Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr A
ukowski
1
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
WYKA
AD 7
zdanie
wynikanie
wynikanie logiczne
2
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Definicja wynikania
Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, jeśli implikacja
Z W
jest zdaniem prawdziwym na mocy związku jaki zachodzi między tym o czym orzeka
zdanie W a tym o czym orzeka zdanie Z.
Z nazywamy racją, a W następstwem.
Z definicji wynikania wnioskujemy, i\
istnieją ró\
ne rodzaje wynikania W z Z w
zale\
ności od rodzaju związku będącego podstawą prawdziwości implikacji Z W.
3
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Związek zachodzący między Z i W, będący podstawą prawdziwości mo\
e być:
- przyczynowo-skutkowy (ze względu na wiedzę o rzeczywistości)
Jeśli zaleję herbatę zimną wodą, to jej nie zaparzę.
- strukturalny (w sensie czasu lub przestrzeni)
Jeśli wczoraj był poniedziałek, to jutro jest środa. (tak\
e analityczny)
Jeśli obraz a wisi nad obrazem b, to obraz b wisi pod obrazem a. (tak\
e analityczny)
Jeśli stoję twarzą na północ, to po prawej ręce mam wschód.
- tetyczny (ze względu na obowiązywanie pewnych norm)
Jeśli w sklepie płacę za towar, to część mojej zapłaty jest przeznaczona na podatek.
- analityczny (ze względu na sens słów - wę\
sze rozumienie analityczności)
Jeśli ta figura jest kwadratem, to [ta figura] ma cztery boki równe.
- logiczny (gdy Z W jest prawdą logiczną)
Jeśli Jan jest łysym adwokatem, to Jan jest adwokatem.
(Jeśli Jan jest łysy i Jan jest adwokatem, to Jan jest adwokatem.)
W ka\
dym powy\
szym przykładzie, pierwsze podkreślenie oznacza Z (rację) drugie zaś
W (następstwo).
4
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Jeśli implikacja Z W jest oczywista, wówczas wypowiedz
prezentująca
rozumowanie  W wynika z Z na mocy Z W zwykle pomija tę implikację i ma
uproszczoną postać  W wynika z Z (ka\
dy bowiem wie, \
e Z W).
Ta ukryta, bo niewypowiedziana na mocy oczywistości przesłanka Z W nazywana
jest przesłanką entymematyczną, zaś wnioskowanie w którym występuje przesłanka
entymematyczna jest nazywane wnioskowaniem entymematycznym.
Przykład:
Zamiast mówić
 Ka\
dy syn jest młodszy od swojego ojca. Jan jest synem Marka, więc Jan jest młodszy od
Marka
powiemy
 Jan jest synem Marka, więc Jan jest młodszy od Marka
( Jan jest młodszy od Marka, bo jest jego synem ).
Uwaga:
Wnioskowania entymematyczne są bardzo powszechne w mowie potocznej. Nale\
y jednak
pamiętać, \
e niekiedy oczywistość przesłanki entymematycznej Z W jest złudzeniem (np.
 ka\
da część jest mniejsza od całości -  jeśli a jest częścią b, to a jest mniejsze od b ), a wtedy
wnioskowanie mo\
e być błędne.
5
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Definicja wynikania logicznego
1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja
Z W
jest prawdą logiczną. Symbolicznie Z |- W.
Z to przesłanka (zało\
enie), zaś W to wniosek.
2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z1,...,Zn (ze zbioru zdań {Z1,...,Zn}) wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z1 '" ... '" Zn) Z
jest prawdą logiczną. Symbolicznie {Z1,...,Zn} |- W.
Z1,...,Zn to przesłanki (zało\
enia), zaś W to wniosek.
3. Zbiór zdań {W1,...,Wk} wynika logicznie ze zbioru zdań {Z1,...,Zn} wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z1 '" ... '" Zn) (W1 (" ... (" Wk)
jest prawdą logiczną. Symbolicznie {Z1,...,Zn} |- {W1,...,Wk}.
6
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek.
Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwych przesłanek zawsze
prowadzi do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym.
7
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 1. Czy zdanie  Ulice są mokre wynika logicznie ze zdania  Deszcz pada ?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy p q jest tautologią?
p q

0 - zało\
enie dowodu nie wprost
1 0
Schemat ten nie jest tautologią, gdy\
istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym:
p/ 1, q/0
(deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre,
np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja mo\
liwego świata)
Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!).
Uwaga: W świecie, w którym \
adna ulica nie jest zadaszona, zdanie  Ulice są mokre wynika ze
zdania  Deszcz pada . Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowo-
skutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie.
8
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 2. Czy zdanie  Ulice są mokre wynika logicznie ze zdania  Jeśli deszcz pada, to ulice
są mokre ?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p q) q jest tautologią?
(p q) q

1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
0 - przepisujemy wartość q
4
0
Schemat (p q) q nie jest tautologią, gdy\
istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p q
(oczywiście!). Zdanie  Ulice są mokre nie wynika logicznie ze zdania wyra\
ającego jedynie
zale\
ność tego, \
e ulice są mokre od tego, \
e deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w
świecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz
nie pada.
9
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 3. Czy zdanie  Ulice są mokre wynika logicznie ze zdań  Deszcz pada oraz  Jeśli
deszcz pada, to ulice są mokre ?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p '" (p q)) q jest tautologią?
(p (p q))
'"
q
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
1 1
4
1 0 - przepisujemy wartości p i q
5
0 - sprzeczność
Schemat (p '" (p q)) q jest tautologią, gdy\
nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q}.
Symbolicznie:
{p, p q} |- q.
Jest to reguła odrywania (Modus Ponens).
p, p q
(inny zapis)
q
10
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 4. Czy zdanie  Nieprawda, \
e deszcz pada wynika logicznie ze zdań  Nieprawda, \
e
ulice są mokre oraz  Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre ?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (Źq '" (p q)) Źp jest tautologią?
q (p q))
(Ź
'" Ź
p
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
1 1 1
4
0
5
1 0 - przepisujemy wartości p i q
6
0 - sprzeczność
Schemat (Źq '" (p q)) Źp jest tautologią, gdy\
nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie Źp wynika logicznie ze zbioru zdań {Źq, p q}. Symbolicznie:
{Źq, p q} |- Źp.
Jest to reguła Modus Tollens.
Źq, p q
(inny zapis)
Źp
11
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 5. Czy zdanie  Jestem w czytelni wynika logicznie ze zdań  Jestem w czytelni lub w
katalogach oraz  Nieprawda, \
e jestem w katalogach ?
p - Jestem w czytelni
q - Jestem w katalogach
Zatem, czy ((p (" q) '" Źq) p jest tautologią?
((p q) q) p
(" '" Ź
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
1 1
4
0
5
0 0 - przepisujemy wartości p i q
6
0 - sprzeczność
Schemat ((p (" q) '" Źq) p jest tautologią, gdy\
nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p (" q, Źq}. Symbolicznie:
{(p (" q), Źq} |- p.
Jest to reguła odłączania alternatywy.
p (" q, Źq p (" q, Źp
(inny zapis) (tak\
e)
p q
12
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 6. Czy zdanie  Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych wynika logicznie ze
zdania  Jan ma tysiąc dolarów ?
p - Jan ma tysiąc dolarów
q - Jan ma tysiąc złotych
Zatem, czy p (p (" q) jest tautologią?
p (p q)
("
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
1 - przepisujemy wartość p
4
1 - sprzeczność
Schemat p (p (" q) jest tautologią, gdy\
nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p (" q), Źq}.
Symbolicznie:
{p} |- p (" q (p |- p (" q).
Jest to reguła dołączania alternatywy.
p q
(inny zapis) (tak\
e)
p (" q p (" q
13
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 7. Czy zdanie  Jan jest złodziejem i mordercą wynika logicznie ze zdania  Jan jest
złodziejem ?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy p (p '" q) jest tautologią?
p (p q)
'"
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
1 - przepisujemy wartość p
4
0
Schemat p (p '" q) nie jest tautologią, gdy\
istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem,
zdanie p '" q nie wynika logicznie ze zdania p.
14
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 8. Czy zdanie  Jan jest złodziejem wynika logicznie ze zdania  Jan jest złodziejem i
mordercą ?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p '" q) p jest tautologią?
( p q) p
'"
1
0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2
1 0
3
0 - przepisujemy wartość p
4
0 - sprzeczność
Schemat (p '" q) p jest tautologią, gdy\
nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p '" q:
reguła odłączania koniunkcji:
{p '" q} |- p (p '" q |- p).
p '" q p '" q
(inny zapis) (tak\
e)
p q
15
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 9. Czy zdanie  Jan jest złodziejem i mordercą wynika logicznie ze zdań  Jan jest
złodziejem i  Jan jest mordercą ?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p '" q) p '" q jest tautologią? Oczywiście, \
e TAK.
Zatem, zdanie p '" q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}:
reguła dołączania koniunkcji:
{p, q} |- p '" q.
p, q
(inny zapis)
p '" q
Fakt ten mo\
na dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny:
p (q (p '" q)).
16
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 10. Ni\
ej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, \
e posługujemy się
logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie :&
Student kupił ksią\
kę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem.
M(ilicjant): Co to za ksią\
ka?
S(tudent): Do logiki.
M: Co to jest logika?
S: To nauka o poprawnym myśleniu.
M: Jakie myślenie jest poprawne?
S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M: Tak.
S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki.
M: Tak!
S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić.
M: Tak!
S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny.
M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! Te\
kupię tę ksią\
kę!
Gdy milicjant wrócił na komendę z ksią\
ką do logiki, kolega milicjant pyta go
M2: Co to za ksią\
ka?
M: Do logiki.
M2: Co to jest logika?
M: To nauka o poprawnym myśleniu.
M2: Jakie myślenie jest poprawne?
M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M2: Nie.
M: To ty jesteś gejem!
17
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Analiza logiczna dowcipu:
p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny
A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q, q s, s r}? TAK, bo:
(p (p q) (q s) (s r)) r
'" '" '"
1 0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2 1 1 1 1 0 - patrz przypis
3 1 0 - przepisujemy wartości p i r
4 1
5 1 - przepisujemy wartość q
6 1
7 1 - przepisujemy wartość s
8 0 - sprzeczność
B. Czy zdanie Źr wynika logicznie ze zbioru zdań {Źp, p q, q s, s r}? NIE, bo:
p (p q) (q s) (s r)) r
(Ź '" '" '" Ź
1 0 - zało\
enie dowodu nie wprost
2 1 1 1 1 0 - patrz przypis
3 0 1
4 0 1 - przepisujemy wartości p i r
5 0 0 0 0 - przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s
Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1.
18
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Niezbędny komentarz do powy\
szej analizy.
Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie ka\
de ze zdań p q, q s, s r musi być
uznane za prawdziwe!
Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji:
zamiast jednego zdania q, powinny być dwa ró\
ne zdania q1 oraz q2 - w innym
znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako
zakąskę.
19
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
tautologie KRZ reguły KRZ
p (" Źp " |- p (" Źp
prawdy logiczne zawsze mo\
na
dodać do przesłanek*
Ź(p '" Źp) " |- Ź(p '" Źp)
p
p "! ŹŹp p |-| ŹŹp
ŹŹp
p q, q p
((p q) '" (q p)) (p "! q) {p q, q p} |- p "! q
p "! q
p "! q
(p "! q) ((p q) '" (q p)) {p "! q} |- (p q) '" (q p)
(p q) '" (q p)
p q
(p q) "! (q '" Źp) p q |-| q '" Źp
q '" Źp
p q
(p q) "! (Źq Źp) p q |-| Źq Źp
Źq Źp
p, Źp
p (Źp q) {p, Źp} |- q
q
Ź(p (" q)
Ź(p (" q) "! (Źp '" Źq) Ź(p (" q) |-| Źp '" Źq
Źp '" Źq
20
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Ź(p '" q)
Ź(p '" q) "! (Źp (" Źq) Ź(p '" q) |-| Źp (" Źq
Źp (" Źq
Ź(p q)
Ź(p q) "! (p '" Źq) Ź(p q) |-| p '" Źq
p '" Źq
p q, q s, p
((p q) '" (q s) '" p) s {p q, q s, p} |- s
s
p q, q s, Źs
((p q) '" (q s)) (Źs Źp) {p q, q s, Źs} |- Źp
Źp
W powy\
szej tabeli podwójna kreska w ułamku wyra\
ającym regułę oznacza, \
e ułamek ten wyra\
a dwie
reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a
licznik wnioskiem.
21
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Wnioskowanie KRZ jest monotoniczne, tzn.
jeśli X ą" Y i X |- p, to Y |- p.
*Wniosek
Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z
ka\
dego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w ka\
dym zbiorze przesłanek.
zbiór przesłanek wniosek
Wynikania logiczne oparte na wielu logikach formalnych, w tym logice klasycznej, są
monotoniczne, tzn. poszerzenie zbioru przesłanek o nowe przesłanki poszerza dotychczasowy
zbiór wniosków (konsekwencji). Fakt ten odró\
nia te wynikania od  zwykłego rozumowania
człowieka, które jest niemonotoniczne.
22
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Przykład na niemonotoniczność ludzkiego rozumowania:
poszerzanie zbioru przesłanek zmiana zbioru konkluzji
I.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
osobą y. ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
kawiarni x.
II.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
osobą y. ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje kawiarni x.
niską temperaturę. w2 - Musze się cieplej ubrać.
III.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio
osobą y. ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje kawiarni x.
niską temperaturę. w2 - Muszę się cieplej ubrać.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz. w3 - Muszę zabrać parasol.
Do tego miejsca rozumowanie jest monotoniczne.
IV.
z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z w4 - Moje spotkanie o godzinie t w kawiarni x z osobą y
osobą y. nie odbędzie się.
z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje Zatem, wnioski w1-w3 przestają być wa\
ne -
niską temperaturę. rozumowanie przestaje być monotoniczne.
z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz.
z4 - (miałem rozmowę telefoniczną z osobą z) Osoba
y miała wypadek samochodowy i le\
y w szpitalu.
23
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 11.
Wyka\
emy, \
e świat nie jest Absolutem. Jeśli bowiem świat byłby Absolutem, to jeśli byłby
ponadto stworzony, to musiałby sam się stworzyć. Lecz to ostatnie oznaczałoby, \
e świat ma
początek. Jednak wówczas świat nie mo\
e być wieczny. Z drugiej strony jasne jest, \
e Absolut
nie mo\
e nie być wieczny. Ponadto, jeśli świat istnieje, to musiał mieć kiedyś początek. Jeśli,
natomiast, nie istnieje, to tym bardziej nie mo\
e być Absolutem.
p - świat jest Absolutem
p1 - świat jest stworzony
p2 - świat sam się stworzył
p3 - świat ma początek
p4 - świat jest wieczny
p5 - świat istnieje
{p (p1 p2), p2 p3, p3 Źp4, p p4, p5 p3, Źp5 Źp} |- Źp
24
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
{p (p1 p2), p2 p3, p3 Źp4, p p4, p5 p3, Źp5 Źp} |- Źp
(p (p1 p2)) (p2 p3) (p3 p4) (p p4) (p5 p3) p5 p)) p
'" '" Ź '" '" '" (Ź Ź Ź
0
1 1 1 1 1 1 0
1
1 1 1
1 1 0
0
1
1
1
1
1
0
Przesłanki pierwsza i druga nie są wykorzystane w analizie. Zatem, wniosek Źp wynika
logicznie tak\
e ze zbioru mniejszego, czyli z {p3 Źp4, p p4, p5 p3, Źp5 Źp}.
25
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie 12.
Wyka\
emy, \
e następujący zbiór zdań tworzy wypowiedz
sprzeczną:
 Jeśli świat jest wieczny, to nie ma początku lub końca. Z drugiej strony, świat jest wieczny lub
ma zarazem początek i koniec. Nie jest prawdą, \
e stworzoność świata implikuje to \
e nie ma on
początku. Ponadto, świat nie jest stworzony, o ile zało\
ymy, \
e jest wieczny wtedy i tylko
wtedy, gdy nie ma końca.
p1 - świat jest wieczny
p2 - świat ma początek
p3 - świat ma koniec
p4 - świat jest stworzony
{p1 (Źp2 (" Źp3), p1 (" (p2 '" p3), Ź(p4 Źp2), (p1 "! Źp3) Źp4}
26
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
{p1 (Źp2 (" Źp3), p1 (" (p2 '" p3), Ź(p4 Źp2), (p1 "! Źp3) Źp4}
p1 p2 p3) p1 (p2 p3) (p4 p2) (p1 p3) p4
(Ź (" Ź '" (" '" '" Ź Ź '" "! Ź Ź
1 1 1 1
0
1 0
1
1 1 1
0 0
0
1 zał.1
1 1
1
1
0
1 0
1
1
0 zał.2
0
1
0
0 0
0
0
27
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie cztery formuły zamienią się w zdania
prawdziwe. Nie jest więc mo\
liwe, aby wszystkie cztery zdania były jednocześnie prawdziwe.
Oznacza to, \
e tekst jest sprzeczny.
28
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów
x, y, z - zmienne nazwowe
" - kwantyfikator ogólny  dla ka\
dego...
" - kwantyfikator szczegółowy  dla pewnego... ,  istnieje... takie, \
e...
P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyra\
ają własności)
P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyra\
ają relacje, związki)
P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyra\
ają relacje, związki)
 "x P(x) czytamy  dla ka\
dego x, P(x)
 "x P(x) czytamy  dla pewnego x, P(x) lub  istnieje x takie, \
e P(x)
{x: P(x)} = Dz (Dz - dziedzina rozwa\
ań)
"x P(x) "!
Ź"x P(x) "! {x: P(x)} `" Dz
"x P(x) "! {x: P(x)} `" "
Ź"x P(x) "! {x: P(x)} = "
"x ŹP(x) "! {x: ŹP(x)} = Dz
"x ŹP(x) "! {x: ŹP(x)} `" "
29
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
zdanie prawdziwe zdanie fałszywe
"x P(x)
"x P(x)
"x ŹP(x)
"x ŹP(x)
30
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Objaśnienie.
Czarna kropka na diagramie oznacza niepustość zbioru, do którego nale\
y.
Szare wypełnienie oznacza pustość zbioru wypełnionego tym kolorem.
Negacja zdań skwantyfikowanych:
Ź"x P(x) "! "x ŹP(x)
Ź"x P(x) "! "x ŹP(x)
Zatem,
"x P(x) "! Ź"x ŹP(x)
"x P(x) "! Ź"x ŹP(x)
31
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania:
1. Ka\
dy adwokat kiedyś obroni jakiegoś oskar\
onego.
2. śaden prokurator nie wycofa nigdy \
adnego aktu oskar\
enia.
3. Pewien sędzia wydał kiedyś [jakiś] niesprawiedliwy wyrok.
1. "x"A "y"T "z"Os Obr(x,y,z)
Ź"x"A "y"T "z"Os Obr(x,y,z) "! "x"A "y"T "z"Os ŹObr(x,y,z)
Odp: Pewien adwokat nigdy nie obroni \
adnego oskar\
onego.
2. "x"Pr "y"T "z"Akt ŹW(x,y,z)
Ź"x"Pr "y"T "z"Akt ŹW(x,y,z) "! "x"Pr "y"T "z"Akt W(x,y,z)
Odp: Pewien prokurator kiedyś wycofa jakiś akt oskar\
enia.
3. "x"A "y"T "z"NW Wyd(x,y,z)
Ź"x"A "y"T "z"NW Wyd(x,y,z) "! "x"A "y"T "z"NW ŹWyd(x,y,z)
Odp: śaden sędzia nigdy nie wydał [\
adnego] niesprawiedliwego wyroku.
32