1 jest Õ1 > Õ2, czyli potencjaÅ‚ maleje z odlegÅ‚oÅ›ciÄ… od równomiernie i
dodatnio (qs > 0) naładowanej nieskończenie wielkiej płaszczyzny. Potencjał jest symetryczny
względem płaszczyzny  po jej obu stronach maleje.
Na rys. D1.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości od nieskończenie wielkiej płaszczyzny dla x > 0.
E
x
0 x1 x2
1
2
Rys. D1.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ w funkcji odlegÅ‚oÅ›ci
od nieskończenie wielkiej płaszczyzny równomiernie naładowanej dodatnim
Å‚adunkiem powierzchniowym
 2