PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Zmienna losowa
Rozkłady zmiennych losowych
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Podstawowe pojęcia PRZESTRZEC PROBABILISTYCZNA
Przestrzeń probabilistyczna składa się z trzech elementów:
1. Zbiór wyników doświadczenia losowego (przestrzeń zdarzeń elementarnych)
©= {É1, É2, É3, & , Én}
2. Zbiór S ciało (zbiór) zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami zdarzeń
elementarnych (czyli podzbiorami zbioru ©).
3. Funkcja P, nazywana zwykle prawdopodobieństwem, która zdarzeniom losowym
przypisuje liczby interpretowane zwykle jako prawdopodobieństwo.
Obiekty ©, S i P muszÄ… speÅ‚niać warunki, okreÅ›lone przez aksjomaty rachunku
prawdopodobieństwa (patrz wykład nr 1).
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Zmienna losowa
Funkcję, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje liczbę
rzeczywistÄ… nazywamy ZMIENN LOSOW
Przy czym dla każdej liczby rzeczywistej r muszą być spełnione warunki:
{É: X(É) d" r }"S
{É: X(É) < r }"S
Oznacza to, że do zbioru zdarzeń losowych S muszą należeć wszystkie
zdarzenia typu zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą lub równą r
oraz zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą niż r .
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Przykład
Rozpatrzmy następującą przestrzeń probabilistyczną:
© = {a, b, c}
S={{a},{ b, c}, ", ©}
P({a})= ½ P({b, c})= ½
oraz nastÄ™pujÄ…ce funkcje X(É) i Y(É) okreÅ›lone na przestrzeni ©:
X(a)=1 X(b)=2 X(c)=3
Y(a)=1 Y(b)=3 Y(c)=3
Czy funkcje X i Y sÄ… zmiennymi losowymi?
Sprawdzmy dla r=2. Zbiór, który wyznacza X(É) d"2 to zbiór {a, b}. Jak widać,
nie należy on do S. Funkcja X NIE JEST ZMIENN LOSOW
Natomiast Y JEST ZMIENN LOSOW, bo dla dowolnej wartości r, zbiorami,
które może wyznaczyć funkcja zdaniowa Y(É)d"r mogÄ… być jedynie zbiory: ",
gdy r < 1, {a}, gdy 1 d" r < 3 lub {a, b, c}=©, kiedy r e"3 a wszystkie te zbiory
należą do S.
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Dystrybuanta zmiennej losowej
Rozważmy eksperyment polegający na serii trzech rzutów rzetelną monetą.
Zmienna losowa X jest zdefiniowana jako liczba wyrzuconych orłów . Zmienna
ta może przyjąć wartości ze zbioru: {0, 1, 2, 3}
Prawdopodobieństwa uzyskania każdej z tych wartości wyznaczamy
korzystajÄ…c z tzw. schematu Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w serii n prób oblicza się ze
wzoru:
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
P(X = k) = pk (1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Dystrybuanta zmiennej losowej
W naszym przykładzie mamy 3 próby. Jako sukces zdefiniujemy wyrzucenie
orła. Możemy zatem uzyskać od 0 do 3 orłów. Prawdopodobieństwa każdego z
tych wyników są następujące:
3
ëÅ‚ öÅ‚
1
0
P(X = 0) = ìÅ‚ =
xi P(X=xi)
ìÅ‚0÷Å‚(0,5) (1- 0,5)3
÷Å‚
8
íÅ‚ Å‚Å‚
0 1/8
3
ëÅ‚ öÅ‚
3
1
P(X =1) = ìÅ‚ =
ìÅ‚1÷Å‚(0,5) (1- 0,5)2 1 3/8
÷Å‚
8
íÅ‚ Å‚Å‚
2 3/8
3
ëÅ‚ öÅ‚
3
2
P(X = 2) = ìÅ‚ =
ìÅ‚2÷Å‚(0,5) (1- 0,5)1
÷Å‚
8 3 1/8
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ëÅ‚ öÅ‚ RozkÅ‚ad prawdopodobieÅ„stwa
1
3
P(X = 3) = ìÅ‚ =
ìÅ‚3÷Å‚(0,5) (1- 0,5)0
÷Å‚
zmiennej losowej X
8
íÅ‚ Å‚Å‚
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuantę FX(r) zmiennej losowej X definiuje się jako funkcję, która
każdej liczbie rzeczywistej r przyporządkowuje prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie
większą od r
FX(r) = P(X d" r)
0 dla r < 0
Å„Å‚
ôÅ‚1
ôÅ‚
dla 0 d" r <1
8
ôÅ‚
xi P(X=xi) P(X d" xi)
ôÅ‚4
ôÅ‚
0 1/8 1/8
FX (r) = dla 1d" r < 2
òÅ‚
ôÅ‚8
1 3/8 4/8
7
ôÅ‚
dla 2 d" r < 3
2 3/8 7/8
ôÅ‚8
ôÅ‚
3 1/8 8/8
dla r e" 3
ôÅ‚
ół1
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Zmienna losowa skokowa
Wyobrazmy sobie prymitywnÄ… ruletkÄ™,
która dzieli się na cztery przedziały.
1
Zdefiniowana jest przy tym zmienna
losowa X liczba punktów uzyskanych
podczas gry.
Jeśli ruletka jest symetryczna rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej X będzie
następujący:
2
xi P(X=xi)
3
0 ź
1 ź
2 ź
3 ź
Joanna Konieczna-Sałamatin
0
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
f(r)
1/4
4
r
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
- pokazuje, jak szybko zmienia siÄ™ dystrybuanta (jest pochodnÄ… dystrybuanty)
- pole pod wykresem funkcji gęstości wynosi 1
Przedstawiony tu wykres to funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla
rozkładu jednostajnego (równomiernego)
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
Jeśli na zewnątrz naszej ruletki umieścimy
magnes, wtedy kulka będzie się częściej
zatrzymywać w pobliżu magnesu.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
zdajÄ…cej sprawÄ™ z miejsca zatrzymania siÄ™
kulki nie będzie już jednostajny&
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0 5 10 15 20 25
x
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej
wykorzystywanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.
2
ëÅ‚ öÅ‚
(x-µ)
ìÅ‚ ÷Å‚
-
2
ìÅ‚ ÷Å‚
1
2Ã
Å‚Å‚
f (x) = eíÅ‚
à 2Ą
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
0,5
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
- jest symetryczna wzglÄ™dem prostej x = µ
- w punkcie x = µ osiÄ…ga wartość maksymalnÄ…
- ramiona funkcji majÄ… punkty przegiÄ™cia dla x = µ - Ã
oraz x = µ + Ã
- kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:
µ i Ã. Parametr µ decyduje o przesuniÄ™ciu krzywej,
natomiast parametr à decyduje o smukłości krzywej.
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
1,2
N (0,1)
1
N (3,1)
N (0,2)
0,8
N (3,2)
0,6
0,4
0,2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,2
Joanna Konieczna-Sałamatin
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO
Rozkład normalny
Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego są
stablicowane. Tablice można znalezć w dowolnym podręczniku do statystyki.
Są też w Internecie, np..
http://stat1.is.uw.edu.pl/statystyka
Joanna Konieczna-Sałamatin
Wyszukiwarka